卷积的性质

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(t ) * (t ) ( ) (t )d (t )d
0


讨论：
d t
0
t 0
t
0d 0
0
t 0

结论：
(t ) * (t ) t (t )
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2.卷积图解法
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为
f(t)= f1(t)*f2(t)
注意：积分是在虚设的变量τ 下进行的，τ 为积分变量，t为参
变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )

f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
A
r -1
t r 1 cos(t r 1 ) Ar-2t r 2 cos(t r 2 ) ... A0 cos(t 0 ) et

第 6页
齐次解举例
y' ' (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) 0
解：系统的特征方程为 特征根
5 6 0
求系统
y' ' (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) f (t )
的冲激响应。
解： 将f(t)→(t)， y(t)→h(t)，h(0-)=h’(0-)=0 h' ' (t ) a (t ) r1 (t ) （ 1 ）
h' ' (t ) 5h' (t ) 6h(t ) (t )
1 2
求yzs(t)= h(t) * f (t) 。
h(τ ) f (t -τ )
f(τ t )
0 t t-11 t
3 4 1 4
t-1 2
3
τ
yzs (t )
0
1 h ( tτ)
t τ 2
f(t-τ)
0
1
2
3
t
t-1 t
t-10 t
t-1
t2
τ t
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h(t)函数形式复杂 f (t)换元 f ( τ) f (τ)反折
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阶跃响应的定义
(t )
初始状态为0 LTI
阶跃响应g(t)
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冲激与阶跃响应之间的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d

t
d g (t ) , h(t ) dt
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冲激响应举例
2
1 2, 2 3
对应的齐次解为
y(t) C1 e
2t
C2 e
3t
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特解
不同激励对应的特解
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特解举例
例：给定微分方程式
y' ' (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) f (t )
故特解函数式为
如果已知： f (t) 10cost ，求方程的特解。 解:
设
h ' ( 0 ) h ' ( 0 ) a 1
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t ) (e e ) (t )
2t 3t
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四、卷积积分
1
2 3
卷积概念
卷积图解法 Matlab求卷积
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1.卷积概念
卷积概念视频
第 23 页
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
对（ 1 ）两端求
0
求解 yzs(0+) ，y ’(0+)? 代入原方程得 a 2 zs
0 0
得y zs ' (0 ) 2 得y zs (0 ) 0
对（2）两端求
0
对t>0时，有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6
不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3，
第 14 页
（2）零状态响应yzs(t) 满足
yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
yzs(0-) = yzs’(0-) = 0 y zs ' ' (t ) a (t ) r1 (t ) （1 ） y zs ' (t ) r2 (t ) （2） y zs (t ) r3 (t ) （3）
于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 代入初始值求得
-t -2t y (t) 4e e 3 (t ) 3 ，t≥0 或者 zs


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三、冲激响应和阶跃响应 知识回顾
筛选性质： (t t0 ) f (t ) f (t0 ) (t t0 )
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二、零输入和零状态响应
零输入响应 yzi(t) = T [ {0}，{x(0)}]
输入
零状态响应 yzs(t) = T [{ f (t) }, {0}]
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y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi( j)(0+), yzs( j)(0+) ( j = 0，1，2 ，…，n-1)的计算。 y( j)(0-)= yzi( j)(0-)+ yzs( j)(0-) y( j)(0+)= yzi( j)(0+)+ yzs( j)(0+)
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
第二章 信号与系统时域分析
一
微分方程经典解 零输入和零状态响应 冲激响应和阶跃响应
CONTENTS
目 录
二 三
四
五
卷积积分
卷积的性质
一、微分方程经典解 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)

卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)
（2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ)
（3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
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卷积图解法-举例
f (- τ )
h' (t ) r2 (t )
t 0, (t ) 0
求特征根 冲激响应
2
首先判断h(t) 中是否包含冲击项！！！
''r (t( )t 5h '( t ) 6h(t ) 0 h(t )h ) （ 3 ） 3
（2）
5 6 0 1 2, 2 3
解: 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2，λ2= – 3
齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 将其代入微分方程得
初始值
yp(t) = Pe – t
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e – t
j
yp t P 1 cos t P 2 sin t
特解满足微分方程，可直接代入方程中 求得P1 P2
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综合举例
描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求当f(t) = 2e-t，t≥0； y(0)=2，y’(0)= -1 时的全解
yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2
yzi’(0+)= yzi’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故
yzi(t) = Czi1e –t + Czi2e –2t
代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= – 2 ，代入得 yzi(t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0
令y(t ) Cet 为方程的通解，代入方 程
特征方程
齐次解
特征根 λ 单实根 r重实根 共轭复根 r重共轭复根
yh (t )
Ce t
C

r 1 r 2 t t C t ... C t C e r 1 r 2 1 0

C cost D sin t et
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全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
h(t ) (C1e
2t
h(t )中不包含冲激信号！
带ε (t)
C2e ) (t )
3t
第 20 页
•求0+确定待定系数
求0+值确定系数
d 2 ht a t r0 t 代入微分方 2 程，得a=1 dt d ht r1 t dt ht r2 t h(0) h(0) 0
换元为h(τ)。 f (-τ)平移t
f ( t - τ)
① t < 0时 , f ( t -τ)向左移 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yzs(t) = 0 ② 0≤t ≤1 时, f ( t -τ)向右移 ③ 1≤t ≤2时 ④ 2≤t ≤3 时 ⑤ 3≤t 时
2 2 4 2 1 1 2 1 3 y zs (t ) d t t t 1 2 4 2 4
ff k t
f (t ) f (t0 ) (t t0 ) f (t1 ) (t t1 ) ...
任意连续信号都可以分解为冲激信号的 线性叠加
O
t k t
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冲激响应的定义
(t )
初始状态为0 LTI
冲激响应h(t)
实际工程中，用一个持续时间很短，但幅度很大的信号作为冲激信号
线性常系数微分方程
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)= 0
线性常系数齐次微分方程 微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解
y(t ) y p (t ) yh (t )
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齐次解
齐次方程 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)= 0 特征根
LTI系统分析概述
系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响 应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
输入输出法（外部法） 系统的分析方法：
状态变量法（内部法）（chp.8)
时域分析（chp.2,chp.3) 外部法 变换域法 离散系统—频域法(4)和z域法(6) 系统特性：系统函数（chp.7)
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连续系统—频域法(4)和复频域法(5)
求解的基本思路：
把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本 信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
采用的数学工具： • 时 域： 卷积积分与卷积和 • 频 域： 傅里叶变换 • 复频域：拉普拉斯变换与Z变换
t 1
1 1 2 y zs (t ) d t t 0 12 14 1 y zs (t ) d t
t
f ( t -τ) h(τ) = 0，故
yzs(t) = 0
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求某一时刻卷积值
图解法一般比较繁琐，确定积分的上
对于零输入响应，由于激励为零，故有
yzi( j)(0+)= yzi( j)(0-) = y ( j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yzs( j)(0-)=0 yzs( j)(0+)的求法下面举例说明。
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例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yzi”(t) + 3yzi’(t) + 2yzi(t) = 0