如何解含有多个绝对值符号的方程
解含有绝对值的方程四种方法
解含有绝对值的方程四种办法
以下介绍几种含绝对值的方程的解法,给出的这四种办法都是经常应用的办法.
一、界说法：
依据绝对值的界说把绝对值号去失落,把一个方程变成两个方程来解.这种办法只实用于较简略的含绝对值的方程.
二、平办法：
对于较简略的含绝对值的方程,去失落绝对值符号的又一个简略办法是方程双方平方.;
三、零点分区法：
这种办法合适于稍微庞杂一些的情形,起首令各绝对值号内的式子等于零.由此解得几个X的值把全部褛分为几个区间,解题时要按这几个区间一一评论辩论,特殊是解得的值要研讨是否落在所给的区间.
四、数轴法
X-A的绝对值的几何意义是,在数轴上暗示数A的点到X点的距离,依据这个几何意义解某些绝对值方程,具有直不雅简捷等特色.。
文章如何解决带有绝对值的二次方程
文章如何解决带有绝对值的二次方程二次方程是数学中经常遇到的一个问题。
其中，带有绝对值的二次方程则更具挑战性。
本文将介绍如何解决带有绝对值的二次方程，并给出详细的步骤和解题方法。
首先，我们来回顾一下二次方程的一般形式：$$ax^2 + bx + c = 0$$其中，$a$、$b$、$c$为实数且$a \neq 0$。
接下来，我们考虑带有绝对值的二次方程。
一般来说，带有绝对值的二次方程可以表示为：$$|ax^2 + bx + c| = d$$我们将根据绝对值的不同情况来分别讨论。
1. 当$ax^2 + bx + c \geq 0$时，即$ax^2 + bx + c$的值为非负数。
此时，带有绝对值的二次方程可以简化为：$$ax^2 + bx + c = d$$解决这个方程的方法与求解一般二次方程相同。
我们可以使用求根公式或配方法来求解该方程。
2. 当$ax^2 + bx + c < 0$时，即$ax^2 + bx + c$的值为负数。
此时，带有绝对值的二次方程可以简化为：$$-(ax^2 + bx + c) = d$$我们首先将方程两边取负号，得到：$$ax^2 + bx + c = -d$$然后，我们将方程两边乘以-1，得到：$$-ax^2 - bx - c = d$$现在，我们得到了一个非负的二次方程。
我们可以按照第一种情况的方法来解决这个方程。
综上所述，带有绝对值的二次方程的解决方法可以分为两种情况。
我们可以根据方程的正负性来判断应该采取哪种方法。
如果方程为非负，则直接求解；如果方程为负，则将方程取负号后再求解。
需要注意的是，在解题的过程中，我们可能会得到一元二次方程的解或若干个解的集合。
我们应该仔细检查每个解的可行性，去除不满足原方程的解。
另外，我们还可以将带有绝对值的二次方程转化为分段函数，通过分析函数的图像来求解方程。
这种方法在一些情况下可能更加简便有效。
总结起来，解决带有绝对值的二次方程需要根据方程的正负性采取不同的方法。
解含绝对值的方程的四种方法
“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。
解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。
下面举例说明解这类方程的几种常用方法。
一. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。
三. 运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直线：C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。
四. 运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。
五. 运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。
故选（B）。
图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。
含绝对值的函数方程解法
含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。
下面将介绍两种常见的解法。
1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。
因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。
2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。
因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。
需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。
最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。
以上就是含绝对值的函数方程的解法。
希望以上内容能对你有
所帮助！。
多个绝对值方程的求解方法
多个绝对值方程的求解方法
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊多个绝对值方程的求解方法，这可真是个有趣又有点儿头疼的事儿呢！
比如说，像这样一个方程：x-1+2x+3=6。
哎呀，这可咋整呢？别急，咱一步步来。
首先，绝对值啊，就好像是个“保护罩”，把里面的东西都罩起来了，让它要么是正数，要么是 0。
就好比你走在路上，有两条不同的路可以选，一条路代表一种情况。
咱就来分析分析，当 x 足够小的时候，那 x-1 肯定是负数，2x+3 也可能是负数。
那这时候方程就变成了-(x-1)-(2x+3)=6。
你看，这是不是就像你解开了一个谜题的一层？然后咱再接着想，要是x 稍微大一点，x-1 可能就变成正数了，2x+3 也可能是正数，那方程又不一样啦，变成了(x-1)+(2x+3)=6。
这就跟打游戏一样，每过一关都有新的挑战和惊喜！咱这么一步步分析下来，总能找到那个正确的答案。
再来看个例子啊，3x-5-x+2=1。
哇，是不是感觉有点复杂了？但别害怕呀！还是同样的方法，分情况去讨论，去揭开那一层层的“神秘面纱”。
求解多个绝对值方程其实也没那么难嘛，只要咱们有耐心，一点点去分析，就一定能找到解决的办法。
就好像爬山一样，虽然过程可能有点累，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值得啦！
所以啊，遇到多个绝对值方程不要慌，要像个勇敢的探险家一样，去大胆尝试，去找到那隐藏的答案！加油吧！。
解决含有绝对值的方程
解决含有绝对值的方程绝对值方程是一类常见的数学方程，它们的解集通常包括正数和负数。
在数学中，我们使用符号“|x|”来表示一个实数的绝对值。
绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知常数。
本文将介绍解决含有绝对值的方程的方法，并通过示例进行说明。
一、基本概念在解决含有绝对值的方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 正数和负数正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。
例如，2是一个正数，-3是一个负数。
1.2 绝对值一个实数x的绝对值表示为|x|，它表示x到原点的距离，无论x是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
例如，|2| = 2，|-3| = 3。
二、解决绝对值方程的方法2.1 消去绝对值要解决含有绝对值的方程，我们的第一步是消去绝对值符号。
“|x| = a”可以改写为“x = a”或“x = -a”，这取决于a的正负。
例如，若|2x| = 6，则可以改写为2x = 6或2x = -6。
2.2 画图法对于一些复杂的绝对值方程，我们可以使用画图法来找出解。
我们可以在数轴上标记出绝对值等于某个值的点，并观察图像与数轴的交点。
例如，对于方程|2x - 1| = 3，我们可以在数轴上标记出2x - 1 = 3和2x - 1 = -3两个方程的解，然后确定交点的坐标。
2.3 分情况讨论法如果绝对值方程不容易消去绝对值符号或无法使用画图法时，我们可以使用分情况讨论法来解决。
具体步骤如下：a) 若ax + b > 0，则方程变为ax + b = c，解为x = (c - b) / a。
b) 若ax + b < 0，则方程变为-(ax + b) = c，解为x = -(c + b) / a。
三、示例演示为了更好地理解解决绝对值方程的方法，我们来看几个具体的示例。
3.1 示例一方程：|2x - 3| = 5。
解：根据消去绝对值的方法，我们可以得到两个方程：2x - 3 = 5 和2x - 3 = -5。
含绝对值的多元一次方程组解法
含绝对值的多元一次方程组解法引言多元一次方程组是由多个一次方程组成的方程组，其解是一系列满足所有方程的变量值。
在解多元一次方程组时，有时候会遇到含有绝对值的方程组，这些方程组会增加解决的难度。
本文将介绍含绝对值的多元一次方程组的解法。
解法对于含绝对值的多元一次方程组，可以采用以下步骤进行求解：1. 将含绝对值的方程拆分为两种情况：当绝对值内部的表达式大于等于零的情况和小于零的情况。
2. 对于绝对值内部大于等于零的情况，直接去掉绝对值符号，得到一个普通的方程。
对于绝对值内部小于零的情况，需要将绝对值内部的表达式乘以-1，变为大于等于零的情况。
3. 对于每种情况，解相应的方程得到一组解。
4. 综合所有的解，即可得到含绝对值的多元一次方程组的解。
示例假设有以下含绝对值的多元一次方程组：x + |y - 2| = 1|2x - y| + z = 3我们可以按照上述的步骤，进行求解。
情况1：绝对值内部大于等于零将第一个方程去掉绝对值符号，得到方程：x + y - 2 = 1解这个方程，我们得到一组解：{x = 0, y = 3}。
将第二个方程去掉绝对值符号，得到方程：2x - y + z = 3解这个方程，我们得到一组解：{x = 1, y = -2, z = 4}。
情况2：绝对值内部小于零将第一个方程的绝对值内部的表达式乘以-1，得到方程：x - y + 2 = 1解这个方程，我们得到一组解：{x = -1, y = -1}。
将第二个方程的绝对值内部的表达式乘以-1，得到方程：-2x + y + z = 3解这个方程，我们得到一组解：{x = 0, y = -3, z = 7}。
综合所有的解，我们得到含绝对值的多元一次方程组的解为：{ {x = 0, y = 3}, {x = 1, y = -2, z = 4}, {x = -1, y = -1}, {x = 0, y = -3, z = 7} }结论通过拆分含绝对值的多元一次方程组为不同情况，并解相应的方程，可以得到方程组的解。
高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项
高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项绝对值方程是高中数学中常见的一类方程，解绝对值方程需要掌握一些常见的技巧和注意事项。
本文将通过具体的例题，介绍解绝对值方程的方法和要点，帮助高中学生和家长更好地理解和掌握这一知识点。
一、绝对值方程的基本形式绝对值方程的基本形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们以一道简单的例题来说明解这类方程的方法。
例题1：解方程|2x - 3| = 5。
解法：根据绝对值的定义，可以得到两个方程：2x - 3 = 5和2x - 3 = -5。
解这两个方程可以得到x的两个解：x = 4和x = -1。
二、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，需要注意以下几个方面：1. 分类讨论：绝对值方程的解可能有一个、两个或无解。
根据绝对值的非负性质，我们可以将绝对值方程分为两种情况进行讨论。
2. 消去绝对值：当绝对值方程中的绝对值表达式与一个常数相等时，可以通过消去绝对值的方式求解。
例如，|x - 2| = 3可以转化为两个方程：x - 2 = 3和x - 2 =-3，解得x = 5和x = -1。
3. 变号取反：在解绝对值方程时，需要注意当绝对值表达式的符号发生变化时，方程的解也会取反。
例如，|x - 2| = -3无解，因为绝对值的值不可能是负数。
4. 联立方程：当绝对值方程中存在多个绝对值表达式时，可以通过联立方程的方式求解。
例如，|x - 2| + |x + 3| = 5可以转化为两个方程：x - 2 + x + 3 = 5和x - 2 - (x + 3) = 5，解得x = 1和x = -3。
三、绝对值方程的解题技巧除了上述的基本方法和注意事项外，还有一些解绝对值方程的常见技巧，可以帮助我们更快地求解。
1. 借助图像：可以通过绘制绝对值函数的图像来辅助解题。
例如，对于方程|2x - 3| = 5，可以绘制y = |2x - 3|和y = 5的图像，通过图像的交点来确定方程的解。
含绝对值符号的方程问题
含绝对值符号的方程问题绝对值是初中数学中的一个基本概念，在初中数学竞赛中时常出现它的身影，本文仅对含绝对值符号的方程问题进行方法解析，供参考．1．用绝对值的非负性求解例1 （2013年全国初中数学联合竞赛）z+＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．已知实数x、y，z满足x＋y＝4，1解由x＋y＝4，得x＝4－y．z+＝xy＋2y－9，代入1z+＋（y－3）2＝0．变形得1故z＝－1，y＝3，进而x＝1，所以x＋2y＋3z＝4．2．用绝对值的意义求解由x＝a(a≥0)，得x＝±a．根据这一关系，往往可以解决只含有一个绝对值符号的问题．-＝1恰有3个不同的实数例2（2013年WMTC少年组个人赛）关于x的方程2x mx根，求m的值．-＝1，得x2－mx＝±1．解由2x mx对于方程x2－mx＝1．整理得x2－mx－1＝0，由于其△＝m2＋4>0，故方程x2－mx＝1－定有两个不同的实数根．又方程x2－mx＝1与方程x2－mx＝－1不会有相同的根，-＝1恰有3个不同的实数根，可知方程x2－mx＝－1有两个相等的所以根据2x mx实数根，从而，△＝m2－4＝0，解得m＝±2．x-－a＝0恰有两个正数解，则a的取例3 （2009年太原市初中数学竞赛）方程21值范围是( )(A)－1<a<0(B)－1 <a <1(C)0<a<1(D)12<a<1． 分析 原方程变形，得21x -＝a ．为使它有两个正数解，首先需a>0，然后再解方程得x ＝12a +，保证这两个解均为正数即可． 解 因方程21x -－a ＝0恰有两个正数解，所以0102102a a x a x ⎧⎪>⎪+⎪=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩解得0<a<1，选C ．3．用绝对值的性质2x ＝x 2求解例4（第25届希望杯初三第2试）若关于x 的方程x 2－(m ＋5)x ＋4＝m 恰有3个实数解，则实数m ＝______．解 原方程变形： 2x －(m ＋5)x ＋4－m ＝0．由于它恰有3个实数解，所以x 关于的一元二次方程2x －(m ＋5)＋4－m ＝0必然有一个根是0，一个根是正实数．将x ＝0代入，得m ＝4．经验证m ＝4符合题意．4．用分类讨论法求解分类讨论是去绝对值的一种有效方法，特别是对于含有多个绝对值符号的问题，常常需要使用分类讨论法求解．例5 （2008年太原市初中数学竞赛）方程32x x +-＝4的解的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解 由3x ＝0，x －2＝0，得零点x ＝0，x ＝2．于是分三种情况讨论：(1)当x ≥2时，方程为3x ＋x －2＝4，解得x ＝32（舍去）； (2)当0≤x<2时，方程为3x －x ＋2＝4，解得x ＝1； (3)当x<0时，方程为－3x －x ＋2＝4，解得x ＝－12． 所以方程32x x +-＝4共有两解，选C ．5．用绝对值的几何意义求解例6（2006年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛）如果关于x 的方程11x x ++-＝a 有实根，那么实数a 的取值范围为( )(A)a ≥0 (B)a>0(C)a ≥1 (D)a ≥2解 如图1，在数轴上画出实数－1、1分别对应的点A 、B ，设实数x 对应动点P ，根据绝对值的几何意义，则显然有11x x ++-＝PA ＋PB≥AB ＝()11--＝2，当动点P 在线段AB 上时等号成立．又因已知11x x ++-＝a 有实根，所以a ≥2，故选D ．6．用图象法求解例7（2007年太原市初中数学竞赛）方程()1x x -－k ＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围是( )(A)－14<k<0 (B)0<k<14(C)k>－14(D)k<14解原方程变形为x（x－1）＝k．建立函数y1＝x（x－1）＝22,0,0 x x xx x x⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩y2＝k．如图2，这两个函数的图象分别为C1、C2．函数y＝x2－x(x≥0)的顶点坐标为（12，－14）．由图象知，当－14<k<0时，直线C2与曲线C1相交，有三个不同的交点，所以k的取值范围是－14<k<0，选A．。
分类讨论法解绝对值方程
汇报人：
绝对值方程的分类 绝对值方程的解法 绝对值方程的应用 绝对值方程的注意事项
绝对值方程的分类类
按照绝对值符号的位置进 行分类
按照绝对值符号内的表达 式进行分类
按照绝对值符号的解集进 行分类
绝对值方程的分类方法
根据绝对值符号的数量进行分类 根据绝对值符号的位置进行分类 根据绝对值符号内的表达式进行分类 根据绝对值符号的性质进行分类
绝对值方程的应用
绝对值方程在数学中的应用
绝对值方程在解线性方程中的应用 绝对值方程在解二次方程中的应用 绝对值方程在解三次方程中的应用
绝对值方程在解四次方程中的应用 绝对值方程在解五次方程中的应用 绝对值方程在解六次方程中的应用
绝对值方程在实际问题中的应用
物理问题：如距离、速度、加速度 等
工程问题：如长度、宽度、高度等
绝对值方程的解法
一次绝对值方程的解法
定义：方程中含有绝对值符号的方程 解法：分两种情况讨论，一种是绝对值符号内为正，另一种是绝对值符号内为负 举例：例如|x-1|=2，当x-1>=0时，解得x>=1，当x-1<0时，解得x<1 注意事项：在解绝对值方程时，要注意符号的变化，避免漏解或错解
二次绝对值方程的解法
混淆绝对值符号和负号，导致解方 程错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
未考虑绝对值符号内的正负情况， 导致解方程不全面
未考虑绝对值符号内的变量取值范 围，导致解方程错误
THANK YOU
汇报人：
• 例题分析：通过例题讲解二次绝对值方程的解法 • 注意事项：在求解过程中需要注意绝对值符号的变换和合并解的合理性
高次绝对值方程的解法
含绝对值的解与不等式求解
含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。
本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。
一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。
下面将介绍两种常用解法。
1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。
考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数。
同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。
解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。
二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。
2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。
解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。
由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。
再谈含有多个绝对值符号的问题 (1)
9. 再谈含有多个绝对值符号的问题拙文《如何解含有多个绝对值符号的方程》（《湖南数学通讯》1986年第4期）解决了求方程：1||0n i i i a x b cx d =-++=∑的根的问题，本文想就与1()||n i ii f x a x b cx d ==-++∑ 12(1,,)n n b b b ><<⋅⋅⋅<以下同有关的图象、最值、不等式诸问题再谈点看法.一、 作图象——从全局出发1()||ni i i f x a x b cx d ==-++∑无论用什么方法把绝对值符号脱掉得到的函数都是关于x 的线性函数，它的图象无非是射线或折线.当1(,]x b ∈-∞时，11()()()n ni i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑ （1），其时图象是一条射线；当[,)n x b ∈+∞时，11()()()n ni i i i i f x a c x a b d ===+--∑∑ （2），它的图象也是一条射线；当1[,]n x b b ∈时，1()||n i i i f x a x b cx d ==-++∑的图象是连续的折线. 那么，从整体上看，1()||ni i i f x a x b cx d ==-++∑在x R ∈的图象是连续的折线，所有的点(,())i i b f b 都是折点.作1()||n i ii f x a x b cx d ==-++∑的图象只需求出函数值()i f b (1,2,,)i n =⋅⋅⋅和0()f b 01()b b <及1()n f b +1()n n b b +>，作出点(,())i i b f b (0,1,2,,,1)i n n =⋅⋅⋅+. 然后相邻两点连接（注意两端的图象是射线），就是所求的图象. 并不需要分段求出函数表达式.例1 求作()|1||2||3||4||5|f x x x x x x =---+---+-的图象.这是由[苏]C 、E 里亚平等著盛世雄译《初等代数习题集》p119的例题，原解法采用求 出每一个区间内各段折线方程的方法作图，现解如下：解 先计算(0)3,(1)2,(2)3,(3)2,(4)3,(5)2,(6)3f f f f f f f =======.把A （0，3）、B （1，2）、C （2，3）、D （3，2）、E （4，3）、F （5，2）、G （6，3）依次连接（AB 是以B 为端点的射线，FG 是以F 为端点的射线），即为所求.二、 求最值——抓特征性质由1()||ni i i f x a x b cx d ==-++∑在x R ∈的图象是连续的折线知()f x 有以下性质：1. 若1()()i i f b f b c +==，则在1[,]i i b b +上有()f x c ≡.2. 由于每条线段或射线对应的函数在相应区间上是单调的，故最值必能在某些折点达到.3. 由（1）、（2）两式可知，11n i i I a c ==-∑和21n ii I a c ==+∑的值决定了()f x 在区间1(,]b -∞和[,)n b +∞上的增减性，故若120I I <，则()f x 无最值.若120I I ≥，当1200I I ≥≥、且最多有一个等于0时()f x 只有最小值；当10I ≤、 20I ≤且最多有一个等于0时()f x 只有最大值；当120I I ==时()f x 既有最小值又有最大值.因此，若有最大值，其最大值必为{()|1,2,,}i f b i n =⋅⋅⋅中的最大者；若有最小值，其最小值必为{()|1,2,,}i f b i n =⋅⋅⋅中的最小者.例2 求()|1|2||5|1|67f x x x x x =+++-+-的最值.解 1125620I =++-=>，21256140I =+++=>，故()f x 只有最小值. (1)1,(0)1,(1)3f f f -=-=-=，故()f x 的最小值为1(10)x --≤≤.例3 求()2|2|3|1|6|||1|21f x x x x x x =+-+-+--+的最值.解 12361(2)40I =--+--=-<，22361(2)80I =--++-=-<，故()f x 只 有最大值.(2)7,(1)1,(0)3,(1)7f f f f -=--===-，故()f x 的最大值为(0)3f =例4 求()|3|4||2|1|75f x x x x x =+++---的值域.解 1142(7)0I =++-->，2142(7)0I =++--=，故()f x 只有最小值. (3)36,(0)0,(1)4f f f -===-，故()f x 的最小值为(1)4(1)f x =-≥，从而可知 ()f x 的值域为[4,)-+∞.例5 求()2|2|3|||1|4|2|7f x x x x x =++----+的最值.解 1223140I I ==+--=，()f x 既有最大值又有最小值.(2)10,(0)2,(1)12,(2)20f f f f -=-===，故()f x 的最大值为20(2)x ≥，最小值 为10(2)x -≤-.例6 求()|1|5||2|1|9|4|68f x x x x x x =+---+-+-的最值.解 11529630I =--+-=-<，21529690I =--++=>，故()f x 没有最值.三、 不等式——最值、方程当助手关于不等式1||0n i i i a x b cx d =>-++<∑可令1()||n i i i f x a x b cx d ==-++∑，由1I 和2I 及 ()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅结合方程求解.例7 解不等式 |24||36|4|52|8x x x x -+++--≤. （《中学数学研究》1985年 第7期p11~14）解 令2()3|2|5||2|2|485f x x x x x =+--+-+-，1352440I =-+-=-<， 2352440I =-++=>，2(2)20,()4,(2)45f f f -=-==. 由1I 知，当2x ≤-时，()200f x ≤-<.由2I 知，()0f x ≤的解集是0(,]x -∞，其中0x 满足0225x -<<且0()0f x =，0x =2(2)25454(20)---⨯--（参见《湖南数学通讯》1986年第4期p36），00x =. 故()0f x ≤的解集为(,0]-∞.例8 解不等式|43||52||78|450x x x x ++--++->. （《数学教师》1987年第4 期p15）解 令()|78||43||52|45f x x x x x =-++++-+-，1745420I =-++-=-<，2745460I =-+++=>，823248(),()5,()77455f f f -=--=-=- 由1I 知，当25x ≤时，()0f x <. 由2I 知，()0f x >的解集为0(,)x +∞，其中0x 满足025x >且0()0f x =. 但当25x >时()612f x x =-，故02x =.所以()0f x >的解集为2x >.例9 求|3||4||2|x x x -≤-+-的解集.（上海师大数学系《中学数学教学》1984年 第4期p39）解 令()|2||3||4|f x x x x =---+-，1211110I I ==-+=>，()f x 只有最小值.(2)1,(3)2,(4)1f f f ===.所以当x R ∈时()10f x ≥>，故原不等式的解集为R.本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1988年第1期p20~21，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.。
含一个或多个绝对值符号的函数、方程、不等式问题的解法
含一个或多个绝对值符号的函数、方程、不等式问题的解法
一、思考过程
对于含一个或多个绝对值符号的函数、方程、不等式问题处理，就是想法去掉绝对值的符号，将问题转化为非含绝对值符号的问题来解决。
本文主要研究此类问题在实数集内的情况，此类问题，主要考虑用绝对值的定义法或平方（不等式的两端必须非负才能平方）去掉绝对值符号，而有时对含绝对值的函数来讲，除了上述方法外，要结合函数有关性质求解，对此类问题中含有变量的题目，应通过上述方法转化为不含绝对值项的问题，再分类讨论。
二、基本方法
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三、步骤格式
第一步:一般从绝对值定义法入手去掉绝对值符号第二步:按不含绝对值的问题求解
第三步:根据题意写出正确答案
四、典型例题
五、注意事项
1.a≠0，c＞0，小于取中间，大于取两边，前者为“且”，后者为“或”.
2.分段讨论在各段所表示的集合中，它们的交集为空集.
3.弄清题目的解集是交集还是并集
六、练习。
几种类型的一元一次方程的解法
几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。
中考数学解题技巧如何解决含有绝对值的方程题
中考数学解题技巧如何解决含有绝对值的方程题绝对值方程题在中考数学中是一类常见且重要的题型，解答这类题目需要一定的技巧和逻辑思维能力。
通过掌握一些解题技巧，能够更加高效地解决含有绝对值的方程题。
本文将从三个方面介绍解决这类题目的技巧，即绝对值的定义、绝对值方程的解法和实际应用。
一、绝对值的定义在解决含有绝对值的方程题之前，首先需要清楚绝对值的定义。
对于任意实数x，绝对值|x|定义为：①当x≥0时，|x|=x；②当x<0时，|x|=-x。
根据绝对值的定义，我们可以知道绝对值永远取非负值，即|a|≥0。
这个性质在解决绝对值方程时会用到。
绝对值方程的解法绝对值方程的解法主要有两种情况：一种是只含有一个绝对值的方程，另一种是含有两个绝对值的方程。
1. 含有一个绝对值的方程当方程中只有一个绝对值时，有两个可能情况：一是绝对值内的表达式为非负数，二是绝对值内的表达式为负数。
(1) 绝对值内的表达式为非负数对于形如|a|=b的方程，其中a为实数，b为非负数，解可以分为两种情况：①当a≥0时，方程变为a=b，直接得到解a=b；②当a<0时，方程变为-a=b，解可以化简为a=-b。
(2) 绝对值内的表达式为负数对于形如|a|=b的方程，其中a为实数，b为负数，解为无解。
因为绝对值|a|永远取非负值，所以当等式右边为负数时，无法找到满足等式的实数解。
2. 含有两个绝对值的方程当方程中含有两个绝对值时，需要分情况讨论。
考虑形如|a|+|b|=c 的方程，其中a、b为实数，c为非负数。
(1) 当a≥0，b≥0时，方程变为a+b=c，直接得到解a+b=c。
(2) 当a<0，b≥0时，方程变为-b+a=c，解可以化简为a=b+c。
(3) 当a≥0，b<0时，方程变为a-b=c，解可以化简为a=b+c。
(4) 当a<0，b<0时，方程变为-b-a=c，解可以化简为a=-b-c。
通过以上的解法，我们可以更加灵活地解决中考数学中的绝对值方程题，并求得相应的解。
9 含绝对值符号的一次方程
9含绝对值符号的一次方程y阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程.解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1.形如Iax+bI=C(C20)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax+b=c或ax+b=C2.含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.。
仲I超与求解例1方程IX—5I+2X=—5的解是.(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解.例2适当I2a+7I+I2a-1I=8的整数a的值的个数有().(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解.例3己知关于X的方程IXI=ax+1同时有一个正根和一个负根，求整数a的值.(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把X用a的代数式表示，首先确定a的取值范围.例4解下列方程：(1)∣χ-∣3x+1II=4；(天津市竞赛题) (2)Ix÷31—Iχ-1I=x÷1(北京市“迎春杯”竞赛题) (31X—11÷IX-51=4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段.例5讨论关于X的方程|x-2+|x—5=a的解的情况.(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，□与方程中常数2,5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况.因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具.能力训练A级1.若x=9是方程|』x一2|二a的解，则a=；又若当a=1时，则方程」x-2Ua3 3的解是.2.方程|』丫+2|一|2丫一3|的解是_______ ,方程3(∣x∣—1)=®+1的解是__________ .3 5 53.己知∣3990x+1995∣=1995,那么X=(北京市“迎春杯”竞赛题)4.己知∣x=x+2,那么19x"+3x+27的值为.(“希望杯”邀请赛试题)5.方程I∣∣x∣-2∣—1|=2的解是.6.满足(a—b)2+(b-a)∣a-b=ab(ab≠O)的有理数a和b,一定不满足的关系是()(A)ab<O(B)ab>O (C)a+b>O(D)a+b<O7.有理数a、b满足∣a+b∣<a-b∣,贝∣J().(A)a+b6>O(B)a+b<O (C)ab<O(D)ab>O8.若关于X的方程：2x—3∣+m=0无解，3x—4∣+n=0只有一个解，∣4χ-5；+k=0有两个解，则m、n、k的大小关系是().(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9.方程∣χ-5∣+x—5=0的解的个数为( ).(A)不确定(B)无数个(C)2个(D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)10.若关于X的方程||x一2|一1|=a有三个整数解，则a的值是().(A)O (B)2 (C)I(D)3(全国初中数学联赛试题)11.解下列方程：(1)4-2∣-x+1∣=3;2(2)∣-χ-1∣=χ-3;2(3)IX—2x÷11∣=∣x÷1∣;(五城市联赛题)(4)∣2χ-11÷∣χ-2∣=∣x+1(全国通讯赛试题)12.求关于X的方程I|x-2|—1∣-a=0(0<口<1)的所有解的和.(陕西省竞赛题)B级1.关于X的方程Ia1X=Ia+11—x的解是x=0,则a的值是；关于X的方程Ia1X=Ia+I1-X的解是X=I,则有理数a的取值范围是.2.若(Xx<10,则满足条件Ix—31的整数a的值共有——个，它们的和是(第十届“希望杯”邀请赛试题)3.若a>0,b<0,则使IX—a∣+Ix—b|=a—b成立的X的取值范围是.(武汉市选拔赛试题)\a\-\4.已知Ia+a=0且aW—1,那么段-∣=___________ .∣α+1∣5.若有理数X满足方程"一χ∣=1+∣x,那么化简Ix-I的结果是().(A)I(B)x(C)X—1(D)I—X6.适合关系式3χ-4∣+∣3x+2∣=6的整数X的值有()个.(A)O(B)I(C)2 (D)大于2的自然数7.当a>0,且∣χ-2∣+∣χ-5∣〈以时，则以下结论正确的是( ).(A)0.001<a<3 (B)0<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38.己知方程IXuaX+1有一个负根，而没有正根，那么a的取值范围是().(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>-1 (C)a≥1 (D)a<19.设a、b为有理解，且∣a∣>0,方程b∣=3有三个不相等的解，求b的值.(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10.当a满足什么条件时，关于X的方程|x-2|一∣χ-5∣=a有一解?有无数多解?无解？(江苏省竞赛题)。
绝对值方程式解题方法(一)
绝对值方程式解题方法(一)绝对值方程式解题方法方法一：分情况讨论当我们遇到绝对值方程式时，一种常见的解题方法是通过分情况讨论来求解。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.对于每个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。
3.求解每个普通方程式，得到两组解。
4.将两组解合并，即得到原绝对值方程式的解集。
这种方法适用于绝对值方程式的解集较为复杂的情况，可以有效地将问题简化，使得解题过程更加清晰。
方法二：代入法另一种常用的解绝对值方程式的方法是代入法。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.对于任意一个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。
3.对于每个普通方程式，选择一个代入值，将其代入方程式中。
4.求解代入后的方程式，得到一个解。
5.重复上述步骤，直到得到所有解。
这种方法相对于分情况讨论来说，更加直观和灵活，适用于简单的绝对值方程式求解。
方法三：图像法对于一元绝对值方程式，我们可以使用函数图像来求解。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.对于每个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。
3.将普通方程式化简为函数的图像表达式。
4.根据函数图像，确定方程式的解集。
这种方法尤其适用于具有图像化特征的方程式，通过观察图像可以直观地得到解集。
方法四：绝对值性质法有些特殊的绝对值方程式可以利用绝对值的性质来进行求解。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.利用绝对值的性质进行化简，消去绝对值符号。
3.求解化简后的方程式，得到解集。
这种方法适用于一些特定形式的绝对值方程式，可以减少计算量，提高求解效率。
方法五：不等式法绝对值方程式与不等式之间存在密切的关系，因此我们也可以通过不等式的方法来求解绝对值方程式。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
如何解含有多个绝对值符号的方程
5.如何解含有多个绝对值符号的方程题目 解方程|1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ 〔*〕这是?你能解吗？——献给数学爱好者?一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法.设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b ==-++><<⋅⋅⋅<∑以下同，那么，当1x b ≤时， 11()()()n ni i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑，它的图象是一条射线；当n x b ≥时，1()(n i i f x a ==∑ 1)()n i i i c x a b d =+--∑，它的图象也是一条射线；当1n b x b <<时，()f x 的图象是折线. 所以，我们只要根据()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅的值和()f x 在1x b ≤和n x b ≥时的情况就可以确定出()f x = 0的根.假设1()()0,i i f b f b +==那么1i i b x b +≤≤都是()f x = 0的根；假设1()0,()0i i f b f b +≠=或者1()0,()0i i f b f b +=≠，那么在1i i b x b +≤≤中只有一个根；假设1()()0i i f b f b +⋅>，那么在1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；假设1()()0i i f b f b +⋅<，那么在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()()i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.〞例1 见题〔*〕解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，那么(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-=可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡.故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数.例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是:(A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多.(上海市1984年初中数学竞赛题)解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 那么1(1)6,()0,(2)0.2f f f -=== 那么不管1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (?初等代数难点释疑?一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，那么(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =.故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数.例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=.〔华东师大?数学教学?1984年第5期p9〕解 设()|2||3|2|4|9f x x x x =-+-+--，那么(2)4,(3)6,(4) 6.f f f =-=-=- 可见在24x ≤≤中()f x = 0无根. 当2x <时，()44f x x =-，令440x -=，得x = 1；当4x >时，()422f x x =-，令4220x -=得112x =. 故x = 1和112x =是原方程的根. 例5 求2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域. 〔湖北大学?中学数学?1986年高考数学复习资料专辑p91〕解 先求方程|||1||21|0x x x +---=的根. 设1()|||1|2||2f x x x x =+---，那么1(0)0,()1,(1)02f f f ===. 当0x <时()0f x ≡；当1x >时()0f x ≡；当01x <<时()0f x >.故知0x ≤和1x ≥都是()f x = 0的根. 从而可知2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域为开区间〔0，1〕. 例6 解方程|1||2||3|x x x x -+-+-=〔北京师大?数学通报?1980年第10期p3 例7，?高中数学教学八十讲?一书p161的第4题〕.解 设()|1||2||3|f x x x x x =-+-+--，那么(1)2,(2)0,(3)0.f f f ===当1x <时，()642f x x =->，这时()0f x =无根. 当3x >时，()260f x x =->，()0f x =也无根.故原方程的解是23x ≤≤的所有实数.例7 解方程6|2|7|1|3|1|4|2|15x x x x +-+--+-=.解 设()6|2|7|1|3|1|4|2|15f x x x x x =+-+--+--，那么(2)15,f -=-(1)f -3,(1)7,(2)15f f =-=-=-.当2x <-时，()15f x ≡-；当2x >时，()15f x ≡-. 故原方程没有根.例8 解方程|2||1|3||4|1|5|2|8|3|10x x x x x x ++++--+---+=.解 设()|2||1|3||4|1|5|2|8|3|1f x x x x x x x =++++--+---+，那么(2)f -=24,(1)20,(0)14,(1)2,(2)2,(3)16f f f f f --=-=-=-==. 可见在12x <<中方程()f x = 0有一根21222(2)x -=-⨯--即32x =. 当2x <-时，()22024f x x =-<-，()f x =0无根；当3x >时， ()22216f x x =-<，令2220x -=得11x =.故原方程的解为11x =和32x =. 本文发表于湖南省数学学会主办的?湖南数学通讯?1986年第4期p36~37，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯〔笔名〕.。
绝对值方程（组）的几种解法
绝对值方程（组）的几种解法带有绝对值的方程（组），一般都是通过划分区间，去掉绝对值，分段讨论求解.但对于一些特殊的绝对值方程（组），采取特殊方法，就可以避免一般方法的复杂运算.本文介绍的几种特殊解法，供读者参考.一、利用绝对值定义在解题时，利用|a |≥0,把方程（组）变形，简化，然后求其解.例1 解方程组：⎩⎨⎧-=+=-++(2)42|1|(1) 3|2||1|y x y x 解：由（2），|1|+x ≥0，⎩⎨⎧=--+=-++∴-=-∴≥≥-∴(4).0)2(2|1|(3) 3)2(|1|:.2|2|.2,042y x y x y y y y 原方程变形为（3）×2＋（4）得：|x +1|=2.解得：.3,121-==x x代入（3）得：y =3. ∴方程组的解为：⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.3,3 ,3,12211y x y x 二、利用不等式性质将方程适当变形，利用不等式公式中等号成立的条件，求方程（组）的解.例2 解方程：.|4||2||6|4224-=-+--x x x x解：由绝对值不等式知，若a 、b 为实数，则|a +b |≤|a |+|b|, (1)由于|,4||)2()6(||2||6|4224224-=++--≥++--x x x x x x λ因为（1）式中等号成立的充要条件是a ·b ≥0，所以,0)2)(6(224≥+--x x x:,3,0)3()2(2222解得≥∴≥-+x x x.33-≤≥x x 或 三、利用复数模长公式适当引入复变量代换，把实数问题转化为复数问题，然后利用复数模长公式的特性，求得方程（组）的解.例3 解方程22|2042644|222+-=++-++x x x x x x将原方程变形得：(2).22|204244|(1)|,|||||||.221)1(||,4)2(||,5)12(||,4)2(,5)12(.224)2(5)12(|2222121222212222212122222+-≤++-++∴-≤-+-=+-=-++=++=++=++=+-=++-++x x x x b x x z z z z x x x z z x z x z i x z i x z x x x x 又则设 由于（1）式当且仅当z 1、z 2共线且方向相同时等号成立.若（2）式等号成立，有：,42512x x +=+解得x =2. ∴方程的解为x =2.四、利用|a |2=a 2(a ∈R )在解方程（组）时，注意到a ∈R 时，有|a |2=a 2,可以去掉绝对值，把方程（组）简化.例4 解方程：321=--x x 解：由根式定义知：0≤x ≤1 设],2,0[,sin 2πθθ∈=x 则原方程化为：32|cos sin |=-θθ 上式两边平方得：,972sin ,922sin 1==-θθ .18249,.18249,1824922cos 1sin ,2942cos 2是原方程的解经检验即±=±=±=-=∴±=∴x x θθθ 五、利用函数性质把方程和函数联系在一起，利用函数的性质，可以直接求解.例5 解方程组：⎩⎨⎧=+=+(2) .10||2||5(1) ,6||2||y x y x 解：分别以－x 、－y 及同时以－x 、－y 作代换（1）、（2）均不变，知它们的图象关于x 轴、y 轴和原点对称.因此，设x ≥0,y ≥0得：⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+.25,1:.1025,62y x y x y x 解得 依x 轴、y 轴及原点对称，可得另三组解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==.25,1 ;25,1 ;25,1y x y x y x。
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5.如何解含有多个绝对值符号的方程
题目 解方程
|1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*）
这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法.
设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b ==
-++><<⋅⋅⋅<∑以下同，那么，当1x b ≤时， 11()()()n n i i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑，它的图象是一条射线；当n x b ≥时，1
()(n i i f x a ==∑ 1)()n i i i c x a b d =+--∑，它的图象也是一条射线；当1n b x b <<时，()f x 的图象是折线. 所
以，我们只要根据()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅的值和()f x 在1x b ≤和n x b ≥时的情况就可以确定出()f x = 0的根.
若1()()0,i i f b f b +==则1i i b x b +≤≤都是()f x = 0的根；若1()0,()0i i f b f b +≠=或者1()0,()0i i f b f b +=≠，则在1i i b x b +≤≤中只有一个根；若1()()0i i f b f b +⋅>，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +⋅<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()()
i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.”
例1 见题（*）
解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-=
可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡.
故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数.
例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是:
(A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多.
(上海市1984年初中数学竞赛题)
解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2
f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1
(1)6,()0,(2)0.2
f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122
x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =.
故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数.
例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=.
（华东师大《数学教学》1984年第5期p9）
解 设()|2||3|2|4|9f x x x x =-+-+--，则(2)4,(3)6,(4) 6.f f f =-=-=-
可见在24x ≤≤中()f x = 0无根. 当2x <时，()44f x x =-，令440x -=，得x =
1；当4x >时，()422f x x =-，令4220x -=得112
x =. 故x = 1和112
x =
是原方程的根. 例5 求2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域. （湖北大学《中学数学》1986年高考数学复习资料专辑p91）
解 先求方程|||1||21|0x x x +---=的根. 设1()|||1|2||2f x x x x =+---，则1(0)0,()1,(1)02
f f f ===. 当0x <时()0f x ≡；当1x >时()0f x ≡；当01x <<时()0f x >.
故知0x ≤和1x ≥都是()f x = 0的根. 从而可知2()|||1||21|
F x x x x =+---的定义域为开区间（0，1）. 例6 解方程|1||2||3|x x x x -+-+-=（北京师大《数学通报》1980年第10期p3 例7，《高中数学教学八十讲》一书p161的第4题）.
解 设()|1||2||3|f x x x x x =-+-+--，则(1)2,(2)0,(3)0.f f f ===
当1x <时，()642f x x =->，这时()0f x =无根. 当3x >时，()260f x x =->，()0f x =也无根.
故原方程的解是23x ≤≤的所有实数.
例7 解方程6|2|7|1|3|1|4|2|15x x x x +-+--+-=.
解 设()6|2|7|1|3|1|4|2|15f x x x x x =+-+--+--，则(2)15,f -
=-(1)f -
3,(1)7,(2)15f f =-=-=-.
当2x <-时，()15f x ≡-；当2x >时，()15f x ≡-.
故原方程没有根.
例8 解方程|2||1|3||4|1|5|2|8|3|10x x x x x x ++++--+---+=. 解 设()|2||1|3||4|1|5|2|8|3|1f x x x x x x x =++++--+---+，则(2)f -= 24,(1)20,(0)14,(1)2,(2)2,(3)16f f f f f --=-=-=-==. 可见在12x <<中方程
()f x = 0有一根21222(2)
x -=-⨯--即32x =. 当2x <-时，()22024f x x =-<-，()f x =0无根；当3x >时， ()22216f x x =-<，令2220x -=得11x =.
故原方程的解为11x =和32
x =. 本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1986年第4期p36~37，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.。