二次根式优秀课件
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二次根式(优质课课件)
B组： 1、a 为正整数时，
2、判断 3、已知： y 思考：（
a
5a
为整数，则 a 的值为___。
式子是否为二次根式
x 1
a
+
1 x
，求y的值。
）2与
a
2
相同吗？为什么？
板书设计
题目：二次根式
（一）二次根式定义：
（二）二次根式性质：
例1，
例2，
例4
例5
性质1：
性质2： 例3 作业：（略）练习
2
7
)2 （3） ( -4 )2 )2 23
（4） ( 11 )
（5） (
（采用练习1相同的游戏形式进行练习）
三、性质公式( a )2 =a（a 0）逆用可以得到： a=( a )2 （a 0） 利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的形式。
例如：3= （
3
)2 ，b= （
（一）复习提问 以旧引新
回忆平方根定义，思考下列问题： 1、如果x2=3，那么x=_______ 3 把 3 代入式子x2=3，又可得到什么式子呢？
学生回答：（ 3 ）2=3
（回忆探讨上面的练习，做一做） 如果x2=11，x2=0，x2=a呢？
想一想：
从上面我们得到的结论，你能知道 （
3 5
（2）
1
x
解：（1）要使 x 3 在实数范围内有意义 则x-3 0 解得x 3 ∴当x 3时， x 3 在实数范围内有意义
1
（2）
1
x
1
解：要使 则
1
x
在实数范围内有意义 ≠0
1-
x
x≥0 解得x≥0且x≠1
二次根式省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件
1 3
.
(2)(3 7 )2 63 .
第25页
巩固练习 计算：
2
8 =8
2
3 =3
2 3 2 =12
3
2 3
2
=6
1.52 =1.5
- 0.82 =0.8
第26页
巩固练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
第27页
巩固练习
3.若 x 3 y 5 0
求x、y值。
第28页
课堂小结
• 二次根式定义：
a (a 0)
• 二次根式性质: (1) a 0(a 0)
(2)( a )2 a(a 0)
（3） a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第29页
板书设计
15.1 二次根式（1） 1.二次根式概念：
在实数范围内,负数没有平方根
第11页
a 1
1. 被开方式是什么？ 2.被开方式必须满足什么条件,此二次 根式才有意义？
第12页
求以下二次根式中字母取值范围：
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母取值范围基本依据：
①被开方数大于零； ②分母中有字母时，要确保分母不为零。
第13页
合作探究：
1.都带二次根号
10，m，10 m
s ，s a
2.被开方数没有负数.
把形如 a a 0式子叫做二次根式
第10页
说一说:
以下各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
二次根式ppt
运算规则
总结词
掌握二次根式的运算规则是学习二次根式 的核心。
详细描述
二次根式的运算包括加减乘除以及化简求 值等，需要遵循二次根式的运算法则和运 算顺序，同时要掌握常见二次根式的值和 化简技巧。
实际应用
总结词
了解二次根式在实际生活中的应用有助于学 习二次根式。
详细描述
二次根式在现实生活中有着广泛的应用，如 求物体的高度、计算平均数等，通过这些实 例可以更好地理解二次根式的意义和作用。
性质
非负性
$\sqrt{a}≥0(a≥0)$
唯一性
当a>0时，$\sqrt{a}$有两个值；当a=0时，$\sqrt{a}$有一个值；当a<0时 ，$\sqrt{a}$无意义。
02
加减运算
定义
概念
二次根式的加减运算是指将同类二次根式进行合并、抵消或说成是合并同类项。
公式
$\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ = $\sqrt{a \pm b}$ （a≥0，b≥0）
解决实际问题
在解决某些实际问题时， 可以通过二次根式的加减 运算来得到最终的解决方 案或结果。
03
代数应用
根式定义
根式
如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫 做a的n次方根(或a的n次方根记作√a)，其中a叫做被开方数， n叫做根指数。
二次根式
如果一个非负数a的平方等于b，那么a是b的二次方根(或说b 的二次方根是a)，记作√b，其中a叫做被开方数，叫做二次方 根。
二次根式ppt
2023-11-01
contents
目录
• 定义与性质 • 加减运算 • 代数应用 • 平方根变换 • 二次根式的起源与发展 • 二次根式的挑战与困难
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
《二次根式》PPT课件
二次根式的双重非负性
a 0, a 0.
二次根式的性质
2 a a(a 0) a2 =∣a∣=
a (a>0) 0 (a=0) -a (a＜0)
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
有意1 义,那A(a,
) a
a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0
∴点A(－,＋)
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 2 12 2 1 3
实数p在数轴上的位置如下图，化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4x2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
∴ 4x2 3 （2x）2 （ 3）2
(2x 3)(2x 3)
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例 求以下二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
说一说: 以下各式是二次根式吗?
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a -1
(7) a2 2a 3 (8) x2 1
(9) 4
2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 x取何值时,以下根式有意义?
所以，当x取任何实数时，1 x2有意义
a 0, a 0.
二次根式的性质
2 a a(a 0) a2 =∣a∣=
a (a>0) 0 (a=0) -a (a＜0)
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
有意1 义,那A(a,
) a
a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0
∴点A(－,＋)
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 2 12 2 1 3
实数p在数轴上的位置如下图，化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4x2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
∴ 4x2 3 （2x）2 （ 3）2
(2x 3)(2x 3)
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例 求以下二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
说一说: 以下各式是二次根式吗?
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a -1
(7) a2 2a 3 (8) x2 1
(9) 4
2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 x取何值时,以下根式有意义?
所以，当x取任何实数时，1 x2有意义
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式PPT课件
;
;()
; ()
教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断
除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=
( ≥ , > )
注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:
() × ; () × ; ()
探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.
中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子
−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（
;()
; ()
教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断
除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=
( ≥ , > )
注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:
() × ; () × ; ()
探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.
中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子
−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
二次根式课件
1、a≥0为限制条件
2、二次根式指的是某种式子的“外在形 态” 3、被开方数既可为一个数，也可为一个式子
1、 2是二次根式吗？ 2）呢？ （
2
2、由二次根式的意义，我们知 16为 二次根式，而 16 4，你认为4是二次 根式吗？
例
题
当x是怎样的实数时，下面式子在实 数范围内有意义？
（ ） x 3，（2） 5 x 1
当a为任意实数时，下列各式中哪些 为二次根式？
(1) a 10 , (2) a 2 , (3) a , (4) a 2 1 (5) (a 1) 2
二次根式的性质
a (a 0)
a 0时，a ___ 0; > a 0时，a ___ 0. =
a 0， 0) (a
（即 a表示一个非负数）
二次根式的性质
计算下列各式的值:
⑴
4 ⑵
2
81 ⑶
2
1 9
1 9
2
4
2
2
81
2
据计算出的结果,观察思考:你有什 么发现?并猜想 2
从中你能发现什么规律?
?, 2 ? 3
a
a a 0
计算
3 2 2 ,⑵ 2 3 ,⑶ a (a 0) ⑴ 5
解:1由x 3 0，得：x 3
当x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
2由5 x 0，得：x 5
当x 5时，式子 5 x在实数范围内有意义。
a为怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
(1) a , (2) a 5 , (3) a 3
三年制人教版代数第二册
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).