《比例线段：黄金分割》
24.2（2）比例线段（黄金分割）
标题:24.2比例线段（2）关键词:比例中项、黄金分割描述:教学目标1.会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2.在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3.会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法.教学重点及难点黄金分割的意义.熟练并灵活运用黄金分割的意义解题.学科:初中九年级>数学第一学期>24.2（2）语种:汉语媒体格式:教学设计.doc课件.ppt学习者:学生资源类型:文本类、课件类素材教育类型:初中教育>初中九年级作者:方忠平单位:上海市风华初级中学地址:共和新路2800号（200072）Email:********************24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平41教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法.教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、 情景引入1．观察（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2） 展示四个国家的国旗.中华人民共和国朝鲜新西兰新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做. 3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算和的值，你发现了什么？AB AC ACBC [说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了＝，即部AB AC ACBC 分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1如图，线段AB 的长度是，点P 为线段AB 上的一点，l ，求线段AP 的长.ABAPAP PB如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB温组形，组部每作教育下简合的黄金分割点AP 与AB 的比值为，近似值为0.618，这个比值215 称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？（3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4） 你还发现了什么？[说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.）矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是BCABBE BC =黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，求证：.AOD BOC S S ∆∆=OACOOB DO =证略尝试：（1）作顶角为的等腰三角形ABC;036（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;（3）作的平分线，交AC 于点D ，量出的底边CD 的长度.B ∠BCD ∆最后，分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确ABC ∆BCD ∆到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形.它具有如下的o 36性质：（1）;618.0≈ABBC（2）设BD 是的底角的平分线，则也是黄金三角形，ABC ∆BCD ∆且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作的平分线，交BD 于点E ，则也是黄金三C ∠CDE ∆角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝，且AC ＞BC ，求555-线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。
初中数学比例线段黄金分割
例 6：若 ABC 三边 a : b : c 6 : 4 : 3 ，三边上的高分别为 h1、h2、h3 ，求 h1 : h2 : h3 的值。
自我检测
一、填空题
1.(1)若 5x-7y = 0,则 x =______. (2)已知 x y 3 , 那么 x =______.
y
y7
y
(3)若
x 2
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截 三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边的 同侧)所得的 对应线段成比例，那么 这条直
线平行于三角形的 第三边。 平行线分线段成比例定理 ： 两条直线被三条 平行的直线所截，截得的对应线段成 比例。 推论： 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
；
7. 若 x：y：z=2：7：5，且 x-2y+3z=6，则 x=
，y=
，z=
；
8.设x3 =y5 =z7 ，则x+yy =__
_，3yy+-32zz =__
__.
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则 x=_____,y=_____,α =______.
5 1200 4
300
6
1300
, MN=
PQ, PQ=
MN.
4．如图，C 是线段 AB 的中点，D 在 BC 上，且 AB=24cm，
BD=5cm, 则 AC∶CB=
；AC∶AB=
；A
C
DB
BC∶ BD=
；CD∶AB=
；AD∶CD=
比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
相似多边形相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形性质相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形性质定理5：若相似比为1，则全等相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的判定对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例，那么这两个多边形相似练习：1、若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（ ）2.若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :________3.若3:2:1::=c b a ，则c b a c b a +---的值为________ 4.已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2________ 5.若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是________6.如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 7.在Rt △ABC 中，斜边AB ＝205，409=BC AC ，试求AC ，BC 的值。
黄金分割线段比例公式
黄金分割线段比例公式
黄金分割线段比例公式是一种数学概念，被广泛应用于艺术、建筑和设计等领域。
它是指当一条线段被分成两部分时，较长部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这个比例近似为1.618。
黄金分割线段比例公式的应用广泛而深入人心。
在建筑设计中，许多建筑师使用黄金分割比例来确定建筑物各个部分的尺寸和比例，以达到更加和谐和美观的效果。
在艺术领域，黄金分割比例也被广泛运用于绘画、雕塑和摄影等艺术作品中，帮助艺术家创造出更加吸引人的作品。
除了艺术和建筑领域，黄金分割比例还在设计和排版等领域发挥着重要作用。
在平面设计中，设计师可以使用黄金分割比例来确定文字和图片的位置和大小，以达到更好的视觉效果。
在排版设计中，黄金分割比例也可以帮助设计师确定页面的布局和字体大小，使整个设计更加平衡和美观。
黄金分割线段比例公式的应用不仅局限于艺术和设计领域，还可以在生活中的许多方面找到它的影子。
例如，黄金分割比例也被应用于金融领域，用于分析股票和市场的走势。
此外，黄金分割比例还可以用于生物学研究中，帮助科学家研究生物体的形态和结构。
黄金分割线段比例公式是一种非常重要且有广泛应用的数学概念。
它在艺术、建筑、设计和其他领域中都发挥着重要作用，帮助人们创造出更加美丽和和谐的作品。
无论是在艺术创作中，还是在生活中的各个方面，黄金分割比例都是一个有趣而有用的概念，值得我们深入了解和应用。
比例线段和黄金分割
比例线段和黄金分割一．比例线段：[基本概念]比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
比例的基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/ b=c/d；如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。
比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。
2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
3.一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
4.d为第四比例项。
若a:b=c:d(b.d≠0)，则有1）ad=bc2）b:a=d:c （a.c≠0）3）a:c=b:d ; c:a=d:b4）(a+b):b=(c+d):d5）a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)二．黄金分割：介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。
另一侧则是3-5^/2。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
初二下第7讲-比例线段、黄金分割
第7讲：相似形（一）专题一 比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
求线段的比例时要把两条线段化为 （注两条线段的比没有单位），并要注意其 ；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若 ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。
2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么 。
若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的 （2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。
（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。
（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么 。
（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么 。
二、重难点高效突破线段的比与成比例线段 例1、 线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、 已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。
（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5； （２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求 （2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。
黄金分割及比例线段
（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。
④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．
5、美妙的黄金分割和黄金数
任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得 ，点C就叫做线段AB的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC，BC，如果 ，则点C是线段AB的黄金分割点，同样，若点D把线段AB分成AD，BD，如果 ，则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.
在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！
比例线段——“黄金分割教学设计
教学设计
图1 图2 图3 引言：通过欣赏上述三幅图片,大家会发现,不论是古今中外的宏大建筑,还是脍炙人口的艺术作品；不论是精美的生活物品,还是习以为常的动植物,它们都会使大家体验和谐之美.那么,若用数学的眼光观察,它们中间隐藏着怎样的数学规律呢.下面就借名画“迷人的蒙娜丽莎”来开始
则b就叫做a,c的比例
0.1m）
并通过测量、计算、推理发现了五角星和谐之美的
当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？（人体正常体温是36℃～37℃）
164cm,下身长为100cm,那么老师穿多高的高跟鞋看上去会更协调
吗？请与同学交流。
比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割【知识要点】 1．线段的比（（1） 定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数（2） 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离2．比例线段的概念定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成 比例线段，简称比例线段。
比例线段，简称比例线段。
注意：①四条线段注意：①四条线段d c b a ,,,成比例，记作d c b a ::=②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来3．比例的性质①比例的基本性质：d b bd ad d c b a ,(=Û=都不为0）②更比性质：ïïïîïïïíì===Þ=a bc d ac bd d bc ad c b a ③反比性质：cd a b d c b a =Þ= ④合比性质：ïïîïïíì-=-+=+Þ=d d c b b a d d c b b a d c b a ⑤ 等比性质：如果()0¹+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 4. 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC AC、、BC (AC BC (AC＞＞BC)BC)，若，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，黄金分割，C C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比÷÷øöççèæ»-618.0215。
比例线段与黄金分割经典习题
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a d c b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2 B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
比例线段3PPT课件
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2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604
6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179
2265263556 2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 5127000602
389016243 5308899909 5016803281 121943275 8633147985 7191139781 5397807476
1218156285 512224845 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889
9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 267575620
2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 524060275 3427775927 7862561943 2082750513
比例黄金分割平行线分线段成比例定理
比例黄金分割平行线分线段成比例定理集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]AB 21黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCAB AC =，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．AC 与AB 的比叫做黄金比．黄金比黄金比值的求法：因为AC BC AB AC =，且BC ＝AB －AC ，所以AC ACAB AB AC -=， 解得AC ＝AB 215-，或AC ≈，即得黄金比215-=ABAC或求作黄金分割点求已知线段AB 的黄金分割点。
方法一：如图1、经过点B 作BD ⊥AB ，且BD=2、连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ．3、在AB 上截取AC ＝AE ， 所以点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：设AB ＝1，则BD ＝1/2,AD ＝25， AC ＝215-，BC ＝253- 所以215-==ACBCAB AC ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．方法二：如图1、在线段AB 上作正方形ADCB2、取AD 的中点E ，连接EB ．3、延长DA 至F ，使EF ＝EB ．4、以线段AF 为边作正方形AFGH ．所以点H 是线段AB 的黄金分割点．理由：设AB ＝1，则AE ＝21，所以EFBE 25= →=AF 215-＝AH ，BH ＝253-所以215-==AH HBAB AH ，所以点H 是线段AB 的黄金分割点．方法三：如图1、以AB 为腰作等腰△ABD ，使∠A ＝36°2、作∠ADB 的角平分线交AB 于点C 所以，点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫做黄金三角形例1：如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB＝215-≈），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形、例2：以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长， （2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗练习题 一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. 二、认真选一选1、有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc ba =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（ ） 个个 个个2、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ） A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2； C 、AB AP PB ⋅=2； D 、222AB BP AP =+3、.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A. AM ∶BM =AB ∶AM B. AM =215-AB C. BM =215-AB D. AM ≈ 个 个 个 个4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5- 三、好好想一想1、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。
比例线段与黄金分割典型例题讲解与练习
⽐例线段与黄⾦分割典型例题讲解与练习个性化辅导讲义（2012 ~ 2013 学年第 1 学期）任教科⽬：数学授课题⽬：相似图形1年级：⼋年级任课教师:教导主任签名：__________⽇期：2013、4、28⼀．知识的回顾⽐例定义：表⽰两个⽐相等的式⼦叫⽐例.1、如果a与b的⽐值和c与d的⽐值相等，那么a c=b d或a∶b=c∶d,这时组成⽐例的四个数a,b,c,d叫做⽐例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 2、如果选⽤同⼀个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的⽐AB∶CD=m∶n，或写成AB m=CD n，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段⽐的前项和后项.3、如果把mn表⽰成⽐值k，则AB=CDk或AB=k?CD.4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的⽐等于c与d的⽐，即a c=b d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.5、黄⾦分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC BC那么称线段AB被点C黄⾦分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄⾦分割点，AC与AB的⽐叫做黄⾦⽐.其中AC∶AB≈0.618.6、引理：平⾏于三⾓形的⼀边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三⾓形的三边与原三⾓形三边对应成⽐例.相似三⾓形：三⾓对应相等，三边对应成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形.相似多边形：各⾓对应相等、各边对应成⽐例的两个多边形叫做相似多边形。
相似⽐：相似多边形对应边的⽐叫做相似⽐.⼆、⽐例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么a c=b d。
如果a c=b d（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合⽐性质：如果a c=b d,那么a b c b=b d±±。
3、等⽐性质：如果a c m==b d n（b+d++n≠0），那么a+b+=b+d+bm an4、更⽐性质：若a c=b d，那么a b=c d。
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2、取AD的中点E,连接EB.
3、延长长DA至F,使EF=EB.
F
G
4、以线段AF为边作正方形AFGH.
所以点H就是AB的黄金分割点. A
HB
E
你能说说这种作法的道理吗? D C
❖如图,已知线段AB按照如下方
法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使
BD 1 AB. 2
2.连接AD,在AD上截 取DE=DB.
B
A
FN
C
G
M
H
E
D
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形?
⑵点F是线段 AC、,AN
BE、的BG黄金分割点.、 ABN
点G呢？
A
B
ABG
BCM
FN
找一找
BCF
C
CN E
AEH
G
M
CDH
AEF
H
CDN
E ED M
D
ED G
Gab c d e
如果在一个黄金矩形里去掉一个 正方形，那么留下的矩形又是一个黄 金矩形，再去掉一个正方形，又得到 一个更小的黄金矩形。
如果 AC = BC
AB
AC
AC = AB
BC
AC
∙ AC2=AB BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的 比值叫做黄金数.
AC = BC =
5 1 ≈0. 618
AB AC
2
例3: 已知线段AB的长度是l，点P是线段
AB的一点，PABP
《比例线段：黄金分割》
黄金分割美的魅力 1
古埃及胡夫金字塔
文明古国埃 及的金字塔，形 似方锥，大小各 异。但这些金字 塔底面的边长与 高的比都接近于 0.618.
古希腊巴台农神庙
古希腊的巴台 农神庙，在建筑 时高和宽也是按 黄金比0.618来建 筑，他们认为这 样的长方形看来 是较美观；其大 理石柱廓，就是 根据黄金分割律 分割整个神庙的.
学学有所所用用
李小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上， 经过测量，她身高1.60米，躯干（指肚脐到 脚底的距离）0.96米，请你为王小姐选择一 双高跟鞋，使得视觉效果最佳（精确到毫 米）。
解：设高跟鞋高x米，则有 （X+0.96):(X+1.60)=0.618:1
解得 x=0.075
所以应选择75毫米的高跟鞋
艺术与黄金分割
芭蕾舞演员在翩翩起舞时，不时地踮 起脚尖，使腿长与身高的比值接近0.618．
为什么翩翩起舞的 芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装 模特还要穿高跟鞋?为 什么她们会给人感到和 谐、平衡、舒适，美的 感觉?
黄金身材比例
A CB
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
A
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形底边
与腰之比约为0.618;
E
D ☆BD是内角∠ABC的角平分线， 则点D是线段AC的黄金分割点.
B
C
☆再作∠ACB的平分线,交BD于 E,
△CDE也是黄金三角形,……
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
找一找
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形?
是黄金比吗？
D
F
C
解：（1）∵ BC AB
BE BC
∴
BC BE AB BC
，
∵ AE=BC
∴
AE AB
BE AE
，
∴点E是AB的黄金分割点。
（2）∵ BC AE ，
AB AB
∴矩形的宽与长的比是黄金比。
学有所思
如果一个矩形的宽与长之比为
5 1 :1 2
（近似比为0.618：1），那么这个矩形常说
A
DC
B
一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有 几个黄金分割点？
巴台农神庙
A
E
B
D
F
C
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
那么我们可以惊奇地发现，BC = AB 。
BE
BC
A
E
B（1）点E是AB的黄金分割点吗？
（2）矩形ABCD的宽与长的比
AP AB
，求AP的长.
解：设AP=x，则PB=l-x，
∵
PB AP AP AB
l x x xl
即
x2lxl20，解得
xl 5l2 2
1 2
5l，
x 1 2
5（l 负值舍去），AP
5 1l 2
.
确定黄金分割点的一个方法
❖ 采用如下的方法可以得到黄金分割点:如图 设AB是已知线段. 1、在AB上作正方形ABCD.
A
E
D
B
F
C
1.知道了什么是黄金分割、黄金比、黄金 矩形、奇妙的0.618.
2.了解了自然界及社会生活中广泛存在 的黄金分割现象.
3.会运用黄金分割知识解决简单的计算和 作图问题.
D E
3.在AB上截取AC=AE.
A
C
B
根据上述作图回答下列问题:
(1)如果设AB=2, 那么BD、AD、AC、 BC分别等于什么？
(2)点C是线段AB的黄金分割点吗？
答:(1)BD1，AD 5，
AC 51，BC3 5．
(2)点C是AB的黄金分,因 割为 点通过计算可 AC以 B发 C. 现 AB AC
成是黄金矩形。
读一读 ❖耐人寻味的0.618
1、蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比,普通树叶的宽 与长之比也接近0.618;
2、节目主持人报幕，绝对 不会站在舞台的中央，而 总是站在舞台的1／3处， 站在舞台上侧近于0.618的 位置才是最佳的位置;
3、生活中的印刷用纸为黄金矩形，这样的长方形 让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管 其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似 的黄金矩形。
上海东方明珠塔
上海东方明珠塔, 塔高462.85米。设计 师在295米处设计了 一个上球体，这个位 置恰好在塔身5:8的 地方，这是0.618的 比值，这样的设计使 平直单调的塔身变得 丰富多彩，非常协调、 美观。
黄金分割美的魅力 2
著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面两 幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅 画面中都完美的体现了黄金分割，使得这幅油画 看起来是那么的和谐和完美.