灰色聚类分析讲义

表5.1.2 指标关联矩阵
X1 X2 X3 X1 1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X4 X5 .58 .53 .7 .56 1 X6 .77 .59 .51 .53 .07 1 X7 .51 .5 .72 .58 .51 .51 1 X8 .66 .99 .51 .51 .53 .59 .5 1 X9 .51 .51 .51 .69 .53 .05 .7 .51 1 X10 X11 X12 X13 X14 X15 .51 .51 .51 .62 .52 .52 .83 .51 .81 1 .9 .63 .8 .52 .61 .84 .51 .63 .52 .51 1 .88 .62 .78 .52 .61 .86 .51 .62 .52 .51 .97 1 .8 .77 .9 .51 .55 .66 .51 .77 .51 .51 .74 .73 1 .67 .55 .63 .54 .75 .81 .51 .55 .53 .52 .71 .72 .6 1 .51 .51 .51 .6 .52 .51 .89 .51 .76 .92 .51 .51 .51 .52 1 .66 .88 .52 1 .07 .51 1 .56 1
x k (1) 个转折点 j
f jk (•) 无第一和第二
f jk [−, −, x k (3), x k (4)]. 权函数， 权函数，记为 j j f jk (•) 的第二和第三个转折点重 2、若白化权函数 f jk (•)为适中测度白化权函数， 为适中测度白化权函数， 合，则称
x k (2) ,则称 f jk (•) 为下限测度白化 , j ,则称
1.4.1中白化权函数 例 图1.4.1中白化权函数 f ( x) 表示贷款额这一灰数及其受 什么是白化权函数？ 什么是白化权函数？ 偏爱”程度。其中， “偏爱”程度。其中，直线用 来表示“正常愿望” 来表示“正常愿望”，即“偏 程度与资金（万元） 爱”程度与资金（万元）成比 例增加。 例增加。不同的斜率表示欲望 f1 的强烈程度不同， 的强烈程度不同，( x) 表示较为 平缓的欲望，认为贷给10 10万元 平缓的欲望，认为贷给10万元 不行，贷给20万元就比较满意， 20万元就比较满意 不行，贷给20万元就比较满意， f2 贷给30万元就足够了； 30万元就足够了 贷给30万元就足够了； 表示( x) 愿望强烈，贷给35 35万元也只有 愿望强烈，贷给35万元也只有 f3 ( x) 20%的满意程度 的满意程度； 20%的满意程度； 表明即使 贷给40万元， 40万元 贷给40万元，满意程度才达到 10%，但贷50万元就行了， 50万元就行了 10%，但贷50万元就行了，即 非要接近50万元不可， 50万元不可 非要接近50万元不可，没有减 少的余地。 少的余地。
表5.1.1
观测对象 指标 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 1 6 2 5 8 7 8 8 3 8 9 7 7 5 7 10 2 9 5 8 10 9 9 10 5 9 9 10 8 8 8 10
9名考察对象15个指标得分情况 9名考察对象15个指标得分情况 名考察对象15
r
越接近于1,分类
r 越小,分类越粗糙.
评定某一职位的任职资格。 例5.1.1 评定某一职位的任职资格。评委 们提出了15个指标:1申请书印象， 15个指标:1申请书印象 们提出了15个指标:1申请书印象，2学术 能力， 讨人喜欢， 自信程度， 精明， 能力，3讨人喜欢，4自信程度，5精明， 诚实， 推销能力， 经验， 积极性， 6诚实，7推销能力，8经验， 9积极性， 10抱负 11外貌 12理解能力 13潜力 抱负， 外貌， 理解能力， 潜力， 10抱负，11外貌，12理解能力，13潜力， 14交际能力 15适应能力 交际能力， 适应能力。 14交际能力，15适应能力。 大家认为某些指标可能是相关或混同 希望通过对少数对象的观测结果， 的，希望通过对少数对象的观测结果， 将上述指标适当归类， 将上述指标适当归类，删去一些不必要 的指标，简化考察标准。 的指标，简化考察标准。对上述指标采 取打分的办法使之定量化， 取打分的办法使之定量化，9名考察对象 各个指标所得的分数如表5.1.1所示。 5.1.1所示 各个指标所得的分数如表5.1.1所示。
5.2 灰色变权聚类
定义5.2.1 设有n个聚类对象,m ,m个聚类指 定义5.2.1 设有n个聚类对象,m个聚类指
标,s个不同灰类,根据第i(i=1, ,n)个对 ,s个不同灰类,根据第i(i=1,…,n) 个不同灰类 i(i=1, ,n)个对 象关于j(j=1, ,m)指标的样本值x 象关于j(j=1,…,m)指标的样本值xij 将第 j(j=1, ,m)指标的样本值 i个对象归入第k(k=1, ,s)个灰类之中, 个对象归入第k(k=1,…,s)个灰类之中, k(k=1, ,s)个灰类之中 称为灰色聚类. 称为灰色聚类.
ε 11 A=
LL LLLL LL
m
ε ij 得上三角矩阵
i ≤ j, i, j = 1,2,L, m, 计算出 X i 与 X j的绝对关联度
ε 12 ε 22
L L O
M ε mm
ε 1m ε 2m
其中
ε
ii
= 1; i = 1, 2 , L , m
r > 0.5. 当 ε ij ≥ r (i ≠ j ) 时
定义5.1.1 上述矩阵A称为特征变量关联矩阵. 定义5.1.1 取定临界值 r ∈ [0,1], 一般要求 则视 X i 与 X j 为同类特征. 定义5.1.2 定义5.1.2 特征变量在临界值 r 下的分类称为特征变量的 r 灰色 关联聚类. 越细; 可以根据实际问题的需要确定,
x k (1) , x kj (2) , 下图所示的典型白化权函, 下图所示的典型白化权函,则称 j x k (3) , k (4) 为 f k (•)的转折点,典型白化权函数 xj j 的转折点, j 记为 f k [ x k (1), x k (2), x k (3), x k (4)]
j j j j j
5.1 灰色关联聚类 个观测对象， 个特征数据， 设有 n 个观测对象，每个观测对象 m个特征数据，得到序列如下
X X X
对所有的
1 2
= ( x 1 (1 ) , x 1 ( 2 ) , L , x 1 ( n ) ) = ( x 2 (1 ) , x 2 ( 2 ) , L , x 2 ( n ) ) = ( x m (1 ) , x m ( 2 ) , L , x m ( n ) )
定义5.2.2 个对象关于指标j 定义5.2.2 将n个对象关于指标j的取值相
应地分为s个灰类,我们称之为j 应地分为s个灰类,我们称之为j指标子 类.j指标k子类的白化权函数记为 .j指标k 指标
f (•)
k j
f jk (•) 定义5.2.3 指标k 定义5.2.3 设j指标k子类的白化权函数 为如
3 7 3 6 9 8 9 7 4 9 9 8 8 6 8 10 4 5 8 5 6 5 9 2 8 4 5 6 8 7 6 5 5 6 8 8 4 4 9 2 8 5 5 8 8 8 7 7 6 7 7 6 8 7 10 5 9 6 5 7 8 6 6 6 7 9 8 8 8 8 8 8 10 8 10 9 8 9 8 10 8 9 9 8 9 9 8 8 10 9 10 9 9 9 9 10 9 9 7 8 8 8 8 5 9 8 9 9 8 8 8 10
f jk
1
0 xk (1) xkj (2) j
xk (3) j
x (4)
k j
x
什么是白化权函数？ 什么是白化权函数？
在灰数的分布信息已知时， 在灰数的分布信息已知时，往往采取非等 权白化。例如某人2005年的年龄可能是30 2005年的年龄可能是30岁到 权白化。例如某人2005年的年龄可能是30岁到 45岁 ⊗ 是个灰数。根据了解， 45岁， ∈ [30, 45] 是个灰数。根据了解，此人受 中级教育共12 12年 并且是在80 80年代中期考 初、中级教育共12年，并且是在80年代中期考 入大学的，故此人年龄到2005年为38 2005年为38岁左右的 入大学的，故此人年龄到2005年为38岁左右的 可能性较大，或者说在36岁到40 36岁到40岁的可能性较 可能性较大，或者说在36岁到40岁的可能性较 这样的灰数，如果再作等权白化， 大。这样的灰数，如果再作等权白化，显然是 不合理的。为此， 不合理的。为此，我们用白化权函数来描述一 个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱” 个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱”程 度。
什么是白化权函数？ 什么是白化权函数？
定义1.4.4 起点、终点确定左升、 定义1.4.4 起点、终点确定左升、右降连续函数 称为典型白化权函数。 称为典型白化权函数。 典型白化权函数一般如图1.4.2 1.4.2（ 所示。 典型白化权函数一般如图1.4.2（a）所示。
定义5.2.4:1 定义5.2.4:1、若白化权函数 5.2.4:
适中测度白化 权函数为
0 k x − x j (1) x k (2) − x k (1) j f jk ( x ) = j x k (4) − x j x k (4) − x k (2) j j
f jk1Biblioteka 0x k (3) j
x k (4) j
f
k j
x
f jk
1
1
0 x kj (1) x kj (2)
x kj (4)
x
0 x k (1) j
x k (2) j
x
命题5.2.1 命题5.2.1 对于 典型白化权函 数，有
相应地， 相应地，下限测 度白化权函数 为
0 x ∉[xk (1), xk (4)] j j x − xk (1) j x ∈[xk (1), xk (2)] j j xk (2) − xk (1) j j k fj = x ∈[xk (2), xk (3)] 1 j j xk (4) − x k j x ∈[xk (3), xk (4)] j j xj (4) − xk (3) j 0 x∉[0, xk (4)] j k x∈[0, xk (3)] f j (x) = 1 j k xj (4) − x x∈[xk (3), xk (4)] j j xk (4) − xk (3) j j
本章主要内容： 本章主要内容： 5.1灰色关联聚类 5.1灰色关联聚类 5.2灰色变权聚类 5.2灰色变权聚类 5.3灰色定权聚类 5.3灰色定权聚类 5.4基于三角白化权函数的灰色评估 5.4基于三角白化权函数的灰色评估 5.5灰色聚类应用 5.5灰色聚类应用
灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权 灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权 函数将一些观测指标或观测对象聚集成若干个可以 函数将一些观测指标或观测对象聚集成若干个可以 定义类别的方法。按聚类对象划分， 定义类别的方法。按聚类对象划分，可以分为灰色 关联聚类和灰色白化权函数聚类 和灰色白化权函数聚类。 关联聚类和灰色白化权函数聚类。 灰色关联聚类主要用于同类因素的归并， 灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使 复杂系统简化。由此， 复杂系统简化。由此，我们可以检查许多因素中是 否有若干个因素关系十分密切， 否有若干个因素关系十分密切，使我们既能够用这 些因素的综合平均指标或其中的某一个因素来代表 这几个因素，又可以使信息不受到严重损失。 这几个因素，又可以使信息不受到严重损失。灰色 白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事 先设定的不同类别，以区别对待。 先设定的不同类别，以区别对待。
f jk [ x k (1), x k (2), −, x k (4)] 记为 j j j
3 、若 k k k 为上限测度白化权函数， 为上限测度白化权函数，记为 f j [xj (1), xj (2), −, −]
f jk (•) 无第三和第四个转折点，则称 f jk (•) 无第三和第四个转折点，