灰色聚类分析讲义
汽车维修质量评价中的灰色聚类法分析
＝
，
＝
／ ２
） ，
阙值的描述式为 ：
＝
２ 一
（ ＋ｒ （ ｉ － １ ） ｉ ） ／ ２
（ ａ ）
（ ｉ ＝２ ， ３ ， …， 一 ， ：１ ， ２ ， …， ｍ）
灰数的白化权函数描述为是： ｘ ｆ ＝ ｌ ， ２ ， …， ｎ ； ｊ ＝ ｌ ， ２ ， …， ｍ ； ｋ ＝ １ ， ２ ， …Ｋ） 为第 个指标对于第尼 个灰类的白化函数 值。
Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ
… ～
— …
ｅ ｃ ｈ 翌 ？
工 艺 设 计 改 造 及 检 测 检修
…
…
…
汽车维修质量评价中的灰色聚类法分析
方 凤 飞
（ 国网Ｉ ￣／ ｉ ｌ 省电力公司德 阳供 电公 司， 四川德阳 ６ １ ８ ０ ０ ０ ）
【 摘 要 ｌ灰 色聚类法 因为其 一 系列 的优 势， 如今 已经被广 泛应 用到汽车 维修 质量 的评价体 系中。 通 过实践研 究表 明， 在对 汽车 维修 企业 的维修 质量的评 价 中， 它 可以较 为 方便 灵活的 应用， 并且具有较 强的综合性 ， 越来越 为业界所推 崇。 本文 简要 分析 了汽 车维修 质量评 价 中的灰 色聚类法及其 实 施 步骤， 运 用灰 色聚类 法对一批 汽车的 维修质 量进行 了 灰 色评价， 由此可知， 灰 色聚 类法是一种 灵活方便， 综合 性强的评价 方法， 希望 可以提 供一些有 价 值 的参 考 意 见 。 Ｉ 关 键词 】汽车 维修 质量评 价 灰 色聚 类法
；
一
得出 如下 样 本矩 阵： Ｄ ～ ｌ ｆ ； “
（ ２ ） 描述灰类 的 白化权函数 。 所有评价指标 的等级都是会变化 的， 这个 范围是 不确 定的数 ， 我们将其称之为灰数 ， 具体来讲 ， 就是 个 区间范 围。 在这个标定范围 内， 所有 白化数对 本区间所对 应的 灰数 亲疏程度是存在 着差异 的， 因此 ， 在评定计算 时 ， 就 可 以将 百 化 函数给应用进来 。 白化函数的基本形式可 以划分为如图１ 所示的 三 类。 在第一类 白化 函数 图中， 第ｊ 个指标第 一类白化 函数的阙值用 ｆ 『 来表示 ； 在第三个 图中， 表示的是第ｎ 类 白化函数图 ， 第Ｊ 个指标 第ｎ —ｌ 类 白化函数的阙值用 （ ｌ—１ ｆ ） ， 来表 ， 灰类 的中心值为阙 值。 如果 ｆ ， 是白化 函数 ， 那么本 白化函数对第Ｊ 个指标的第ｉ 爪灰类 最亲密 ， 函数最大值为 １ 。
第3讲灰色系统分析方法精品PPT课件
(2) 数列 xi 之间具有可接近性，即非平等性；
(3) 数列 xi 之间具有同极性。
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2020年10月21日
一、灰色系统分2析013的年基建模本培概训念基础班讲义
2. 灰色关联分析---多因子的情况
以灰关联因子集 X 中的一个因子 xi (1 i l) 为参考数列，以任
系统：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一 定的秩序相互关联、相互制约而构成一个整体.
白色系统:具有充足的信息量，其发展变化的规律 明显、定量描述方便、结构与参数具体.
黑色系统:一个系统的内部特性全部是未知的. 灰色系统:介于白色系统和黑色系统之间的.即系统 内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未知的.
即用灰关联度 ri 可以表示因素 xi 对行为因子 x0 的关联（影响）
程度.
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2013年建模培训基础班讲义
单因子灰色关联分析案例
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2013年建模培训基础班讲义
单因子灰色关联分析案例
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2013年建模培训基础班讲义
单因子灰色关联分析案例
灰色系统分析建模方法:根据具体灰色系统的行为特征
数据，利用数量不多的数据信息寻求相关各因素之间的
数学关系，即建立相应的数学模型.目前，灰色系统理论
在实际中已得到广泛的应用。如在农业经济、气象预报
、经济管理、水利等各领域都取得了较好的应用成果
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一、灰色系统分2析013的年基建模本培概训念基础班讲义
度来表示 xi 对 x0 影响大小的方法，则称为灰关联分析.
灰色关联分析法及其应用案例ppt课件
关联分析概述 关联系数与关联度 应用实例
1
1 (1(1),1(2),1(3),1(4),1(5),1(6)) (1, 0.955, 0.894, 0.848, 0.679, 0.583)
同理有
2 (2 (1),2 (2),2 (3),2 (4),2 (5),2 (6)) (1, 0.982, 0.602, 0.615, 0.797, 0.383)
1(5) 1(6)
因此，我们有
1(1)
1.4 1(1) 1.4
1.4 0 1.4
1
1(2)
1.4 1(2) 1.4
1.4 0.066 1.4
0.955
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
1 (3)
1.4 1(3) 1.4
1.4 0.166 1.4
3 (3(1),3(2),3(3),3(4),3(5),3(6)) (1, 0.933, 0.52, 0, 49, 0.4, 0.34)
关联系数的数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有
必
要将各个时刻关联系数集中为一个值，求平均值便是做这种
信
息处理集中处理的一种方法。ri
1 N
N
i (k)
k 1
关联度的一般表达式为：
无量纲化的方法常用的有初值化与均值化，区间相对值化。 初值化是指所有数据均用第1个数据除，然后得到一个新的数 列，这个新的数列即是各个不同时刻的值相对于第一个时刻
灰色聚类分析
2.1系统分析法简单实例已知某样本如下表2.1所示要求对该样本进行系统聚类分析，到样本被分为三类为止。
表2.11X 2X 3X 4X5X 6X 1a 0 1 3 1 3 4 2a 3 3 3 1 2 1 3a1 0 0 0 1 1 4a2 1 0 2 2 1 5a11按照步骤对样本进行系统聚类分析如下： 1.把每个样品看做一类，表示为：()}{101X G =,()}{202X G =,()}{303X G =,()}{404X G =,()}{505X G =,()}{606X G =计算各类之间的距离系数，常见的计算方法有以下三种： （1）欧几里得距离，(,))i j d x x =（2）海明距离，1(,)mi j i k j kk d x x x x ==-∑ （3）切比雪夫距离，1(,)mi j i k j kk d x x x x ==∨- 以海明距离为例计算各样品之间的距离，构成距离矩阵()0D ,()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0411814210768110135606150300D2．矩阵()0D 中最小距离为()01G 与()02G 之间的距离，大小为3.所以将他们合并为一类，得到新的分类：()()()}{020111,G G G =,()()}{0312G G =,()()}{0413G G =,()()}{0514G G =,()()}{0615G G = 对于()11G ，按最小距离准则，选取()01G 与()12G -()15G 之间及()02G 与()12G -()15G 之间两两距离的最小则，得到距离矩阵()1D ，()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0411********1350601D 3.矩阵()1D 中最小距离为()14G 与()15G 之间的距离，大小为4.所以将他们合并为一类，得到新的分类：()()}{1121G G =，()()}{1222G G =，()()}{1323G G =，()()()}{151424,G G G = 同理，按照最小距离准则得到距离矩阵()2D ，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0768********D 4.同理得到新分类：()()()}{232131,G G G =，()()}{2232G G =，()()}{2433G G = 得到矩阵()3D()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0670603D 此时满足题目要求，样品被分为三类：}{421,,X X X ,}{3X ,}{65,X X。
灰色聚类分析讲义共44页
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
灰色聚类分析讲义
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
第4章 灰色聚类评估
0.99 0.51 0.51 0.63 0.62 0.77 0.55 0.51
0.56 0.53 0.58 0.51 0.69 0.62 0.52 0.52 0.51 0.54 1
0.065 0.51 0.53 0.53 0.52 0.61 0.61 0.55 0.75 0.52 0.51 0.59 0.052 0.52 0.84 0.86 0.66 0.81 0.51 1 0.5 1 0.7 1 0.83 0.51 0.51 0.51 0.51 0.89 0.81 .0.52 0.52 0.51 0.53 0.76 1 0.51 0.51 0.51 0.52 0.92 1 0.97 0.74 0.71 0.51 1 0.73 0.72 0.51 1 0.6 1 0.51 0.52 1 0.51 0.51 0.63 0.62 0.77 0.55 0.51
7
灰色系统理论课件
4.1 灰色关联聚类
灰色关联聚类
定义4.1.2 特征变量在临界值 r 下的分类称为特征变量的 r 灰色关联聚类。
r 越接近于1，分类越细，
每一组分中的变量相对地 越少； 越小，分类越粗， 这时每一组分中的变量相 对地越多。
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灰色系统理论课件
4.1 灰色关联聚类
灰色关联聚类的基本思路
23
k x [ xk (1), x j j (4)] k x [ xk j (1), x j (2)]
k x [ xk j (2), x j (4)]
灰色系统理论课件
4.2 灰色变权聚类
几类常用白化权函数
0, k x x j (1) k f j ( x) k , k x j (2) x j (1) 1 ,
灰色关联聚类
《灰色关联分析》课件
未来，灰色关联分析将更加注重多变量关联度分析和不确定性因素的考虑。
参考文献
1 1. 黄小刚. 灰色关联分析及其应用[M]. 科学出版社, 1996. 2 2. 程志刚, 倪洪涛. 灰色关联分析原理与应用[M]. 中国水利水电出版社, 2010.
灰色关联分析的应用实例
市场营销
灰色关联分析可用于评估不同市场策略的关联度和 效果，帮助制定更具针对性的营销计划。
投资决策
灰色关联分析可用于评估不同投资方案的回报率和 风险关联度，帮助投资者做出明智的决策。
结论与展望
灰色关联分析的重要性
灰色关联分析能够揭示变量之间的关联关系，指导决策者制定合理的决策和策略。
《灰色关联分析》PPT课 件
在这个课程中，我们将深入介绍灰色关联分析的原理、应用和计算方法，并 探讨其在市场营销和投资决策等领域的实际应用。
灰色关联分析简介
定义
灰色关联分析是一种基于灰色系统理论的数据分析方法，用于研究变量之间的关联性。
应用场景
灰色关联分析广泛应用于市场营销、投资决策、工程管理等领域，帮助分析师做出权衡和决 策。
灰色关联度计算方法
1
基本思想
灰色关联度计算基于变量间的相关程度，通过比较变量序列之间的关联程度来评 估其相似度。
2
灰色关联度计算公式
灰色关联度计算公式包括特征标准化和关联系数计算两个步骤，可用于定量分析 变量之间的关联度。
3
数值解释
灰色关联度值越大，表示变量之间的关联程度越高，相应的影响更为显著。
数据预处理
1 数据归一化
通过数据归一化处理，将不同量纲的数据转化为相同的量纲，以便计算和比较。
2 构建关联系数矩阵
构建关联系数矩阵是灰色关联分析的关键步骤，用于计算变量之间的关联度。
灰色聚类分析
7.1 灰色关联聚类
设有n个观测对象，每个观测对象m个特征 数据， X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n)) X2=(x2(1),x2(2),…,x2(n)) …………. Xm=(xm(1),xm(2),…,xm(n)) 对于所有的I ≤ j，计算出Xi与Xj的绝对 关联度，得到特征变量关联矩阵A。 给定临界值r，0 ≤ r ≤ 1，当关联度大于 等于给定的临界值时，就把Xi与Xj 看为同一 类。
xk (3) xk (4) j j 图7.2.2
xk (4) xk(1 xk(2) ) j j j 图7.2.3
xk(1 xk(2) j ) j 图7.2.4
定义7.2.5 1 对于图7.2.1所示的j指标k子类白化权函数,令 2 对于图7.2.2所示的j指标k子类白化权函数,令
1 k λ = (xj (2) + xk (3)) j 2
k j
λkj = xk (3) j
3 对于图7.2.3和图7.2.4所示的j指标k子类白化 λkj = xk (2) j 权函数,令 则称λ kj 为j指标k子类临界值. 定义7.2.6 设为j指标k子类临界值,则称
ηk = j λkj λkj ∑
j =1 m
为j指标关于k子类的权.
k 定义7.2.7 设xij为对象i关于指标j的样本, f j (•) 为j指标k 子类的白化权函数, m kj 为j指标关于k子类的权,则称 η σik = ∑ f jk (xij ) ⋅ηk j
σ = ∑ f jk ( xij ) ⋅η j
第四章灰色聚类分析(精)
第四章灰色聚类分析在本章中，首先介绍了灰色聚类的概念及其类型。
其次对灰色星座聚类、灰色关联聚类、灰色变权聚类和灰色定权聚类的原理和计算方法进行了阐述。
最后利用实证分析来分析灰色聚类在渔业科学中的应用。
第一节灰色聚类的概念灰色聚类是根据关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象聚集成若干个可定义类别的方法。
一个聚类可以看作是属于同一类观测对象的集合体。
在实际问题中，每个观测对象往往具有许多个特征指标，因而难以进行准确的分类。
灰色聚类按聚类方法的不同，可分为灰色星座聚类、灰色关联聚类和灰类白化函数聚类等方法。
灰色星座聚类是根据样本自身的属性，利用相似性原理定量地确定样本之间的关系，并按这种关系进行自然聚类。
灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使复杂系统得到简化。
通过灰色关联聚类，可以分析出许多因素中是否有若干个因素关系十分密切，以便我们既能够用这些因素的综合平均指标或其中的某一个因素来代表这些因素，同时又使信息不受严重损失，从而使得我们在进行大面积调研之前，通过典型抽样数据的灰色关联聚类，可以减少不必要变量（因素）的收集，以节省成本和经费。
灰类白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事先设定的不同类别，以便区别对待。
从计算工作量来看，灰类白化函数要比灰色关联聚类和星座聚类复杂。
第二节灰色星座聚类一，原理和方法星座聚类在灰色聚类中是一种比较简单易行的聚类方法。
其基本原理为：将每个样点按一定的数量关系，点在一个上半圆之中，一个样点用一颗“星点”来表示，同类的样点便组成一个“星座”，然后勾画出区分不同星座的界线，这样就可以进行分类。
实质上，它是将一个样本中的大量信息（或指标值），经过原始数据的变换（极差变换）等手段转化成为无量纲，并成为一个简单的空间坐标比较的问题。
一般情况下，星座聚类有如下步骤：（1）对原始指标值进行极差变换，并使变换后的数值均落在[0°，180°]的闭区间内。
灰色聚类
1灰色聚类法对研究区131个村的评价指标值进行极差变换，对各指标项赋权重值（0.3，0.25，0.15，0.15，0.15），按（7-2）、（7-3）式计算各村的直角坐标，将131个样点的坐标点绘在星座图上，见图7.9。
图中各点可明显地分为三类，结合煤矿废弃地区的实际情况，将三个区域分别命名为生态建设区、生态维护区、生态保持区。
1M i i j j j Z W ==ϕ∑ （7-4）式中：i Z -综合指标值；j W -指标权数。
根据式（7-4）计算各个样点的综合指标值，然后对所有样点排序，检验聚类结果 对门头沟煤矿废弃地131个样点按公式（7-4）计算综合指标并排序。
排序检验结果表明，聚类结果比较客观地反映了门头沟煤矿废弃地区的生态破坏情况和社会经济发展的区域差异。
由于生态修复功能分区的划分更侧重于生态破坏因素，经参照废弃地区的行政区划图和参考专家意见后，为便于今后治理和生态治理技术的实施，将部分样点进行了简单调整，最后得到研究区生态修复功能区划，资源枯竭矿区生态修复功能区划的目的是合理确定区域生态修复的优先度和主要修复方向。
分区的方法有定性和定量两类。
定性方法主要是图件主导叠置法，即将生态环境破坏程度、社会经济发展现状等图件以主导分析因素为原则，进行综合分析，确定分区界线。
定量方法主要是各种聚类分析方法，多因子综合压力模型等。
根据土地利用总体规划的周期和居民点现状的特点，确定其农村居民点整理分近期、中期和远期三阶段进行，每个阶段大约持续 5 年。
一个问题是:必须对理论结果进行检验，以此验证理论方法的科学性和可操作性。
在你的国内外研究现状里要对王琳霖的博士论文里确定时序的方法和土地复垦方案中确定时序的方法及其不足进行分析，你的确定时序的方法跟人家比有什么好的，别人做过了，你为什么又做等等，。
灰色聚类分析讲义
5.3
灰色定权聚类
当聚类指标的意义、量纲不同，且在 数量上悬殊较大时，采用灰色变权聚类 j 可能导致某些指标参与聚类的作用十分 微弱。 解决上述问题有两条途径：1、采用初 值化算子或均值化算子将指标样本值化 为无量纲数据，然后进行聚类。这种方 式不能反映不同指标在聚类过程中的差 异性。2、对各聚类指标事先赋权,即定 权聚类。
k k f x (2) , j ,则称 j () 为下限测度白化
k k k k f [ x (1), x (2), , x 记为 j j j j (4)]
3、若 k 为上限测度白化权函数，记为 f jk [ xk j (1), x j (2), , ]
f jk () 无第三和第四个转折点，则称 f jk ()
适中测度白化 权函数为
0 k x x j (1) x k (2) x k (1) j f jk ( x) j x k (4) x j k k x (4) x j (2) j
k x [ xk (1), x j j (4)] k x [ xk (1), x j j (2)]
k x [ xk (2), x j j (4)]
上限测度白化 权函数为
0, k x x j (1) k f j ( x) k , k x j (2) x j (1) 1 ,
x x (1)
k j
x [ x kj (1), x kj (2)] x x kj (2)
表5.1.1
观测对象 指标 X1 1 6 2 5 8 7 8 8 3 8 9 7 7 5 7 10 2 9 5 8 10 9 9 10 5 9 9 10 8 8 8 10
9名考察对象15个指标得分情况
5.2灰色变权聚类
5．2 灰色变权聚类定义 5.2.1 设有n 个聚类对象，m 个聚类指标，s 个不同灰类，根据第),2,1(n i i =个对象关于),2,1(m j j =指标的观测值),2,1,,2,1(m j n i x ij ==将第i 个对象归入第}),,,2,1{(s k k ∈个灰类，称为灰色聚类.定义5.2.2 将n 个对象关于指标j 的取值相应地分为s 个灰类，我们称之为j 指标子类.j 指标k 子类的白化权函数记为)(∙k j f .定义5.2.3 设j 指标k 子类的白化权函数)(∙k j f 为如图5.2.1所示的典型白化权函数，则称),1(kj x ),2(kj x ),3(kj x )4(kj x 为)(∙k j f 的转折点。
典型白化权函数记为:),1([k j k j x f ),2(k j x ),3(k j x )]4(kj x图5.2.1 图5.2.2定义5.2.41 若白化权函数)(∙k j f 无第一和第二个转折点),1(k j x ),2(kj x 即如图5.2.2所示，则称)(∙kj f 为下限测度白化权函数，记为,[-kjf,-),3(k j x )]4(kj x .2 若白化权函数)(∙k j f 第二和第三个转折点),2(k j x (3)kj x 重合，即如图5.2.3所示，则称)(∙kj f 为适中测度白化权函数，记为),1([k j kj x f),2(k j x ,-)]4(kj x .3 若白化权函数)(∙k j f 无第三和第四个转折点),3(k j x ),4(kj x 即如图5.2.4所示，则称)(∙kj f 为上限测度白化权函数，记为),1([k j k j x f ),2(kj x ,-]-.图5.2.3 图5.2.4 命题5.2.1 1对于图5.2.1所示的典型白化权函数，有) (x f kj =0[(1),(4)](1)[(1),(2)](2)(1)1[(2),(3)](4)[(3),(4)](4)(3)k kj jkj k kj jk kj jk kj jkj k kj jk kj jx x xx xx x xx xx x xx xx x xx x⎧∉⎪-⎪∈⎪-⎪⎨∈⎪⎪-⎪∈⎪-⎩(5.2.1)2对于图5.2.2所示的下限测度白化权函数，有) (x f kj =0[0,(4)]1[0,(3)](4)[(3),(4)](4)(3)kjkjkj k kj jk kj jx xx xx xx x xx x⎧∉⎪⎪⎪∈⎨⎪-⎪∈⎪-⎩(5.2.2)3对于图5.2.3所示的适中测度白化权函数，有) (x f kj =0[(1),(4)](1)[(1),(2)](2)(1)(4)[(2),(4)](4)(2)k kj jkj k kj jk kj jkj k kj jk kj jx x xx xx x xx xx xx x xx x⎧∉⎪-⎪∈⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪∈-⎪⎩(5.2.3)4对于图5.2.4所示的上限测度白化权函数，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈--<=)2( , 1 )]2(),1([ , )1()2()1()1( x , 0)(kj kj k j kj k j kj k j k j x x x x x x x x x x x f (5.2.4) 定义5.2.51 对于图5.2.1所示的j 指标k 子类白化权函数，令))3()2((21kj k j k j x x +=λ;2 对于图5.2.2所示的j 指标k 子类白化权函数，令))3(k j k j x =λ;3 对于图5.2.3和图5.2.4所示的j 指标k 子类白化权函数，令)2(k j k j x =λ;则称k j λ为j 指标k 子类临界值.定义5.2.6 设k j λ为j 指标k 子类临界值，则称∑==mj kjk jk j 1λλη为j 指标k 子类的权.定义 5.2.7 设ij x 为对象i 关于指标j 的观测值，)(∙kj f 为j 指标k 子类白化权函数.k j η为j 指标k 子类的权，则称∑=⋅=mj ij k j kix f 1)(σk j η为对象i 关于k 灰类的灰色变权聚类系数.定义5.2.81称 ==),,,(21s i iii σσσσ ( ∑=⋅mj ij j x f11)(1j η，∑=⋅mj ij j x f12)(2j η，…，∑=⋅mj ij s j x f1)(s j η)为对象i 的聚类系数向量.2 称∑=)(ki σ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡s n nn s s σσσσσσσσσ212221212111为聚类系数矩阵.定义5.2.9 设=≤≤}{max 1ki sk σ*k i σ，则称对象i 属于灰类*k .灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形，当聚类指标的意义、量纲不同且不同指标的样本值在数量上悬殊较大时，不宜采用灰色变权聚类.例 5.2.1 设有三个经济区，三个聚类指标分别为种植业收入、畜牧业收入、工副业收入。
灰色聚类方法
灰色聚类分析过程：首先将七种配方的浆纱记为聚类对象，如表2-12所示。
表中的四项指标记为聚类指标，将综合性能分为好、中、差三种，记为k 1、k 2、k 3三个灰类，聚类过程如下：（1） 将表2-12中的数据按式(2-1)进行均值化无量纲处理，得到聚类白化数矩阵[]m n X ij ⨯其中n 为聚类对象数，m 为聚类指标数；（2） 将n 个对象关于聚类指标j （j=1， 2，……，m ）的取值相应地分为s 个灰类(s=k 1、k 2、k 3 )，称为j 指标子类；∑=λ=n1i kjij ij n1d X (2-1)（3） 根据灰类的定义规定j 指标k 子类的白化权函数，根据白化权函数，定义λjk 为j 指标k 子类临界值，并按式（2-2）计算j 指标k 子类的权kj η；∑=λλ=ηm1jkjkjkj (2-2)（4）对于白化权函数矩阵，根据白化权函数和权值，按式（2-3）i 对象属于k 灰类的灰色聚类函数k iσ()η⋅=σ∑=k jijm1j k ijk ix f （2-3）计算聚类系数矩阵()ns k i σ，根据聚类系数矩阵评价对象i 所属的灰类。
2.5.2.10 灰色聚类结果与分析根据公式（2—1）得均一化值为：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=9336.00228.16628.01895.19544.01986.16839.01075.11302.11187.12672.18680.00737.11347.12310.11075.11930.11027.13056.19446.00225.15274.01968.17469.06927.08950.06528.00360.1ijX根据公式(2-2)得权的值为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=2531.02500.02475.02452.02500.02540.02460.02500.02533.02557.02500.02453.0kjη对所测数据进行灰色聚类分析，计算得到聚类系数⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=2434.03722.03300.02247.02337.05262.01792.01239.08017.002137.09252.00819.02494.08112.03203.02290.03292.04148.03315.00695.0kiσ对于k i σ择取最大值者为聚类灰数，上面列出七种绷带的聚类系数值，最大值为下划线所示值。
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表5.1.2 指标关联矩阵
X1 X2 X3 X1 1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X4 X5 .58 .53 .7 .56 1 X6 .77 .59 .51 .53 .07 1 X7 .51 .5 .72 .58 .51 .51 1 X8 .66 .99 .51 .51 .53 .59 .5 1 X9 .51 .51 .51 .69 .53 .05 .7 .51 1 X10 X11 X12 X13 X14 X15 .51 .51 .51 .62 .52 .52 .83 .51 .81 1 .9 .63 .8 .52 .61 .84 .51 .63 .52 .51 1 .88 .62 .78 .52 .61 .86 .51 .62 .52 .51 .97 1 .8 .77 .9 .51 .55 .66 .51 .77 .51 .51 .74 .73 1 .67 .55 .63 .54 .75 .81 .51 .55 .53 .52 .71 .72 .6 1 .51 .51 .51 .6 .52 .51 .89 .51 .76 .92 .51 .51 .51 .52 1 .66 .88 .52 1 .07 .51 1 .56 1
x k (1) 个转折点 j
f jk (•) 无第一和第二
f jk [−, −, x k (3), x k (4)]. 权函数， 权函数，记为 j j f jk (•) 的第二和第三个转折点重 2、若白化权函数 f jk (•)为适中测度白化权函数， 为适中测度白化权函数， 合，则称
x k (2) ,则称 f jk (•) 为下限测度白化 , j ,则称
1.4.1中白化权函数 例 图1.4.1中白化权函数 f ( x) 表示贷款额这一灰数及其受 什么是白化权函数？ 什么是白化权函数？ 偏爱”程度。其中， “偏爱”程度。其中，直线用 来表示“正常愿望” 来表示“正常愿望”，即“偏 程度与资金（万元） 爱”程度与资金（万元）成比 例增加。 例增加。不同的斜率表示欲望 f1 的强烈程度不同， 的强烈程度不同，( x) 表示较为 平缓的欲望，认为贷给10 10万元 平缓的欲望，认为贷给10万元 不行，贷给20万元就比较满意， 20万元就比较满意 不行，贷给20万元就比较满意， f2 贷给30万元就足够了； 30万元就足够了 贷给30万元就足够了； 表示( x) 愿望强烈，贷给35 35万元也只有 愿望强烈，贷给35万元也只有 f3 ( x) 20%的满意程度 的满意程度； 20%的满意程度； 表明即使 贷给40万元， 40万元 贷给40万元，满意程度才达到 10%，但贷50万元就行了， 50万元就行了 10%，但贷50万元就行了，即 非要接近50万元不可， 50万元不可 非要接近50万元不可，没有减 少的余地。 少的余地。
表5.1.1
观测对象 指标 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 1 6 2 5 8 7 8 8 3 8 9 7 7 5 7 10 2 9 5 8 10 9 9 10 5 9 9 10 8 8 8 10
9名考察对象15个指标得分情况 9名考察对象15个指标得分情况 名考察对象15
r
越接近于1,分类
r 越小,分类越粗糙.
评定某一职位的任职资格。 例5.1.1 评定某一职位的任职资格。评委 们提出了15个指标:1申请书印象， 15个指标:1申请书印象 们提出了15个指标:1申请书印象，2学术 能力， 讨人喜欢， 自信程度， 精明， 能力，3讨人喜欢，4自信程度，5精明， 诚实， 推销能力， 经验， 积极性， 6诚实，7推销能力，8经验， 9积极性， 10抱负 11外貌 12理解能力 13潜力 抱负， 外貌， 理解能力， 潜力， 10抱负，11外貌，12理解能力，13潜力， 14交际能力 15适应能力 交际能力， 适应能力。 14交际能力，15适应能力。 大家认为某些指标可能是相关或混同 希望通过对少数对象的观测结果， 的，希望通过对少数对象的观测结果， 将上述指标适当归类， 将上述指标适当归类，删去一些不必要 的指标，简化考察标准。 的指标，简化考察标准。对上述指标采 取打分的办法使之定量化， 取打分的办法使之定量化，9名考察对象 各个指标所得的分数如表5.1.1所示。 5.1.1所示 各个指标所得的分数如表5.1.1所示。
5.2 灰色变权聚类
定义5.2.1 设有n个聚类对象,m ,m个聚类指 定义5.2.1 设有n个聚类对象,m个聚类指
标,s个不同灰类,根据第i(i=1, ,n)个对 ,s个不同灰类,根据第i(i=1,…,n) 个不同灰类 i(i=1, ,n)个对 象关于j(j=1, ,m)指标的样本值x 象关于j(j=1,…,m)指标的样本值xij 将第 j(j=1, ,m)指标的样本值 i个对象归入第k(k=1, ,s)个灰类之中, 个对象归入第k(k=1,…,s)个灰类之中, k(k=1, ,s)个灰类之中 称为灰色聚类. 称为灰色聚类.
ε 11 A=
LL LLLL LL
m
ε ij 得上三角矩阵
i ≤ j, i, j = 1,2,L, m, 计算出 X i 与 X j的绝对关联度
ε 12 ε 22
L L O
M ε mm
ε 1m ε 2m
其中
ε
ii
= 1; i = 1, 2 , L , m
r > 0.5. 当 ε ij ≥ r (i ≠ j ) 时
定义5.1.1 上述矩阵A称为特征变量关联矩阵. 定义5.1.1 取定临界值 r ∈ [0,1], 一般要求 则视 X i 与 X j 为同类特征. 定义5.1.2 定义5.1.2 特征变量在临界值 r 下的分类称为特征变量的 r 灰色 关联聚类. 越细; 可以根据实际问题的需要确定,
x k (1) , x kj (2) , 下图所示的典型白化权函, 下图所示的典型白化权函,则称 j x k (3) , k (4) 为 f k (•)的转折点,典型白化权函数 xj j 的转折点, j 记为 f k [ x k (1), x k (2), x k (3), x k (4)]
j j j j j
5.1 灰色关联聚类 个观测对象， 个特征数据， 设有 n 个观测对象，每个观测对象 m个特征数据，得到序列如下
X X X
对所有的
1 2
= ( x 1 (1 ) , x 1 ( 2 ) , L , x 1 ( n ) ) = ( x 2 (1 ) , x 2 ( 2 ) , L , x 2 ( n ) ) = ( x m (1 ) , x m ( 2 ) , L , x m ( n ) )
定义5.2.2 个对象关于指标j 定义5.2.2 将n个对象关于指标j的取值相
应地分为s个灰类,我们称之为j 应地分为s个灰类,我们称之为j指标子 类.j指标k子类的白化权函数记为 .j指标k 指标
f (•)
k j
f jk (•) 定义5.2.3 指标k 定义5.2.3 设j指标k子类的白化权函数 为如
3 7 3 6 9 8 9 7 4 9 9 8 8 6 8 10 4 5 8 5 6 5 9 2 8 4 5 6 8 7 6 5 5 6 8 8 4 4 9 2 8 5 5 8 8 8 7 7 6 7 7 6 8 7 10 5 9 6 5 7 8 6 6 6 7 9 8 8 8 8 8 8 10 8 10 9 8 9 8 10 8 9 9 8 9 9 8 8 10 9 10 9 9 9 9 10 9 9 7 8 8 8 8 5 9 8 9 9 8 8 8 10
f jk
1
0 xk (1) xkj (2) j
xk (3) j
x (4)
k j
x
什么是白化权函数？ 什么是白化权函数？
在灰数的分布信息已知时， 在灰数的分布信息已知时，往往采取非等 权白化。例如某人2005年的年龄可能是30 2005年的年龄可能是30岁到 权白化。例如某人2005年的年龄可能是30岁到 45岁 ⊗ 是个灰数。根据了解， 45岁， ∈ [30, 45] 是个灰数。根据了解，此人受 中级教育共12 12年 并且是在80 80年代中期考 初、中级教育共12年，并且是在80年代中期考 入大学的，故此人年龄到2005年为38 2005年为38岁左右的 入大学的，故此人年龄到2005年为38岁左右的 可能性较大，或者说在36岁到40 36岁到40岁的可能性较 可能性较大，或者说在36岁到40岁的可能性较 这样的灰数，如果再作等权白化， 大。这样的灰数，如果再作等权白化，显然是 不合理的。为此， 不合理的。为此，我们用白化权函数来描述一 个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱” 个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱”程 度。
什么是白化权函数？ 什么是白化权函数？
定义1.4.4 起点、终点确定左升、 定义1.4.4 起点、终点确定左升、右降连续函数 称为典型白化权函数。 称为典型白化权函数。 典型白化权函数一般如图1.4.2 1.4.2（ 所示。 典型白化权函数一般如图1.4.2（a）所示。
定义5.2.4:1 定义5.2.4:1、若白化权函数 5.2.4:
适中测度白化 权函数为
0 k x − x j (1) x k (2) − x k (1) j f jk ( x ) = j x k (4) − x j x k (4) − x k (2) j j
f jk1Biblioteka 0x k (3) j
x k (4) j
f
k j
x
f jk
1
1
0 x kj (1) x kj (2)
x kj (4)
x
0 x k (1) j
x k (2) j
x
命题5.2.1 命题5.2.1 对于 典型白化权函 数，有
相应地， 相应地，下限测 度白化权函数 为