2018高考数学解题技巧三角函数
最新-2018届高考数学 三角函数诱导公式课件 精品
1.倒数关系
tan·cot=1 sin·csc=1 cos·sec=1
2.商数关系 3.平方关系
tan=
sin cos
cot= csoins
sin2+cos2=1 1+tan2=sec2 1+cot2=csc2
二、诱导公式
1.定义
用自变量 的三角函数表示自变量为 函数的公式叫诱导公式.
AB=3,
求 tanA 的值
解:
∵
2 2
=sinA+cosA=
2 sin(A+45º),
∴sin(A+45º)=
1 2
.
∵0º<A<180º, ∴A=105º,
∴tanA=tan105º=tan(45º+60º)=
1+ 1-
3 3
=-2-
3.
sinA=sin105º=sin(45º+60º)
=sin45ºcos60º+cos45ºsin60º=
k
2
(kZ)的三角
2.口诀
奇变偶不变, 符号看象限.
3.本质
通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的 三角函数值相等或互为相反数, 反映了三角函数的周期性及各 种对称性.
典型例题
1.已知 cot(-)=2,
求 sin(
3 2
+)的值.
解: ∵cot(-)=2, 又 cot(-)=-cot,
6
-)]=-cos(
6
-)=-a,
sin(
2 3
-)=sin[
2
+(
6
-)]
=cos(
2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
2018届高三理科数学三角函数与解三角形解答题解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三理科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视． 【3年高考试题分析】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．三角形形状的判断． 3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视． 【必备基础知识融合】1．正弦定理和余弦定理2.三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C=abc 4R =12(a ＋b ＋c )r ．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝π－(B ＋C )，A 2＝π2－B ＋C2，从而sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A＝－tan(B ＋C )；sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C 2，tan A2＝1tanB ＋C2.tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ⇔2sin B ＝sin A ＋sin C ⇔2sin B 2＝cos A －C 2⇔2cosA ＋C2＝cosA －C2⇔tan A 2tan C 2＝13. (4)在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A .(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)【解题方法规律技巧】典例1：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【规律总结】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.典例2：在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三个内角，a 、b 、c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc. ①求角A 的大小；②若sinBsinC ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．典例3：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．典例4：已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边， cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围.解析：（Ⅰ）由cos sin 0a C C b c --=，得： sin cos cos sin sin 0A C A C B C --=，典例5：在ABC ∆， 3B π=， 2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥， E 为垂足， ED =A 的值.解：（1）设AB x =，则由余弦定理有： 2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅ 即2223222cos60x x =+-⋅︒【规律总结】（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理.（2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.（3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.（4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.（5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合；（6）遇见角平分线时要想到角平分线定理.（7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大.（8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.典例6：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－30°）＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．【规律总结】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．【归纳常用万能模板】【引例】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.规范解答(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A ·cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ， 1分得分点①即2cos C ·sin(A ＋B )＝sin C .3分得分点② 因为A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)， 所以sin(A ＋B )＝sin C >0，所以2cos C ＝1，cos C ＝12.5分得分点③所以C ＝π3.6分得分点④(2)由余弦定理及C ＝π3得7＝a 2＋b 2－2ab ·12，8分得分点⑤即(a ＋b )2－3ab ＝7，又S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，10分得分点⑥所以(a ＋b )2－18＝7，a ＋b ＝5，11分得分点⑦ 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 12分得分点⑧ 【解答细节突破】1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分. 【解题程序展示】第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求C 的余弦值，得角C 的值.第四步：利用三角形的面积为332，求出ab 的值；第五步：根据c ＝7，利用余弦定理列出a ，b 的关系式； 第六步：求(a ＋b )2的值，进而求△ABC 的周长.【易错易混温馨提醒】一、多解问题的取舍容易忽视：易错1：①如图C ∆AB 中，已知点D 在C B 边上，且D C 0A ⋅A =，sin C 3∠BA =，AB =D B（1）求D A 的长； （2）求cos C ．（1）若的面积为，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）或.二、由22sin cos 1(ααα+=为三角形内角)，知sin α求cos α时的正负问题容易出错：易错2：如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =， AC = 4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．【答案】（1）CE =21（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CECDCDE CED =∠∠，5sin 4π=所以5sin 44CDE π∠===， 所以4sin 5CDE ∠=．因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<，所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-，所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭314525=-⨯+=． 三、已知内角为锐时，易知转化为余弦值大于0，但容易忽视小于1，钝角亦是如此，余弦应该是(-1,0).在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.（1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）∴,又由可得所以.四、注意求值平方后开方时取正负的问题：在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4sin b A =.（1）求sin B 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值.【答案】（1）sin 4B =；（2）cos cos 2AC -=.（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin sin A C += ① 设cos cos A C x -=， ②①2＋②2，得2722cos()4A C x -+=+． ③ 7分 又a b c <<，ABC <<，所以00090B <<，cos cos A C >， 故3cos()cos 4A C B +=-=-． 10分 代入③式得274x =．因此cos cos 2A C -=． 五、锐角三角形内角范围的考虑要全面，需满足三个内角均为锐角：易错5：在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，且2222sin 2cos cos A cos B AsinB C ++=.（1）求角C 的值；（1）若ABC ∆为锐角三角形，且c =a b -的取值范围.【答案】（1）3C π=（2）()1,1-（2）由（1）知 2233A B B A ππ+==-， 由sin sin sin a b c A B C==得， 2,2a sinA b sinB ==， 22222)233a b sinA sinB sinA sin A sinA sin A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形， 02B π<<，又∵23B A π=-， ∴,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴,366A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴()2sin 1,13A π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即a b -的取值范围为()1,1-.。
高考三角函数解题方法与技巧
高考三角函数解题方法与技巧（分为两部分，一是周期，二是公式的灵活应用 ）高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型。
一、 给值求值知识点：1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。
2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用。
1（2004天津卷17） 已知21)4tan(=+απ(I)求αtan 的值；(II)求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值。
2（2004.江苏卷17）已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值. 3（2004.湖北卷17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2a ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πa 的值。
4（2004.全国人教版17）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
5（2004.四川卷17）已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,(i)求证tanA=2tanB;(ii)设AB=3，求AB 边上的高。
6（05江苏理5分）若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+= (A)97-(B)31- (C)31 (D)977．（2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
2018年高考数学大题答题技巧
2018年高考数学大题答题技巧高考网为大家提供2018年高考数学大题答题技巧，更多高考资讯请关注我们网站的更新!2018年高考数学大题答题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n 的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3.记准均值、方差、标准差公式;4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利用列举、树图等基本方法;6.注意放回抽样，不放回抽样;7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8.注意条件概率公式;9.注意平均分组、不完全平均分组问题。
五、圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2.注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
浙江2018版高考数学复习三角函数解三角形3.1导数的概念及运算教师用书
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.1 导数的概念及运算教师用书1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[1fx ]′＝－f x [fx2(f (x )≠0)．(3)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．(4)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2答案 C解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 (2016·舟山模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x， 得y ′|x ＝x 0＝0x e ，从而切线方程为y －0x e ＝0x e (x －x 0)， 又切线过定点(0,0)，从而－0x e ＝0x e (－x 0)， 解得x 0＝1，则m ＝e. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)(2016·台州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12(2)(2016·临海模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3. (2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2'x y π=＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3．求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0'x x y =＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．(2016·东阳模拟)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)答案 C解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1， 所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1. 把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.5. (2016·杭州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x ， 由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)ex －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝e x －x ＋12x 2 解析 由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2. 8．(2016·金华模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案 12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. *10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________．答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0'x x y ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
高考三角函数解题方法与技巧
第一篇：三角函数解题方法与技巧高考中三角函数解答题是历年高考重点考察内容之一，成为6道解答题中的第一题（或数列），难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型。
一、 给值求值 （掌握公式）知识点：1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。
2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用。
3、常用方法：降、凑、套、展。
1、（降）（1）（2004天津卷17） 已知21)4tan(=+απ(I)求αtan 的值；(II)求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值。
（2）（2004.全国人教版17）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
2（凑）（05江苏理5分）若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+= （ ） (A)97-(B)31- (C)31 (D)973、（展）（07海、宁文理9）若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（）A．-Ｂ．12-Ｃ．124（展）（2004.春季北京卷12） s i n ()s i n ()c o s ααα+︒--︒3030的值为____________。
5（套）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .6、（凑）（07四川理17）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.二、 解三角形问题知识点:解三角形的有关问题时，关键是正弦定理、余弦定理 1. 正弦定理：sin sin sin a b cA B C===2R 2.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ,变形：222cos 2b c a A bc+-=.3.面积公式：111sin sin sin 222S ab C ac B bc A === 4.三角形内角和：A+B+C=1800解题时根据已知条件选用正弦定理、余弦定理或者在同一道题中两个定理同时应用，若给出的方程两边是正弦齐次或边的齐次．．问题我们就可以把正弦换成相应的边，边换成相应的正弦，从而达到只有边或者只有三角函数的问题。
2018年高考数学专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第4章 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 含解析
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数【正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广【1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.【2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.【3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式【1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 【2)公式3.任意角的三角函数1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)小于90°的角是锐角.【 ) 【2)锐角是第一象限角，反之亦然.【 )【3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.【 ) 【4)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α.【 )【5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.【 ) 解析 【1)锐角的取值范围是【0°，90°). 【2)第一象限角不一定是锐角. 【3)顺时针旋转得到的角是负角. 【5)终边相同的角不一定相等.答案 【1)× 【2)× 【3)× 【4)√ 【5)× 2.角－870°的终边所在的象限是【 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限. 答案 C3.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是【 ) A.2k π＋45°【k ∈Z ) B.k ·360°＋94π【k ∈Z ) C.k ·360°－315°【k ∈Z )D.k π＋5π4【k ∈Z )解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4【k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确. 答案 C4.已知角α的终边经过点【－4，3)，则cos α＝【 ) A.45 B.35 C.－35D.－45解析 ∵角α的终边经过点【－4，3)， ∴x ＝－4，y ＝3，r ＝5. ∴cos α＝x r ＝－45，故选D. 答案 D5.【必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 答案 π36.【2017·绍兴调研)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________.解析 135°＝135180＝3π4【弧度)，由α＝l r ，得r ＝l α＝3π3π4＝4，S 扇形＝12lr ＝12×4×3π＝6π. 答案 4 6π考点一 角的概念及其集合表示【例1】 【1)若角α是第二象限角，则α2是【 ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角【2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 【1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角.【2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 【1)C【2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π规律方法 【1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.【2)确定kα，αk 【k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置.【训练1】 【1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么【 )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅【2)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围【阴影部分)是【 )解析 【1)法一 由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝【2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝【k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.【2)当k ＝2n 【n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1【n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样，故选C. 答案 【1)B 【2)C 考点二 弧度制及其应用【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . 【1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；【2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；【3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 【1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3【cm). 【2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎨⎧R ＝1，α＝8【舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12. 故扇形圆心角为12. 【3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12【20－2R )R ＝10R －R 2＝－【R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.规律方法 应用弧度制解决问题的方法【1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.【2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.【3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】 已知一扇形的圆心角为α 【α>0)，所在圆的半径为R . 【1)若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 【2)若扇形的周长是一定值C 【C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 【1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝90°＝π2，R ＝10，l ＝π2×10＝5π【cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×5π×10－12×102＝25π－50【cm 2). 【2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216. 考点三 三角函数的概念【例3】 【1)【2017·东阳一中月考)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos 2α等于【 ) A.－12B.12C.－32D.1【2)【2016·兰州模拟)已知角α的终边过点P 【－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为【 ) A.－12B.12C.－32D.32【3)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在【 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 【1)根据题意可知，cos α＝12，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×14－1＝－12，故选A.【2)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12，故选B.【3)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.答案 【1)A 【2)B 【3)D规律方法 【1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r . 【2)根据三角函数定义中x ，y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.【3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.【训练3】 【1)【2017·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝【 ) A.－33B.±33C.－32D.±32【2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 解析 【1)由|OP |2＝14＋y 2＝1， 得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.【2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域【图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 【1)C【2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z[思想方法]1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.[易错防范]1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.基础巩固题组【建议用时：30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有【)A.1个B.2个C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.答案 C2.已知点P【tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限选【)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B3.【2017·湖州模拟)已知角θ的终边经过点P 【4，m )，且sin θ＝35，则m 等于【 ) A.－3 B.3C.163D.±3解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 B4.点P 从【1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为【 ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标【x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是【 )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角.答案 B6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈【0，π)的弧度数为【 )A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是【 )A.1B.2C.3D.4解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A8.【2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝【 )A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案 B二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内【不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π【k ∈Z ).答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π【k ∈Z ) 10.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析 由已知P 【cos α，sin α)，则Q 【－cos α，－sin α).答案 【－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 答案 π312.【2017·衡水中学月考)已知角α的终边经过点【3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 【－2，3]13.【2017·舟山调研)若θ是第二象限角，则sin 【cos θ)的符号为________，cos【sin θ)的符号为________.解析 ∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0，0<sin θ<1，∴sin 【cos θ)<0，cos【sin θ)>0.答案 负 正能力提升题组【建议用时：15分钟)14.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝【 )A.－1B.1C.－2D.2解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B15.【2016·郑州一模)设α是第二象限角，P 【x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于【 )A.43B.34C.－34D.－43解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 D16.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围【如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6【k ∈Z ) 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6【k ∈Z ) 17.【2017·宁波质测)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d 【单位：cm)表示成t 【单位：s)的函数，则d ＝________，【其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm. 解析 根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60【t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.答案 10sin πt 60 1018.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在【0，1)，此时圆上一点P 的位置在【0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于【2，1)时，OP →的坐标为________.解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2， 所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为【2－sin 2，1－cos 2)，故OP→＝【2－sin 2，1－cos 2). 答案 【2－sin 2，1－cos 2)。
2018年高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性文
第 33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性例2．（求函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间．【解析】设[]2,2A ππ=-，函数()1sin 23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间为B ．由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得()5544,4,43333k x k B k k k Z ππππππππ⎡⎤-≤≤+∴=-+∈⎢⎥⎣⎦．易知5,33AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【试题来源】人教版A 版必修4第39页例5．【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求()sin y A x B ωϕ=++()0,A x R >∈的单调区间，再与已知区间求交集即可．II ．考场精彩·真题回放例．（2017课标3理6）设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π，π)单调递减 【答案】D 【解析】【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】解答此类问题的关试题分析：函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数()f x 的一个周期为2π- ，选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Z ππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确； 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调，选项D 错误．故选D ．例例．（2017天津，理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，键是能综合运用三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++，再进一步讨论相关性质．(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b的形式． (2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z )即可．∴2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，∴01ω<<，∴23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．例．（2017浙江）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23sin x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由2332sin=π，2132cos-=π，)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)32(=πf（Ⅱ）由xx x 22sin cos 2cos -=与xx x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f∴)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ∴)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 例3．（2016高考北京文数）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【分析】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可．【解析】（I ）∵()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos2x x ωω=+224x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=． （II ）由（I ）知()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 例4．（2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】 试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．例5．（2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cosx ）（cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故最小正周期22T ππ==，故选B ． III ．理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性xy sin =在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上单调递减，当Z k k x ∈+=,22ππ时，1max =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y ；x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ上单调递减，当Z k k x ∈=,2π时，1max =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y ；x y tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π． 考点三 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数；对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数．考点四 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ，其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；cos y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()πx k k =∈Z ，其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；tan y x =的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】（1）讨论()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想：把()0x ωϕω+>视为一个整体，()00A A ><所列不等式的方向与sin ,cos ,tan y x y x y x ===的单调区间对应的不等式方向相同（反）．（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于，可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．（3）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω． （4）三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=，而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．（5）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =．【易错指导】（1）对于三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负，若ω为负，则需先化正，化为()sin y A x ωϕ=---的形式，若求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z ∈”，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结．（3）必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式，再分别利用公式2,T T ππωω==求周期，注意ω一定要加绝对值． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间）例1．（2018河南名校联考）已知，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D例2．函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ． 【解析】函数()2cos(2)2cos(2)44f x x x ππ=-+=-，由222,4k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得：3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．故答案应填：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ． 例3．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景，考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手，对函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭进行变形，将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ，将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解.例4．（2018河北石家庄）已知()2sin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，所得图象恰与函数()g x 的图象关于直线6x π=，求函数()g x 的单调递增区间．【答案】(1) 210,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；(2) ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．试题解析：（Ⅰ）()2sin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1cos2111sin2sin 2sin2cos2cos222222x x x x x x π-⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭()1121sin2cos2222242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5521244x πππ≤+≤，∴()221sin 21,0242x f x π⎛⎫-≤+≤≤≤⎪⎝⎭， 即()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是210,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）函数()f x 的图象向右平移8π个单位后得到()h x 的图象， 则()2182h x f x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 设点(),P x y 是()g x 图象上任意一点，则点P 关于直线6x π=对称的点,3Q x y π⎛⎫-⎪⎝⎭在()h x 的图象上， ∴()221sin 23232g x h x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21sin 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∴当()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时， ()g x 单调递增，∴()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等．例5．（2017吉林模拟）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin B C A B C +-=（1） 求角A 的大小；（2）已知函数()()sin ,0f x x A ωω=+>的最小正周期为π，求()f x 的单调减区间． 【答案】(1) A=3π；（2）[kπ+ 12π，kπ+712π ]（k ∈Z ）试题解析： (1)可得：A=3π（2）由题意，ω= 2，∴f （x ）=sin （2x+3π），∴由2kπ+2π ≤2x+3π≤2kπ+32π，（k ∈Z ），可得：kπ+12π ≤x≤kπ+ 712π，（k ∈Z ），∴f （x ）的减区间为：[kπ+ 12π，kπ+712π ]（k ∈Z ） 考向2 三角函数的奇偶性例6．（2018浙江温州）已知函数，则下列命题错误的是（ ）A ．函数是奇函数，且在上是减函数B ．函数是奇函数，且在上是增函数C ．函数是偶函数，且在上是减函数D ．函数是偶函数，且在上是增函数【答案】A【解析】函数， ，在上递减，在上递增，在上递增，命题“函数是奇函数，且在上是减函数”错误，故选A ．例7．已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力．【答案】0．考向3 三角函数的周期性例8．（2018辽宁鞍山）函数()2sin cos 3cos2f x x x x =+的周期为（ ） A ．2T π= B ．2T π= C ．T π= D ．4T π=【答案】C【解析】由()2sin cos 3cos2sin23cos22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，∴函数的周期22T ππ==，故选C ． 例9．（2018湖北武汉起点调研）函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()sin(2)sin(2)sin2cos cos2sin sin2cos cos2sin sin2333333f x x x x x x x xππππππ=-++=-++=，∴最小正周期．本题选择C 选项．例10．（2018江苏淮安）已知()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则函数()f x 的周期为________． 【答案】π例11．（2018上海模拟）设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=__________．【答案】12π 【解析】 由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11534884T πππ=-=，∴3T π=，则2233w w ππ=⇒=， ∴()()22sin 2sin 3f x x x ωϕφ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 由52552sin 2sin 183812f πππφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴52,122k k Z ππφπ+=+∈， 取0k =，得12πφπ=<，∴2,312w πφ==． 例12．（2017淮北一中后一卷）设函数()sin sin 2f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）若12ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的取值范围； （2）若8x π=是()f x 的一个零点，且010ω<<，求ω的值和()f x 的最小正周期．【答案】（1）()f x 的最大值为2，相应x 的取值集合为3{|4,}2x x k k Z ππ=+∈；（2）()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期是π．（2）2sin 084ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而84k ωπππ-=， k Z ∈，由()0,10ω∈可得结论．试题解析：()2sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）当12ω=时， ()12sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的最大值为2，相应x 的取值集合为3{|4,}2x x k k Z ππ=+∈． （2）∵2sin 0884f πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得84k πππ-=，又010ω<<，∴0, 2.k ω==()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期是π．考向4 三角函数的对称性例13．（2018河南林州10月调研）将函数3sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．7,048π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D例14．（2018河南漯河）若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称，则，-∴的最小值为，故选A ．例15．（2018辽宁凌源）将函数()2sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．最小正周期为πB ．初相为3πC ．图象关于直线12x π=对称 D ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D例16．（2018四川成都）已知函数()()2cos 1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=>><<＋＋的最大值为3， ()f x 的图像与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()()1232017f f f f +++＋的值为（ ）A ．4030B ．4032C ．4033D ．4035【答案】C 【解析】()()()21cos 22cos 1?1(0,0,0)22x f x A x A A ωϕπωϕωϕ++=++=+>><< 的最大值为3 ， 1322A A∴++= ，可求2A = ，∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2 ，可得函数的最小正周期为4 ，即242πω= ，∴解得4πω= ，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2 ，可得()cos 2112,cos20,22πϕϕϕ++=∴== ，解得4πϕ=，∴函数的解析式为()cos 22222f x x sin x πππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭ ，()()()23201712...2017...220172222f f f sin sin sin sinππππ⎛⎫∴+++=-+++++⨯ ⎪⎝⎭20175040sin403440332π=⨯++= ，故选C ． 例17．（2018江苏横林）若函数()()2cos f x x m ωθ=++对任意的实数f()99t t f t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭都有且3,9f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则m =_______ ． 【答案】1- 或5-例18．（2018河南南阳）函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间15,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是增函数； ④将sin2y x =的图象向右平移3π个单位可得到图像C ． 【答案】①②③【解析】对于()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1112x π=，求得f (x )=−1，为函数的最小值，故它的图象C 关于直线1112x π=对称故①正确．令x =23π，求得f (x )=0，可得它的图象C 关于点(23π，0)对称，故②正确． 令51212xππ-，可得2232x πππ--，故函数f (x )在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数，故③正确，由sin2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到22233y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除④， 故答案为：①②③．考向5 已知三角函数的单调性求参数的值或范围例19．（2018安徽安庆模拟）若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且2536f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的一个可能值是（ ） A ．12 B ．35 C ．34 D ．32【答案】C例20．设函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数， 0,0A ω>>）．若()f x 在区间()1,3上具有单调性，且()()()135f f f =-=-，则ω=_______________．【答案】4π【解析】()()13,f f =-∴一个对称中心横坐标为1322+=， ()()35,f f =∴一条对称轴方程为354,42224T x +==∴=-=， 28,4T ππωω===，故答案为4π．考向6 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值例21．（2018四川成都）若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0 B ．0 和1 C ．1± D ．2± 【答案】A【解析】由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x = ，因此()ππsin 1π36k k Z ϕϕ⎛⎫+=±⇒=+∈ ⎪⎝⎭，由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin π1112036k b b b ⎛⎫+++=-⇒=-±⇒=- ⎪⎝⎭或 ，选A ． 点睛：求函数解析式()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1) max min maxmin,22y y y y A B -+==． (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．（4）由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 例22．（2018河北衡水）已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（1ω>， 2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C由题意得“()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”等价于“()sin 20x ϕ+>对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”．∵123x ππ-<<，∴2263x ππϕϕϕ-+<+<+， ∴()2,2,2,63k k k Z ππϕϕπππ⎛⎫-++⊆+∈ ⎪⎝⎭，∴22,63k k k Z πππϕπ+≤≤+∈．故结合所给选项可得C 正确．选C ．点睛：本题难度较大，解题时根据题意得2ω=，可将问题转化成“函数()y sin 2x ϕ=+0>对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”，然后可根据2x ϕ+在,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的取值范围是()2,2,k k k Z πππ+∈的子集去处理，由此通过不等式可得ϕ的范围，结合选项得解．21 例23．（2017山东日照三模）已知函数()[)[)2017πcos ,0,,2log ,,,πx x f x x x ππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈∞⎪⎩若存在三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为______________．【答案】()2π,2018π令2017log 1πx =得2017πx =， ()f a = ()f b = ()f c ，a b ∴+= π， ()π,2017πc ∈，a b c ∴++= ()π2π,2018πc +∈，故答案为()2π,2018π．，故选答案为()2π,2018π． 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．。
高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2018高考数学解题技巧-三角函数
2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=-+θθθθθθθθθθ； 函数的定义域问题例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
例3、求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：三角函数的最值问题
巧用有界性求最值
把函数化成 y＝Asin（ωx＋ ）或 y＝Acos（ωx＋ ）的形式，利用正、余弦函数的有 界性来求最值是一种常用方法。 求 y＝ sin 2 x －sinxcosx＋2 的值域。 1 cos 2 x 1 解析：y＝ sin 2 x －sin xcos x＋2＝ sin 2 x 2 2 2 2 5 5 ＝－（sin2x＋cos2x）＋ ＝ sin(2 x ) . 2 4 2 2 52 2 52 2 又∵－1≤sin（2x＋ ）≤1，∴ ≤y≤ 。 2 2 4 52 2 52 2 ∴即所求函数的值域为[ ， ] 2 2 点拨：求三角函数最值时，先把角度转换成同角的，如果是次数相同则使用提斜公式求 例题 最值，如果次数为一个一次，一个二次，则用二次函数的观点来求最值。两种类型都是非常 经典的，是高考中极易考到的题型，同学们一定要抓住题型特点，快速并准确地得到最终的 答案。
解析： 原函数可化为：y sin x cos x 2(sin x cos x) 4 ， 令s n i xc o s 则 sin x cos x
x( | |t t2 )
，
t 1 t 1 1 3 ，∴ y 2t 4 (t 2)2 。 2 2 2 2 ∵ t 2 [ 2, 2] ，且函数在 [ 2, 2] 上为减函数， 9 ∴当 t 2 时，即 x 2k (k Z ) 时， ymin 2 2 ； 4 2
上的最值求之。 4. y a sin x cos x b(sin x cos x) c ， 设 t s i n x ， co x s 化为二次函数
y
a(t 1) bt c 在闭区间 [ 2, 2] 上的最值求之。 2 a sin x b 5. y ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，还可用“不等式法” c sin x d
三角函数解题技巧求解析式
三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。
1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。
一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。
比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。
2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。
常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。
常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。
常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。
常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。
2018年高考数学专题16三角函数的图像和性质问题黄金解题模板
专题16 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】类型一 求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A ω的正负；第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例 1 【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】 设向量cos ,cos2,sin2,sin 44a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的单调递减区间. 【答案】(1) π;(2) 37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式演练1】函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间是（ ）A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π] C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）【答案】B.考点：三角函数单调性.【变式演练2】已知函数()sin2(0)f x x ωω=->的图象关于点5,04M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为__________． 【答案】25【解析】函数()sin2(0)f x x ωω=->的图象关于点5,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故552sin0,22w w k k Z πππ-=⇒=∈ ， 2,5w k =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，故得到： 1422w wππ≥⇒≤两者取交集得到 ω的值为25。
2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题) -2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例【2018年全国1卷理科第16题】已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是______. 解法一：引导：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.点评：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x =443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 2()sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥⎨⎪-⎪⎩当，()f x ∴的最小值是 点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。
解法三：解法3：公式搭桥，函数领路，导数建功。
解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则2223418 2sin(1cos)(1)1112t ty x xt t t tt-=+=+=++++，31t2,t ttϕ=++令()4222221321t32,0t tt tt tϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取tϕ()到极值经检验当t=tϕ()有最大值，则y有最小值得：min812(yϕ==-解法4：替换消元，导数建功。
三角函数的图象和性质-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象,了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性热点题型一三角函数的定义域及简单的三角不等式例1、(1)函数f（x)＝－2tan错误!的定义域是（）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!（2)不等式错误!＋2cos x≥0的解集是________.（3）函数f(x)＝错误!＋log2(2sin x－1）的定义域是________。
【答案】（1）D （2)错误!（3）错误!∪错误!∪错误!【解析】（1）由正切函数的定义域，得2x＋错误!≠kπ＋错误!,即x≠错误!＋错误!（k∈Z)，故选D.（2)由错误!＋2cos x≥0，得cos x≥－错误!，由余弦函数的图象,得在一个周期[－π，π］上,不等式cos x≥－错误!的解集为错误!，故原不等式的解集为错误!。
【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法（1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝A tan（ωx＋φ）的定义域。
（2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。
2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。
(2）利用三角函数的图象求解.【举一反三】函数y＝错误!的定义域为________。
【答案】错误!【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0。
利用图象，在同一坐标系中画出［0，2π]上y＝sin x和y＝cos x 的图象，如图所示。
在［0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为错误!，错误!，再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为错误!。
热点题型二三角函数的值域与最值例2、(1）函数y＝－2sin x－1,x∈错误!的值域是（) A．[－3，1] B．[－2，1］C．（－3，1] D．(－2，1](2）函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( ）A．3，－1 B．3，－2C．2，－1 D．2,－2【答案】(1）D（2）D【提分秘籍】三角函数最值或值域的三种求法（1）直接法：利用sin x,cos x的值域。
数学解三角函数的技巧口诀
数学解三角函数的技巧口诀解三角函数的技巧口诀可以帮助我们更简便、快速地解决三角函数相关的问题。
以下是一些常用的数学解三角函数的技巧口诀：一、正弦函数（sin）的技巧口诀：1. 正弦值的取值范围是[-1, 1]；2. sin(x) = sin(-x)；3. sin(π/2 - x) = cos(x)；4. sin(π/2 + x) = cos(x)；5. sin(x + π) = -sin(x)；6. sin(x + 2kπ) = sin(x)，其中k为整数；7. sin(x) = sin(π- x)，其中x为首二象限的角度；8. sin(x) = sin(2π- x)，其中x为末二象限的角度；9. sin(a ±b) = sin(a)cos(b) ±cos(a)sin(b)；10. sin2(x) + cos2(x) = 1；11. sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)；12. sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)；13. sin(a) + sin(b) = 2sin((a + b)/2)cos((a - b)/2)；二、余弦函数（cos）的技巧口诀：1. 余弦值的取值范围是[-1, 1]；2. cos(x) = cos(-x)；3. cos(π/2 - x) = sin(x)；4. cos(π/2 + x) = -sin(x)；5. cos(x + π) = -cos(x)；6. cos(x + 2kπ) = cos(x)，其中k为整数；7. cos(x) = -cos(π- x)，其中x为首四象限的角度；8. cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)；9. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)；10. cos(a ±b) = cos(a)cos(b) ±sin(a)sin(b)；11. cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2)；12. cos2(x) + sin2(x) = 1；三、正切函数（tan）的技巧口诀：1. tan(x) = tan(x + kπ)，其中k为整数；2. tan(x) = -tan(-x)；3. tan(x) = sin(x)/cos(x)；4. tan(x + π) = tan(x)；5. tan(a + b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)tan(b))；6. tan(a - b) = (tan(a) - tan(b))/(1 + tan(a)tan(b))；7. tan(a ±b) = (tan(a) ±tan(b))/(1 ∓tan(a)tan(b))；四、余切函数（cot）的技巧口诀：1. cot(x) = 1/tan(x)；2. cot(x) = -cot(-x)；3. cot(x) = 1/tan(x)；4. cot(a + b) = (cot(a)cot(b) - 1)/(cot(b) + cot(a))；5. cot(a - b) = (cot(a)cot(b) + 1)/(cot(b) - cot(a))；6. cot(a ±b) = (cot(a)cot(b) ∓1)/(cot(b) ∓cot(a))；五、正割函数（sec）的技巧口诀：1. sec(x) = 1/cos(x)；2. sec(x) = sec(-x)；3. sec(x) = 1/cos(x)；4. sec(a + b) = (sec(a)sec(b))/(sec(b) + sec(a))；5. sec(a - b) = (sec(a)sec(b))/(sec(b) - sec(a))；6. sec(a ±b) = (sec(a)sec(b))/(sec(b) ∓sec(a))；六、余割函数（csc）的技巧口诀：1. csc(x) = 1/sin(x)；2. csc(x) = -csc(-x)；3. csc(x) = 1/sin(x)；4. csc(a + b) = (csc(a)csc(b))/(csc(a) + csc(b))；5. csc(a - b) = -(csc(a)csc(b))/(csc(a) - csc(b))；6. csc(a ±b) = -(csc(a)csc(b))/(csc(a) ∓csc(b))；以上是一些常见的数学解三角函数的技巧口诀，希望能够对你有所帮助。
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2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=-+θθθθθθθθθθ； 函数的定义域问题例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
例3、求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y（2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y（2）函数的最大值与最小值。
求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是： （1）sinx,cosx 的有界性； （2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
例4、求下列函数的最大值与最小值（1）x y sin 211-= （2）4sin 5cos 22-+=x x y （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
解：(1)221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2) []222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-；当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。
（3）413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 函数的周期性例5、求下列函数的周期()x x f 2cos )(1= ())62sin(2)(2π-=x x f分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。
（1）把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。
（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(26421sin 2πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x)62sin(2)(π-=∴x x f 的周期是π4。
说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。
一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ωπ2=T 。
xyO 12π65π22-例6利用图像求函数的周期右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数周期解:35346124T πππ=-=,T π∴=例2下列函数中，图象的一部分如右图所示,求函数)sin(ϕω+=x A y 的周期. 解:)6(1241ππ--=T ,π=T例6、已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- 2sin 22cos 222)4πx x x =-=- 所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈， 所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x 最大值为2； 函数的单调性例8、下列函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .= x y Bcos = x y C2sin = x y D2cos =分析：判断。
在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2ππππ≤≤∴≤≤ 解：sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤， 22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。
例9、已知函数235cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）235cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f )3sin 2cos 3cos2(sin 52cos 352sin 2523522cos 1352sin 25ππx x xx x x -=-=++-=)32sin(5π-=x ∴最小正周期T=ππ=22（Ⅱ）由题意，解不等式πππππk x k 223222+≤-≤+-得 )(12512Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ)(x f ∴的递增区间是)](125,12[Z k k k ∈++-ππππ小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。
的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ωϕω一、 给值求值知识点：1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。
2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用。
二、 解三角形问题知识点:解三角形的有关问题时，关键是正弦定理、余弦定理 1： 正弦定理：sin sin sin a b cA B C==2:余弦定理：a =b +c -2bc cos A , ; 3:面积公式：1sin 2S ab C = 4:三角形内角和：A+B+C=1800解题时根据已知条件选用正弦定理、余弦定理或者在同一道题中两个定理同时应用，若给出的方程两边是正弦齐次或边的齐次问题我们就可以把正弦换成相应的边，边换成相应的正弦，从而达到只有边或者只有三角函数的问题。
三：三角函数性质问题知识点：基本公式 1、定义域，值域，奇偶性，周期性，三角恒等变形，诱导公式，倍角公式，图像，正弦定理，余弦定理，对称轴，中心对称点等从近几年高考形式来看，这类题型出题可能性非常大，而且还会经常考察向量乘法运算法则，解题时先用第一组公式降次，再用第二组公式达到“同角同名”化的目的。
先将函数式化为基本三角函数的标准式，y=Asin(ωx+φ) 周期 2T πω=单调区间： 把ωx+φ看做一个整体，用y=sinx 的单调性去解。