高中物理变力做功的解法总结
求解变力做功的四种方法
联立解得 d′＝( 2－1)d. [归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时，
F
＝F1＋ F2
2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况 ．
*
栏目 导引
图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做旳功W可用F－l图线与l轴所围成旳面积 表达．l轴上方旳面积表达力对物体做正功旳多 少，l轴下方旳面积表达力对物体做负功旳多少 ．
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功旳两个必要原因 • (1)作用在物体上旳力． • (2)物体在力方向上旳位移． • 2．功旳体现式：W＝Flcos α，α为力F与位移l旳
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
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第七章 机械能守恒定律*
• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功旳位移等于左边绳旳变短旳部分，而 不等于物体旳位移．
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[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝ W1＋ W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－m gR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
用功的公式求变力做功的几种方法
用功的公式求变力做功的几种方法一、知识讲解功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。
而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。
例1、如图，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。
T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。
由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：βαsin sin 21h h S S S -=-=∆ )sin 1sin 1(.βα-=∆==Fh S F W W F T 2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：A 、 0JB 、20πJC 、10JD 、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ ，故B 正确。
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
变力做功的解题方法
变力做功的解题方法在中学阶段，功的计算公式只适用于恒力做功的情况，对于一些变力做功的情形，往往是不能直接应用此公式来直接计算。
如何来求解变力所做的功呢？通常有以下几种方法。
一、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一次函数关系的直线运动中。
1.如图所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
二、将变力处理成恒力将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
2.如图所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？3.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。
若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在BC两上点的动能分别为E kB和E kC，图中AB=BC，则一定有（）A．W1＞W2 B．W1＜W2C．E kB＞E kC D．E kB＜E kC三、图像法表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。
其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力的作用点在力的方向上的位移s。
图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。
4.如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？5.用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）四、功率法当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
高中物理变力做功的解法总结
变力做功的解法一、化变力为恒力求变力功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．1.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β.已知图中的高度是h，求绳的拉力F T对物体所做的功．假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计．二、用平均力求变力功在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝F1＋F22的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝F l cos α求此力所做的功．2.把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？三、用F-x图象求变力功在F-x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况．[典例3] 放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态．现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其F-x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功．四、用动能定理求变力功动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动,既适用于求恒力功也适用于求变力功.因使用动能定理可由动能的变化来求功,所以动能定理是求变力功的首选.4.如图甲所示,一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点,从t＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F的作用并向右运动,第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0,第5 s末物块刚好回到A点,已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2,求:(g＝10 m/s2)(1)A与B间的距离;(2)水平力F在前5 s内对物块做的五、利用微元法求变力功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题．5.如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功．变力做功的解法的答案1.W T ＝W F ＝F Δl ＝Fh ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α－1sin β 2.在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl 2钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12kl 2 设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 22E 03. 由F -x 图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W ＝12×(0.6＋0.4)×40 J ＝20 J. 4. (1) A 与B 间的距离为x ＝12at 2＝4 m. (2) W ＝2μmgx ＋max ＝24 J.5.将小球运动的轨迹分割成无数个小段,设每一小段的长度为Δx ,它们可以近似看成直线,且与摩擦力方向共线反向,如图所示,元功W ′＝F f Δx ,而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和,即W ＝∑W ′＝F f ∑Δx ＝2πRF f .Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法功是一个基本物理量，功是能量转化的量度．因此，功的计算在中学物理中占有十分重要的地位．中学阶段所学的功的计算公式W=FS COS α只适用于计算恒力做功情况，但如果是变力做功，一般不能用该公式去计算．那么，在高中知识的范围内如何处理有关变力做功的问题呢？本文介绍几种常见的求解方法．一、 用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，其表达式是W 外＝ΔE ｋ，W 外是指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，ΔE ｋ是物体动能的变化量．如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．例1．如图1所示，一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂在O 点，小球在水平拉力F 的作用下，从平衡位置A 点缓慢地移到B 点，求力F 所做的功？分析：小球从A 点拉到B 点时，受重力、绳子的拉力和水平拉力F ，由受力分析知F=mg tan θ，随着θ的增大，Ｆ也增大，故F 是变力，因此不能直接用W=FS COS θ计算．解：从A 缓慢拉到B ，由动能定理得：ＷＦ－ＷＧ＝ΔＥＫ，因为小球缓慢移动，速度可视为零，即动能的变化量ΔＥＫ为零,则有：ＷＦ＝ＷＧ＝mgL(1-COS θ) ．二、用机械能守恒定律求解如果物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，所研究的系统的机械能守恒．如果重力和弹力中有一个力是变力，这个变力所做的功就可用机械能守恒定律求解.例2．一条均匀铁链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图2所示．铁链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，当铁链的最后一节离开桌面时，求铁链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?分析：铁链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，这部分所受的重力是变力，整个铁链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．解：取桌面为零势能面，设整个铁链质量为ｍ，下垂部分质量为ｍ０．则有：ab m m =0，m a b m =0， 链条开始下滑时:动能E ｋ1＝0，势能E ｐ1＝－2b ｍ０ｇ＝－a b 22ｍｇ,机械能E 1＝E ｋ1＋E ｐ1＝－ab 22ｍｇ， 设链条全部离开桌面时的瞬时速度为ｖ，此时：动能E ｋ2＝21ｍｖ2，势能E ｐ2＝－2a ｍｇ，机械能E 2＝21ｍｖ2－2a ｍｇ， 根据机械能守恒定律有E 1＝E 2，即：－ab 22ｍｇ=21ｍｖ2－2a ｍｇ， 解得：ｖ＝ab a g )(22-.因此，在这一过程中重力所做的功为：W Ｇ＝ΔE ｋ＝21ｍｖ2－0＝)(222b a amg -. 三、用功能原理求解如果系统除重力和弹力之外的力对物体做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统就有多少机械能发生变化，这就是功能原理．如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其它力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题．例3．质量为m 的均匀链条长为L ，自然堆放在光滑的水平面上，现用力F 将其一端竖直向上缓慢地提起，求该链条另一端刚好离开水平面时拉力F 所做的功？分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,作用在链条上的拉力是变力，因此不能直接用W=FS COS α计算．根据功能原理，上提过程中拉力F 所做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求解．解：当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L ，故机械能增加量为：ΔE=mgL ，根据功能原理知力F 所做的功为：W=mgL .四、用公式W=Pt 求解将功率的定义式P=t W 变形，得W=Pt ．在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式． 例4．质量为5×105kg 的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km ／h ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功？分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用W=FS COS α求解，但可用公式W=Pt 来计算．解：根据题意，机车所受阻力f ＝kmg ，当机车速度达到最大值v ｍａｘ时，机车牵引力Ｆ＝f ＝kmg ，故机车的功率为：Ｐ＝ＦＶｍａｘ＝kmgv ｍａｘ＝0.06×5×105×10×3600101083⨯Ｗ＝9×106Ｗ， 根据Ｗ＝Ｐｔ，得机车所做的功为：Ｗ＝9×106×300J ＝2.7×109Ｊ.五、用图象法求解如果力F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F —x 图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
变力做功的四种类型
变力做功的四种类型①利用平均值法求变力做功（或示功图） ②分过程求变力做功。
③微元法求变力作功。
④转移法（将变力转做为恒力做功）例1：质量为1kg 的物体在变力作用下，自静止起加速运动，已知作用F 随位移S 变化的规律是：F=（10+3S ）N ，则该物体经4m 位移后力F 做的功为多少焦？解法一：因变力F 随位移S 线性变化，则变力F 的平均F 为：12(1030)(1034)1622F F F N ++⨯++⨯=== 变力F 所做的功为：16464W FS J ==⨯= 解法二：力F 随位移S 是均匀增大的，据此做出F=S 图象，因为功是力在空间积累的效果，所以力F 所做的功等于图形中梯形的面积。
“即”121(1022)42 =64JW =+⨯（a+b ）h=巩固练习一、劲度系数为k 的弹簧，用力拉它，当它伸长x 时，所用的拉力为F ，求此力所做的功。
解：由于力F 的大小与位移成正比，所以变力F 可以用平均力来替代，也就是说，变力F 做的功等于它的平均力F 做的功即：2122o kx W FS x kx +=== 示功图为： S 面=例2：以一定初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为（）A 、零B 、fh -C 、2fh -D 、4fh -分析：整个过程，小球所受阻力的方向变化了，所以是变力，如何求这一变力做的功，可分段处理，上升和下降阶段，阻力均做负功，且均为fh -，故总功为2fh -.例3：沿着半径为R 的圆周做匀速运动的汽车，运行一周回到原出发点的过程中，牵引力和摩擦力各做功为多少？已知摩擦力f解析：做圆周运动的物体，速度方向总沿其切线方向，故牵引力也沿其切线议长阻力与牵引力方向相反，故这两个力都是变力，则采用微元法解决。
把圆周分成无数小段，在第一小段里可以看成作直线运动：则牵引力做功 123n WF F S F S F S F S =∆+∆+∆++∆ 123=F(S +S +)n S S ∆∆∆++∆=f.2R π 同理摩擦力做功为： wf=-f.2R π巩固练习：水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，现有大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向同时与小球的运动方向一致，则此过程中，拉力做功为 （ ）A 、0B 、FRC 、23RF π D 、2FR π例4：在光滑的水平面上，物体在恒力F=100N 作用下F 从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳滑轮的质量，及滑轮与绳间的摩擦：已知002.4 37 53H m a β===求拉力F 对物体做的功。
高考物理：变力做功的求解方法！
高考物理：变力做功的求解方法！一、变力做功的计算方法1、用动能定理动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△E k是物体动能的增量。
如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理表达式就可以求出这个变力所做的功。
2、用功能原理系统内除重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于该系统机械能的增量。
若在只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。
3、利用W＝Pt求变力做功这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。
4、转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可将变力做功转换成恒力做功，继而可以用求解。
5、用平均值当力的方向不变，而大小随位移做线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
6、微元法对于变力做功，我们不能直接用公式进行计算，但是可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，其具有普遍的适用性。
在高中阶段主要用这种方法来解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功的问题。
二、摩擦力做功的特点1、静摩擦力做功的特点：A、静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
B、在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
C、相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总是等于零。
2、滑动摩擦力做功的特点：如图所示，顶端粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为s，则滑动摩擦力F对木块做的功为W木=－F（d+s）①由动能定理得木块的动能增量为ΔE k木=－F（d+s）②滑动摩擦力对小车做的功为W车=Fs ③同理，小车动能增量为ΔE k车=Fs ④②④两式相加得ΔE k木+ΔE k车=－Fd ⑤⑤式表明木块和小车所组成系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车位移的乘积，这部分能量转化为内能。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
[求解变力做功的五种方法]变力做功
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[求解变力做功的五种方法]变力做功1.微元法适用于大小不变的力所做功的计算，此种情况可以通过分割求和的物理方法来求变力的功。
把曲线运动分成若干小段，每一小段上都可认为是恒力做功，再累计求和。
计算时由于力的大小不变，在累加时可以提出来，剩下的各小段累加得到的结果就等于物体通过的总路程。
我们可以通过力与物体通过的路程及其夹角的乘积来计算这一情况下大小不变的力所做功的问题。
如图所示，某个力F=10N作用于半径为R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力做的总功为（）。
A.0JB.20JC.10JD.20J解析：分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功。
可以把圆弧分成1、2、3。
，总功W=F1+ F2+ F3+。
= F（1+2+3+。
）= F·2R=20J。
故答案为：B。
2.平均法对方向不变、大小随位移发生线性变化（即力与位移成一次函数关系）的力做功问题，可以通过平均力来计算这种变力的功。
这种方法也可以用来求解弹簧的弹力做的功。
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。
已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是多少？解析：钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题。
由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理。
．据题意可得第一次打击有：；第二次打击有：。
由以上两式可得。
用图象法求解变力做功问题在F—图象中，图线与坐标轴围成的面积表示功。
对于方向不变，大小随位移线性变化的力，作出F—图象，求出图线与坐标轴所围成的面积，就求出了变力所做的功。
一立方体木块，边长0．2m，放在水池中，恰在此时有一半浮出水面而处于静止状态，若池深1m，用力将木块慢慢推至池底，在这一过程必须对木块做多少功？（水的密度）解析：木块的重力。
作出整个过程的F-图象，梯形面积即为变力的功，有。
高中物理：变力做功怎么求？
高中物理：变力做功怎么求？功的求法是高中物理教学的重点和难点之一，教材上的公式：，只适用于恒力做功的情况，对于某些变力做功的问题，在高中阶段也要求学生掌握，而学生遇到变力做功的问题时，常常感到无处着手。
下面，对变力做功求解方法的问题进行总结：方法一：微元累积法将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。
例1、如图1所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。
解析：将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图2所示，元功，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即方法二：力的平均值法当某个力的方向不变，但其大小随位移均匀变化时，可以用力的初始值F1和末状态值F2的平均值来计算变力所做的功。
例2、如图3所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。
解析：弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，在题设条件下，弹力的初始值为，终值为，故弹力的平均值为，则弹力所做的功。
方法三：图像法在题设情况下，如果能找出力F与位移s的函数关系，则在F－s 的平面直角坐标系中，作出F随s变化的图像，那么，图像与横坐标轴所围成的图形的面积即是F对物体在某一段位移上所做功的数值。
例3、用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起质量为20kg 的重物，在这个过程中至少要做多少功（取g＝10m/s2）解析：在吊起重物的过程中，作用在重物和铁索上的力至少应等于重物和铁索的重力，但在吊起过程中铁索的长度逐渐缩短，故拉力也逐渐减少，即拉力是一个随距离变化的变力，拉力随深度s的变化关系为所以力随距离是均匀变化，作出拉力的F－s图线，则拉力所做的功可以用图4中梯形的面积来表示显然，此题亦可以用方法二求解。
高考物理解题方法讲与练5 求解变力做功的方法(含解析)
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————求解变力做功的方法李仕才专题五：求解变力做功的方法1．等值法若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算该恒力做的功，求出该变力做的功．恒力做功又可以用W ＝Fs cos α计算．例1如图，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F (恒定)，滑块沿水平面由A 点前进s 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β.求滑块由A 点运动到B 点的过程中，绳的拉力对滑块所做的功．(不考虑绳、滑轮的摩擦和滑轮的质量)．解析 设绳对滑块的拉力为T ，显然T 与F 大小相等，细绳的拉力在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题．拉力F 的大小和方向都不变，可以用公式W ＝Fs cos α直接计算．由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的位移大小为Δs ＝s 1－s 2＝h sin α－h sin β故W F ＝F ·Δs ＝Fh ⎝⎛⎭⎪⎫1sin α－1sin β. 答案 Fh ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α－1sin β2．功率法若功率恒定，可根据W ＝Pt 求变力做的功．例2一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t ，其速度由0增大到v .已知列车总质量为M ，机车功率P 保持不变，列车所受阻力f 为恒力．求这段时间内列车通过的路程． 解析错解：以列车为研究对象，水平方向受牵引力F 和阻力f .根据P ＝Fv 可知牵引力F ＝P /v ，设列车通过的路程为s ，根据动能定理有(F －f )s ＝12Mv 2， 联立解得s ＝Mv 3P －fv. 正解：以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力．设列车通过的路程为s ，根据动能定理有W F －W f ＝12Mv 2－0.因为列车功率一定，由P ＝W t，可知牵引力做的功W F ＝Pt ，联立解得s ＝Pt －12Mv 2f. 答案 Pt －12Mv 2f3．动能定理法由做功的结果——动能的变化来求变力做的功，即W ＝ΔE k .例3一环状物体套在光滑水平直杆上，能沿杆自由滑动，绳子一端系在物体上，另一端绕过定滑轮，用大小恒定的力F 拉着，使物体沿杆自左向右滑动，如图所示，物体在杆上通过a ，b ，c 三点时的动能分别为E a ，E b ，E c ，且ab ＝bc ，滑轮质量和摩擦均不计，则下列关系中正确的是( )A ．E b －E a ＝E c －E bB ．－E b －E a <E c －E bC ．E b －E a >E c －E bD ．E a <E b <E c解析 设绳对物体的拉力为T ，拉力F 等于T .T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题．但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，由Fl cos α及ab ＝bc 知W ab >W bc ，根据动能定理判断．C 正确．A ，B 错误；又由a 经b 到c ，拉力一直做正功，故物体的动能一直在增加，选项D 正确． 答案 CD4．功能关系法某种力做功与某种能对应，如重力、电场力做功分别与重力势能、电势能相对应，可根据相应能的变化求对应的力做的功．例4面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a ，密度为水密度的12，质量为m ，开始时，木块静止，如图所示，现用力F 将木块缓慢地压到水池底，不计摩擦，求：从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F 所做的功．解析 解法一：因水池面积很大，可忽略因木块压入而引起的水深的变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来画线区域的水被推开，相当于这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m ，其势能的改变量为：ΔE 水＝mgH －mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫H －34a ＝34mga 木块势能的改变量为：ΔE m ＝mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫H －a 2－mgH ＝－12mga 根据动能定理，力F 做的功为：W ＝ΔE 水＋ΔE m ＝14mga .解法二：从开始到木块完全没入水中的过程，力F 所做的功为变力功．也可画出F －s 图象，做功在数值上等于F －s 图线与位移s 轴所围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力F 与位移s 成正比，从开始到完全没入水中，力F 的位移为12a ， 作出F －s 图象如图，据图象可求得做功W ＝12×12amg ＝14mga . 答案 14mga5．平均力法如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，利用功的定义式W ＝Fs cos θ来求功．6．图象法如果参与做功的力是变力，方向与位移方向始终一致而大小随时间变化，我们可作出该力随位移变化的图象．如图所示，那么曲线与坐标轴所围的面积，即为变力做的功．例5用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时，能击入多少深度？(设铁锤每次做功相等)解析解法一：平均力法铁锤每次做的功都用来克服铁钉阻力，但摩擦阻力不是恒力，其大小与铁钉的击入深度成正比，即f ＝kx ，而摩擦阻力可用平均阻力来代替．如图甲所示，第一次击入深度为x 1，平均阻力F －＝12kx 1，做功为W 1＝F －1x 1＝12kx 21. 第二次击入深度为x 1到x 2，平均阻力F －2＝12k (x 2＋x 1)， 位移为x 2－x 1，做功为W 2＝F －2(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21)． 两次做功相等W 1＝W 2，解得x 2＝2x 1＝1.41 cm ，故Δx ＝x 2－x 1＝0.41 cm.解法二：图象法因为阻力F ＝kx ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象，如图乙所示．曲线与横坐标轴所围面积的值等于阻力F 对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有：S 1＝S 2(面积)，即12kx 21＝12k (x 2＋x 1)(x 2－x 1)， 故Δx ＝x 2－x 1＝0.41 cm.答案 0.41 cm7．极限法(极端法)极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论的思维方法．极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特的作用，恰当地应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简．例6如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动静止在光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB ＝BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E k A ，E k B ，E k C ，则它们之间满足的关系是( )A．E k B－E k A＝E k C－E k B B．E k B－E k A<E k C－E k BC．E k B－E k A>E k C－E k B D．E k C<2E k B解析此题中物体受到的拉力大小恒定，但与水平方向的夹角逐渐增大，属于变力做功问题，求拉力做的功可转化为恒力做功问题．设物体在A、B、C三点时到滑轮的距离分别为L1、L2、L3，则W1＝F(L1－L2)，W2＝F(L2－L3)，要比较W1和W2的大小，只需要比较(L1－L2)和(L2－L3)的大小．由于从L1到L3的过程中，绳与水平方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L1与水平方向的夹角很小，推到接近于0°时，则L1－L2≈AB；L3与水平方向的夹角较大，推到接近90°时，则L2－L3≈0，由此可知，L1－L2>L2－L3，故W1>W2，再由动能定理可判断C、D正确．答案CD8．微元法在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再对“元过程”运用必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到解决．当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力的方向与位移的方向同步变化，则可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为是恒力做功，那么总功即为各个小元段做功的代数和．例7如图所示，将质量为m的物体从山脚拉到高为h的山顶，且拉力总是与物体所经过的坡面平行，已知物体与坡面的动摩擦因数为μ，山脚到山顶的水平距离为s，求将物体从山脚拉到山顶克服摩擦力做多少功？解析物体在拉力作用下从山脚拉到山顶，由于摩擦力在山坡的不同位置方向、大小都发生变化，要求出克服摩擦力所做的功，可通过取一微元段进行分析，最后求得摩擦力做的总功．如图，设想物体在山坡上通过一微元段ΔL时，摩擦力的大小为f，当ΔL很小时，可认为摩擦力为恒力．所以物体克服摩擦力做功：ΔW ＝f ΔL ＝μmg cos θΔL ＝μmg Δs ，故克服摩擦力做的总功：W ＝∑ΔW ＝μmgs .答案 μmgs9．补偿法有些问题从表面上看无从下手，或者由题设条件很难直接求解．但是，在与原题条件不相违背的前提下，如果适当地补偿一定的物理模型、物理装置，或者一定的物理过程、物理量等，补缺求整，往往可使问题由“繁”变“简”，从而解决问题．这种思维方法称为补偿法．例8 如图所示，质量为M 的机车，牵引质量为m 的车厢在水平轨道上匀速前进，某时刻车厢与机车脱钩，机车在行驶L 路程后，司机发现车厢脱钩，便立即关闭发动机让机车自然滑行，该机车与车厢运动中所受阻力都是其车重的k 倍，且恒定不变．试求当机车和车厢都停止运动时，机车和车厢的距离．解析 所求机车与车厢的距离等于车厢与机车脱钩后二者位移之差，题中只涉及位移、力、速度，故可利用牛顿运动定律、动能定理等多种知识求解．解法一：运用动能定理求解所设各量如题图所示，对机车脱钩后的全过程应用动能定理对机车：F ·L －kMg ·s 1＝0－12Mv 2 对车厢：－kmg ·s 2＝0－12mv 2 列车原来做匀速运动，故有F ＝k (M ＋m )g联立可得s 1－s 2＝M ＋m ML . 解法二：补偿法某时刻车厢与机车脱钩，若司机同时发现车厢脱钩，立即关闭发动机让机车自然滑行，那么该机车与车厢最终会停于同一点．司机晚发现，则牵引力对机车多做的功应等于机车多克服摩擦力做的功，即k (M ＋m )gL ＝kMg ·s ，解出s ＝(M ＋m )L /M .答案 (M ＋m )L /M。
求变力做功的十种方法
变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。
一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。
例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
变力做功的几种解(用)
三. 平均力法
例题3：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块 对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成 正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入 木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习：一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动,其 阻力为车重的0.05倍.其牵引力的大小与车前进的 距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力.当 车前进100m时,牵引力做的功是多少？
▪ 最大值和最小值。
▪ （2）此过程中力F所做的功。
练习：两个底面积都是S的圆筒,放在同 一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把 连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度 相等,则这过程中重力所做的功等于 .
h1
h2
八. 机械能守恒法
▪ 例8. 如图所示，质量m为2kg的物体，从 光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速 度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧 的弹力对物体所做的功。
N
2
∴W＝ S＝1×105×100J＝1×107J。
应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.
四. 图象法
▪ 例4. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对 铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正
比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木 块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习:如图所示,图线表示作用在做直线运动 的物体上的合外力与物体运动位移的对应 关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在 外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对 物体做的功为 200 J.
九. 功能原理法
▪ 例5. 如图所示，质量为m的物体从A点沿 半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始 下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A 运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多 少？
求解变力做功问题的五种方法
求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。
如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。
但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。
一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。
例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。
分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。
但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。
因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。
由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。
则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。
例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。
物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。
物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。
一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。
由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。
用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。
例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）? ＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功图1-2【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为 1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
第29讲 变力做功的6种计算方法(解析版)
第29讲变力做功的6种计算方法一．知识回顾方法举例说法1.应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W F，则有：W F－mgL(1－cosθ)＝0，得W F＝mgL(1－cosθ)2.微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝F f·Δx1＋F f·Δx2＋F f·Δx3＋…＝F f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝F f·2πR3.等效转换法恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsinα－hsinβ4.平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)6.图像法在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功7.功率法汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt二.例题精析例1．如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中弹性势能的变化量△E p和力F做的功W分别为（）A ．m 2g 2k，m 2g 2kB ．m 2g 2k，2m 2g 2kC ．0，m 2g 2kD ．0，2m 2g 2k【解答】解：开始时，A 、B 都处于静止状态，弹簧的压缩量设为x 1，由胡克定律有 kx 1＝mg ，解得：x 1=mgk物体A 恰好离开地面时，弹簧对B 的拉力为mg ，设此时弹簧的伸长量为x 2，由胡克定律有 kx 2＝mg ，解得：x 2=mg k由于弹簧的压缩量和伸长量相等，则弹簧的弹性势能变化为零； 这一过程中，物体A 上移的距离为：d ＝x 1+x 2=2mgk ，根据功能关系可得拉力做的功等于A 的重力势能的增加量，则有：W ＝mgd =2m 2g 2k ，故D 正确，ABC 错误。
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变力做功的解法
一、化变力为恒力求变力功
变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
1.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β.已知图中的高度是h，求绳的拉力F T对物体所做的功．假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计．
二、用平均力求变力功
在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，
即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝F1＋F2
2的恒力作用，F1、F2分别为
物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝F l cos α求此力所做的功．
2.把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？
三、用F-x图象求变力功
在F-x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况．
[典例3] 放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态．现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其F-x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功．
四、用动能定理求变力功
动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动,既适用于求恒力功也适用于求变力功.因使用动能定理可由动能的变化来求功,所以动能定理是求变力功的首选.
4.如图甲所示,一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点,从t＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F的作用并向右运动,第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0,第5 s末物块刚好回到A点,已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2,求:(g＝10 m/s2)
(1)A与B间的距离;
(2)水平力F在前5 s内对物块做的
五、利用微元法求变力功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题．
5.如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功．
变力做功的解法的答案
1.W T ＝W F ＝F Δl ＝Fh ⎝⎛⎭⎫1sin α－1sin β
2.在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
F ＝0＋kl 2＝kl 2
钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12kl 2
设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：
E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 2
2E 0
3. 由F -x 图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，
即W ＝12×(0.6＋0.4)×40 J ＝20 J.
4. (1) A 与B 间的距离为x ＝12at 2＝4 m.
(2) W ＝2μmgx ＋max ＝24 J.
5.将小球运动的轨迹分割成无数个小段,设每一小段的长度为Δx ,它们可以近似看成直线,且与摩擦力方向共线反向,如图所示,元功W ′＝F f Δx ,而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和,即W ＝∑W ′＝F f ∑Δx ＝2πRF f .。