导数及应用导学案
高三数学 3.9导数及其应用复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 3.9导数及其应用复习导学案一、考纲要求:1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 二、基础知识自测：1.求下列函数的导数：(1)常函数：y=c(c 为常数)(2）幂函数：3y x = ； y=1x ； y = (3)指数函数： 2x y =； x y e = ；(4）对数函数：2log y x =； y lnx = ；(5）正弦函数：y=sinx(6)余弦函数：y=cosx2.求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y ln =； （3）x x y ln 2=3.如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．4-C ．4.8D ．0.84.与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为( )A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5.（2011山东文）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（2013江西文）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．课内探究案四、典型例题题型一 利用定义求函数的导数例1若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f x0＋h －f x0－hh的值为( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0题型二导数的几何意义例2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型三利用导数研究函数的单调性例3已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型四 利用导数求函数的极值例4 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．变式训练：1.曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 2.设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．3.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数()()(1)g x f x a x ＝－－ ，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值．当堂检测：1.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(－1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e课后拓展案A 组1. （2014广东理）曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .2. （2014全国2理）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）A. 0B. 1C. 2D. 33.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4B 组4.（2012新课标）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________5．（2011大纲）已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为，（）A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-66.（2013 广东）若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =______7. 设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.。
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
第三章导数及其应用（复习） 学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备1.导数的几何意义：___________________________________________________2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =；2.1)'(-=n n nx x； 3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；xx sin )'(cos -= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 1.若0()2f x '=,求lim kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+-②2(32)y sin x =+※ 典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________ 2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈． ①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是C A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值 1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点 2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点 3极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数()f x ' (2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x =>且1)x ≠ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
导数及其应用教案人教版
导数及其应用教案人教版教案标题：导数及其应用教案（人教版）教学目标：1. 了解导数的概念和基本性质；2. 掌握求导法则和常见函数的导数；3. 理解导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和基本性质；2. 求导法则的掌握；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的应用问题解析；2. 导数在实际问题中的应用方法。
教学准备：1. 教材《人教版》导数及其应用相关章节；2. 教学PPT、多媒体设备；3. 导数的应用实例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一个生动的例子引入导数的概念，如汽车行驶过程中的速度变化；2. 提问学生对导数的理解，激发学生的兴趣。
二、导数的定义和基本性质（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 解释导数的几何意义和物理意义；3. 讲解导数的基本性质，如导数的线性性、乘法法则和链式法则。
三、求导法则和常见函数的导数（20分钟）1. 介绍求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数求法；2. 给出常见函数的导数表格，帮助学生记忆和掌握。
四、导数在实际问题中的应用（25分钟）1. 通过实际问题引入导数的应用，如最优化问题、变化率问题等；2. 分析导数在实际问题中的应用方法，并给出相应的解题步骤；3. 给学生提供一些导数应用的实例和练习题，让学生进行实际操作和解答。
五、总结与拓展（10分钟）1. 总结导数的概念、基本性质和求导法则；2. 引导学生思考导数在实际问题中的应用价值；3. 提出拓展问题，鼓励学生进一步探索导数的应用领域。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括练习题和思考题；2. 强调学生对导数的应用进行思考和实践。
教学反思：本节课通过引入实际问题和应用案例，使学生对导数的概念和应用有了更深入的理解。
通过讲解导数的定义、基本性质和求导法则，帮助学生掌握了导数的求导方法。
通过导数在实际问题中的应用分析和解题，培养了学生的应用能力和问题解决能力。
数学导数与应用教案
数学导数与应用教案教案标题：数学导数与应用教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握求导法则和常用函数的导数；3. 学会应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 常用函数的导数；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的应用问题解决；2. 复合函数的导数计算。
教学准备：1. 教学课件和投影仪；2. 教学实例和练习题；3. 计算器和纸笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 回顾函数的变化率与导数的关系。
二、导数的定义和计算方法（20分钟）1. 讲解导数的定义，强调导数的几何意义；2. 介绍求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数计算方法；3. 指导学生通过实例计算导数。
三、常用函数的导数（15分钟）1. 介绍常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数；2. 给出常用函数导数的表格，让学生熟悉常见函数的导数规律。
四、导数在实际问题中的应用（20分钟）1. 引入导数在实际问题中的应用，如最优化问题和曲线的切线问题；2. 通过实例演示导数在实际问题中的应用，如最大值和最小值问题的求解；3. 让学生尝试解决一些实际问题，如最大面积和最小时间等。
五、复合函数的导数计算（15分钟）1. 引入复合函数的概念，解释复合函数导数计算的方法；2. 通过实例演示复合函数的导数计算方法；3. 给出一些练习题，让学生巩固复合函数导数计算的方法。
六、总结与拓展（5分钟）1. 总结导数的概念、计算方法和应用；2. 引导学生思考导数在其他学科中的应用，如物理学和经济学等。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的应用领域；2. 提供更多实际问题，让学生运用导数解决。
教学评估：1. 课堂练习题的完成情况；2. 学生对导数概念和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中运用导数的能力。
教学反思：本节课通过引导学生理解导数的概念和意义，掌握导数的计算方法和常用函数的导数规律，以及应用导数解决实际问题。
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案姓名： ；小组编号： ；自评： ；小组长评价： ；教师评价：【使用说明与学法指导】1.本导学案为导数复习学案，在做导学案之前需熟记导数的有关公式；2.自主高效完成导学案并总结规律方法；3.注意待定系数法在解题中的应用；4.带★的题C 层同学可选做。
【学习目标】1.熟练掌握导数有关的知识点。
2.掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【重点】 掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【知识点回顾】1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(n x ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf3.导数的应用：（1）切线斜率与导数的关系：（2）求极值的方法：（3）求最值得方法：【合作、探究、展示】例1、右图为)(x f y =的导函数的图像，则正确的判断是①()x f 在（-3,1）上是增函数。
②1-=x 是()x f 的极小值点。
③()x f 在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数。
④2=x 是()x f 的极小值点。
规律方法总结：例2、设()bx ax x x f 3323+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点（1，-11） 求a,b 的值。
规律方法总结：例3、已知a 为实数，()()()a x x x f --=42(1)求()x f ' (2)若1-=x 是函数()x f 的一个极值点，求()x f 在[]2,2-上的最大值和最小值。
规律方法总结：★例4：已知函数()x x x f ln 22-=，求()x f 的单调区间与极值。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
高中数学 第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用 精品导学案1 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案苏教版选修1-1学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=错误！未找到引用源。
+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案§3.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.一、课前准备（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处） 复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x yk k k+=<--的（ ）A ．长、短轴长相等B ．焦距相等C ．离心率相等D ．准线相同复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.※ 典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：※ 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 ※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率※ 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52tV t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率.§3.1.2 导数的概念1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．一、课前准备预习教材P 78~ P80，找出疑惑之处）T(月)3912复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V =V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t =2，Δt =0.01时，求t s∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度 小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.※ 动手试试练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速三、总结提升 ※ 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim ※ 知识拓展导数存在⇒连续⇒有极限※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2limk f x k f x k→--等于1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.§3.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.一、课前准备（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处）复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)※ 动手试试练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 ※ 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为 ※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()limx t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()limt vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+ 3. ()f x 在0x x =可导，则000()()limh f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关 4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为 5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则 000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆=1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.§3.2.1几个常用函数导数1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.一、课前准备（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率yx∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y'=表示函数y x=图象上每一点处的切线斜率为.若y x=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k=≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线221y x=-的斜率等于4的切线方程. (理科用)练2.求函数()y f x==三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x=的导数是（）A．0 B．1 C．不存在D．不确定2.已知2()f x x=,则(3)f'=（）A．0 B．2x C．6 D．93. 在曲线2y x=上的切线的倾斜角为4π的点为（）A．(0,0)B．(2,4)C．11(,)416D．11(,)244. 过曲线1yx=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t=，则物体在1t=时的速度为，在4t=时的速度为.1. 已知圆面积2S rπ=，根据导数定义求()S r'.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.一、课前准备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；()ln (0)x x a a a a '=>；()xx ee '=；1()(0,ln log ax a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x'=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3）21y x =（4）y =二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'=试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.※ 动手试试 练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=三、总结提升※ 学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x=+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x + 3. cos xy x=的导数是（ ） A ．2sin xx - B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +-D ．2cos cos x x xx +-4.函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=， 则0x = 5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为1.求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.理: §3.2.2 复合函数求导复合函数的分解，求复合函数的导数.一、课前准备（预习教材P 16~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(s i n 2)c o s2x x '=这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
导数公式表及应用导学案
导数公式表及应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1【问题探究】探究点一求导函数 问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x 3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12x D ．32 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4] 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
高中数学 导数及其应用《 学案导学设计》人教B版选修1-13-2-1
§3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A ．0B ．1C ．2D ．3 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 ( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－5 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升 8．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( ) A ．64B ．32C ．16D ．89．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′ ＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝35x ⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝31535x -＝2535x -＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 8．A 9．D 10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝23x -⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝1323x -，∴y ′|x ＝8＝23×138-＝13.即在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3. 从而适合题意的直线方程为 y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 02)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。
高中数学导数导学案,导数及其应用导学案
第13讲 变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数 (1)平均变化率:概念对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的变化率几何意义函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理意义若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处ΔΔΔΔx→0ΔyΔx =ΔΔΔΔx→0f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在处的导数,记为f'(x 0)或y'|x =x 0,即f'(x 0)=ΔΔΔΔx→0ΔyΔx = ΔΔΔΔx→0f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx区间 (a ,b ) 当x ∈(a ,b )时,f'(x )=ΔΔΔΔx→0ΔyΔx =ΔΔΔΔx→0叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何意义函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理意义函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x 0时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C'=0(C为常数)幂函数(x n)'=(n∈Z)(1Δ)'=-1Δ2三角函数(sinx)'= ,(cosx)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0,且a≠1)(e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0,且a≠1)(lnx)'=1Δ,(ln|x|)'=1Δ四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑Δ=1ΔΔΔ(Δ))'=∑Δ=1Δf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法[Δ(Δ)Δ(Δ)]'=(g(x)≠0)[1Δ(Δ)]'=-Δ'(Δ)[Δ(Δ)]2复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=5284(80<x<100),当净化到纯净度为98%时费用的瞬时变化率为.100-Δ3.[教材改编]y=ln(x+1)的导数是y'= .4.[教材改编]曲线y=x e x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为,在x=2处的导数为.6.已知函数y=sin 2x,则y'= .7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)= ,[f(2x+3)]'= .探究点一导数的运算例1 (1)若函数f(x)=x·e x+f'(1)·x2,则f'(1)= .(2)函数y=sin(x+1)-cosΔ的导数为y'= .2[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题 (1)已知函数f(x)=sin(2Δ-π3),则f'(π3)=()A.√3B.√32C.12D.1(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.1探究点二导数的几何意义角度1求切线方程例2[2018·南昌模拟]曲线y=3sin x+16x3+1在点(0,1)处的切线方程为.[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.变式题已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程为.角度2求切点坐标例3 设a∈R,函数f(x)=e x+ΔeΔ是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.[总结反思] (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.变式题曲线y=e x在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()A.(-1,e-1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)角度3求参数的值或范围例4 (1)若f(x)=2e x+3ax+b的图像在点(0,1)处的切线l与直线x+2y-5=0垂直,则a+b= ()A.1B.-1C.2D.-2(2)[2018·莆田模拟]已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m=()A.-3B.1C.3D.5[总结反思] (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.变式题已知函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,则a=()A.-2B.-1C.0D.3第13讲 变化率与导数、导数的运算考试说明 1.导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.2.导数的运算①能根据导数定义求函数y=C (C 为常数),y=x ,y=x 2,y=x 3,y=1Δ,y=√Δ的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b )的复合函数)的导数.【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)平均 斜率 平均 (2)x=x 0 Δ(Δ+ΔΔ)-Δ(Δ)ΔΔ斜率 y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0) 瞬时速度2.nx n-1cos x -sin x a xln a1Δln Δf'(x )±g'(x ) f'(x )·g (x )+f (x )·g'(x )Δ'(Δ)Δ(Δ)-Δ'(Δ)Δ(Δ)[Δ(Δ)]2y'u ·u'x对点演练1.0.16 dm/L [解析] 易知r (V )=√3V4Δ3,故气球中空气的体积从1 L 增加到2 L 时,气球半径r (单位:dm)的平均变化率为r(2)-r(1)2-1≈0.16(dm/L).2.1321元/吨 [解析] c'(x )=5284(100-Δ)2,代入x=98计算可得.3.1Δ+1 [解析] y'=1Δ+1×(x+1)'=1Δ+1.4.2 [解析] y'=x'e x-1+x e x-1·(x-1)'=(x+1)e x-1,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.5.3 4 [解析] 函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22-122-1=3.因为f'(x )=2x ,所以f (x )在x=2处的导数为2×2=4.6.2cos 2x [解析] 方法一:y'=(2sin x cos x )'=2(sin x )'cos x+2sin x (cosx )'=2cos 2x-2sin 2x=2cos 2x.方法二:y'=cos 2x ·(2x )'=2cos 2x.7.-8 [解析] 因为f'(x )=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f (x )=x 2-6x ,于是f (2)=-8. 8.3(2x+3)26(2x+3)2[解析] f'(x )=3x 2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f (2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)对函数f (x )=x ·e x+f'(1)·x 2求导,令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.(1)-2e (2)cos(x+1)+12sin Δ2 [解析] (1)∵f (x )=x ·e x +f'(1)·x 2,∴f'(x )=e x +x ·e x +2f'(1)x ,∴f'(1)=e +e +2f'(1),解得f'(1)=-2e .(2)将函数y=sin(x+1)看作y=sin u 和u=x+1的复合函数,则y'x =y'u ·u'x =(sin u )'·(x+1)'=cos u=cos(x+1).同理可以求出y=cos Δ2的导数为y'=-12sin Δ2.所以所求函数的导数为y'=cos(x+1)+12sin Δ2.变式题 (1)D (2)B [解析] (1)∵函数f (x )=sin (2Δ-π3),∴f'(x )=2cos (2Δ-π3), ∴f'(π3)=2cos (2π3-π3)=2cos π3=1,故选D .(2)因为f'(x )=ΔΔΔ-1,所以f'(2)=Δ2Δ-1=2,解得a=23,故选B .例2 [思路点拨] 先求导,从而得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程. 3x-y+1=0 [解析] 求导得y'=3cos x+12x 2, 当x=0时,可得切线斜率k=3, 所以切线方程为y=3x+1,即3x-y+1=0.变式题 y=-2或y=9x+16 [解析] 对函数求导,得f'(x )=3x 2-3. 当点P (-2,-2)为切点时,切线斜率k=3×(-2)2-3=9, 根据点斜式得切线方程为y=9x+16.当点P (-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m ,n ),则{Δ=Δ3-3Δ,Δ+2Δ+2=3Δ2-3,可得m=1,所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2. 综上,切线方程为y=9x+16或y=-2.例3 [思路点拨] 先根据f (x )为偶函数求得a=1,再建立方程,解得切点的横坐标. ln 2 [解析] 由题意可得f (x )=f (-x ),即e x+Δe Δ=e -x+Δe -Δ,即(1-a )(e Δ-1e Δ)=0对任意x ∈R 都成立,所以a=1,所以f (x )=e x +e -x ,f'(x )=e x -e -x.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=e Δ0-e -Δ0=32,由于f'(x )是R 上的增函数,且f'(ln 2)=32,所以x 0=ln 2,即切点的横坐标为ln 2.变式题 B [解析] 设点A 的坐标为(x 0,e Δ0).因为y'=e x,所以曲线在点A 处的切线斜率k=y'|Δ=Δ0=e Δ0, 又切线与直线x-y+1=0平行,所以e Δ0=1,解得x 0=0, 所以切点A 的坐标为(0,1).例4 [思路点拨] (1)求出原函数的导函数,根据题意列出关于a ,b 的方程(组),计算即可得到结果;(2)先设两曲线的公共切点为(a ,b )(a>0),再根据两函数在x=a 处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m 的值.(1)B (2)D [解析] (1)∵f (x )=2e x+3ax+b ,∴f'(x )=2e x+3a. 由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.∵点(0,1)在f (x )=2e x +3ax+b 的图像上,∴2+b=1,解得b=-1. ∴a+b=0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点(a ,b )处的切线相同(a>0). 由题得f'(x )=2x ,h'(x )=6Δ-4,则{Δ=Δ2-Δ,Δ=6ln Δ-4Δ,2Δ=6Δ-4,解得{Δ=1,Δ=-4,Δ=5.变式题 C [解析] f'(x )=cos ΔΔ+1-ln(x+1)·sin x-a.∵函数f (x )=ln(x+1)·cos x-ax 的图像在点(0,f (0))处的切线的倾斜角为45°, ∴1-a=1,∴a=0,故选C .【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.例1 [配合例1使用] 设函数f (x )=x (2017+ln x ).若f'(x 0)=2018,则x 0= ( )A .eB .e 2C .ln 2D .1[解析] D 因为f (x )=x (2017+ln x ), 所以f'(x )=2018+ln x ,所以f'(x 0)=2018+ln x 0=2018,所以x 0=1.例2 [配合例2使用] [2018·荆州中学月考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f (x )=x 3-2x 2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为 . [答案] 7x-y-4=0[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f (x )=x 3-2x 2,∴当x>0时,-x<0,f (-x )=(-x )3-2(-x )2=-x 3-2x 2=-f (x ), ∴当x>0时,f (x )=x 3+2x 2. ∴f (1)=1+2=3,f'(x )=3x 2+4x ,∴f'(1)=7, ∴所求切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3 [配合例4使用] [2018·石家庄质检] 定义:如果函数f (x )在区间[a ,b ]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=Δ(Δ)-Δ(Δ)Δ-Δ,f'(x 2)=Δ(Δ)-Δ(Δ)Δ-Δ,则称函数f (x )是区间[a ,b ]上的一个双中值函数.已知函数f (x )=x 3-65x 2是区间[0,t ]上的一个双中值函数,则实数t 的取值范围是 ( ) A .(35,65) B .(25,65) C .(25,35) D .(1,65)[解析] A 由题意知,在区间[0,t ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<t )满足f'(x 1)=f'(x 2)=Δ(Δ)-Δ(0)Δ=Δ3-65Δ2Δ=t 2-65t.∵f (x )=x 3-65x 2,∴f'(x )=3x 2-125x ,∴方程3x 2-125x=t 2-65t 在区间(0,t )上有两个不同的实数解.令g (x )=3x 2-125x-t 2+65t (0<x<t ),则需满足{ (125)2-12(65Δ-Δ2)>0,Δ(0)=65Δ-Δ2>0,Δ(Δ)=2Δ2-65Δ>0,Δ>25,解得35<t<65,∴实数t 的取值范围是(35,65),故选A .例4 [配合例4使用] 已知函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0),若函数g (x )=f (x )-12x-b 有且仅有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[答案] 0<b<12[解析] ∵函数g (x )=f (x )-12x-b 有且仅有两个零点,∴函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0)与函数y=12x+b 的图像有且仅有两个交点,作出函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0)与函数y=12x+b 的图像,如图所示.当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.当直线y=12x+b 与f (x )=√Δ(x>0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b 的值是另一个临界值.设切点为(m ,√Δ),m>0,∵f'(x )=12·√Δ(x>0),∴12·√Δ=12,解得m=1,故切点为(1,1), 故b=1-12=12.结合图像可得,0<b<12.第14讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a ,b )上,若f'(x )>0,则f (x )在这个区间上单调单调递减在区间(a ,b )上,若f'(x )<0,则f (x )在这个区间上单调单调性到导数单调递增若函数y=f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f'(x )单调递减若函数y=f (x )在区间(a ,b )上单调递减,则f'(x )“函数y=f (x )在区间(a ,b )上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的 条件题组一 常识题1.[教材改编] 函数f (x )=e x-x 的单调递增区间是 . 2.[教材改编] 比较大小:x ln x (x ∈(1,+∞)).3.[教材改编] 函数y=ax 3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围为 . 4.[教材改编] 已知f (x )是定义在R 上的可导函数,函数y=ef'(x )的图像如图2-14-1所示,则f (x )的单调递减区间是 .图2-14-1题组二常错题◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是.,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为.6.若函数f(x)=ln x-1Δ7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为.8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分、、三种情况讨论.探究点一函数单调性的判断或证明.讨论函数f(x)例1[2018·商丘二模]已知函数f(x)=(x-1)e x+1+mx2,其中m为常数,且m>-e2的单调性.[总结反思] 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:(1)求f'(x).(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).(3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数.)e x,a∈R.变式题已知函数f(x)=(Δ+ΔΔ(1)求f(x)的零点;(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.探究点二求函数的单调区间-ax(a∈R).例2 [2018·北京朝阳区一模]已知函数f(x)=lnΔ-1Δ(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间.[总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.x2的单调递增区间为()变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+12A.(0,1),(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,1),(3,+∞)D.(3,+∞)+2ln x的单调递减区间是.(2)函数f(x)=x+3Δ探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围例3 已知函数f(x)=x2+ln x-ax.(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.变式题 (1)[2018·哈尔滨师大附中三模]若函数f(x)=2x+sin x·cos x+a cos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ()A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,3]D.[-3,-1](2)若函数f(x)=x+a ln x不是单调函数,则实数a的取值范围是 ()A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)探究点四函数单调性的简单应用例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(0,+∞)D.(2,+∞)(2)已知函数g(x)是偶函数,f(x)=g(x-2),且当x≠2时,导函数f'(x)满足(x-2)f'(x)>0,若1<a<3,则()A.f(4a)<f(3)<f(log3a)B.f(3)<f(log3a)<f(4a)C.f(log3a)<f(3)<f(4a)D .f (log 3a )<f (4a)<f (3)[总结反思] 用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有:g (x )=xf (x ),g (x )=Δ(Δ)Δ,g (x )=e xf (x ),g (x )=Δ(Δ)e Δ,g (x )=f (x )ln x ,g (x )=Δ(Δ)ln Δ等. 变式题 (1)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log 2.22.1,则 ( ) A .c<b<a B .c<a<b C .a<b<c D .a<c<b(2)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (2)=7,且f (x )的导函数f'(x )<3,则不等式f (lnx )>3ln x+1的解集为 .第14讲 导数与函数的单调性考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性;3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【课前双基巩固】 知识聚焦递增 递减 ≥0 ≤0 充分 对点演练1.(0,+∞) [解析] 由f'(x )=e x-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞).2.> [解析] 设f (x )=x-ln x ,x ∈(1,+∞),则f'(x )=1-1Δ>0,所以函数f (x )在(1,+∞)上是增函数,所以f (x )=x-ln x>1>0,所以x>ln x.3.(-∞,0) [解析] ∵y'=3ax 2,函数在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax 2≤0恒成立, ∴a ≤0.∵当a=0时,y=-1,不是减函数, ∴a<0,即a ∈(-∞,0).4.(-∞,2] [解析] 因为当x ≤2时,e f'(x )≤1,所以当x ≤2时,f'(x )≤0,所以f (x )的单调递减区间是(-∞,2].5.[1,+∞) [解析] 因为函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x )=k-1Δ≥0在(1,+∞)上恒成立,即k ≥1Δ在(1,+∞)上恒成立,可得k ≥1.6.(12,23) [解析] 因为x ∈(0,+∞),f'(x )=1Δ+1Δ2>0,所以函数f (x )=ln x-1Δ在(0,+∞)上为增函数,所以只需满足1-x>2x-1>0,解得12<x<23.7.(-∞,1) [解析] 由2-x>0,得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2). 易知f'(x )=1-12-Δ,令f'(x )>0,可得12-Δ<1,结合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,即函数f (x )=x+ln(2-x )的单调递增区间为(-∞,1).8.a>0 a=0 a<0 [解析] y'=3ax 2-1,所以对a 分a>0,a=0,a<0三种情况讨论比较合理. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 先对m 进行分类讨论,再结合f'(x )的符号讨论函数f (x )的单调性. 解:易知x ∈(-∞,+∞),f'(x )=e x+1+(x-1)e x+1+2mx=x (e x+1+2m ).①当m≥0时,∵e x+1>0,∴e x+1+2m>0.∴当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0.故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.②当-e2<m<0时,f'(x)=0有两个实数根,即x1=0,x2=ln(-2m)-1,且x1>x2.则当x>0时,f'(x)>0;当ln(-2m)-1<x<0时,f'(x)<0;当x<ln(-2m)-1时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.综上所述,当m≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当-e2<m<0时,f(x)在(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在(ln(-2m)-1,0)上单调递减.变式题解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).令f(x)=0,得x2+a=0,即x2=-a.当a≥0时,方程无解,f(x)没有零点;当a<0时,得x=±√-Δ.综上,当a≥0时,f(x)无零点;当a<0时,f(x)的零点为±√-Δ.(2)证明:f'(x)=(1-ΔΔ2)e x+(Δ+ΔΔ)e x=(Δ3+Δ2+ΔΔ-Δ)eΔΔ2.令g(x)=x3+x2+ax-a(x>1),则g'(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-13,所以g'(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g'(x)>3×12+2×1+a=5+a.因为a≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.例2[思路点拨] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f'(x)>0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f'(x)<0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间.解:(1)若a=0,则f(1)=-1,f'(x)=2-lnΔΔ2,所以f'(1)=2,所以曲线y=f (x )在点(1,-1)处的切线方程为2x-y-3=0. (2)易知x ∈(0,+∞),f'(x )=2-ΔΔ2-ln ΔΔ2.令g (x )=2-ax 2-ln x ,则g'(x )=-2ΔΔ2-1Δ.令g'(x )=0,得x=√-12Δ或x=-√-12Δ(舍去).由g'(x )>0,得x>√-12Δ;由g'(x )<0,得0<x<√-12Δ.所以g (x )在区间(0,√-12Δ)上单调递减,在区间(√-12Δ,+∞)上单调递增,所以g (x )min =g (√-12Δ)=52-ln √-12Δ.因为a<-1,所以0<-12Δ<12,所以ln √-12Δ<0, 所以g (x )>0,即f'(x )>0,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).变式题 (1)A (2)(0,1) [解析] (1)f'(x )=3Δ-4+x=(Δ-1)(Δ-3)Δ,由f'(x )>0,得0<x<1或x>3,∴f (x )的单调递增区间为(0,1),(3,+∞).(2)函数f (x )的定义域是(0,+∞),f'(x )=1-3Δ2+2Δ=(Δ+3)(Δ-1)Δ2.令f'(x )<0,可得0<x<1,故函数f (x )的单调递减区间为(0,1).例3 [思路点拨] (1)当a=3时,求出函数f (x )的导函数,然后由f'(x )>0可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可. 解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),当a=3时,f (x )=x 2+ln x-3x ,∴f'(x )=2x+1Δ-3=2Δ2-3Δ+1Δ,由f'(x )>0,得0<x<12或x>1,∴函数f (x )的单调递增区间为(0,12),(1,+∞).(2)由题意得f'(x )=2x+1Δ-a.∵f (x )在(0,1)上是增函数,∴f'(x )=2x+1Δ-a ≥0在(0,1)上恒成立,即a ≤2x+1Δ在(0,1)上恒成立.∵2x+1Δ≥2√2,当且仅当2x=1Δ,即x=√22时,等号成立, ∴a ≤2√2,故实数a 的取值范围为(-∞,2√2].变式题 (1)A (2)C [解析] (1)∵f (x )=2x+sin x ·cos x+a cos x ,∴f'(x )=2+cos 2x-a sin x=-2sin 2x-a sin x+3.设t=sin x ,-1≤t ≤1, 则g (t )=-2t 2-at+3,∵f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴g (t )≥0在[-1,1]上恒成立. ∵二次函数g (t )的图像开口向下,∴{Δ(1)≥0,Δ(-1)≥0,可得-1≤a ≤1,即a 的取值范围是[-1,1],故选A . (2)函数f (x )=x+a ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x )=1+ΔΔ.当a ≥0时,f'(x )>0,函数f (x )=x+a ln x 是增函数.当a<0时,由f'(x )<0,得0<x<-a ,由f'(x )>0,得x>-a ,所以函数f (x )=x+a ln x 在(0,-a )上单调递减,在(-a ,+∞)上单调递增.因为f (x )=x+a ln x 不是单调函数,所以实数a 的取值范围是(-∞,0),故选C . 例4 [思路点拨] (1)构造函数g (x )=Δ(Δ)e Δ,通过g'(x )的符号判断函数g (x )的单调性,利用单调性得出x 的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f (x )的图像关于直线x=2对称,再通过讨论导数的符号得到函数f (x )的单调性,最后将4a,log 3a ,3转化到同一个单调区间上比较其对应函数值的大小. (1)A (2)B [解析] (1)设g (x )=Δ(Δ)e Δ,则g'(x )=Δ'(Δ)-Δ(Δ)e Δ,∵f (x )<f'(x ),∴g'(x )>0,即函数g (x )在R 上单调递增.∵f (0)=2,∴g (0)=f (0)=2, 则不等式f (x )<2e x等价于g (x )<g (0).∵函数g (x )在R 上单调递增,∴x<0,即不等式的解集为(-∞,0).(2)∵g (x )是偶函数,∴其图像关于y 轴对称,∴f (x )=g (x-2)的图像关于直线x=2对称. ∵(x-2)f'(x )>0,∴当x>2时,f'(x )>0,即函数f (x )在(2,+∞)上为增函数.∵1<a<3,∴4<4a <64,0<log 3a<1,又f (log 3a )=f (4-log 3a ),3<4-log 3a<4,∴3<4-log 3a<4a ,∴f (3)<f (4-log 3a )<f (4a ),即f (3)<f (log 3a )<f (4a).变式题 (1)B (2)(0,e 2) [解析] (1)设f (x )=ln ΔΔ(x>0),则f'(x )=1-ln ΔΔ2,可得函数f (x )在(0,e)上单调递增,所以f (2.1)<f (2.2),即ln2.12.1<ln2.22.2,可化为2.12.2<2.22.1,即1<a<b ,又c=log 2.22.1<1, 所以c<a<b ,故选B .(2)设t=ln x ,则不等式f (ln x )>3ln x+1等价于f (t )>3t+1. 设g (x )=f (x )-3x-1,则g'(x )=f'(x )-3,∵f (x )的导函数f'(x )<3, ∴g'(x )=f'(x )-3<0,∴函数g (x )=f (x )-3x-1在R 上单调递减. ∵f (2)=7,∴g (2)=f (2)-3×2-1=0,则由g (t )=f (t )-3t-1>0=g (2),解得t<2,∴ln x<2,解得0<x<e 2,即不等式f (ln x )>3ln x+1的解集为(0,e 2).【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f'(x )>0的解集对应的区间是函数f (x )的单调递增区间,不等式f'(x )<0的解集对应的区间是f (x )的单调递减区间;例3为含参函数单调性的讨论及利用单调性求参的综合问题,旨在使学生加深对导数与单调性关系的理解,并强化处理参数问题的原则和方法.例1 [配合例1使用] 已知函数f (x )=(x-a )e x-12ax 2+a (a-1)x (x ∈R).(1)若曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线为l ,l 与x 轴的交点坐标为(2,0),求a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.解:(1)∵f'(x)=(x-a)e x+e x-ax+a(a-1),∴f'(0)=(a-1)2,又∵f(0)=-a,∴切线方程为y+a=(a-1)2(x-0).令y=0,得x=Δ(Δ-1)2=2,∴2a2-5a+2=0,∴a=2或a=12.(2)f'(x)=(x-a)e x+e x-ax+a(a-1)=[x-(a-1)](e x-a).当a≤0时,e x-a>0,若x∈(-∞,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.令g(a)=a-1-ln a,则g'(a)=1-1Δ=Δ-1Δ,当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)为减函数,当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)为增函数,∴g(a)min=g(1)=0,∴a-1≥ln a(当且仅当a=1时取“=”).∴当0<a<1或a>1时,若x∈(-∞,ln a),则f'(x)>0,f(x)为增函数;若x∈(ln a,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.当a=1时,f'(x)=x(e x-1)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.综上所述:当a≤0时,f(x)在(-∞,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数;当0<a<1或a>1时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-∞,ln a)和(a-1,+∞)上为增函数;当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.例2[配合例2使用] [2018·东莞模拟]已知函数f(x)=ax2e-x(a≠0),求函数f(x)的单调区间.解:对f(x)求导,得f'(x)=a·2Δ·eΔ-Δ2·eΔ(eΔ)2=a·Δ(2-Δ)eΔ.①若a>0,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减.②若a<0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增.例3[配合例3使用] [2018·重庆七校期末]已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数).(1)当n=1时,讨论函数g(x)=e x f(x)的单调性;(2)当n=2时,若函数h(x)=x+Δ(Δ)eΔ在[0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.解:(1)当n=1时,g(x)=e x[x2+(m+2)x+1],g'(x)=e x[x2+(m+4)x+(m+3)]=e x(x+1)[x+(m+3)].令g'(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).∴当-1<-(m+3),即m<-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-m-3,+∞),单调递减区间为(-1,-m-3);当-1=-(m+3),即m=-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当-1>-(m+3),即m>-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-m-3),(-1,+∞),单调递减区间为(-m-3,-1).(2)当n=2时,h(x)=x+Δ2+(Δ+2)Δ+2eΔ,h'(x)=1+-Δ2-ΔΔ+ΔeΔ.由题意知,h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即e x-x2≥m(x-1)在[0,+∞)上恒成立.当x=1时,不等式成立.当x≠1时,令k(x)=eΔ-Δ2Δ-1,则k'(x)=(Δ-2)(eΔ-Δ)(Δ-1)2.当x>1时,只需k(x)≥m恒成立.∵e x-x>0恒成立(可求导证明),∴当1<x<2时,k'(x)<0,k(x)单调递减;当x>2时,k'(x)>0,k(x)单调递增.∴k(x)≥k(2)=e2-4,∴m≤e2-4.当0≤x<1时,只需k(x)≤m恒成立.∵0≤x<1,∴k'(x)<0,∴k(x)单调递减,∴k(x)≤k(0)=-1,∴m≥-1.综上所述,-1≤m≤e2-4.第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值. 3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)<M∀x∈D,f(x)max<M∃x0∈D,f(x0)>M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)<M∀x∈D,f(x)min<M∀x∈D,f(x)>g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)<g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)min>g(x2)max(续表) 不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1,∃x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.[教材改编]函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是.3.[教材改编]当x>0时,ln x,x,e x的大小关系是.4.[教材改编]现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.题组二常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b= .6.函数g(x)=-x2的极值点是,函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立,则实数a的取值范围是.探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1 [2018·杭州二中模拟]如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 ()图2-15-1A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3[2018·江西九校二联]若函数f(x)=(a+1)e2x-2e x+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(0,√62)B.(1,√62)C.(-√62,√62)D.(√63,1)∪(1,√62)[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).应用演练1.【微点1】[2018·河南中原名校质检]已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是()①f(b)>f(a)>f(c);图2-15-2②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.A.③B.①②C.①③D .②2.【微点3】函数f (x )=x 2-a ln x (a ∈R)不存在极值点,则a 的取值范围是 ( ) A .(-∞,0) B .(0,+∞) C .[0,+∞) D .(-∞,0]3.【微点2】[2018·安庆二模] 已知函数f (x )=2e f'(e)ln x-Δe (e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A .2e -1B .-1e C .1 D .2ln 24.【微点3】[2018·菏泽模拟] 已知函数f (x )=x 3-ax+2的极大值为4,若函数g (x )=f (x )+mx 在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m 的取值范围是 ( ) A .[-9,-154) B .(-9,-154] C .(-154,+∞) D .(-∞,-9)探究点二 利用导数解决函数的最值问题例4 已知定义在正实数集上的函数f (x )=ax 2-(a+2)x+ln x.(1)若函数g (x )=f (x )-ax 2+1,在其定义域上g (x )≤0恒成立,求实数a 的最小值; (2)若a>0时,f (x )在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a 的取值范围.[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 变式题 (1)已知a ≥1-ΔΔ+ln x 对任意x ∈[1e ,e ]恒成立,则a 的最小值为( )A .1B .e -2C .1e D .0(2)[2018·唐山三模] 已知a>0,f (x )=Δe Δe Δ+Δ,若f (x )的最小值为-1,则a= ( ) A .1e 2 B .1e C .e D .e 2探究点三利用导数研究生活中的优化问题例5 [2018·南京四校联考]如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了⏜修建不锈钢护栏,沿着线段EF⏜,ΔΔ进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着ΔΔ⏜上的动点,EF∥AB,且线段EF⏜,ΔΔ修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为ΔΔ与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.图2-15-3(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.变式题某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
导数的实际应用导学案
导数的实际应用导学案【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．【知识要点】1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的_____或．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【当堂检测】1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4 B．6 C．4.5 D．82．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；（2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；（6）结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.。
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导数及应用导学案
【课前预习导读】 一、学习目标
1.知识与技能
１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．
２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函
数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法
通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观
培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点
函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习
1、 已知0a >，函数3
12
()f x ax x a
=+
，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3
2
33
+
-
=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）
A ．),32[ππ
B ．]65,2(ππ
C ．),6
5[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3
+3ax 2+3(a +2)x +1
既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范
围是 ．
4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）
【课堂自主导学】 一、问题探究
例1 （1）曲线f (x )=x 3
－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；
变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？
例 2 函数32
()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方
程为y =3x +1．
（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
变式：第（3）问中当6≥b 时，方程0)(=x f 在区间[－2，1]有几个实根？
二、归纳总结：
1、过一点如何求已知曲线的切线方程：
2、利用导数研究函数单调性的一般步骤:
3、求可导函数()f x 的极值的步骤
4、利用导数求函数在闭区间上的最值步骤:
【知识运用导练】
1．函数533+-=x x y ，则下列判断正确的是………………………………（ ） Ａ．在区间（－1，1）内函数为增函数 B ．在区间（－∞，－1）内函数为减函数 C ．在区间（－∞，1）内函数为减函数 D ．在区间（1，＋∞）内函数为增函数 2．曲线32364y x x x =+++的所有切线中, 斜率最小的切线的方程 ． 3．已知函数 y = ax 3
－ x 2
＋x －5 在（－∞，＋∞）上单调递增， 则实数 a 的取值范围为 ．
4．（08山东文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；
【课后自主导学】
1、设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+
()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是
.A ()()2,02,-+∞ .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞ .D ()(),20,2-∞-
2、已知函数432
()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有
.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个 3、若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式
()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <
4、如图，是函数
d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2
2
21x x +等于
.
A 98 .
B 910
.C 916 .D 928
5、函数()f x 的定义域是开区间(),a b ,
导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数
()f x 在开区间内有极小值点
.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个
6、函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数
.A 3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
.B (),2ππ .C 35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()2,3ππ
7、已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-．
（1）求()f x 的单调区间和极大值；
（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立． （3）若对任意12,x x []1,1-∈不等式m x f x f 〈+)()(21恒成立，求m 的取值范围
自我反思：。