最新-2019高考数学复数分类汇编

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第7章复数-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第二册)

第7章复数§7.1复数的概念1.复数：形式如(,)z a bi a b R =+∈的数叫复数，其中i 叫虚数单位，21i =-.a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.2.复数的分类复数(),z a bi a b R =+∈(0)(0,0)(0)(0,0)b a b b a b =⎧⎪=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.z a bi =+←−−−→一一对应复数复平面内的点(),Z a bz a bi OZ =+←−−−→一一对应复数平面向量4.复数的模向量OZ 的模叫复数(),z a bia b R =+∈的模或绝对值，即22b a bi a z +=+=. 5.共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，z a bi =-.§7.2复数的四则运算1．复数的加、减运算及其几何意义（1）复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+；（2）复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行：12,OZ OZ 分别对应复数,a bi c di ++，即()()12,,,OZ a b OZ c d ==，则()12,OZ OZ a c b d +=++对应复数()()a c b d i +++.2.复数的乘、除运算（1）复数的乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i++=-++；（2）复数的除法()()()()2222a bi c dia bi ac bd bc adic di c di c di cd c d+-++-==+++-++.3.常见的运算规律(1);z z=2222(2);z z z z a b⋅===+。

高考数学真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案

专题十五复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。

高考数学专题《复数》习题含答案解析

专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知，，其中为虚数单位，则=（）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(11)复数(含答案)

n，有
zn2 zn1 1 (n 1)i zn 1 ni 1 (n 1)i zn 2 i , 于是 z2015 z1 1007 (2 i) 2015 1007i ．
2006*8、对一切 R ，复数 z (a cos ) (2a sin )i 的模不超过 2 ，则实数 a 的取值
②若 b 0 ，则由知 x 0 或 2 ，检验得： x 2 ，代入得 a 1 ， b
15
，
4
4
所以 z 1 15 i ； 44
综上满足条件的所有复数之和为 1 1 15 i 1 15 i 3
44 44
2
2018B 8、已知复数 z1, z2 , z3 满足 z1 z2 z3 1 ， z1 z2 z3 r ，其中 r 是给定的实
从而
(z 2w)(z 2w) | z |2 4 | w |2 2(zw zw) 9 8 8i 1 8i 因此， (z 2w)(z 2w) 的模为 65 ．
2016B 3、已知复数 z 满足 z 2 2z z z （ z 表示 z 的共轭复数），则 z 的所有可能值的积为 ◆答案： 3
z
|
5.
2016A 2、设复数 z ， w 满足 z 3 ， (z w)(z w) 7 4i ，其中 i 是虚数单位， z ， w 分
别表示复数 z ， w 的共轭复数，则 (z 2w)(z 2w) 的模为 ◆答案： 65 ★解析：由运算性质，7 4i (z w)(z w) | z |2 | w |2 (zw zw) ，因为 | z |2 与 | w |2 为实数，Re(zw zw) 0 ，故 | z |2 | w |2 7 ，zw zw 4i ，又 | z | 3 ，所以| w |2 2 ，

第七章复数+章末题型归纳总结章末题型归纳总结(六大题型)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

D．复数 = 2 + i的虚部是1，说法不正确．
故选：C．
典型例题
题型一：复数的概念
【典例1-2】（2024·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期末）下列命题一定成立的是（
）
A．若 ∈ ，则 2 ≥ 0
B．若 , , ∈ , −
2
+ −
2
= 0，则 = =
第
象限．
【答案】二
【解析】复数 = −3 + i在复平面内复数z对应的点为 −3,1 ，位于第二象限．
故答案为：二
典型例题
题型二：复数的几何意义
【变式2-2】（2024·福建宁德·高一校考阶段练习）已知 ∈ C，在复平面内对应的点为，则满足 ≤ 1
的点的集合对应的图形为
．
【答案】以(0,0)为圆心，1为半径的圆（含内部）
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
知识梳理
ac＋bd bc－ad
z1 a＋bi (a＋bi)(c－di)
数单位，则 =
．
【答案】 3 2
【解析】由 =
所以 =
1+i
1−i
+ 3 − 4i =
3 2 + −3
故答案为：3 2．
2
1+i 1+i
1−i 1+i
= 3 2．
+ 3 − 4i = 3 − 3i ，
1+i

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编：专题17 复数 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编专题17复数1.(2019·全国1·文T1)设z=3-i1+2i ,则|z|= ( ) A.2 B.√3 C.√2 D.1【答案】C 【解析】∵z=3-i1+2i , ∴z=(3-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=15−75i,∴|z|=√(15)2+(-75)2=√2.故选C.2.(2019·全国3·理T2文T2)若z(1+i)=2i,则z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】D 【解析】z=2i 1+i=2i (1-i )(1+i )(1-i )=2+2i2=1+i.故选D.3.(2019·北京·理T1文T2)已知复数z=2+i,则z ·z =( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5【答案】D【解析】∵z=2+i,∴z =2-i. ∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D.4.(2019·全国2·文T2)设z=i(2+i),则z =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【答案】D【解析】z=2i+i 2=-1+2i,则z =-1-2i.故选D.5.(2019·全国1·理T2)设复数z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1 【答案】C【解析】设z=x+yi(x,y ∈R). 因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|=√x 2+(y -1)2=1, 则x2+(y-1)2=1.故选C.6.(2019·全国2·理T2)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由z=-3+2i,得z =-3-2i,则在复平面内z 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.(2018·全国1·理T1文T2)设z=1-i1+i +2i,则|z|=( ) A.0 B.12C.1D.√2【答案】C 【解析】因为z=(1-i )2(1+i )(1-i )+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.8.(2018·全国2·理T1)1+2i1-2i =( ) A.-45−35i B.-45+35iC.-35−45i D.-35+45i【答案】D 【解析】1+2i 1-2i=(1+2i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=1-4+4i 5=-35+45i. 9.(2018·全国2·文T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2iC.-3-2iD.-3+2i【答案】D【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.10.(2018·全国3·理T2文T2)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i【答案】D【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.11.(2018·北京·理T2文T2)在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵11-i =1+i(1-i)(1+i)=1+i2=12+12i,∴12+12i的共轭复数为12−12i,而12−12i对应的点的坐标为(12,-12),点(12,-12)位于第四象限,故选D.12.(2018·浙江·4)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】B【解析】∵21-i =2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∴复数21-i的共轭复数为1-i.13.(2017·全国1·理T3)设有下面四个命题p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 【答案】B【解析】p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.14.(2017·全国2·理T1)3+i1+i=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【答案】D【解析】3+i1+i =(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选D.15.(2017·全国2·文T2)(1+i)(2+i)= ( )A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i【答案】B【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.16.(2017·山东·文T2)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A【解析】(方法一)∵z=1+ii =1+1i=1-i,∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以z2=-2i.17.(2017·全国3·理T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )A.12B.√22C.√2D.2【答案】C【解析】由题意,得z=2i=1+i,故|z|=√12+12=√2.18.(2017·全国1·文T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【答案】C【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.19.(2017·山东·理T2)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+√3i,z·z=4,则a=()A.1或-1B.√7或-√7C.-√3D.√3 【答案】A【解析】由z=a+√3i,得z ·z =|z|2=a 2+3=4,所以a 2=1,a=±1,选A. 20.(2017·全国3·文T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.21.(2017·北京·理T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞) 【答案】B【解析】设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z 在复平面内对应的点 (a+1,1-a)在第二象限,所以{a +1<0,1-a >0,解得a<-1.故选B.22.(2016·全国2·理T1)已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( ) A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3) 【答案】A【解析】要使复数z 在复平面内对应的点在第四象限,应满足{m +3>0,m -1<0,解得-3<m<1,故选A.23.(2016·全国3·理T2)若z=1+2i,则zz -1=( ) A.1 B.-1C.iD.-I【答案】C【解析】由题意知z=1-2i,则zz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.24.(2016·北京·文T2)复数1+2i2-i=() A.i B.1+iC.-iD.1-I【答案】A【解析】1+2i2-i =(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i-25=i,故选A.25.(2016·全国1·理T2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=√2,故选B.26.(2016·全国1·文T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )A.-3B.-2C.2D.3【答案】A【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.27.(2016·全国2·文T2)设复数z满足z+i=3-i,则z=( )A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i【答案】C【解析】由z+i=3-i,得z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.28.(2016·全国3·文T2)若z=4+3i,则z|z|= ()A.1B.-1C.45+35i D.45−35i【答案】D【解析】因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=√42+32=5,共轭复数为z =4-3i.故z |z |=4−3i,选D.29.(2016·山东·理T1)若复数z 满足2z+z =3-2i,其中i 为虚数单位,则z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i【答案】B【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),则2z+z =3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 30.(2015·全国2·理T2)若a 为实数,且(2+ai)·(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解之,得a=0. 31.(2015·全国·文T3)已知复数z 满足(z-1)i=1+i,则z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i【答案】C【解析】∵(z-1)i=1+i, ∴z=1+ii +1=(1+i )(-i )-i 2+1=1-i+1=2-i.32.(2015·全国2·文T2)若a 为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=( )A.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.33.(2015·安徽·文T1)设i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i【答案】C【解析】由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C. 34.(2015·湖南·文T1)已知(1-i )2z=1+i(i 为虚数单位),则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】由已知得z=(1-i )21+i=-2i 1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i2=-1-i. 35.(2015·全国1·理T1)设复数z 满足1+z1-z =i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2【答案】A 【解析】∵1+z =i,∴z=i -1=(i -1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.36.(2015·湖北·理T1)i 为虚数单位,i 607的共轭复数．．．．为( ) A.i B.-i C.1 D.-1【答案】A【解析】∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.37.(2015·安徽·理T1)设i 是虚数单位,则复数2i1-i 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】由复数除法的运算法则可得,2i1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=2i -22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B. 38.(2014·全国2·理T2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i【答案】A【解析】由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.39.(2014·重庆·理T1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A. 40.(2014·全国1·理T2)(1+i )3(1-i )2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-I【答案】D 【解析】(1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )-2i=-1-i.故选D.41.(2014·全国2·文T2)1+3i1-i =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【答案】B 【解析】1+3i1-i=(1+3i )(1+i )(1-i )(1+i )=-2+4i2=-1+2i,故选B.42.(2014·全国1·文T3)设z=11+i +i,则|z|=( ) A.12B.√22C.√32D.2【答案】B 【解析】因为z=11+i +i=1-i (1+i )(1-i )+i=1-i 2+i=12+12i,所以|z|=|12+12i|=√(12)2+(12)2=√22,故选B.43.(2013·全国1·理T2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( ) A.-4 B.-45C.4D.45【答案】D【解析】∵(3-4i)z=|4+3i|, ∴z=53-4i =5(3+4i )(3-4i )(3+4i )=35+45i. 故z 的虚部为45,选D.44.(2013·全国2·文T2)|21+i |=( )A.2√2B.2C.√2D.1【答案】C 【解析】∵21+i =1-i,∴|21+i|=|1-i|=√2. 45.(2013·全国2·理T2)设复数z 满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i【答案】A【解析】z=2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-2+2i2=-1+i. 46.(2013·全国1·文T2)1+2i(1-i )2=()A.-1-12i B.-1+12i C.1+12i D.1-12i【答案】B 【解析】1+2i (1-i )2=1+2i-2i =(1+2i )i 2=-2+i 2=-1+12i.47.(2012·全国·理T3)下面是关于复数z=2-1+i 的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4【答案】C 【解析】z=2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,故|z|=√2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确.48.(2012·全国·文T2)复数z=-3+i2+i的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】z=-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )(2+i )(2-i )=-5+5i5=-1+i,故z 的共轭复数为-1-i.49.(2011·全国·文T2)复数5i1-2i =( )A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i【答案】C【解析】5i 1-2i =5i (1+2i )(1-2i )(1+2i )=-10+5i5=-2+i.50.(2010·全国·理T2)已知复数z=√3+i(1-√3i )2,z 是z 的共轭复数,则z ·z =() A.1 B.1C.1D.2【答案】A【解析】∵z=√3+i (1-√3i )2=√3+i1-2√3i+3i 2 =√3+i -2-23i =√3+i √3i (-2-23i )(-2+23i )=-√34+i 4, ∴z =-√34−i 4.∴z ·z =(-√34-i 4)(-√34+i 4)=316+116=14.51.(2010·全国·文T3)已知复数z=√3+i(1-√3i )2,则|z|等于( ) A.14 B.12 C.1 D.2【答案】B【解析】z=√3+i 1+3i 2-23i =-√3+i 2+2√3i =-12×2√3-2i 4=i -√34,|z|=14×2=12.52.(2018·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i = .【答案】4-i【解析】6+7i 1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.53.(2019·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,则|5-i 1+i |的值为___________.【答案】√13【解析】5-i 1+i =(5-i )(1-i )2=4-6i2=2-3i.|5-i 1+i |=√4+9=√13.54.(2019·江苏·T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是____ .【答案】2【解析】∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.55.(2018·上海·5)已知复数z 满足(1+i)z=1-7i(i 是虚数单位),则|z|= .【答案】5【解析】因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i||z|=|1-7i|,即√2|z|=5√2,解得|z|=5.56.(2017·浙江·12)已知a,b ∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则a2+b2=_____,ab=________.【答案】5 2【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,则a 2+b 2=5,ab=2. 57.(2017·江苏·T 2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .【答案】√10【解析】由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2+32=√10,答案为√10.58.(2017·天津·理T9文T9)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a -i 为实数,则a 的值为 .【答案】-2【解析】∵a -i 2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2. 59.(2016·江苏·T 2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .【答案】5【解析】因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z 的实部是5.60.(2016·天津·理T9)已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab 的值为 .【答案】2【解析】(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则{1+b =a ,1-b =0,所以{a =2,b =1,即a b =2.故答案为2. 61.(2016·北京·理T9)设a ∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .【答案】-1【解析】∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.62.(2015·天津·理T9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为. 【答案】-2【解析】(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.63.(2015·江苏·T 3)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.【答案】√5【解析】因为z2=3+4i,所以|z2|=√32+42=5,所以|z|=√5.64.(2015·重庆·理T11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为√3 ,则(a+bi)(a-bi)= .【答案】3【解析】因为复数a+bi的模为√3,所以2+b2=√3,即a2+b2=3.于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.。

2019年高考数学真题分类汇编：集合.doc

2019 年高考数学真题分类汇编专题 01：集合一、单选题1.（2019?浙江）已知全集 U={-1 ，0，1，2，3} ，集合 A={0，1，2} ，B={-1 ，0，1} ，则=（）A. {-1}B. {0 ，1}C. {-1 ，2，3}D. {-1 ， 0，1，3}【答案】 A2.（2019?天津）设集合，则（）A.{2}B.{2 ，3}C.{-1 ，2，3}D.{1 ，2，3，4}【答案】 D3.（2019?全国Ⅲ）已知集合 A={-1 ，0，1，2} ，B={x|x 2≤1} ，则 A∩B= （）A.{-1 ，0，1}B.{0，1}C.{-1 ，1}D.{0，1，2}【答案】 A4.（2019?卷Ⅱ）已知集合 A={x|x>-1} ，B={x|x<2} ，则 A∩B=（）A. （-1 ，+∞）B. （ - ∞， 2）C.（ -1 ，2）D.【答案】 C5. （2019?卷Ⅱ）设集合 A={x|x 2-5x+6>0} ，B={ x|x-1<0}，则A∩B= （）A.(- ∞， 1)B.(-2，1)C.(-3 ，-1)D.(3，+∞)【答案】 A6. （2019?北京）已知集合A={x|-1<x<2} ，B={x|x>1} ，则 AUB= （）A. （-1 ，1）B. （1，2）C.（-1 ，+∞）D.（1，+∞）【答案】 C7.（2019?卷Ⅰ）已知集合 U=，A=，B=则=（）A. B.C. D.【答案】 C8. （2019?卷Ⅰ）已知集合M=，N=，则M N=（）A. B.C. D.【答案】 C9.（2019?全国Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。

某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】 C二、填空题10. （2019?江苏）已知集合，，则________.【答案】。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==．故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ．【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-．【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习33---复数

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第33讲复数考点知识：1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z 的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a＋b i⇔a＝c且b＝d((4)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i. 3．复数的模与共轭复数的关系z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0 答案 B解析由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i. 又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎨⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.答案 2＋i 解析因为z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2022·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋I C ．1－2i D ．－2－i 答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22 C ． 2 D ．2 答案 C解析法一由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i(1－i )3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．答案二解析 ∵z ＝2i (1－i )3＝－(1－i )2(1－i )3＝－11－i ＝－12－i 2，∴z ＝－12＋i 2对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12位于第二象限．考点一复数的相关概念1．(2022·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2答案 C解析由题可知复数的虚部为a－2，若该复数为实数，则a－2＝0，即a＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则z＝( )A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴z＝－1－2i.故选D.3．(2022·全国Ⅰ卷)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( )A．0 B．1 C． 2 D．2答案 C解析∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝ 2.故选C. 4．(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是( )A.1z对应的点在第一象限 B．|z|<|z＋1|C．z的虚部为i D．z＋z<0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i(－1＋i)(－1－i)＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2022·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案(1)C (2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. (2)由a 1－i＝－1＋b i ，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ， ∴⎩⎨⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1，∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2) D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i 2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________．答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i 在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎨⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝35－45i ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－35，y 0＋45，又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三复数的运算【例2】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2z 3z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________．答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D.(2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2z 3z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )2＝1＋3i2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2022·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i(2)(2022·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i5＝－i.故选D. (2)法一设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧|z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝(3－a )2＋(1－b )2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二设复数z1，z2对应的向量为a，b，则复数z1＋z2，z1－z2对应向量为a＋b，a－b，依题意|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝2，又因为|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝12，故|z1－z2|＝|a－b|＝2 3.法三设z1＋z2＝z＝3＋i，则z在复平面上对应的点为P(3，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2×32×2＝2 3.A级基础巩固一、选择题1．设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析z＝－3－2i，故z对应的点(－3，－2)位于第三象限．2．(2022·全国Ⅲ卷)复数11－3i的虚部是( )A．－310B．－110C．110D．310答案 D解析z＝11－3i＝1＋3i(1－3i)(1＋3i)＝110＋310i，虚部为310.故选D.3．(2022·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( )A．－4 B．4 C．－4i D．4i答案 A解析(1－i)4＝(1－2i＋i2)2＝(－2i)2＝4i2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝( )A．0 B．2＋I C．－2－i D．－1＋2i答案 C解析由复数几何意义，知z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z满足|z－3|＝2，z在复平面内对应的点为M(a，b)，则M不可能为( ) A．(2，3) B．(3,2) C．(5,0) D．(4,1)答案 D解析设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－3＝(a－3)＋b i，∴(a－3)2＋b2＝4，验证点M(4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a＋|3－4i|2＋i(a∈R)是纯虚数，则a＝( )A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案 B解析a＋|3－4i|2＋i＝a＋5(2－i)(2＋i)(2－i)＝a＋2－i为纯虚数．则a＋2＝0，解得a＝－2.7．设2＋ii＋1－2i＝a＋b i( a，b∈R，i为虚数单位)，则b－a i＝( )A．－52－32i B．52－32iC.52＋32i D．－52＋32i答案 A解析因为2＋ii＋1－2i＝(2＋i)(1－i)(i＋1)(1－i)－2i＝32－52i＝a＋b i，所以a＝32，b＝－52，因此b－a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1·z2对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析由图知OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1·z2＝1－2i，所以复数z1·z2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2022·江苏卷)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以复数z的实部为3.10．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为________．答案－2＋i解析因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.11．已知复数z＝1＋2i1＋i＋2i z，则|z|等于________．答案2 2解析由z＝1＋2i1＋i＋2i z得z＝1＋2i(1＋i)(1－2i)＝1＋2i3－i＝(1＋2i)(3＋i)(3－i)(3＋i)＝1＋7i10，故|z|＝11012＋72＝22.12．已知i为虚数单位，若复数z＝1－a i1＋i(a∈R)的实部为－3，则|z|＝________，复数z的共轭复数z＝________. 答案 5 －3＋4i解析因为z＝1－a i1＋i＝(1－a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝1－a－(a＋1)i2的实部为－3，所以1－a2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ，故|z |＝(－3)2＋(－4)2＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级能力提升13．(2022·南宁模拟)已知z ＝3－i1－i(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A 解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4＋2i2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x＋1)－(y ＋2)i ，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，此点位于第四象限．15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝________. 答案－1＋i解析原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答案3解析因为|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.。

2019-2023高考数学真题分类汇编复数提高运算

2019-2023高考数学真题分类汇编复数提高运算一、填空题1．（2019·上海）设i为虚数单位，3z̅−i=6+5i，则|z|的值为2．（2019·天津）i是虚数单位，则|5−i1+i|的值为.3．（2019·浙江）复数z=11+i（i为虚数单位），则|z|=4．（2023·天津卷）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为．5．（2023·上海卷）已知当z=1+i，则|1−i⋅z|=；6．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2| =.二、选择题7．（2021·全国甲卷）已知（1−i）2z=3+2i，则z=（）A．-1- 32i B．-1+ 32i C．- 32+i D．- 32-i8．（2021·全国乙卷）设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i 9．（2021·新高考Ⅱ）已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i 10．（2020·新课标Ⅱ·文）若z̅(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i11．（2020·新课标Ⅱ·理）复数11−3i的虚部是（）A．−310B．−110C．110D．31012．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4i D．4i 13．（2020·新课标Ⅱ·文）若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2 14．（2020·新课标Ⅱ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．215．（2020·新高考Ⅱ）2−i1+2i=（）A．1B．−1C．i D．−i16．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A．1+2i B．−2+i C．1−2i D．−2−i 17．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 18．（2019·全国Ⅱ卷理）设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=119．（2019·全国Ⅱ卷文）设z= 3−i1+2i，则|z|=（）A．2B．√3C．√2D．1 20．（2019·北京）已知复数z=2+i，则z·z−=（）A．√3B．√5C．3D．5 21．（2019·全国Ⅱ卷理）设z=-3+2i，则在复平面内z−对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则z̅=（）A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i 23．（2019·全国Ⅱ卷理）若z（1+i）=2i，则z=（）A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i 24．（2023·全国甲卷）若复数(a+i)(1−ai)=2，a∈R，则a=（）A．-1B．0·C．1D．2答案解析部分1．【答案】2√2【解析】【解答】解：由3z̅−i=6+5i，得3z̅=6+6i，即z̅=2+i，∴|z|=|z̅|=√22+22=2√2．故答案为：2√2．【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。

第五章复数知识点总结梳理-2023-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

2019新教材北师大版数学必修第二册第五章知识点清单目录第五章复数§1 复数的概念及其几何意义§2 复数的四则运算§3 复数的三角表示第五章复数§1 复数的概念及其几何意义一、复数的有关概念1. 我们通过定义i2=-1引进一个新数i，来扩充数的范围，其中i叫作虚数单位.形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记作Im z.二、复数的分类1. 根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a+bi(a，b∈R){实数(b=0)虚数(b≠0){纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)2. 全体复数构成的集合称为复数集，记作C. 显然R⫋C.3. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：三、复数相等1. 两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.2. 注意：两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.四、复数的几何意义1. 复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2. 复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，即复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b).(2)设复平面内的点Z(a，b)表示的复数为z=a+bi(a，b∈R)，连接OZ(O为坐标原点)，⃗⃗⃗⃗⃗ =(a，b)也是一一对应的，则复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ .即复数z=a+bi 平面向量OZ3. 复数的模⃗⃗⃗⃗⃗ 的模称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|. 由向量模的定(1)定义：向量OZ义可知，|z|=|a+bi|=√a2+b2.⃗⃗⃗⃗⃗ |，即点Z(a，b)到原点O的距离.(2)几何意义：|z|=|OZ4. 共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用z表示. 当z=a+bi(a，b∈R)时，z=a-bi. 显然，|z|=|z|；z=a+bi(a，b∈R)的虚部b=0⇔z=z.五、对复数概念的理解1. 判断一个实部或虚部含有参数的复数在什么情况下分别是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数分类为实数、虚数、纯虚数的充要条件求解. 设复数z=a+bi(a，b∈R)，则(1)当且仅当b=0时，z为实数；(2)当且仅当a=b=0时，z为实数0；(3)当b≠0时，z为虚数；(4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数；(5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数.2. 准确理解复数的概念是解题的基础，比如形如bi的复数不一定是纯虚数，只有满足限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的复数才是纯虚数.3. 对于复数z，明确其表示形式z=a+bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复数问题转化为实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法.六、复数相等的充要条件的应用复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：(1)分别确定两个复数的实部与虚部；(2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解.七、复数的几何意义及其应用1. 复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的一个点Z(a，b)表示.⃗⃗⃗⃗⃗ =(a，b)一一对应.(2)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ2. 复数的模(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的计算公式求解.(2)复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离.3. 常见复平面内点的集合的形式(1)|z|=1表示复数z对应复平面内的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆.(2)|z-z1|=d(d>0)表示复数z对应复平面内的点的集合是以复数z1对应的点为圆心，d 为半径的圆.(3)|z|<r(r>0)表示复数z 对应复平面内的点的集合是以原点为圆心，r 为半径的圆的内部区域.§2 复数的四则运算 2. 1 复数的加法与减法一、复数的加法及运算律 1. 复数的加法设复数z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R)，则z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数加法的运算律(1)结合律：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)； (2)交换律：z 1+z 2=z 2+z 1. 二、复数的减法 1. 相反数给定复数z 2，若存在复数z ，使得z 2+z=0，则称z 是z 2的相反数，记作z=-z 2.2. 复数的减法减去一个复数，等于加上这个复数的相反数. 设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R),则z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 三、复数加减法的几何意义设复数z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R)分别与向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ，d)对应. 如图1，根据向量加法的平行四边形法则，有OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由平面向量的坐标运算，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+c ，b+d)，即向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与复数(a+c)+(b+d)i 对应.如图2，根据向量减法的三角形法则，有OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由平面向量的坐标运算，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-c ，b-d)，即向量Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与复数(a-c)+(b-d)i 对应. 可见，复数的加减法可以按照向量的加减法来进行.四、复数的加减运算复数加减运算的两种方法1. 复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部的和作为实部，虚部的和作为虚部. 减法要将减数的实部、虚部变为其相反数后与被减数进行求和.2. 利用复数加法的结合律进行计算. 五、复数加减法几何意义的应用1. 利用复数加减法的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用复数的几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题；(2)数转化为形：对一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.2. 利用复数的几何意义解题的常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1+z 2对应的点为C ，O 为坐标原点(点O ，A ，B 不共线).(1)四边形OACB 为平行四边形；(2)若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则四边形OACB 为矩形； (3)若|z 1|=|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.2. 2 复数的乘法与除法2. 3 复数乘法几何意义初探一、复数的乘法1. 定义：设a，b，c，d∈R，则(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2. 乘法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)交换律z1·z2=z2·z1乘法对加法的分配律z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z33. 乘方的运算性质z m·z n=z m+n，(z m)n=z mn，(z1·z2)n=z1n·z2n(其中m，n∈N+).4. 虚数单位i的幂的周期性i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(其中n∈N).5. 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，它等于这个复数(或其共轭复数)模的平方，即若z=a+bi(a，b∈R)，则z·z=|z|2=|z|2=a2+b2.二、复数的除法1. 复数的倒数给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2.2. 复数的除法对任意的复数z1=a+bi(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1 z2=z1·1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数.因此z1z2=a+bic+di=(a+bi)·[cc2+d2-dc2+d2i]=ac+bdc2+d2-ad−bcc2+d2i.在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”.三、复数的乘法的几何意义1. 设复数z 1=a+bi(a ，b∈R)所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若z 2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与c 的数乘，即OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向伸长(c>1)或压缩(0<c<1)c 倍得到的.2. 设z 3=(a+bi)·i 所对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的. 四、复数的乘除运算 1. 复数乘除运算的策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘分母的共轭复数，类似于以前学习的分母有理化.2. 复数代数运算中的常用结论(1)i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i ；i n +i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N). (2)1i =-i ；1+i 1−i=i ；1−i 1+i=-i ；(1±i)2=±2i .(3)设ω1=−1+√3i2，ω2=−1−√3i2，则ω1，ω2具有如下关系：①ω13=ω23=1；②1+ω1+ω2=0；③ω12=ω1=ω2，ω22=ω2=ω1；④ω1ω2=1.五、在复数范围内解一元二次方程1. 对于实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0，a ，b ，c∈R)，若Δ=b 2-4ac>0，则方程有两个不等实根；若Δ=b 2-4ac=0，则方程有两个相等实根；若Δ=b 2-4ac<0，则方程没有实根，但方程有两个共轭虚根x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a，且这两个根也满足根与系数的关系.2. 如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.3. 根与系数的关系在复数范围内仍然成立.§3 复数的三角表示一、复数的三角形式1. 辐角以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、复数z=a+bi(a，b∈R)对应的向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的射线为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角.2. 复数z=a+bi(a，b∈R)的三角形式：z=r·(cos θ+isin θ)，其中r=√a2+b2，cos θ=ar，sin θ=br.满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg z<2π.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.二、复数的乘法运算r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和.三、复数的除法运算r1(cosθ1+i sinθ1) r2(cosθ2+i sinθ2)=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0).两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.2. 特别地，若n∈N+，则[r(cos θ+isin θ)]n=r n(cos nθ+isin nθ).11 / 11四、两个复数的辐角1. 辐角的性质两个复数积的辐角等于各复数辐角的和，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，一个复数n 次幂(n∈N +)的辐角等于这个复数辐角的n 倍.2. 注意辐角与辐角的主值的区别，特别是解题过程中的不同点；两个复数积的辐角的主值不一定等于两复数的辐角的主值之和，商的辐角的主值不一定等于两复数辐角的主值之差.五、给值求值常见结论(1)复数z=r(cos θ+isin θ)的平方根为√r (cosθ+2kπ2+i sin θ+2kπ2)(k=0，1)； (2)复数z=r(cos θ+isin θ)的立方根为√r 3(cos θ+2kπ3+i sinθ+2kπ3)(k=0，1，2)； (3)复数z=r(cos θ+isin θ)的n(n ≥2，且n∈N +)次方根为√r n (cosθ+2kπn +i sin θ+2kπn )(k=0，1，2，…，n-1).。

高二数学人教新版(2019)专题复习《复数》

复数一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．52．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为，并由此写出﹣4的一个四次方根．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．高二数学人教新版（2019）专题复习《复数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．5【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．【解答】解：复数z＝＝＝＝1﹣i，则|z﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：设z＝x+yi（x＜0，y＞0），∵|z|＝|z﹣i|＝1，∴，解得x＝，y＝，∴z＝．故选：A．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵（1﹣i）z＝3+i，∴，∴复平面内与z对应的点（1，2）位于第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件【考点】虚数单位i、复数；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【分析】根据充分必要条件的定义以及虚数的定义判断即可．【解答】解：a，b∈R，若b≠0，则复数a+bi是虚数，是充分条件，反之，若复数a+bi为虚数，则b≠0，是必要条件，∴“b≠0”是“复数a+bi是虚数”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件和虚数的定义，是基础题．5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵z（1﹣i）＝4i，∴，∴z在复平面内对应的点（﹣2，2）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i【考点】复数的模．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据题意，求出|z|和zi的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，z＝3﹣4i，则|z|＝＝5，zi＝（3﹣4i）i＝4+3i，则|z|+zi＝9+3i，故选：C．【点评】本题考查复数的计算，注意复数的模，属于基础题．7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】推导出z＝1﹣2i，由此能求出复数z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝＝1﹣2i，∴复数z的虚部为﹣2．故选：C．【点评】本题考查复数的虚部求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据z，求出z的共轭复数，代入化简计算即可．【解答】解：∵z＝1+i，∴＝1﹣i，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为【考点】复数的模；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】首先根据得到z＝，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可．【解答】解：z＝＝＝﹣，对于A，＝，|z|＝||＝，故A正确；对于B，z＝﹣，当a＝0时，z＝﹣是纯虚数，故B正确；对于C，z+＝＝（）+（2﹣）i，令2﹣＝0，即a2+3＝0无解，故C错误；对于D，|z|2＝+＝，当且仅当a＝0时，取等号，∴|z|的最大值为，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：对于A，由复数模的性质可得，|z1z3|＝|z1||z3|，|z2z3|＝|z2||z3|，∵|z1|＝|z2|，∴|z1z3|＝|z2z3|，故A正确，对于B，∵z1z2＝z1z3，∴z1（z2﹣z3）＝0，∵z1≠0，∴z2＝z3，故B正确，对于C，∵z 1＝，∴，故C正确，对于D，令，，满足z12+z22＞0，但z12＞﹣z22不成立，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查复数模的性质，共轭复数的定义，属于基础题．（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘积运算法则，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故A错误，对于B，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故B错误，对于C，∵z1，z2是复数，z1z2＝0，∴由复数的乘积运算法则可知，z1＝0或z2＝0，故C正确，对于D，∵|z1﹣z2|＝0，∴z1﹣z2＝0，即z1＝z2，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查复数的乘积运算法则，以及特殊值法，属于基础题．（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学抽象；数学运算．【分析】根据复数的模、复数的几何意义、共轭复数等知识，逐一判断各选项即可．【解答】解：由z＝﹣1﹣2i，得，故A正确：复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限，故B不正确：z的共轭复数为﹣1+2i，故C正确：复数z在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）不在直线y＝﹣2x上，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的模和共轭复数，属基础题．三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝﹣2i．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数相等的条件求得a与b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求解（a+bi）2．【解答】解：由a+i＝1﹣bi，得a＝1，b＝﹣1，∴（a+bi）2＝（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．故答案为：﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，则z可求．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得，即，∴，解得，∴z＝，故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝﹣﹣i．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【解答】解：在复平面内对应的点为（1，），将其逆时针旋转165°后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为45°，所以对应的点为（﹣，﹣），所以z2＝﹣﹣i．故答案为：﹣﹣i．【点评】本题考查复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为±2i，并由此写出﹣4的一个四次方根1+i．【考点】虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】由题意利用虚数单位i的运算性质，复数的开方运算，得出结论．【解答】解：在复数范围内，∵（±2i）2＝﹣4，故﹣4的所有平方根为±2i．∵﹣4＝4（cosπ+i sinπ），故它的四次方根为（cos+i sin），故它的一个四次方根（+i）＝1+i，故答案为：±2i；1+i．【点评】本题主要考查复数的开方运算，虚数单位i的运算性质，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由复数的运算化简，再由复数相等得到2a+b的值；（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值．【解答】解：（1）＝＝＝2+4i，＝，∴，∴，∴2a﹣6＝﹣b，解得2a+b＝6．（2）|z﹣2|＝|（a﹣2）+（6﹣2a）i|＝＝＝≥，∴|z﹣2|的最小值为．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）结合复数的四则运算进行化解，然后结合纯虚数概念可求m，进而可求；（2）先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义可求．【解答】解：（1）•（1+3i）＝（m+i）（1+3i）＝m﹣3+（3m+1）i为纯虚数，则m＝3，z＝3﹣i，所以|z|＝；（2）z1＝＝＝＝在复平面对应的点在第一象限，所以3a+1＞0且a﹣3＞0，所以a＞3，故a的取值范围为（3，+∞）．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．【考点】虚数单位i、复数．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得即可．（2）点Z在虚轴上，则，或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0，解得m即可．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，解出即可．【解答】解：复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得，∴0＜m＜3．（2）点Z在虚轴上，则；或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0解得m＝0，或m＝4；无解；因此m＝0，或m＝4．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，即﹣3m+9＝0，∴m＝3．【点评】本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．【考点】复数的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）根据复数分类可解决此问题；（2）根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|ω|．【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b＝R），∴（1+3i）•z＝3﹣3b+（9+b）i，又∵（1+3i）•z为纯虚数，∴9+b≠0且3﹣3b＝0，解得b＝1，∴z＝3+i；（2）＝＝﹣i，∴|ω|＝＝．【点评】本题考查复数分类、复数运算，考查数学运算能力，属于基础题．考点卡片1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．3．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的知识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．4．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则5．复数的模【知识点的知识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．。