条件概率(一)
1-4 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
2 P ( A1 ) = , 3 2 1 P ( B A1 ) = = , 4 2
1 P ( A2 ) = , 3
1 P ( B A2 ) =P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A2 ) P ( B A2 )
2 1 1 1 5 = = . 3 2 3 4 12
r ( n2 1)c rc . b r ( n1 1)c b r ( n 1)c
此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.
二、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分
定义 设Ω为实验E的样本空间，A1 , A2 ,, An为 E的一组事件，若
(1) Ai Aj = , i j , i , j = 1, 2, , n;
A2
B
A3
An1
A1
An
化整为零 各个击破
注
全概率公式中的条件：
Ai =
i =1
n
可换为
B Ai .
i =1
n
3.全概率公式的意义 直 全概率公式的主要用处在于: 它可以将一 某事件B的发生由各种可能的“原因”
Ai (i=1,2,,n)引起，而Ai与Aj (i j) 互斥， 个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单 观 则B发生的概率与 P(AiB)(i=1,2,,n)有关， 事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求 意
第n1次取出黑球; An1 1表示第n1 1次取出红球,
, An表示第n次取出红球,则 b P ( A1 ) = , br bc P ( A2 | A1 ) = . brc
1
因此 P ( A1 A2 An )
= P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) P ( An | A1 A2 An1 ) bc b b 2c = b r b r c b r 2c b ( n1 1)c r b r ( n1 1)c b r n1c
§1.4 条 件 概 率(一,二)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 与 的区别！ 注意 的区别
请看下面的例子
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例2 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的 而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 乙厂生产} 设B={乙厂生产 乙厂生产 A={标准件 标准件} 标准件 所求为P(AB). 所求为
1 1 6 P( AB) = P(B|A) = = 3 3 6 P( A)
又如， 件产品中有 件正品， 件次品 件产品中有7件正品 件次品， 又如，10件产品中有 件正品，3件次品， 7件正品中有 件一等品，4件二等品 现从这 件正品中有3件一等品 件二等品. 件正品中有 件一等品， 件二等品 10件中任取一件，记 件中任取一件， 件中任取一件 B={取到一等品 ， 取到正品 取到一等品}， 取到正品} 取到一等品 A={取到正品 P(B )=3/10， ，
P( AB) P(B | A) = P( A)
为在事件A发生的条件下 事件 的条件概率. 为在事件 发生的条件下,事件 的条件概率 发生的条件下 事件B的条件概率
3. 条件概率的性质 自行验证 条件概率的性质(自行验证 自行验证) 是一事件， 设A是一事件，且P(A)>0,则 是一事件 则 1. 对任一事件 ，0≤P(B|A)≤1; 对任一事件A， 2. P ( | A) =1 ； 3.设B1,…,Bn互不相容，则 设 互不相容， P[(B1+…+Bn )| A] = P(B1|A)+ …+P(Bn|A) 而且， 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 都适用于条件概率 请自行写出. 请自行写出
概率论1-3
注：抽签模型抽中签的概率与次序无关
6
三、全概率公式和贝叶斯公式
B1 , B2 ,, Bn 为E的一组 定义：设S为E的样本空间，
事件，若
⑴ Bi Bj
i j i, j 1, 2,, n
⑵ B1 B2 Bn S
P( AB) 0 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 )P( An | A1 A2 An1 )
当 当
P( A1 A2 An1 ) 0
5
乘法定理给出了事件乘积的概率与条件概率间的关系
例题：一袋中有10个球，其中9个是白球1个是红球。 10个人依次从袋中任意取球，求第一、第二、第十个 人取到红球的概率。 解：记第i 个人取到红球为 Ai , i 1, 2,,10
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
武汉科技大学理学院
20
P( AB) 1/ 2 2 P( B | A) P( A) 3/ 4 3
4
二、乘法定理
将条件概率的定义式变形，就成为乘法定理： 乘法定理：P( AB) P( A) P( B | A) P( B) P( A | B) 当
P( A) 0
P( B) 0
推广： P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
则称B1 , B2 ,, Bn来自S的一个划分。71.全概率公式：
概率论与数理统计第一章第四节：条件概率
1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下，事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下， P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间 产品有60件，而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B｜Ai )
n
,
P(Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)
人教版数学选择性必修三7.1.1条件概率课件
3
2
5
1．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)等于(
A.
5
6
B.
9
10
C.
2
15
= | ⋅ = ×
)
D.
| =
1
3
C
2 2
=
5 15
1
15
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第
一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(
= ∪∪ = + + = 6 +
+
=
6
6
6
20
20
20
20
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
+
=
13
58
类题通法
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长
提
出
问
题
度、质量都合格}．
问题3：试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)=
.
1．条件概率
导
入
新
知
• 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝
为在事件A
产生的条件下，事件B产生的条件概率．
他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
1-3条件概率
(4)
P(A1 U A2
B)
P( A1
B) P(A2
B) P(A1A2
B). 4
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例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放 回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品”, 事 件B为“第二次取到的是一等品”. 试求条件概率 P(B∣A).
事件同时发生的概率. 乘法公式易推广到多个事件的情形, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则
例如:
(3)
6
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例2 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下打
破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜落下三次而未
{第一次掷出6点}，
显然，事件 发生，并不影响事件 发生的概率，
这时我们称事件A 独立于B, 在数学上，
可表述为：
其中
(1)
同样，如果
其中
(2)
称事件B 独立于A 由乘法公式易见， (1)式和(2)式
均等价于
(3)
10
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故通常称事件A 与B 相互独立. 注意到 (3) 式当
时恒成立，故它不受 约. 从而可采用 独立性.
求得
24
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2. 将(1)式改写即得乘法公式 3. 事件的独立性
25
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p1 p2 2 p2 (1 p).
21
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采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3局(可能赛3局，也可能赛4局或5局)，且最后一 局必需是甲胜，而前面甲需胜二局. 例如,共赛4 局，则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”， “甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容. 由独立性 得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
选择性必修第三册7.1.1条件概率课件(人教版)(1)
（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本
空间；在P（AB）中，样本空间仍为
因而有
P( B A) P( AB)
。
典例在5道题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,
抽出的题不再放回.（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
（2）第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
＝ ＝ .
15
15
10
PA 4 8
1
2
15
1.若 P( A | B) ， P( A) ，则事件 A 与 B 的关系是( C )
3
3
A.事件 A 与 B 互斥
B.事件 A 与 B 对立
C.事件 A 与 B 相互独立
D.事件 A 与 B 互斥又相互独立
2 1
P
(
A
)
1
P
(
A
)
1
P( A | B) ， 事件 A 与 B 相互独立.故选 C.
P(A)=P(A1)+P( A2)= P(A1)+P()P(A2|)= + × =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 .
(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)=
+
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 .
n() 20 10
（2）“第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是
事件 A 产生的条件下，事件 B 产生的概率.又 P ( A)
公开课——条件概率(一)
2.2.1 条件概率教学目标（一）知识目标在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.（二）情感目标创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．（三）能力目标在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用.教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.教学过程一、复习引入1、复习：(1)两个事件A、B的和事件（BABA或+):事件A、B中至少有一个发生，当事件A、B 互斥时，()()()P A B P A P B+=+(2)两个事件A、B的积事件（BAAB或）事件A、B同时发生，若AB为不可能事件,则说事件A与B互斥.(),(),()P AB P A P B有什么关系呢？2、引例1：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问题1：事件B:最后一名同学抽到中奖奖券的概率为多少？1 ()3 P B=问题2: 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？12 P=问题3：为什么两个问题的概率不一样？通过回答问题3:，引出课题条件概率：因为问题2中已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率：若记A:第一名同学没有抽到中奖使得，一般地，在已知另一事件A 发生的前提下，事件B 发生的可能性大小不一定再是P(B).我们将问题2的事件记为(|)P B A ，称为在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率 二、新授课：（一）条件概率的概念设A 和B 为两个事件，那么，在“A 已发生”的条件下，事件B 发生的概率叫做______________________. 用符号___________表示。
一.条件概率及其性质1.条件概率的定义 设A,B为两个事件,...
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?
甲、乙2人分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射 中的概率为0.9,求: (1) 2 人都射中的概率; (2) 2 人中有1人射中的概率;
(3) 2 人至少有1人射中的概率; (4) 2 人至多有1人射中的概率.
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安 检).若安检不合格,则整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关 闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前 安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果 精确到0.01)
三.独立重复试验 1.在相同条件下重复做的n次试验称为n次重复试验. 2.如果事件A与B相互独立,那么 A与B, A与B, A与B 也都相互独立 四.二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次 试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件 A恰好发生k次的概率为:
4.概率的乘法 :计算公式 :P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
5.概率的加法 :计算公式 P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) 推扩:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
二.事件的相互独立性 1.定义:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有 影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 2、计算公式：P(AB)=P(A)P(B) 公式的推扩:P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 3、不可能事件(或必然事件)与任何事件都是相互独立的； 4、相互独立事件的性质 若事件A与B相互独立，则事件 A与B, A与B, A与B 也都是相互独立的 5、相互独立事件与互斥事件的区别 前者是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响， 计算公式是P(AB)=P(A)P(B) 后者是指同一个试验中两个事件不会同时发生， 计算公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)，且满足 P( A A) P( A) P( A) 1
1-5 条件概率
(二)乘法定理
(二)乘法定理 对于两个事件A,B，若P(A)>0，则 若P(B)>0，则 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(B)P(A|B)
对于三个事件A,B,C，若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 注意：由于ABA，故P(A)P(AB)，从而必有 P(A)>0 对于n个事件A1,A2,„,An (n≥2)，且P(A1A2„An-1) > 0，则 P(A1A2„An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)„P(AnA1A2„A
例题2
法一： 由条件概率定义
6 12 9 12 2 3
P(B|A)
P ( AB ) P ( A)
法二： 在缩减的样本空间SA=A中，直接得
P(B|A)=6/9=2/3
法三： 第一次抽取的样本空间为：S1={1,2,3,4} 当A发生，即第一次抽取一只一等品后，其样本空 间S2只剩下3个元素，而其中只有两个元素是一等品， 因此 P(B|A)=2/3。
P (Bi A) P(A)
B1 B2
Bn A
P ( A Bi )P (Bi )
P ( A B j )P (B j )
j1
n
i 1,2 , , n
P(Bi)>0(i=1,2,„,n)
全概率公式和贝叶斯公式的应用
在很多实际问题中，P(A)不易直接求得，但却容易找到样本
空间S的一个划分B1,B2,„,Bn，且P(Bi)和P(A|Bi)或为已知，或易
随机地取一只元件，求它是次品的概率； 3 0.03 0.05 (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此 次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。 试求这些概率。 设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi(i=1,2,3)表示 解： “所取到的产品是由第i家工厂提供的”，则B1,B2,B3是样本空 间S的一个划分。由题意 P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05 P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03
高中数学 第2章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的独立
2．2.1 条件概率 2．2.2 事件的独立性1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式．3．能利用概率公式解决实际问题．1．条件概率(1)定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P (B |A )”来表示，读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．类似地，事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率记为“P (A |B )”，读作“B 发生的条件下A 发生的概率”．(2)事件的交(或积)由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )．(3)条件概率计算公式 一般地，条件概率公式为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）(P (A )＞0)，类似地，P (A |B )＝P （A ∩B ）P （B ）(P (B )＞0)．2．相互独立事件(1)定义：一般地，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．若n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称这n 个事件相互独立．(2)相互独立事件的性质一般地，若事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)相互独立事件同时发生的概率①两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A ∩B )＝P (A )×P (B )．②如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )并且上式中任意多个事件A i 换成其对立事件后，等式仍成立．1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)若事件A 、B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )为( )A.950 B.12 C.910D.14答案：B3．甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是0.6，则他们都击中目标的概率是( )A ．0.6B ．0.36C ．0.16D ．0.84答案：B4．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．答案：0.95求条件概率[学生用书P26]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【解】 设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为A 25＝20. 根据分步乘法计数原理，事件A 的总数为A 13×A 14＝12. 故P (A )＝1220＝35.(2)因为事件A ∩B 的总数为A 23＝6. 所以P (A ∩B )＝620＝310.(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.法二：因为事件A ∩B 的总数为6，事件A 发生的总数为12，所以P (B |A )＝612＝12.利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设事件A 为“在所取得的产品中发现有一件不合格品”，事件B 为“另一件产品也是不合格品”，则P (A )＝C 14C 16C 210＝4×6×210×9＝815，P (A ∩B )＝C 24C 210＝215.因此P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝14.相互独立事件的判断判断下列各对事件是不是相互相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2，4，6}，B ＝{3，6}，AB ＝{6}， 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，所以P (A ∩B )＝P (A )·P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)当P (A )＞0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件， 由等可能性知概率各为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， A ∩B ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (A ∩B )＝12.由此可知P (A ∩B )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件， A ∩B 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (A ∩B )＝38，显然有P (A ∩B )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．求相互独立事件的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率；【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.与相互独立事件有关的概率问题求解策略一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么：A ，B 互斥 A ，B 相互独立P (A ＋B ) P (A )＋P (B )1－P (A －)P (B －)P (AB ) 0P (A )P (B ) P (A －B －)1－[P (A )＋P (B )]P (A －)P (B －)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合第一问、第二问、第三问可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率． (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)． (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (A B C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C )＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．解：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3， 则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34，不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1，P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝P (A 2∪A 3)·P (A 1) ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.————————————————————————————————————————————————1．求条件概率的方法(1)利用定义，分别求P (A )和P (A ∩B )，得P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （A ∩B ）n （A ）.2．判定两个事件相互独立的方法(1)定义法：如果A 、B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A 、B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．事件A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．注意与事件互斥区别．1．求复杂事件的概率时，先判断事件间的关系，是互斥还是独立，特别对“至多”“至少”等问题，可分成互斥事件求概率，也可用对立事件求概率．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A －B －；A 、B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A －B －.1．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316B.1316C.34D.14解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34.2．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( )A.115 B.215C.15D.110解析：选C.甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝15.3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝16.答案：16[A 基础达标]1．设A 与B 是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是( ) A ．A 与B －B.A －与B C.A －与B －D ．A 与A －解析：选D.A 、B 、C 选项的两事件相互独立，而A 与A －是对立事件，不是相互独立事件． 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6解析：选A.A ＝“数学不及格”，B ＝“语文不及格”，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16D.17解析：选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A 66，n (AB )＝A 55，P (B |A )＝A 55A 66＝16.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：选C.满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋ P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 6．已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则两台雷达都未发现飞行目标的概率为________．解析：所求概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015. 答案：0.0157．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 解析：设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，所以p ＝35.答案：358．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥， 又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：349．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率．(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C 28＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，所以P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3) ＝514×69＋1528×59＋328×49＝712. [B 能力提升]11．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A |B )等于( )A.25B.12C.35D.45解析：选A.因为A ∩B ＝{2，5}，所以n (AB )＝2. 又因为n (B )＝5，故P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝25.12．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )＝________．解析：由题意，P (A －)·P (B －)＝19，P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)．设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， 所以x 2－2x ＋1＝19，所以x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，所以x ＝23.答案：2313．一只口袋内装有2个白球和2个黑球．求：(1)在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ 解：(1)记A ＝“先摸出一个白球不放回”，B ＝“再摸出一个球为白球”， 则AB ＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A )＝24＝12，P (A ∩B )＝A 22A 24＝16，所以P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝13.(2)记A 1＝“先摸出一个白球放回”，B 1＝“再摸出一个球为白球”， 则AB 1＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A 1)＝24＝12，P (A 1∩B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1∩B 1）P （A 1）＝12.14．(选做题)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.求：(1)恰有一名同学当选的概率； (2)至多有两人当选的概率．解：设甲，乙，丙当选分别为事件A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为P (A ∩B －∩C －)＋P (A －∩B ∩C －)＋P (A －∩B －∩C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710 ＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (A ∩B ∩C )＝1－P (A )P (B )P (C )4 5×35×710＝83125.＝1－。
1-5 条件概率全概率公式与贝叶斯公式
231 321322 2 , 543543543 5
2 ( A ) P ( A ) . 依此类推 P 4 5 5
P ( A A A A ) P ( A A ) P ( A ). n 1 1 2 n 2 2 1 1
例1 一盒子装有4 只产品,其中有板有3 只一等品 1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放 回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” 事 件 B 为“第二次取到的是一等品”试求条件概 解 , 1 ,2 ,3 为一等品 ;4 号为二 . P(B|将产品编号 A). 以 ( i ,j )表示第一次 、 第二次分别取到 i号 、 第
P ( A A ) P ( A A ) P ( A A A A ) 1 2 1 2 1 2 1 2
P ( A ) P ( A A ) P ( A ) P ( A A ) 1 2 1 1 2 1
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P ( A ) P ( A S ) P ( A ( A A A A A A )) 3 3 3 1 2 1 2 1 2
第五节
条件概率
一、条件概率
二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两方面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正 面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已 知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
2 1 A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P (B ) . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB ) P (B ). (BA ) P(BA ), 则P 3 3 4 P ( A)
1-5 条件概率
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？ 如何求取得红球的概率？？？
(2) 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 ,L , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2,L , n ), 则 P ( A ) = P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 ) + L + P ( A非负性 : P ( B A) ≥ 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) = 1, P (∅ B ) = 0;
(3) P( A1 U A2 B) = P( A1 B) + P( A2 B) − P( A1 A2 B);
(4) P ( A B ) = 1 − P ( A B ).
，
(1) 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现 观察其出现 正反两面的情况,设事件 为 正反两面的情况 设事件 A为 “至少有一次 为正面” 事件 事件B为 两次掷出同一面” 为正面”,事件 为“两次掷出同一面”. 现 在来求已知事件A 在来求已知事件 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 发生的概率
2. 乘法公式
设 P ( B ) > 0, 则有 P ( AB ) = P ( A B ) P ( B ).
推广1 : 设 A1 , A2 , A3为事件, 且 P ( A1 A2 ) > 0, 则有
P(A A A ) = P(A )P(A A )P(A A A ). 1 2 3 1 2 1 3 1 2
N ( AB) 6 2 P ( B | A) = = = ′) N (S 9 3
解法二（条件概率的定义法） 解法二（条件概率的定义法） 由于
条件概率与事件的独立性(1)
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19
概率论与数理统计
例：市场上有甲，乙，丙三家工厂生产同一品牌 的产品；已知三家产品的市场占有率分别为 25%， 25% 及 50%, 且三家工厂的产品次品率分别为 2%， 1% 及 3%, 求此品牌产品的次品率？
解：设 B 买到一件产品是次品；A1 甲厂生产的产品 A2 乙厂生产的产品； A3 丙厂生产的产品
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3
概率论与数理统计
例：设箱中有 5 个红球和 3 个白球。现不放回 地取出 2 个球，假设每次抽取时，箱中各球被 取出是等可能的。第一次取出红球时，问：第
2 次仍取出红球的概率是多少？
解 一 ： 缩 减 样 本 空 间 法
设 Ai 第 i 次取出红球，i 1, 2
由 于 A1 已 经 发 生 ， 第 2 次 取 球 时 ， 共 剩 下 7 个 球 ， 其 中 有 4 个 红 球 ， 故 P ( A2 | A1 ) 4 7 .
n
m
n
n
m m
n
m
n
1
n
m
n
n
2
m
n
mn
m
1
n
.
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概率论与数理统计
P32 题 7 解：设 B 取得该球是红球
A1 取自甲袋； A2 取自乙袋
则 1. P B P A1 P B A1 P A2 P B A2
1 6 1 8 41； 2 10 2 14 70
aa202132114概率论与数理统计复杂的事件分解成若干个互不相容的部人们在计算某一比较的概率时有时根据事件在不同情况或不同原因下发生而将它分别计算每一部分的概率然后求和这就是我们接下来要讨论的全概率公式
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P ( AB ) P ( B A) P ( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率.
练习：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可 能的，已知这个家庭有一个女孩，问这时另一个小孩 是男孩的概率是多少？ 解1：样本空间A的基本事件数为3，{bg、gb、gg}
北师大版高中数学选修2-3 第二章《概率》
一、教学目标： 1、知识与技能：通过对具体情景的分析，了 解条件概率的定义。 2、过程与方法：掌握一些简单的条件概率的 计算。 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析， 会进行简单的应用。 二、教学重点：条件概率定义的理解。 教学难点：概率计算公式的应用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
★已知甲站在排头，求乙站在排尾的概率？
2 A2 1 n( A B ) P ( A B ) p( B | A) 3 A3 3 n( A) P ( A)
四位学生站成一排照相，求：
缩小了样本空间，基本事件总数减少了！
一、条件概率 Conditional Probability
（4）互为对立事件 A B＝ 且 A B＝U 事件A与B在任何一次试验中有且仅有一个发生 如图：
A
B
P( A) 1 P( B)
（ ） （5）并事件（和事件） A B 或A B
如图：
A B B
A
（ ） （6）交事件（积事件） A B 或AB
如图：
B A：
课后作业：课本第47页习题2-3中1、2 五、教学反思：
(1) 等可能性 (2) 有限性
事件A的基本事件数 m p( A) 样本空间的基本事件数 n
2、几何概型：
(1) 等可能性 (2) 无限性
事件A的区域 P( A) 样本空间的区域
探究一
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学 无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小?
事件B|A的基本事件数为2，{bg、gb} 所以 P(B|A)=2/3 解2： P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、条件概率的性质：
必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0
1. 条件概率的定义.
2. 条件概率的计算.
公式:
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
【回顾和复习】 一、事件的四个关系和两个运算：
（1）包含关系：B A （或A B) 如图：
B
A
（2）相等关系： B A且A B 即：A=B 如图：
BA
（3）互斥事件 A B 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生 如图：
A
B
P( A B) P( A) P( B)
探究二 P(A1)=P(A3)=1/3
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖券,那么 最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
设A={第一名同学没有抽到中奖券}
设B={最后一名同学抽到中奖奖券} P(B|A)=1/2
为什么是1/2?
缩小了样本空间，基本事件总数减少了
探究三
A33 1 (1)事件A：甲站在排头的概率； p( A) 4 A4 4 A33 1 (2)事件B：乙站在排尾的概率； p( B ) 4 A4 42 A2 1 (3)事件A、B同时发生的概率；p( A B ) 4 A4 12