Z正逆变换方法总结.
Z反变换
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
反Z变换
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
§6.3 逆z变换PPT课件
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
Z反变换方法
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
Z变换及逆变换与-稳定性
数字信号处理课程设计课程名称数字信号处理题目名称Z变换与逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生XX学号指导教师二○××年××月××日Z变换-反变换求系统响应与稳定性判断引言 (1)数字信号处理 (2)MATLAB (2)GUI (2)课题相关 (2)设计要求 (1)理论知识 (1)离散时间系统 (2)Z变换 (2)数字信号处理 (2)离散时间系统的频域分析 (2)系统函数 (6)因果性和稳定在Z域的描述 (6)系统函数的零极点位置 (6)MATLAB仿真 (1)M脚本涉与函数 (2)GUI控件介绍 (2)常用控件 (6)控件的公共属性 (6)程序实现 (1)稳定系统I (5)稳定系统II (5)非稳定系统 (5)致谢 (1)参考文献 (4)附录 (1)1 引言1.1 数字信号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。
另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。
有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以与数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。
常用的z变换基本公式
常用的z变换基本公式
常用的Z变换基本公式包括：
1. 单边Z变换公式：X(z) = ∑_{n=0}^{∞} x(n) * z^(-n)
2. 双边Z变换公式：X(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} x(n) * z^(-n)
3. 收敛域判断：根据x(n)的系数，判断Z变换的收敛域。
收敛域通常由极点、零点和因果序列、反因果序列等决定。
4. Z变换的性质：线性性质、时移性质、频移性质等。
5. Z变换和离散傅里叶变换（DFT）的关系：X(z) = ∑_{k=0}^{N-1} x(k) * z^(-k)，其中N是序列长度。
6. Z变换和拉普拉斯变换的关系：在Z变换的收敛域内，X(z)可以转换为拉普拉斯变换的形式。
这些公式是Z变换的基础，可用于离散信号的处理和分析，如滤波器设计、系统稳定性分析等。
在实际应用中，需要针对具体问题选择合适的公式和方法，并注意收敛域的判断和处理。
序列Z变换与反变换
注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消 时，收敛域会扩大！
例：已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm
数字信号处理2 Z变换
X1 ( z ) Z1[ x(n)] x(n) z n
n 0
z是复数,X(z)是复变函数
X ( z ) X ( re )
jw z re jw n
x ( n ) r n e jnw
r 1
2
F变换属于双边Z变换
X ( z ) X ( e jw )
正、逆Z变换：存在条件
变换存在&绝对可和
Z变换存在,即复变函数幅值有限(定义)
X (z)
存在条件放宽(充要条件)
X (z)
n
x(n) z
n
n
x(n) z
n
n
x(n) z n
收敛域:
z r Rx
已知x(n), 使
Im(z)
a z b
….
n1
0
x n
….
n2
Re(z)
Im(z)
a z b, a b
….
n1
0
….
n2
Re(z)
9
第五次 @ 5.20
回顾：
单、双边Z变换公式 Z变换的收敛域
定义（对比DTFT变换的“绝对可和”条件） 不同序列的收敛域
本次：
Z逆变换 Z变换性质
2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4 ... z 1 1 2 2 2z 2z 2z 2z2 2z2 2z 2 2z3 2z3
X1(z)
z变换公式
z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。
它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。
z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。
那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。
z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。
以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。
位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。
延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。
如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。
这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。
z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。
如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。
第二章(2)序列的Z变换
z
n
Im [z ]
1 0
za
C
当 n 0时 , 因 为 z a， 围 线 c内 F ( z ) 有 一 个 单 阶 极 点 z a , 围 线 c 外 有 一 个 n阶 极 点 z
a R e [z ]
x(n) Re s[ X ( z ) z
k 1
1
n 1
, zk ] Re s[ F ( z ), a] ( z a)
n 1
n2
x(n) z
n
j Im(z )
若 n2 0, 级 数 没 有 负 幂 项 ， 其 收 敛 域 为 0 z R x 若 n2 0, 其 收 敛 域 为 0 z R x 总之，其收敛域是半径为的圆内部，是否包括 原点由的具体取值而定
0
Rx+
Re(z )
例 2 . 5 . 4 求 x ( n ) a u ( n 1)的 Z 变 换 并 确 定 其 收 敛 域
X (z)
n
x(n) z
n
收敛的所有Z值之集合，即
为X(z)的收敛域（ROC，Region of convergence)
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x(n) z
n
（ 2 .6 .3 ）
j Im[ z ]
3. 序列的收敛半径
阿贝尔定理:
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义 设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双 边 Z变 换 X (z) X (z)
n
x (n ) z
n
(2 .6 .1 )
第二章_Z变换
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点， 因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1） 的模决定， （1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个 圆的边界 收敛， 大的Z的模一定 （2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的 的模一定 ）对右边序列： 收敛， r1 是右边序列的极点 收敛， 收敛， 小的数一定收敛， （3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛， ）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和 有例外 有例外） 时移后收敛域一般不发生变化（单边序列 和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且 且 如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点 如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点 也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域
逆z变换
= Kx(−2)z2 + x(−1)z1 + x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 +L
级数的系数就是序列 x(n)
2．右边序列的逆z变换
将X(z) 以z 的降幂排列
X(z) = ∑ x(n)z−n = x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 + L
n=0 ∞
3．左边序列的逆z变换 将X(z)以z的升幂排列
高阶极点（重根）
设 X(z) = ∑
j =1 s
Bj z ( z − zi )
j
z = zi为s阶极点。 阶极点。
则
1 ds− j s X ( z) Bj = s− j (z − zi ) (s − j)! d z z z=z
i
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是 的有理函数，可表示为： 变换式一般是z的有理函数，可表示为：
推导
1 X (z)zm−1 d z = 2 πj ∫c 1 x(n) z−n+m−1 d z ∑ 2 πj ∫c n=0
∞ ∞
1 m−n π j( m−n)θ R ∫ e dθ = ∑ x(n) −π 2π n=0
只有当 = m积分不为零， = m时积分为 π n 积分不为零， n 2
x(n) 右= 0 n= m n≠ m
m
左边序列 围线积分等于围线 外所有极点的留数之和 围线积分等于围线C外所有极点的留数之和 x(n) = −∑Re s X ( z)zn−1
[
]
m
z=zm
X ( z) =
n=− ∞
x(n)z −n = x(−1)z1 + x(−2)z 2 + x(−3)z 3 + L ∑
Z反变换方法范文
Z反变换方法范文Z反变换方法是一种在控制系统设计和信号处理领域广泛应用的数学工具。
它能够将复平面上的频域信号转换回时域信号，提供了一种有效的逆变换方法，可以将频域系数转换成原始信号。
在本文中，我们将详细介绍Z反变换的原理、应用和计算方法。
首先，我们来了解一下Z变换。
Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的频域表示的方法。
它在控制系统设计和信号处理中具有重要的作用。
Z变换将离散时间序列表示为复数序列，这些复数的模长表示信号的幅度，相位角表示信号的相位信息。
Z变换的数学定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)], n=-∞ to +∞其中，X(z)表示Z变换后的频域信号，x(n)表示时域信号，z是一个复数变量。
Z变换的作用类似于傅里叶变换，它能够将时域信号转换为频域信号，提供了一种分析和处理信号的有效方法。
Z反变换是Z变换的逆运算。
它的作用是将Z变换后的频域信号转换回时域信号。
Z反变换的数学定义如下：x(n) = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，x(n)表示反变换后的时域信号，X(z)表示Z变换后的频域信号，∮表示沿着闭合曲线的积分，j是虚数单位。
Z反变换的计算方法有多种，下面我们将介绍两种常用的计算方法。
一种常用的计算方法是使用留数定理。
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它提供了一种计算复变函数积分的方法。
对于Z反变换的计算，我们可以首先将X(z)分解为部分分式的形式，然后计算每个留数对应的积分，最后求和得到反变换。
另一种常用的计算方法是使用逆Z变换表。
逆Z变换表是一种预先计算好的Z反变换的结果表格。
通过查表可以直接得到反变换的结果。
逆Z 变换表通常包含了一些常用的频域信号的反变换结果，可以方便地应用于实际计算中。
Z反变换在控制系统设计和信号处理中有广泛的应用。
在控制系统设计中，Z反变换可以用于恢复控制信号的时域波形，从而实现对系统的控制。
在信号处理中，Z反变换可以用于恢复被Z变换后的频域信号，从而实现对信号的处理和分析。
第六章(3) 逆Z变换
a z
z >0
x <∞
a 令 x = ,则F(z) 可展开为 z
a k ∞ ( ) ∞ a ak k F(z) = e z = ∑ z = ∑ z , k=0 k! k=0 k!
z >0
ak ∴ f (k) = ε (k) k!
二,部分分式展开法 在离散系统分析中,经常遇到的象函数是z 在离散系统分析中,经常遇到的象函数是z的 有理分式,它可以写为: 有理分式,它可以写为:
1 + z + 3z + 5z + z2 z 2 z 2 z2 z 2 z+2 z 1 2z1
3 + z z 2 F(z) = ∑ f (k)zk
k =0 ∞
即
z2 F(z) = 2 = 1+ z1 + 3z2 + 5z3 + z z 2
相比较可得原序列 f (k) = {1, 1, 3, 5, }
B(z) bmzm + bm1zm1 ++ b1z + b0 F(z) = = n A(z) z + am1zn1 ++ a1z + a0 m≤ n
F(z) B(z) B(z) = = ,m < n +1 n n1 z zA(z) z(z + am1z ++ a1z + a0 )
k1 k2 F(z) = + z-z1 z z2
的极点. 它们称为 F(z)的极点.
F (1) (z)有单极点 F (2) (z)有共轭单极点 F (3) (z)有重极点
F (1) (z)有单极点
都互不相同,且不等0 如 F(z) 的极点z1 , z2 ,, zn , 都互不相同,且不等0 则 F(z) / z 可展开为
第14讲逆z变换
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
②高阶极点
当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修改为：
X ( z)
M N
k 0
Bk z k
k 1
N s
x(n) Re s[ X ( z ) z
k
n 1
, ak ]
如果 X ( z ) z n1还满足在 z 有二阶或二阶以上的零点， 则根据留数辅助定理，有:
x(n) Re s[ X ( z ) z
k
n 1
, bk ]
ak 是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 bk 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
N
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数 Ak(k=0,1…,N) 。 b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数 Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用 X(z)/z的 形式求取：
A0 X (0) bN X ( z) Re s[ ,0] aN z
n0
当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单 阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有: