最大公约数和最小公倍数

合集下载

最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数初中数学中，最大公约数和最小公倍数是非常重要的概念，它们在解决整数运算、分数化简、方程求解等问题中起着至关重要的作用。

本文将从实际问题出发，通过举例、分析和说明，详细介绍最大公约数和最小公倍数的概念、性质和应用，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和运用这两个概念。

一、最大公约数最大公约数，简称最大公因数，是指两个或多个整数共有的最大的约数。

我们可以通过列举法、质因数分解法和辗转相除法等方法来求解最大公约数。

例如，我们要求解12和18的最大公约数。

首先，我们可以列举出12的因数为1、2、3、4、6、12，18的因数为1、2、3、6、9、18。

可以看出，它们的公因数有1、2、3、6，其中6是最大的，因此12和18的最大公约数为6。

又如，我们要求解24和36的最大公约数。

我们可以使用质因数分解法，将24分解为2^3 × 3，36分解为2^2 × 3^2。

可以看出，它们的公因数有2^2 × 3，即12，因此24和36的最大公约数为12。

最大公约数在分数化简、比例关系、方程求解等问题中都有广泛的应用。

例如，在分数化简中，我们可以通过求解分子和分母的最大公约数，将分数化简为最简形式；在比例关系中，我们可以通过求解比例中各个数的最大公约数，确定比例的最简形式；在方程求解中，我们可以通过求解方程中各个系数的最大公约数，将方程化简为最简形式。

二、最小公倍数最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数的公倍数中最小的一个。

我们可以通过列举法、质因数分解法和最大公约数的性质来求解最小公倍数。

例如，我们要求解6和9的最小公倍数。

通过列举法，我们可以找到它们的公倍数为6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，可以看出，它们的最小公倍数为18。

又如，我们要求解8和12的最小公倍数。

我们可以使用质因数分解法，将8分解为2^3，12分解为2^2 × 3。

最大公约数与最小公倍数(正式)

最大公约数与最小公倍数基本概念：1、公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法A．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）大数翻倍法（4）a×b=（a,b）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例1、437与323的最大公约数是多少？LX1、24871和3468的最小公倍数是多少？例2、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

【分析】根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。

所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）解：（１）求90和42的最大公约数2 90 423 45 2115 7（90，42）＝60（2）求至少剪多少块正方形铁板90÷6＝1545÷6 ＝715×7＝105（块）至少可以剪105块正方形铁板。

小学最大公约数与最小公倍数

小学最大公约数与最小公倍数在小学数学中，最大公约数和最小公倍数是基础但重要的概念。

它们在解决数学问题、简化分数、约分等方面都起到了重要作用。

本文将深入讨论小学阶段学生需要了解和应用的最大公约数和最小公倍数的概念、求法以及实际应用。

一、最大公约数（Greatest Common Divisor）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除这些数的最大的正整数。

求解最大公约数常用的方法有因式分解法、列举法和辗转相除法。

1. 因式分解法使用因式分解法求解最大公约数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的公因子，最后再将这些公因子相乘即可得到最大公约数。

例如，对于数26和39，我们可以进行因式分解得到：26 = 2 × 1339 = 3 × 13由此可见，26和39的最大公约数为13。

2. 列举法列举法是一种直观简单的方法，它通过列举数的所有因数，找出两个数的公因数，再从中选取最大的那个数作为最大公约数。

以12和16为例，我们列举出它们的因数如下：12的因数有：1、2、3、4、6、1216的因数有：1、2、4、8、16可以看到，12和16的公因数有1、2、4，则最大公约数为4。

3. 辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法，通过一系列的除法运算，最终将两个数的余数为零的一步的除数作为最大公约数。

以56和32为例，我们可以使用辗转相除法求解最大公约数：56 ÷ 32 = 1 (24)32 ÷ 24 = 1 (8)24 ÷ 8 = 3此时余数为零，所以最大公约数为8。

二、最小公倍数（Least Common Multiple）最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被这些数整除的最小的正整数。

求解最小公倍数常用的方法有因式分解法、列举法和倍数相乘法。

1. 因式分解法使用因式分解法求解最小公倍数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的所有因子，最后再将这些因子相乘即可得到最小公倍数。

最大公约数与最小公倍数

第五讲最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。

例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。

例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。

2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。

3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求。

二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。

最大公约数和最小公倍数求法

最大公约数和最小公倍数求法1. 引言大家好呀！今天我们来聊聊数学里两个非常重要的概念——最大公约数和最小公倍数。

这听起来可能有点儿枯燥，但别担心，我们会用轻松幽默的方式来探讨这些概念，让大家在笑声中学到东西。

毕竟，数学不一定是冷冰冰的，我们可以把它变得生动有趣！2. 最大公约数（GCD）2.1 什么是最大公约数？好吧，首先我们得搞明白，最大公约数到底是什么。

简单来说，最大公约数就是能同时整除几个数的最大整数。

比如说，咱们有两个数，12和16，最大公约数就是4，因为4是能同时把12和16整除的最大数。

嘿，这就像找一个能跟你和你朋友都玩得来的地方，既不太大也不太小，刚刚好！2.2 怎么求最大公约数？那么，怎么求最大公约数呢？其实有几种方法，咱们来看看。

最简单的就是列举法，慢慢来找。

先把两个数的所有公因数列出来，比如说12的因数有1、2、3、4、6、12，16的因数有1、2、4、8、16。

你看，1、2、4都是共同的，最大的是4！是不是很简单？不过，若你觉得这样太慢，那就可以用辗转相除法了。

这个听起来很高大上，但其实就是用较大的数去除较小的数，余数再去除，直到余数为0。

最后的除数就是最大公约数，简单吧！3. 最小公倍数（LCM）3.1 什么是最小公倍数？说完最大公约数，咱们再来看看最小公倍数。

这个就更简单了，最小公倍数是能被几个数同时整除的最小正整数。

举个例子，假如有两个数，4和5，最小公倍数就是20，因为20是4和5的第一个公共倍数。

想象一下，这就像是找一个能同时满足你和你朋友的需求的餐厅，菜品丰富，又不会太贵，嘿嘿，真是完美！3.2 怎么求最小公倍数？那么，如何求最小公倍数呢？这里有一个小技巧，就是用最大公约数来帮忙。

具体的公式是：最小公倍数= (a × b) / 最大公约数。

就以刚刚的4和5为例，先求最大公约数，显然是1。

然后用公式算一下，(4 × 5) / 1 = 20，完美！这就是最小公倍数，简单又高效，是不是？4. 实际应用4.1 为什么要知道这些？那么，大家可能会问，学这些有什么用呢？其实，最大公约数和最小公倍数在生活中无处不在，比如在安排活动时，确定时间表，或者在分蛋糕时，大家都想要公平的份额。

最小公倍数和最大公约数的关系证明

最小公倍数和最大公约数的关系证明
首先，我们需要知道最大公约数和最小公倍数的定义。

最大公约数是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数，而最小公倍数是指能够被两个或多个整数同时整除的最小正整数。

假设有两个整数a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为l。

那么有以下的关系式：
a = m * d
b = n * d
l = k * d
其中，m和n为整数，且m、n与d互质，k为整数。

这个关系式可以用辗转相除法证明。

我们先来证明a和b的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的乘积。

根据定义，我们有：
a *
b = (m * d) * (n * d) = m * n * d * d
l * d = k * d * d
因为m、n与d互质，所以m * n与d互质。

因此，k = m * n。

那么有：
a *
b = m * n * d * d = k * d * d = l * d
因此，我们证明了a和b的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的乘积。

接下来，我们来证明a和b的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。

我们有：
l = k * d = (m * n) * d
a *
b = m * n * d * d = l * d
因此，我们可以得到：
l = a * b / d
这就证明了a和b的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。

综上所述，最小公倍数和最大公约数之间存在以下的关系：a和b的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。

第2讲最大公约数与最小公倍数

第二讲最大公约数与最小公倍数一基础知识与典型例题知识点1.约数与倍数:若|b a ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数.知识点2.最大公约数：设c b a ,,, 是（有限个）不全为零的整数，则同时整除c b a ,,, 的整数叫做它们的公约数，非零整数的约数有有限个，故c b a ,,, 的公约数有有限个，其中必有一个最大的，我们称它为c b a ,,, 的最大公约数.记为()c b a ,,.例1.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数.知识点 3.最小公倍数:同时是c b a ,,, 的倍数的整数称为它们的公倍数,最小的正的公倍数叫做最小公倍数,记为[]c b a ,,, .知识点4.素数与合数：一个大于1的整数m ，如果它仅有1和m 这两个约数，则称m 是素数（或质数）；如果它除了1和m 之外还有其他的约数，即m 可表示为b a ⋅的形式,则称m 是合数.1既不是素数，也不是合数.知识点5.素数的性质：(1) 大于1的整数必有素因子(2) 素数与合数都有无数个(3) 既为偶数又为素数的正整数只有一个,它就是2.(4) 设p 为素数,n 是任意整数,则或者n p ,或者()1,=n p(5) 若p 是素数，且|p ab ，则|p a 或|p b ；(6) 若p 是素数，且p ab =，则p a =或p b =；例2.求所有这样的素数,它既是两素数之和,同时又是两素数之差.例3.求三个素数,使得它们的积为和的5倍.例4.设p 是素数，整数z y x ,,满足p z y x <<<<0，若333,,z y x 除以p 的余数相等. 证明：222z y x ++可以被z y x ++整除.知识点 6.欧几里得算法:设b a ,为整数,0>b ,按下述方式反复作带余除法,有限步之后必然停止(即余数为零):用b 除a 得:b r r bq a <<+=0000,;用除b 得:011100,r r r q r b <<+=;用1r 除0r 得:1222100,r r r q r r <<+=;…用1-n r 除2-n r 得:1120,---<<+=n n n n n n r r r q r r ;用n r 除1-n r 得:0,1111=+=+++-n n n n n r r q r r ;则()()()()n n n r r r r r r b b a =====+1100,,,, .特殊的:若r bq a +=,则()()r b b a ,,=.即()()bq a b b a -=,,.知识点7.裴蜀等式设b a ,是整数,且()b a d ,,则()d b a =,的充要条件是存在整数v u ,,使得d vb ua =+. 例5.求下面各组数的最大公约数.(1)36,138==b a ;(2)1859,1573a b ==;(3)108,72,48321===a a a ; 例6.设n 是正整数,证明:(1)()1314,421=++n n ;(2)()()11!1,1!=+++n n知识点8.最大公约数和最小公倍数的性质:(1) a 和b 的任一公约数都是它们最大公约数的约数.a 和b 的任一公倍数都是它们最小公倍数的倍数.(2) 若|b a ，则(,)a b b =，[,]a b a =.(3) +∈N m ,则()()b a m bm am ,,=,[][]b a m bm am ,,=.(4) 若n 是b a ,的公约数，则(,)(,)a ba b n n n =，[,][,]a b a b n n n=. (5) 设n a a a ,,,21 是任意n 个正整数.① 如果()()()n n n c a c c a c c a a ===-,,,,,,1332221 ,则()n n c a a a =,,,21 . ② 如果[][][]n n n m a m m a m m a a ===-,,,,,,1332221 ,则[]n n m a a a =,,,21 .(6) 对任意的正整数,a b ,()[]ab b a b a =,,,若()1,=b a ,则[]ab b a =,.(7) 若|a bc ，且(,)1a b =，则|a c . (8) 若|a c ，|b c ，且(,)1a b =，则|ab c .(9) 若()1,=b a ,则()()b c b ac ,,=. (10) 若[,]a b m =，则(,)1m m a b=. (11) 若b a ,均与m 互素,则ab 也与m 互素.一般的,如果n a a a ,,,21 均与m 互素,则n a a a 21也与m 互素.例7.已知()[]144,,6,==b a b a ,求b a ,.例8．数列1001,1004,1009的通项是10002+=n a n ,其中+∈N n ,对每一个n ,用n d 表示n a 与1+n a 的最大公约数,求n d 的最大值,其中n 取一切正整数.例9.正整数a 和b 互素,证明:b a +与22b a +的最大公约数等于1或2.例10.两数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120,求这两个数. 例11.若在各项都是正整数的数列{}i a 中,对于任何j i ≠,都有()()j i a a j i ,,=. 证明:对一切N i ∈,都有i a i =.知识点9. 因数分解定理（算术基本定理）：每个大于1的正整数均可分解成有限个素数的积,如果不计素因数在乘积中的次序,则其分解方式是唯一的.即k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.知识点10.n 的约数的标准分解：设n 的标准分解为: k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.则正整数d 是n 的约数的充分必要条件是:其标准分解为: k k p p p d βββ 2121=,其中k i i i ≤≤≤≤1,0αβ.知识点11.n 的正约数的个数及正约数的和记:()n r 表示n 的正约数的个数, ()n δ表示n 的正约数的和,且k k p p p n ααα 2121=,则有:()()()()11121+++=k n r ααα ,()111111121211121----⋅--=+++k k p p p p p p n k αααδ 知识点12.n 为完全平方数的充要条件是()n r 为奇数.知识点13.n ！的标准分解:设α是n ！的标准分解中出现的p 的幂,则∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=α1i i p n由于当m p i >时,0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i p n ,所以上式中的和只有有限多个项不为零. 例12.求自然数N ,使它能被5和49整除,并且包括1和N 在内,它共有10个约数.例13.数20！有多少个正整数的因数?二巩固练习1.若12+n是质数)1(>n ,则n 是2的方幂.2.求正整数b a ,.使得()[]144,,24,,120===+b a b a b a .3.证明：若n 是正整数，则()1314,421=++n n .4.设c b a ,,是正整数,证明:[]()abc ca bc ab c b a =⋅,,,,.5. 设b a ,是正整数，证明：()[][]b a b a b a b a +⋅=⋅+,,. (,)(,)(,).a b a a b b a b +=+=提示：6.写出51480的标准分解式.7.求!12,!15,!20的标准分解式.。

最小公倍数和最大公约数的关系证明

最小公倍数和最大公约数的关系证明最小公倍数和最大公约数是数学中非常重要的概念。

它们是两个相反的概念，一个是求得两数中的最大公约数，一个是求得两数中的最小公倍数。

但是，它们之间存在一种神奇的关系，即最小公倍数等于两数的乘积除以最大公约数。

这个定理可以用以下方法来证明。

假设a和b是两个正整数，它们的最大公约数为d，那么我们可以将a和b表示为a=dx，b=dy，其中x和y互质（如果x和y不互质，则a、b还可以被它们的公因数整除，这样就可以继续约束它们的最大公约数）。

现在，让我们来证明a和b的最小公倍数等于dxy。

我们首先要证明dxy是a和b的公倍数。

根据前面的表述，a和b都可以被d整除，即它们都是d的倍数。

这意味着a和b都可以表示为d的倍数和x或y的积，即a=d*x和b=d*y。

那么dxy就是a和b的公倍数。

因为d*x和d*y都是dxy的因数，所以dxy整除a和b。

现在，我们要证明dxy是最小公倍数。

让我们假设z是a和b的另一个公倍数。

那么z 肯定可以表示为z=m*a=n*b的形式。

因为a=d*x，b=d*y，所以我们可以把z表示为z=m*dx=n*dy。

我们可以把m*dx=n*dy的左边乘以y，右边乘以x，这样我们得到了my*dx=nx*dy。

因为x和y互质，所以my和nx都必须是d的倍数。

我们可以把它们写成my=d*p和nx=d*q的形式，这样我们得到了pqxy=mn。

因为x和y互质，所以研究x和y的乘积和其他数字没有什么关系。

我们可以仅仅考虑p和q的关系。

我们知道p和q都是mn的因数。

因为pqxy=mn，所以xy也是mn的因数。

但是x和y互质，所以xy是mn的最小公倍数。

因此，任何一个公倍数z都必须至少包含一个mn的因数，这就说明了dxy至少是一个公倍数，它必须是最小的公倍数。

因此，我们可以总结出最小公倍数为dxy，即两数的乘积除以它们的最大公约数。

最大公倍数和最小公因数概念

最大公约数和最小公倍数一、最大公约数1. 最大公约数的定义：最大公约数，也被称为最大公因数，是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

例如，12和15的最大公约数是3。

2. 最大公约数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果gcd(a, b)存在，那么gcd(a, b)是唯一的。

（2）如果a和b都是合数，那么gcd(a, b)可能大于1。

（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

即：a ×b = gcd(a, b) ×lcm(a, b)。

3. 最大公约数的求法：（1）辗转相除法：这是求最大公约数的一种常用方法。

它是通过不断将较大的数除以较小的数，同时记录余数，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。

例如，用辗转相除法求12和15的最大公约数：15÷12=1…3，12÷3=4…0，所以最大公约数是3。

（2）欧几里得算法：这是一种基于辗转相除法的更高效的算法，可以在对数时间内计算出最大公约数。

它的基本思想是：对于任意两个非负整数a和b，如果b是0，那么a就是最大公约数；否则，最大公约数就是a对b的余数和b的最大公约数。

例如，用欧几里得算法求12和15的最大公约数：gcd(12, 15)=gcd(15, 12%15)=gcd(15,3)=gcd(3, 0)=3。

二、最小公倍数1. 最小公倍数的定义：最小公倍数，也被称为最小公因数，是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。

例如，6和9的最小公倍数是18。

2. 最小公倍数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果lcm(a, b)存在，那么lcm(a, b)是唯一的。

（2）如果a和b都是合数，那么lcm(a, b)可能大于它们的最大公约数。

（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

最大公约与最小公倍

二、最小公约数和最小公倍数1、公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公．．．约数．．。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。

12和18的公约数有：1，2，3，6。

其中6是12和18的最大公约数，记做（12，18）＝6。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公．．．倍数．．。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，90，…；18的倍数有：18，36，54，72，90，108，…。

12和18的公倍数有：36，72，90，…。

其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

3、互质数如果两个数的最大公约数为1，那么这两个数叫做互质数．．．。

二、最大公约数与最小公倍数最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：（8，12）=4，（6，9，15）=3。

最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：[8，12]=24，[6，9，15]=90。

求最大公约数的方法：1．分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

例如：231=3×7×11，252=22×32×7，所以（231，252）=3×7=21；2．短除法：先找所有共有的约数，然后相乘。

例如：（12，18）=2×3=6 ；3．辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。

最大公约数与最小公倍数的应用

最大公约数与最小公倍数的应用1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6, 24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= 6，[18，12]=36 （18，12）×[18，12]=36×6=216 3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

练一练：1、甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。

2、例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

练一练已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

练一练：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？例6、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪多少块？练一练三根铁丝，长度分别是120厘米，180厘米，300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？例7：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练一练有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？例8 38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。

最大公倍数和最小公约数的公式

最大公倍数和最小公约数的公式
最大公倍数和最小公约数是数学中常见的概念，它们是用来描述两个或多个数之间的关系。

最大公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最大的那个数，而最小公约数是指两个或多个数的公共约数中最小的那个数。

最大公倍数和最小公约数可以用以下公式进行计算：
设a和b为两个正整数，它们的最大公约数为g，最小公倍数为l，则有：
l = a*b/g
g = gcd(a,b)
其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。

通过这些公式，我们可以很方便地计算出两个或多个数的最大公倍数和最小公约数，从而更好地理解它们之间的关系。

- 1 -。

最大公约数和最小公倍数

5 3 3 10 2 5 1
［3，10，5］=5×3×2=30 ，，］ × × 各道工序均应加130个零件。个零件。 ∴各道工序均应加个零件 30÷3=10（人） ÷ （ 30÷10=3（人） ÷ （ 30÷5=6（人） ÷ （第一道工序至少要分配10人第二道工序至少要分配3人答：第一道工序至少要分配人，第二道工序至少要分配人，第三道工序至少要分配6人第三道工序至少要分配人。
由题意可知，参加会餐人数应是2 的公倍数。分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。解：∵[2，3，4]=12 [2，参加会餐人数应是12的倍数。 12的倍数 ∴参加会餐人数应是12的倍数。又∵12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13（瓶）， 12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13（可见12个人要用6 12个人要用饮料，饮料，饮料，共用13 13瓶饮料 ∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料又∵65÷13=5， 65÷13=5，参加会餐的总人数应是12 12的 ∴参加会餐的总人数应是12的5倍， 12×5=60（ 12×5=60（人）。参加会餐的总人数是60 60人答：参加会餐的总人数是60人。
用辗转相除法求4811 1981的最大公约数 4811和的最大公约数。例6 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。方法：方法： 1、用大数除以小数 2、以此用上式中的除数除以余数当除数除以余数，所得的余数是0 3、当除数除以余数，所得的余数是0时，则此时的除数就是两数的最大公约数 849，解：∵4811÷1981=2……849， 4811÷1981=2 849 1981÷849=2……283， 283， 1981÷849= 283 849÷283=3， 849÷283=3， 4811，1981）=283。 ∴（4811，1981）=283。

最大公约数和最小公倍数讲解

最大公约数和最小公倍数讲解最大公约数和最小公倍数，这是两个让人头疼的概念。

但是，别担心，我来帮你解决这个问题！我们来说说最大公约数。

最大公约数是什么呢？简单来说，就是两个数中最大的那个能被这两个数整除的数。

比如说，12和16的最大公约数就是4,因为4是12和16都能整除的最大数。

那么，最小公倍数又是什么呢？最小公倍数就是两个数中最小的那个能被这两个数整除的数。

还是上面的例子，12和16的最小公倍数就是48,因为48是12和16都能整除的最小数。

现在，你可能会问：“为什么要学最大公约数和最小公倍数呢？”这是因为这两个概念在生活中有很多应用。

比如说，你和你的朋友想一起做一个项目，但是你们的时间安排不一样。

这时候，你就需要找到一个能同时被你们两个人的时间整除的项目时间，这样才能保证大家都能参加。

这个时候，最大公约数就派上用场了。

最大公约数不仅仅局限于生活中的小问题。

在数学、物理、化学等领域，它也有着广泛的应用。

比如说，在研究原子结构的时候，科学家们就会用到最大公约数来计算原子之间的距离。

在研究基因组的时候，科学家们也会用到最大公约数来计算基因之间的相似度。

接下来，我们来说说最小公倍数。

最小公倍数虽然看起来有点复杂，但是其实也很好理解。

它就是两个数中最小的那个能被这两个数整除的数。

比如说，12和16的最小公倍数就是48,因为48是12和16都能整除的最小数。

那么，为什么要学最小公倍数呢？这是因为最小公倍数也有很多应用。

比如说，在生活中，我们经常会遇到这样的问题：我和我的朋友们想要一起去旅游，但是我们的预算不一样。

这时候，我们就需要找到一个既能让我们所有人都能接受的价格，又能让我们所有人都能玩得开心的项目。

这个时候，最小公倍数就派上用场了。

最小公倍数不仅仅局限于生活中的小问题。

在数学、物理、化学等领域，它也有着广泛的应用。

比如说，在研究化学反应的时候，科学家们就会用到最小公倍数来确定反应物的比例。

在研究几何图形的时候，科学家们也会用到最小公倍数来计算图形的周长和面积。

如何求最大公约数和最小公倍数

如何求最大公约数和最小公倍数
1、分解素因数法：把每个数分别分解素因数，再把各数中的全部公有素因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数；先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积。

2、短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数；把数字依次相乘，最小公倍数等于它们所有因数的乘积。

最小公倍数最大公约数主要定理

最小公倍数最大公约数主要定理
最小公倍数是指两个或多个数中能够同时整除的最小的正整数。

求最小公倍数的方法可以使用素因子分解法或者列举法。

最大公约数是指两个或多个数中能够同时整除的最大的正整数。

求最大公约数的方法可以使用素因子分解法、辗转相除法或者欧几里得算法。

主要定理是指质因数分解定理，它指出任何一个大于1的自然数都可以唯一地表示为几个质数的乘积。

因此，如果要求两个数的最小公倍数或最大公约数，只需将两个数分别质因数分解，然后取公共质因数的乘积得到最大公约数，取全部质因数的乘积得到最小公倍数。

求最大公约数和最小公倍数

求最⼤公约数和最⼩公倍数最⼤公约数（greatest common divisor，简写为gcd。

最简单的是求2个整数的最⼤公约数。

常见的算法是辗转相除法。

辗转相除法，⼜称欧⼏⾥得算法。

结果为⾮零的除数即为最⼤公约数。

原理及其详细证明设两数为a、b(b<a），⽤gcd(a,b）表⽰a，b的最⼤公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第⼀步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 第⼆步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c第三步：根据第⼆步结果可知c也是r的因数第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最⼤公约数成为cd，⽽⾮c】从⽽可知gcd(b,r)=c，继⽽gcd(a,b)=gcd(b,r）。

　证毕。

⾮递归算法如下：int gcd(int m,int n){if(m<n) //m为最⼤的{int tmp=m;m=n;n=tmp;}if(n==0)return m; //除了0以外的所有⾃然数都是0的约数。

while(n!=0){int tmp=m%n;m=n;n=tmp;}return m;}要考虑0 的约数问题。

看定义：整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数⽽没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。

a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。

从这个来看0可以任何⾮0⾃然数的倍数，递归算法：int gcd2(int m,int n){if(m<n){int tmp=m;m=n;n=tmp;}if(n==0)return m; //这个很关键elsereturn gcd(n,m%n);}gcd(6,4) | gcd(4,2) | gcd(2,0) | n==0,返回2 ，程序最终返回2 欧⼏⾥德算法是计算两个数最⼤公约数的传统算法，⽆论从理论还是从实际效率上都是很好的。

最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数

最大公约数与最小公倍数(正式)

小学最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数

最大公约数和最小公倍数求法

最小公倍数和最大公约数的关系证明

第2讲最大公约数与最小公倍数

最小公倍数和最大公约数的关系证明

最大公倍数和最小公因数概念

最大公约与最小公倍

最大公约数与最小公倍数的应用

最大公倍数和最小公约数的公式

最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数讲解

如何求最大公约数和最小公倍数

最小公倍数 最大公约数 主要定理

求最大公约数和最小公倍数

最小公倍数最大公约数主要定理