第六章 离散化-有限体积法
有限体积方法
有限体积方法引言有限体积法(FVM)是在物理空间上积分形式的守恒方程进行直接离散的数值方法。
与有限差分方法相比有限体积方法更具有一般性，适用于任意形式的网格，结构网格与非结构网格均适用。
有限体积法是一种基于将CFD中最基本的量在单元内的平均值，这是与有限差分及有限元方法区别的地方，后边两种方法的数值量都取为在网格点上。
FVM方法一个重要优势是跟守恒性离散这个重要的概念联系起来，它可以自动满足具有守恒性的离散。
另一个优点就是适用于任意的网格。
5．1 守恒性离散对于量U守恒律的一般积分形式可以由式(1.1.1)给出如下将上式的最终表面源项合并到通量项中得到该表达式的基本特点是存在表面积分以及在体积内U的时间变化只依赖于表面上的通量. 如图5.1.1所示可将一个体积元分解成三个亚体元,对于每个亚体元写出守恒律表达式将这些表面积分进行加和,内部线ADB以及DE总是两次出现,但是方向相反,将三部分积分守恒律相加,这些内部的贡献量就会抵消,只剩下外边界的贡献量.例如,对于有一个通量的贡献量而对于也有一个相似的项:这样这两项相加就可以抵消. 故要保证格式是守恒的,通量的数值离散必须满足这样一个基本性质.下面我们以一维守恒律的情形来说明这个问题结合图5.1.2来说明这个问题其中f是矢量通量的x方向分量, 参考上图, 定义一个一维有限体积网格,并把中间点定义为“单元面”. 例如, 对于元(i), 单元面就是i-1/2与i+1/2的中点.对该有限体积网格应用中心差分, 在i, i+1与i-1点处分别离散得到将以上三个方程加和就得到了与元AB(i-3/2, i+3/2)上的守恒律相容的离散方程,即从上式可以看出内部点的通量贡献已经抵消掉. 有时这种特性称为通量项的“telescoping property”, 对于元AB, 只考虑中间点i(不考虑i-1与i+1点),则离散形式可以直接写为从 5.1.7的两式对比中, 我们可以看到通量部分的离散具有统一的形式, 这就是我们所要强调的守恒的特性.如果我们要考虑方程(5.1.3)的非守恒形式, 则通量的导数就可以写为其中, a(u)为Jacobian函数, , 故非守恒形式可以写为利用图5.1.2所示的有限体积网格, 对非守恒形式在i点应用二阶中心差分得到其中是的值.同样,对于i+1点以及i-1点有,将9式中三个离散式子进行加和得到参考5.1.7b, 将5.1.8式直接在AB上进行离散,可得我们发现5.1.10a右边由元AB内部点贡献的通量部分并不能互相抵消掉, 表现出源项的特点,这导致计算机程序不能将之与物理源项相区分, 故非守恒形式的离散会产生内部源.这些项被认为在网格点处展开为一项的二阶形式. 在连续流情况下可以忽略它, 但是对于计算非连续流动,比如流动中有激波产生, 就会产生巨大的误差. 数值实验显示非守恒形式比守恒形式的精度更低,尤其是在遇到梯度大的地方,由于数值源项的存在会产生更大的误差.5.1.1 守恒的离散化的正式表示方法对于5.1.3式,如果离散成如下的形式就可以满足守恒性要求,为数值通量, 其为u在(2k)个邻域内点的函数.此外, 方程5.1.11与原方程相容性要求当所有的均相等时,有这些都可以直接推广到多维的情形, 以上条件必须分别对矢量通量的所有分量均成立.定理: 当趋近于0时,若离散方程5.1.11的解几乎处处收敛于某个函数值, 则是方程 5.1.3的弱解(可以存在有限个间断——Rankine-Hugoniot条件)5.2 有限体积方法基础有限体积方法是积分形式的守恒律方程的直接离散,这是有限体积方法与有限差分方法最大的区别,由于积分形式是守恒律的最一般的表达式,它不要求通量一定是连续的,这就是有限体积方法接近真实流动的原因.FVM需要按以下步骤来构建:1.划分网格,由空间离散得到有限体积,一个控制体积与每一个网格点都相关联2.在每一个有限体积上应用积分形式的守恒律.有限体积选择的条件由于具有普遍性,有限体积方法能够适用于任何类型的网格,结构与非结构.单元居中的方法: 未知量定义在网格单元的中心,网格线定义了有限体积及表面积, 此处, 变量与单元相关,如图5.2.1a及c. 流动变量是在整个单元的平均值, 可以认为是单元内部某些有代表性点的值, 例如单元中心点.单元顶点的方法: 未知量定义在网格角上,此处变量与网格点相关,例如单元顶点, 如图5.2.1b,d所示在相容的有限体积方法的体积的选择上,以下的限制条件必须得到满足:(i)它们的总数应该覆盖整个区域(ii)亚区域是允许重叠的,条件是表面的每一部分作为一个偶数个不同亚区域的部分而出现,这样整体的总积分守恒律就适用于任何相邻亚区域的组合域.(iii)通量沿单元表面必须由不依赖于当地单元的公式来计算.(iii)确保了守恒特性的满足,因为通量的内部边界的贡献量会抵消掉(相关的有限体积相加之后)5.2.2 有限体积离散的定义将积分型守恒律应用到每一个控制体积, 关联到网格点J, 因此对于依附于该点或单元上未知量的离散化方程可定义为:该方法的优点(对于无源项方程尤其有优势)是通量只在二维表面上计算,而不是三维空间中. 5.2.1可由其离散形式代替,对于参考图5.2.1a对于单元1(i, j), 用统一表示, 是ABCD面. 通量项在4条边AB, BC, CD, DA求和.式(5.2.2) 说明了有限体积法与有限差分及有限元法区别的一些重要特性: 1.点J的坐标是变量的准确位置,在控制体积内它将不会明确的标出.因此在控制体内联结到一个固定点,将之看作是整个控制元上该流动变量U的一个平均值(图5.2.1a). 5.2.2式中第一项代表在选定的控制体积上流动变量的平均值的时间变化率.2.网格坐标只出现在确定的单元体积以及侧面上. 因此, 参照图5.2.1a, 考察点1的控制元ABCD只有A,B,C,D的坐标将是需要用到的.3.当不存在源项的时候,有限体积方程式表示时间间隔内U的平均值变化等于相邻单元之间通量的交换量,对稳态流动,得到的数值解是通量进入控制体平衡的结果, 即例子: 图5.2.1a中AB面,对于1则通量贡献量为正,而8则为负.4. 有限体积也允许边界条件的自然引入, 例如固壁, 法向分量为0, 对连续方程. 在固壁处. 因此对(5.2.2)及(5.2.3)的相应的贡献变为0.5.2.3 数值格式的一般表达式假设守恒律的积分形式(5.2.1)对于控制体积, 从到进行积分有,引入单元平均守恒变量, 在时间的源, 单元与时间平均源, 以及每个边上的数值通量, 分别定义如下守恒的离散化采用如下形式:其中与任何网格点无关, 它是整个单元上的平均. 为了在离散化的水平上实现守恒,在给定的单元面上的数值通量的估计必须独立于其所属的单元.如果考虑空间离散完全由其数值通量来定义,时间积分项暂不处理,则以上的数值方法就会得到其一般形式. 一个一般的数值格式可以定义为对时间的常微分方程为定义残差为整个单元上的通量平衡减去源项贡献. 5.2.6是5.2.7的时间的向前差分,也有其他的时间离散方法,例如龙格-库塔法.守恒性条件可选择的公式在任意数量的单元上对5.1.2进行展开, J=1-N. 对所有的单元进行加和,削去所有单元内表面的贡献项得,定义为在整个单元的平均值,该格式的守恒性要求,在每一个时间步,如下的条件要得到满足,边界以及源项5.3 有限体积方法的实际应用5.3.1 二维有限体积方法如图5.2.1a,考察控制单元ABCD, 方程5.2.1可写为f, g为矢量通量F的直角坐标分量,对边AB,表面矢量可定义为对于单元,可以得到有限体积方程ABCD展开求和包括ABCD的四条边,对于一般的四边形,面积可由对角线矢量乘积表示,如图5.3.1, 平行四边形1234的面积是ABCD的两倍,因此, 为点A的位置矢量.对于单元ABCD,上式右边为正.通过单元表面通量的计算沿侧边通量分量,如的计算(a)对于中心离散格式以及单元中心化的有限体积方法,有以下做法:1.通量平均2.由于通量分量一般是U的线性函数,以下的式子与5.3.5不等价3.将取为通量在A及B处的平均这里,可以在A及B处求变量的值, 例如以及也可以进行通量的直接平均, 例如:可以看到, 5.3.7与5.3.10比5.3.8与5.3.11需要更少的通量计算(b)对于中心格式及单元-顶点的有限体积方法:5.3.7, 5.3.8是对通量的直接近似, 5.3.8是对应着对积分梯形公式的应用通过加和在单元ABCD四个边积分的贡献量(如图5.2.1b), 可以得到例子: 在笛卡儿网格下的中心离散格式. 在笛卡儿坐标, 均匀网格下,上述有限体积公式与有限差分的公式是一致的. 由可以得到(此处记, 同样其他的量也采用类似的记法)两边除以可以得到中心差分格式将5.3.5式应用到图5.2.1a, 方程E5.3.3变为而由5.3.8与5.3.11将推出如下的公式(c)单元-中心化有限体积的迎风格式(利用上游点求下游)对流通量以相关的对流速度传播方向的函数来计算,其中由图5.2.1a可以定义(d)对于迎风-单元顶点的有限体积方法(图5.2.1b), 可以定义例子:E5.3.2 “笛卡儿坐标网格中的迎风格式”考虑二维线性对流方程的离散如图5.2.1a所示, 在单元ABCD应用有限体积的公式:通量定义为, 选择方程5.3.14, AB,CD为竖直边,有对于水平边BC, DA有故其得到的格式为一阶迎风格式的推广, 具有一阶精度5.3.2 梯度的有限体积的计算对于任意一个体积，由高斯定理得此处，S是封闭的边界表面,定义平均化的梯度为以及对于二维控制单元,可以得到如图5.2.1d, 在公式两边应用梯形积分公式, 得到此处对所有的顶点求和,从1到6, 以及. 经过整理可得到对于y同样存在这样的关系计算单元面积: 当U=x时,方程5.3.21左侧为1. 对于任意一个单元的面积可用如下的式子进行计算,对任意一个四边形ABCD, 如图5.3.2, 可以得到以及对于y方向导数有,对于同一单元的封闭面与体有如下关系对于二维单元, 取, 可以推出如下的公式例子: E5.3.3 二维扩散方程考虑二维扩散方程对于扩散的通量分量(k为常数) 在图5.2.1a的网格上进行有限体积的离散,将整个单元ABCD的通量表示如下,在单元的格点A,B上计算导数, 对于单元(i, j),方程5.3.3可写为对于A点, U的导数取整个元1,6,7,8的平均值,由5.3.26得对于B可以得到与A类似的关系通过边AB对通量的贡献为E5.3.14与E5.3.15两式的加和, 并与相乘而得到的,同理通过BC通量的贡献为类似的关系对于C有最后,对于方程E5.3.13有, 可以写为该数值离散对应的是图4.2.3中Laplace算子的离散.更简单的办法为这样就推出了扩散方程的标准有限差分格式(对应图4.2.2)以上可以推广到多维的情况以及流行的结构及非结构网格上去.。
有限体积法 中科大
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，广泛应用于解决流体动力学、热传导等物理现象的偏微分方程。
它将求解域划分为有限数量的控制体积，然后通过对控制体积应用质量、动量、能量守恒等物理原理，将偏微分方程转化为代数方程组，最终用数值方法求解。
有限体积法的基本思想包括以下几个步骤：
1.离散化：将求解域划分为有限数量的控制体积，这些体积通常是规则的立方体或六
面体。
2.建立守恒方程：对每个控制体积应用守恒方程，例如质量守恒、动量守恒、能量守
恒等。
这通常涉及将偏微分方程转化为积分形式。
3.积分：对守恒方程进行积分，将守恒方程应用于控制体积的表面，得到在体积上的
积分方程。
4.离散化方程：将积分方程离散化，将连续域上的方程转化为离散的代数方程。
5.求解代数方程组：利用数值方法求解得到的代数方程组，通常采用迭代方法或直接
求解方法。
6.结果后处理：根据求解得到的数值解进行后处理，如可视化、数据分析等。
有限体积法的优势在于其能够自然地处理复杂的几何形状、多相流体、非结构网格等问题。
它在计算流体动力学、热传导、固体力学等领域有着广泛的应用。
有限体积法介绍
有限体积法介绍有限体积法1 有限体积法基本原理上⼀章讲到的有限差分法将数值⽹格的节点上定义为计算节点，并在⽹格节点上对微分形式的流体基本⽅程进⾏离散，⽤⽹格节点上的物理量的代数⽅程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采⽤了不同的离散形式。
⾸先，有限体积法离散的是积分形式的流体⼒学基本⽅程：d q ds ds SSΩΩ+??Γ=?φφρφn n v(1)计算域⽤数值⽹格划分成若⼲⼩控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的⽹格定义了控制体的边界，⽽不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在⼩控制体内部。
⼀般有限体积法的计算节点有两种定义⽅法，⼀种是将⽹格节点定义在控制体的中⼼，另⼀种⽅法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第⼀种⽅法的优点在于⽤计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有⼆阶的精度；第⼆种⽅法的好处是在控制体边界上的中⼼差分格式具有较⾼的精度。
积分形式的守恒⽅程在⼩控制体和计算域上都是成⽴的。
为了获得每⼀个控制体上的代数⽅程，⾯积分和体积分需要⽤求⾯积公式来近似。
2 ⾯积分的近似采⽤结构化⽹格，在⼆维情况下，每⼀个控制体有4个⾯，⼆维情况，每⼀个控制体有6个表⾯。
计算节点⽤⼤写字母表⽰，控制体边界和节点⽤⼩写字母表⽰。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每⼀个⾯都是相邻两个控制体的唯⼀公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表⾯的积分的和：∑??=kkfds fdS(2)上式中，f 可以表⽰n u ρφ或nΓφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采⽤近似的⽅法来计算积分。
整个近似过程分成两步第⼀步：⽤边界上⼏个点的近似积分公式第⼆步：边界点上的函数值⽤计算节点函数值的插值函数近似⾯积分可采⽤以下不同精度的积分公式：⼆阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==?(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
有限体积法离散原理
有限体积法离散原理
有限体积法是一种数值计算方法，广泛应用于流体动力学、传热学和燃烧学等领域。
其基本原理是将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。
其中的未知数是网格点上的因变量的数值。
为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。
有限体积法的基本思路是将控制体积界面上的物理量及其导数通过某种方式离散到控制体积中心，从而将微分方程转化为离散的代数方程。
该方法的关键在于如何处理界面上的物理量及其导数的离散。
常用的处理方法是采用加权余量法，通过对界面上的未知量构造离散方程，使得余量在控制体积内积分等于零，从而保证离散方程的守恒性。
有限体积法的离散过程通常采用局部近似的格式，即将微分方程在控制体积内进行积分，并对界面上的物理量及其导数进行离散。
常用的离散格式包括一阶迎风格式、二阶迎风格式、中心差分格式等。
这些离散格式各有优缺点，应根据具体问题的特点和要求选择合适的格式。
离散方程的求解可以采用迭代法或直接法。
迭代法是通过不断迭代更新未知量的值，直到达到收敛要求；直接法则是一次性求解出所有未知量的值。
在具体应用中，应根据问题的规模和复杂度选择合适的求解方法。
总之，有限体积法是一种基于离散思想的数值计算方法，通过对微分方程进行离散化处理，可以得到一组代数方程，从而求出数值解。
该方法具有守恒性、稳定性和适应性等优点，因此在许多工程领域得到了广泛应用。
有限体积方法
第三讲 空间离散方法—有限体积法由于控制方程的复杂性，很难求出其解析解，一般采用数值方法对其进行求解。
采用数值求解方法，首先要对流场空间进行离散，即用一些基本体积单元对物理空间进行填充，要求这些体积单元既不能重叠，也不应有间隙，我们称这些体积单元为网格，或控制体积，填充的过程则称为网格生成。
对于二维流动，基本的网格单元有三角形和四边形网格，而对于三维流动，则基本的网格单元可由四面体、三棱柱、金字塔和六面体单元组成，图3.1即为机翼附近网格。
网格划分完成后，就可以应用相应的数值求解方法把每个网格单元中心点处的流动变量求解出来，也就完成了全部流场的计算。
有限体积法就是针对每个控制体积直接对积分形式的控制方程进行离散，从而把积分型方程近似为代数方程进行求解的方法。
图3.1 机翼附近网格3.1 N-S 方程的半离散形式积分形式的N-S 方程为： ∫∫Ω∂Ω=⋅−+Ω∂∂0)(dS n F F Qd t V c r （3-1） 针对空间某一控制体I Ω，首先对时间导数项进行处理，假设守恒变量Q 在控制体积内为常数分布，即等于控制体中心点处的值I Q （也即为控制体积内守恒变量的平均值），有∫Ω∂∂Ω=Ω∂∂t Q Qd t I （3-2） 式（3-1）变为 ∫Ω∂⋅−Ω−=∂∂dS n F F t Q v c I r )(1 （3-3）假设对流通量和粘性通量在控制体界面上为常值分布，且等于界面中心点（面心）处的值，则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ⋅−Ω−=∂∂∑=F N m m m v c I S F F t Q 1)(1 （3-4） 对式（3-3）右端项的近似称为空间离散，而式（3-4）时间方向暂时保留连续的形式，所以称该式为半离散控制方程。
式（3-4）中的m S Δ为第m 个界面的有向面积，即该面的外法线矢量与界面面积的乘积，为一矢量，又称面积矢量。
仔细观察半离散方程可以发现：时间导数项是由单元中心点处的守恒变量值表示的，我们称其为单元中心法；式（3-4）右端项中的通量是关于界面处流动变量的函数，需由界面处的流动变量来确定，由此可看出，流动变量I Q 与流动通量m S F Δ⋅的空间存储位置不同，要想求出流动通量，需先假设流动变量在控制体积内的分布规律，这一过程称为重构，然后确定界面处的流动变量值，再求出界面处的流动通量。
有限体积法求解流程
有限体积法求解流程一、啥是有限体积法。
有限体积法呀，就像是给计算的区域画好多小格子，把这个大的求解区域给它划分得规规矩矩的。
这就好比我们整理书架，把一整个大书架分成一个个小格子，每个小格子里放特定类型的书一样。
这个方法呢，它主要是基于守恒原理的哦。
你想啊，就像在一个封闭的空间里，东西的总量是不会凭空消失或者突然变多的，这就是守恒的概念在这个方法里的体现啦。
二、网格划分。
网格划分可是个挺重要的步骤呢。
我们要根据求解的问题来确定怎么划分这些小格子。
比如说，如果我们要研究一个形状比较规则的物体，像正方体或者圆柱体，那网格就可以划分得比较整齐均匀。
但要是物体的形状很奇怪，弯弯扭扭的，那这个网格划分就得更灵活一点啦。
这就像是给不同身材的人做衣服，身材标准的就用标准尺码的模板裁剪布料，身材奇特的就得特别量体裁衣了。
在划分网格的时候呢，还得考虑格子的大小呀。
格子太大了，可能就会丢失很多细节，就像用大刷子画画，只能画出个大概轮廓；格子太小呢，计算量就会超级大，就好像是你用超级小的针绣花，虽然细致但是特别耗时。
三、离散方程。
离散方程这个东西呢，听起来有点高大上，但其实也没那么难理解。
我们就是把那些原本连续的方程，按照我们划分好的网格，把它变成在每个小格子里适用的方程。
这就像是把一大锅汤，分装到一个个小杯子里，每个小杯子里的汤虽然量少了，但是它的成分比例还是和原来大锅里的汤差不多的。
这个过程呢，就是把连续的物理现象，用离散的数学式子表示出来，这样我们的计算机就能看懂啦，然后就能进行计算了。
而且在这个过程中，我们还得考虑边界条件呢。
边界就像是一个区域的边缘，比如说一个房间的墙。
边界条件就是墙那里的特殊情况，比如说墙是隔热的还是导热的，这对房间里的温度分布计算可是很重要的哦。
四、求解过程。
接下来就是求解啦。
我们把前面得到的离散方程和边界条件都给计算机，然后计算机就开始按照一定的算法进行计算。
这个计算过程就像是走迷宫一样，计算机要一步一步地按照规则找到答案。
有限体积法
有限体积法一、基本概念有限体积法是西方物理学家威廉.波音（William Bonynge）1890年提出的一种数值求解的方法，它的基本思想是：体积的变化量等于速度与时间（或位移）的变化量的乘积，可用该方法将求解所需要的复杂积分运算完全转化为一系列可以进行迭代计算的一阶微分方程组或其它形式的差分方程组，从而达到精确求解物理量的目的。
因此，定积分是有效控制精度的唯一手段，具有定积分法所不具有的稳定性和可逆性，因而有限体积法被广泛应用于气象、流体动力学和计算力学领域。
二、理论原理有限体积法的原理是基于一个体积的时间变化：一定体积的运动元件在时间上的体积变化为它的速度变化和位移变化的乘积。
这个变化的积分就是这个体积的变化量。
运用积分的方法，可以求出速度和位移变化总量。
在求解有限体积法时，应遵循以下步骤：（1）准备数据：确定当前体积元件的大小，位置，特性等，也可以准备一些较为精确的拟合值；（2）定义 size variable：对于每个体积元件，用大小变量x来进行描述；（3）定义变量系数：假定每个体积元件有一定的变量系数a来描述其变化量；（4）建立方程：根据上述步骤求出的变量系数a就可以构建积分的代数形式；（5）求值：根据构建的形式可以求解体积的变量系数a，以此来计算出体积变化量。
三、应用有限体积法应用广泛，在流体动力学，气象与空间等诸多领域中得到广泛应用。
有限体积法主要应用于数值计算中，用来求解涡流的发生、动态行为，以及特殊物理量的计算等。
有限体积法主要用来求解涡流问题，它能够对流动过程中的细节进行描述，问题的解决也比较精确。
由于有限体积法有较好的精度、可逆性和可靠性，因而在研究空气流动中用到比较多。
例如，汽车动力学领域中用来分析汽车机车旋转力矩、操纵力、起飞阻力等特性，以及舰船水车结构设计时等。
有限体积法在气象中也得到应用，例如预报气象，探测天气现象的发展趋势以及其影响。
此外，有限体积法也可以用于地性质、物理数学模型、生物物理过程中的求解，用来处理水库沿岸的地质、物理状况，以及景观的改变和积水的形成等问题。
有限体积法 有限差分法 有限元法
有限体积法有限差分法有限元法
有限体积法、有限差分法、有限元法是数学建模中的常用方法，在数值计算与科学计算中有着重要的应用。
它们都是基于离散化的思想，将连续的问题离散化为有限个离散点，通过对这些点的计算得到问题的近似解。
有限体积法主要用于对流传输问题的求解，它将物理空间划分为一系列控制体积，并在每个控制体积内进行质量、能量守恒方程的求解，从而得到问题的解。
有限差分法则是一种离散化求解偏微分方程的方法，它将求解区域离散化为一系列网格点，利用有限差分公式对方程进行差分近似，从而得到问题的近似解。
有限元法是一种常用的数值分析方法，主要用于求解偏微分方程，特别是与结构力学相关的问题。
它将求解区域分割成一系列小单元，利用数学上的重要定理如拉格朗日定理和虚功原理，将问题转化为求解单元之间的相互作用，最终得到问题的数值解。
这三种方法都有其特点和优缺点，根据具体的问题需要选择合适的方法进行求解。
在实际应用中，它们广泛应用于流体力学、结构力学、电磁学、热传导等领域。
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有限体积法应用
有限体积法应用
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化方法，近年来在计算流体力学领域得到了广泛应用。
其基本思想是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围都有一个互不重复的控制体积。
控制方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程，其中的未知数为网格点上的因变量。
为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。
有限体积法的特点包括：
1. 计算效率高：有限体积法在离散过程中直接处理偏微分方程，因此具有较高的计算效率。
2. 守恒性：有限体积法利用控制单元中的物理量守恒来离散求解偏微分方程，因此在理论上具有最强的守恒性。
3. 适应复杂几何：有限体积法能适应复杂的几何形状和边界条件，因此在解决实际问题时具有很大的优势。
4. 内存需求较低：与有限元法相比，有限体积法的内存需求较低。
有限体积法在计算流体力学领域的应用包括：
1. 流体动力学模拟：有限体积法被广泛应用于流体动力学模拟，如湍流、燃烧、传热等问题的求解。
2. 航空航天领域：在航空航天领域，有限体积法被用于模拟飞行器的流体动力性能，如机翼、尾翼等部件的气动特性。
3. 气象预报：在气象预报领域，有限体积法被用于模拟大气流动和气候变化。
4. 生物医学工程：在生物医学工程领域，有限体积法被用于模拟血流、药物扩散等过程。
5. 化工模拟：在化工模拟领域，有限体积法被用于模拟流体流动、传热、化学反应等过程。
总之，有限体积法是一种广泛应用于计算流体力学领域的离散化方法，具有高效、守恒、适应性强等优点。
其应用范围涵盖了流体动力学模拟、航空航天、气象预报、生物医学工程和化工模拟等领域。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程引言有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。
该方法将求解区域分割成有限数量的体积单元，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组，进而求解得出数值解。
有限体积法的基本思想有限体积法的基本思想是根据守恒定律，将求解区域划分为有限数量的体积单元。
每个体积单元内的物理量在时间上的变化以及空间上的梯度变化被积分求和，以体积平均值来表示。
然后，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组。
最终通过求解离散方程组，得到数值解。
有限体积法的基本步骤1. 网格划分：将求解区域划分为有限数量的体积单元，形成网格结构。
常见的网格结构包括结构化网格和非结构化网格。
2. 守恒方程离散化：对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化处理。
一般来说，离散化的方法有梯度法、中心差分法、Godunov方法等。
3. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，确定边界上的物理量。
常见的边界条件有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和周期性边界条件等。
4. 求解离散方程组：将离散化后的方程组表示为矩阵形式，通过数值计算方法求解得到数值解。
5. 后处理：对数值解进行分析和处理，得到所需的物理量。
优点和应用领域有限体积法相比其他数值计算方法具有以下优点：1. 适用性广：适用于各种类型的偏微分方程求解，包括椭圆型、抛物型和双曲型等。
2. 自然的守恒性：有限体积法在离散化过程中能够保持物理量的守恒性，如质量、动量和能量等。
3. 网格自由度：有限体积法不依赖于特定的网格结构，可以使用结构化网格和非结构化网格。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域的数值计算。
例如，在流体力学中，有限体积法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的流动行为。
有限体积法()ppt课件
*1980年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。
这本书内容精炼，说理透彻，注重物理概念的阐述，深 受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎。出版后 不久，被相继译成俄文、日文、波兰文及中文等，成 为数值传热学领域中的一本经典著作
19
精选ppt
非结构网格在有限体积法中的应用
●非结构网格最早用于FEM； ●但题水流使流体得（流基如动于浅是F水E高流M度动的非，非线水结性波构问运网题动格，等技而）术且计未F算E能M 上在得计对到算流重量问视较题；大为，主这的些地面问 ●八了十广年泛代的以发来展，和基应于用F；VM 的非结构网格技术在空气动力学得到 ●九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征，将这些算法引
4
精选ppt
发展情况
1980年，S.V.Patanker在其专著《Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow》中对有限体积 法作了全面的阐述。
此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD 应用最广的一种方法。
FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体积 法
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精选ppt
解:
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精选ppt
对中间节点2,3,4:
49
精选ppt
边界节点1:
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精选ppt
整理得到:
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精选ppt
边界节点5:
整理得到:
52
精选ppt
工况1
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精选ppt
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精选ppt
工况2
改进办法:需要增加网格数
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精选ppt
工况3
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精选ppt
差分格式问题
有限体积法
q
n j
t
An j
q
n j
A q n n j1 j 1
x
RHS
n j
多对角方程组，不好解 （多维情况）
q
n j
(RHS
n j
Anj1q
n
j1
)
/(1
Anj
),
t / x
如果能单侧差分 就好解了！
单侧离散，可推进求解，免受 解方程组之苦。真简单
3 Copyright by Li Xinliang
空间平均 时间平均
u
n 1 j
u
n j
fˆ n j 1/ 2
fˆ n j 1/ 2
0
t
x
精确推导，不含误差
Copyright by Li Xinliang
提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
6
u f (u) 0 t x
积分（精确）
n
LF分裂： A 1 (A *) A A * 2
q
n j
(1
* )
A q n j 1 j 1
A q n j 1 j 1
RHS
n j
近似LU分解
还是个三对 角的
奇思妙想：如果分成 两个子步，各自用单
侧值，就简单多了
Step 1:
q
n j
(1
*
)
A q n j 1 j 1
RHS
n j
离散化
u
n j
1 x
x
j1
/
2
u
n
(
x)dx
有限体积法1
为控制面上的流体质量流量
式（a）－式（b）×φP 得到
0 φP − φP ρ ∆x + J e − J w − (Fe − Fw )φ P = (S C + S P φ P )∆x ∆t 0 P
12
构造通量的离散格式。 最简单的做法: 假设φ在结点之间近似为线性分布，得
J e = (ρuφ)e + (Γ δx )e (φP − φE )
27
采用松弛技术可以改变迭代的进度。 方程 改写成
a P φ P = ∑ a nb φnb + b
∑ a nb φ nb + b φP = φ∗ + − φ∗ P P a P
φP*为 φP 的上一步的迭代值，下标 nb 代表与 P 相邻的结点。 引入松弛因子α来修改每步迭代中 φP 的变化幅度
∂ρφ ∂J + =S ∂t ∂x
流速为 u，通量
J = J x = ρuφ − Γ ∂φ ∂x
8
有限体积法步骤如下： ， （1） 划分网格，取结点 xi+1 = xi +δxi （i = 0，1，2，…） δxi 为结点间距。网格可以是不均匀的。 （2） 利用守恒型方程的积分对任一内部结点 P 构造离散化 的代数方程。 从而得到一封 （3） 根据边界条件构造边界结点的离散方程， 闭的代数方程组。 （4） 求解方程组得到各结点上的φ值。 与差分法的主要区别在于其离散化方程的构造。
（4.5.15a） 类似地可以导出界面 w 上的通量离散式
exp(Pw ) φ − φP ( ) J w = Fw φW + W F = φ + φ − φ w P W P exp(Pw ) − 1 exp(Pw ) − 1
有限体积法方程的离散过程
有限体积法方程的离散过程嘿，朋友！咱今天来聊聊有限体积法方程的离散过程。
你知道吗，这有限体积法就像是搭积木，每一块积木的摆放都得精心设计。
离散过程呢，就是决定怎么把这一堆“积木”给安排得妥妥当当。
咱们先来说说为啥要有这个离散过程。
就好比你要给一堆杂乱无章的东西分类整理，得有个规则和方法吧？有限体积法方程也是这样，原始的方程复杂得让人头疼，通过离散，就能把它变成咱们能“对付”的样子。
那离散到底咋弄呢？简单来说，就是把求解的区域划分成一个个小格子。
这就好比切蛋糕，得切成一块块大小差不多的。
每个小格子就是一个控制体积，在这小体积里，各种物理量的变化就能被咱研究清楚。
你想想，要是不这样离散，整个区域那么大，各种因素搅和在一起，怎么能搞得明白？就像你在一团乱麻里找线头，太难啦！离散的时候，还得注意边界条件。
这边界条件就像是给房子装门窗，得选对位置和样式，不然房子可不舒服。
比如，有的边界是固定值，有的是随时间变化的，都得处理好。
而且，选择合适的离散格式也特别重要。
这格式就像是不同的工具，有的好用，有的不好用。
选对了，计算又快又准；选错了，那可就麻烦了，浪费时间还可能得出错误结果。
比如说，中心差分格式简单直接，可在某些情况下会不稳定，就像一个不太靠谱的朋友，关键时刻可能掉链子。
而上风差分格式呢，虽然复杂点，但稳定性好，就像个踏实可靠的伙伴。
还有啊，离散后的方程求解也不简单。
这就像是解一道超级复杂的数学谜题，需要技巧和耐心。
你说，这有限体积法方程的离散过程是不是很有趣又很有挑战性？咱们得认真研究，才能把它玩转，为解决各种实际问题出一份力！总之，有限体积法方程的离散过程是个精细活，要像工匠雕琢艺术品一样，用心去做，才能得到满意的结果。
朋友，你是不是也觉得这是个很有意思的事儿呢？。
基于有限体积法的控制方程离散
Chapter 10 基于有限体积法的控制方程离散10.1 控制方程稳态气相通用控制方程如下：()()()+div ρU div Γgrad S t ρφφφ∂∂=+()rv u wU U z r r r θU=ui+vj+wkdiv ∂∂∂=∇⋅=++∂∂∂()()()() z r r u r v w t z r r r r Sz r r r ∂ρφ∂∂∂ρφρφρφ∂∂∂∂θ∂∂φ∂∂φ∂∂φ∂∂∂∂∂θ∂θ+++=Γ⎛⎫⎛⎫⎛⎫Γ+Γ++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上式中φ表示气相场通用变量，在三维柱坐标下可以是轴向速度u 、径向速度v 、周向速度w 以及焓h ，φ为1时代表连续方程，Γ表示输运系数，S 为气相源项，U为速度矢量。
密度由完全气体状态方程ρRT p =确定，温度由焓温关系式(h)T f =确定。
每个方程中的φ、Γ、S 如表10.1所示。
表10.1 气相方程组§10.2 方程的离散化§10.2.1 有限体积法有限差分法：原理比较简单，数学推演和程序编制的工作量较小，但其灵活性较差；有限单元法：数学推演和程序编制工作要比有限差分法复杂，因而比较费时，但其灵活性较好；有限体积法：作为有限差分法和有限单元法的中间产物，继承了两者的优点，克服了各自的缺点，因而在流场计算中占有重要的地位。
有限体积法的基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解微分方程对每一控制体积积分，得出离散方程，其中的未知数是网格点上的因变量φ。
有限体积法在对控制体积积分时，必须假定φ值在网格点之间的分布。
由有限体积法导出的离散方程具有明确的物理意义，即因变量φ在有限大小的控制体积内的守恒原理，如同推导微分方程时因变量在无限小的控制体积中的守恒原理。
有限体积法即使在粗网格条件下，也精确地满足积分守恒。
图10-1 三维控制体积()()()[]z r r z z r z r ,,,,,z zr r,,,,,i+j+k r z r r r θi+j+k S i+S j+S k S +S +S nb w e s n b tnbnb w e s n b tnbdiv div dV ndSθθθθθθ==Φ=ΦΦΦ∂Φ∂Φ∂ΦΦ=++∂∂∂Φ=Φ⋅⎡⎤=ΦΦΦ⋅⎣⎦=ΦΦΦ⎰⎰∑∑()()[][]()[][]zz z r ,,,,,zz z ,,,,,zz z ,,,,,r r rr r ,,,,,,,,,, i+0j+0k S i+S j+S k z S zS z r S r r r r S r θnb w e s n b t nbnb w e s n b tnbnb w e s n b tnbnb w e s n b t nb nb w e s n b tnbdV V V V V θθθθ=====∂Φ⎡⎤=Φ⋅⎣⎦∂∂Φ=Φ=∆∂∂Φ=Φ∂∂Φ∂ΦΦ=Φ=+∂∂∂Φ=Φ∂∑⎰∑∑∑∑有限体积法的四条基本原则是： 原则1：控制体积交界面的一致性。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程【最新版】目录1.有限体积法偏微分方程的概述2.有限体积法的基本原理3.有限体积法偏微分方程的求解步骤4.有限体积法偏微分方程的应用实例5.有限体积法偏微分方程的优缺点分析正文一、有限体积法偏微分方程的概述有限体积法偏微分方程是一种基于离散化思想的求解偏微分方程的方法。
该方法通过将连续的空间和时间离散化为有限个单元，从而将偏微分方程转化为求解离散形式的代数方程组。
这种方法在处理复杂几何形状和非线性问题时具有较高的灵活性和较强的适用性。
二、有限体积法的基本原理有限体积法偏微分方程的基本原理是将连续的空间和时间划分为有限个小的子区域（或称为单元），然后在每个子区域中，根据偏微分方程的物理意义和数学表达式，定义一组局部的物理量（如质量、动量、能量等），并建立这些物理量在各个子区域之间的守恒关系。
通过求解这些守恒关系，可以得到偏微分方程的解。
三、有限体积法偏微分方程的求解步骤1.对计算域进行网格划分，将连续的空间和时间离散化为有限个单元；2.在每个单元中，定义局部物理量，并建立守恒关系；3.编写或选用合适的数值求解算法，如五点差分法、中心差分法等，对守恒关系进行离散化；4.形成一个代数方程组，并求解该方程组，得到偏微分方程的解；5.对解进行后处理，如绘制等值线图、动画模拟等，以便于观察和分析。
四、有限体积法偏微分方程的应用实例有限体积法偏微分方程广泛应用于物理、化学、生物、地球物理等领域的许多问题。
例如，在流体力学中，有限体积法可以用来求解Navier-Stokes 方程，描述流体的运动和压力分布；在热传导问题中，有限体积法可以用来求解热传导方程，描述物体的温度分布和热传导过程；在地球物理学中，有限体积法可以用来求解地震波的传播等问题。
五、有限体积法偏微分方程的优缺点分析优点：1.有限体积法具有较强的适应性，可以处理复杂几何形状和非线性问题；2.有限体积法的求解过程相对简单，易于实现并行计算，提高计算效率；3.有限体积法求解的解具有较高的精度和稳定性。
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机
（b）内点法
学 大
两种区域离散方法
业
z 将置再每定个节控南点制京位容工置积，的被中称心为作内为节节点点法。。这种方法先定界面位
Nanjing University of Technology
院
外节点法的边界节点
学
程
1.
在外节点法中，位 于非角顶上的边界 节点代表了半个控 制容积，如图所示。
工
力
P
Step 1: Grid generation
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
13
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一维稳态扩散问题
离散化
院
φ
学
程
工
力
动
与
W w P e Ex
械
分段线性
机
学
大
业
工
分段线
京 南
源项线性化处理
性化处
理 14
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守恒型
∂(ρφ
∂t
)
+
∂(ρuφ
∂x
)
=
∂工∂x 程⎜⎝⎛ Γ学∂∂院φx ⎟⎠⎞
+
S
力
φ —为广义变量，可以代表与速动度、温度、浓度等；
Γ —为相应于 φ 的广义机扩械散系数；
S
—为广义的源项大，学它代表了一切不能归入到其它 项 既代中表的了量京抛，工物而业型未问必题是（物t理为上单的向真坐正标源）。，模又型具方有程椭
Step 2: Discretisation
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
15
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举例1：一维导热问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
16
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院 学 程 工 力 动 与 械 机 学 大 业 工 京 南
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举例1：一维导热问题 求解
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
18
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举例1：一维导热问题 求解
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
19
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的中间位置京上作界面线（图中用虚线表示），由这些界
面线围成南各节点的控制容积。这种方法先确定节点位置
再确定界面位置，被称为外节点法。
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内节点法
院
学
程
z 节点位于子区域的中心。在
工
这是种一方个法控中制，容每积个，子划区分域子就区与动力
域的曲线簇就是界面线。 械
圆型方南程的一些特点（x为双向坐标）。
10
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院 学 程 工 力 动 与 械 机 学 大 业 工 京 南
11
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一维稳态扩散问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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z 二维扩散问题的有限学体机积法
z
大 三维扩散问题的业有限体积法
工
z 总结 京
南
2
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四个要素
院 学
z 节点：需要求解的未知 量的几何位置。
程 工 力 动
节点
z 控制体积：应用控制方
与
程或守恒定律的最小几
械 机
何单位。
学
大
区域离散
z 界面：规定了工与各业个节点相对应的控制容积的分界面位置。
举例3
与解析解对比
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
39
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举例3
与解析解对比
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
40
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二维扩散问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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举例1：一维导热问题
求解
院 学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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举例1：一维导热问题
求解 院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
21
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举例1：一维导热问题 与解析解对比院 学
程 工 力 动 与 械 机 学 大 业 工 京 南
三维扩散问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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总结-1
院 学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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总结-2
院 学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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举例2 求解
院 学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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举例2 求解
院 学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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举例2 求解
院 学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
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二维扩散问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
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二维扩散问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
南
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三维扩散问题
院
学
程
工
力
动
与
械
机
学
大
业
工
京
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举例2
与解析解对比
院
学
程
工
力
动
与
械
机
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大
业
工
京
南
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举例3：一维导热问题（有热源） 院 学
程 工 力 动 与 械 机 学 大 业 工 京 南
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举例3
求解
院
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程
工
力
动
与
动 与
E
械
机
学
2.
无论网格是否均 大 分 面， 永外 远节 位点 于京法相工中邻业界两
(a)外节点法
两种区域离散方法的边界节点
节点之间南。
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