材料力学教学课件16讲简单超净定梁

FQmaxql
Mmax
1 2
ql2
例题1： 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的
抗拉刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。
D
解： 1、选择基本静定梁。
2、列出变形协调条件。
A
B
l/2
FN
A
B
l/2
lF
C l/2
F
C l/2
而
wB lBD （1）
wBwBFwBN F
F y0, F AF B4q0
FA
FB
F A 4 q F B 4 2 8 0 .7 5 7.2 1 k 5N
FB
MC
M A 0 , M A 4 q 2 4 F B 0
wB2
MA4q24FB
FC
420 248.7512k5N m
确定B 端约束力
F y0, F B F CF0
FCFFB 408.75
静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束
或多余杆件。
L
多余约束的数目=超静定次数
q
B
多余约束的数目=1
静定梁(基本静定基)选取
q
A
B
L
F By
(1)解除B支座的约束,以 F代By 替， 即选择A端固定B端自由的悬臂梁 作为基本静定梁。
F2x
5F3l
wBF6E(I3lx)xl
() 4E 8 I
2
wBFN
FN
(
l )3 2
3EI
()
代入（1）：5Fl3 FNl3 FNl
FN
48EI 24EI EA A B
解得：
5F
1
l/2
FN
源自文库
2
(124
I
)
Al2
3、在基本静定梁上由叠加法求w C 。
在F力单独作用下：
在F N力单独作用下：
FAx 0,
5 FAy 8ql(),
MA
1 8
ql 2（
）
6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。
MA
F Ax A
L
F Ay
5 ql
8 (+)
5l 8
q B
F By
Fs 图
(-)
3 ql
9 ql 2 8 128
1 ql 2
M 图
8
因此
FQmax
5 8
ql
Mmax
1 8
ql2
q
B L
MA
(2)解除A端阻止转动的支座反力
q
A
矩 M作A 为多余约束,即选择两端简 B 支的梁作为基本静定梁。
L
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；
(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。
wB1
q44 FB43 8EI 3EI
MC
wB2F 6 E22I342F3 B ' E 43I
FC
代入得补充方程：
q 4 4F B 4 3F 2 23 4 2 F B 4 3
8 EI3 EI 6 EI
3 EI
FB2 346 0412 0 28 044348.75kN
确定A 端约束力
MA
wB1
w Bw BF w BN F lBD
例2： 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯 刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变
成两个悬臂梁。
MA
FA FB
FB FB
wB2
wB1
FB
变形协调方程为： wB1wB2
物理关系
超静梁—未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目， 仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或 静不定问题）。
超静次数=未知力的数目- 独立平衡方程数
q
B L
4个约束反力， 3个平衡方程，
静不定次数=1
2 、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：
(1) 确定超静定次数。 (2) 选择基本静定梁。
第十六讲 简单超静定梁
湖南理工学院——曾纪杰
1、超静定梁的概念
2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：
(1)解除多余约束，变超静定梁为静定梁；
(2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形 比较，建立协调方程；
(3)通过协调方程（即补充方程），求出多余 的约束反力。
3、简单超静定梁求解举列。
1、超静定梁的概念
因此
仅有F
作用，B点挠度为：
By
yBF
FByl 3 3EI
yB yBFyBq
ql 4 8 EI
F By l 3 3 EI
0
解得:
q
FBy
3 8
ql()
A
l
B
F By
5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。
本例： (1)
MA
q
F Ax A
L
F Ay
Fx 0
B
Fy 0
FBy
MA 0
4.875kN
MA
M C0 , M C2 F 4 F B 0
wB1
FA
FB
F´B
MC 4FB 2F
48.75240115kN.m
MC
wB2
FC
MA
MC
FC FA
71.25
FS ()
kN
8.75 ( )
M
(kN m ) ( ) 125
48.75 1.94
()
17.5 115
A、B 端约束力已求出
FA 71.25kN( ) MA125kNm( ) FC 48.75kN( ) MC 115kNm( ) 最后作梁的剪力图和弯矩图
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 6-15 a；6-17
wCF
Fl3 3EI
()
wCNFF 6N E x2(I3lx)x2 l 2 9F E 5 63(lI121A 4I2)l ()
F
C l/2
解得：
wCwCFwCN F
Fl3 [1
25 ]
3EI 32(124 I )
Al2
在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下
移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即
q
3、列出变形协调条件。
L A
B
比较原静不定梁和静定基在解除约
束处的变形，根据基本静定梁的一
q
切情况要与原超静定梁完全相同的
A L
B 要求，得到变形协调条件。
F By yB 0
MA
q
A
L
B
A 0
4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。
本例： (1)
仅有q作用，B点挠度为：
ql4 yBq 8EI