复合函数求导公式,复合函数综合应用
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数求导公式复合函数综合应用
复合函数求导公式复合函数综合应用假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中y是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数。
我们希望求得y关于x的导数dy/dx。
首先，我们需要求得函数y关于u的导数dy/du。
这可以通过对函数f(u)求导得到。
假设f(u)的导数为df/du，则dy/du=df/du。
接下来，我们需要求得函数u关于x的导数du/dx。
这可以通过对函数g(x)求导得到。
假设g(x)的导数为dg/dx，则du/dx=dg/dx。
最后，我们可以通过链式法则来求得y关于x的导数dy/dx。
链式法则指出，如果z是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数，则z关于x的导数dz/dx可以表示为dz/du乘以du/dx，即dz/dx=dz/du * du/dx。
将这个原理应用到我们的问题中，可以得到dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
代入我们之前求得的dy/du和du/dx，可以得到dy/dx=(df/du)*(dg/dx)。
这就是复合函数求导公式。
根据这个公式，我们可以求得复合函数关于自变量的导数。
下面，我们来看一个关于复合函数的综合应用问题。
假设有一个函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)分别为：f(u)=2u^2+ug(x)=3x-1我们希望求得函数y关于x的导数dy/dx。
首先，我们可以求得函数y关于u的导数dy/du。
由于f(u) = 2u^2+ u，我们可以对f(u)求导，得到df/du = 4u + 1接下来，我们求得函数u关于x的导数du/dx。
由于g(x) = 3x - 1，我们可以对g(x)求导，得到dg/dx = 3最后，我们根据复合函数求导公式，可以得到dy/dx = (df/du) * (dg/dx) = (4u + 1) * 3这样，我们就求得了函数y关于x的导数dy/dx，即dy/dx = (4u + 1) * 3需要注意的是，我们还没求得u关于x的表达式。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数求导公式_复合函数综合应用
导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x+y =0 B x －y =0或25x+y =0 C x +y =0或25x－y =0D x －y =0或25x－y =04 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 (2)y =31xx-例2 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 1.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x 2.已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)C.9sin 2(3x +4π)D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)5.函数y =cos2x +sin x 的导数为A.－2sin2x +xx2cos B.2sin2x +xx 2cosC.－2sin2x +xx 2sin D.2sin2x －xx 2cos。
复合函数求导公式是什么怎么求导
复合函数求导公式是什么怎么求导复合函数的求导公式是怎样的，该怎么求导呢?同学们清楚吗，不清楚的同学来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式是什么怎么求导”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式是什么怎么求导总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
拓展阅读：微积分到底是什么微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
人教版数学高二第一章 1.2第2课时复合函数求导及应用
第2课时 复合函数求导及应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 16“思考”～P 17的内容，回答下列问题． 函数y ＝l n (x ＋2)与函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2之间有什么关系？ 提示：y ＝l n (x ＋2)是由函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2复合而成的复合函数． 2．归纳总结，核心必记 (1)复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[问题思考](1)函数y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由哪些函数复合而成的？提示：y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由y ＝log 2u ，u ＝x 2－3x ＋5复合而成． (2)函数y ＝l n (2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝l n (2x ＋1)是由函数y ＝l n u 和u ＝2x ＋1复合而成的，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(2x＋1)′＝2u ＝22x ＋1.[课前反思](1)复合函数的概念是什么？ (2)复合函数的求导公式是什么？知识点1简单复合函数求导问题讲一讲1．(链接教材P 17－例4)求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [尝试解答] (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.错误!复合函数求导的步骤练一练1．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x . 解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u ·5＝525x ＋4 . (5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6. (6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ；法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 2x ′ ＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x .知识点2复合函数与导数运算法则的综合应用讲一讲2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. [尝试解答] (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (2)∵y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4＝－12S i n 4x －2x co S 4x .类题·通法复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数[如讲2(2)]，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．练一练2．求下列函数的导数．(1)y ＝S i n 2x3；(2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3；(3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )． 解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝⎛⎭⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2 .(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x1＋x .知识点3复合函数导数的综合问题讲一讲3. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[思路点拨] 当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点．[尝试解答] 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.类题·通法本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．练一练 3．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1 解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.3．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1简单复合函数求导问题1．函数y＝co S(－x)的导数是()A．co S x B．－co S xC．－S i n x D．S i n x解析：选C y′＝－S i n (－x)(－x)′＝－S i n x.2．y＝co S3x的导数是()A．y′＝－3co S2xS i n xB．y′＝－3co S2xC．y′＝－3S i n2xD．y′＝－3co S xS i n2x解析：选A令t＝co S x，则y＝t3，y′＝y t′·t x′＝3t2·(－S i n x)＝－3co S2xS i n x. 3．设曲线y＝a x－l n(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 令y ＝a x －l n (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.4．求下列函数的导数． (1)y ＝l n (e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝l n u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·l n 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3l n 10. (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x ＝(S i n 2x ＋co S 2x )2－2S i n 2x ·co S 2x ＝1－12S i n 22x ＝1－14(1－co S 4x )＝34＋14co S 4x . 所以y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos 4x ′＝－S i n 4x . 题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用 5．函数y ＝x 2co S 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x co S 2x －x 2S i n 2x B ．y ′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x C ．y ′＝x 2co S 2x －2xS i n 2x D ．y ′＝2x co S 2x ＋2x 2S i n 2x解析：选B y ′＝(x 2)′co S 2x ＋x 2(co S 2x )′＝2x co S 2x ＋x 2(－S i n 2x )·(2x )′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x .6．函数y ＝x l n (2x ＋5)的导数为( ) A ．l n (2x ＋5)－x 2x ＋5 B ．l n (2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x l n (2x ＋5) D.x2x ＋5解析：选B y ′＝[x l n (2x ＋5)]′＝x ′l n (2x ＋5)＋x [l n (2x ＋5)]′＝l n (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝l n (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 7．函数y ＝S i n 2x co S 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝S i n 2x co S 3x ，∴y ′＝(S i n 2x )′co S 3x ＋S i n 2x (co S 3x )′ ＝2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x . 答案：2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x 8．已知f (x )＝e πx S i n πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12. 解：∵f (x )＝e πx S i n πx ， ∴f ′(x )＝πe πx S i n πx ＋πe πx co S πx ＝πe πx (S i n πx ＋co S πx )． f ′⎝⎛⎭⎫12＝πe π2⎝⎛⎭⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. 题组3 复合函数导数的综合问题9．曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0解析：选A 设曲线y ＝l n (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝l n (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10l n 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75l n 2太贝克C ．150l n 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130l n 2×M 02－t30，由M ′(30)＝－130l n 2×M 02－3030＝－10 l n 2，解得M 0＝600，所以M (t )＝600×2－t30，所以t ＝60时，铯137的含量为M (60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)．[能力提升综合练]1．函数y ＝(2 018－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 018－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 018－8x )2 D ．24(2 018－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 018－8x )2×(2 018－8x )′＝3(2 018－8x )2×(－8)＝－24(2 018－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝l n (x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：选B设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.4．函数y ＝l n e x1＋e x 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝l n e x1＋e x＝l n e x －l n (1＋e x )＝x －l n (1＋e x )， 则y ′＝1－e x 1＋e x .当x ＝0时，y ′＝1－11＋1＝12.答案：125．设曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e a x ，所以f ′(x )＝(e a x )′＝e a x ·(a x )′＝a e a x ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(a x 2－1)12，∴f ′(x )＝12(a x 2－1)－12·(a x 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2，∴aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a S i n x 3＋b co S 22x (a ，b 是实常数)的导数． 解：∵⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＝a co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝a 3co S x 3， 又(co S 22x )′＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 4x ′＝12(－S i n 4x )×4＝－2S i n 4x ， ∴y ＝a S i n x 3＋b co S 22x 的导数为 y ′＝⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＋b (co S 22x )′＝a 3co S x 3－2b S i n 4x . 8．曲线y ＝e 2x co S 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x )′co S 3x ＋e 2x (co S 3x )′＝2e 2x co S 3x ＋3(－S i n 3x )·e 2x＝2e 2x co S 3x －3e 2x S i n 3x ，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2.所以该切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝ 5. 解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4; 当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6.综上，可知l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数的求导法则及其应用
复合函数求导法则及其应用阿文摘 要：主要叙述证明了复合函数求导法则的概念定理，运算法则，性质等，以及在数学分析中的应用。
关键词：复合；函数；求导法则引 言由基本初等函数经过有限次四则运算和复合的函数，可以由下面的复合函数求导法则求出它们的导数。
1复合函数求导法则定理：（复合函数求导法则） 设函数()x g u =x 0=可导，而函数()u f y =在)()(00x u g u ==处可导，则复合函数())(x g f y =在x x 0=可导，且有()()[]()()()()()x x x u g g f g f x g f x x 00000''=''='= .证明：因为()u f y =在u 0处可导，所以可微。
由可微的定义，对任意一个充分小的0≠∆u ，都有()()()u u f f u f u u u ∆+∆'='-∆+α000 ，其中0lim 0=→∆α 。
因为当0=∆u 时0=∆y ，不妨规定当0=∆u 时0=α，因此上式对0=∆u 也成立。
设()()()00≠∆-∆+=∆x g x gu x x ，在上式两边同时乘以x ∆，则有()()()()()xux u f xg f x g f u x x ∆∆+∆∆'=∆-∆+α000 ， 由函数()x g u =在x x 0=可导，既有()x g xux 00lim '=∆∆→∆ ，且此式也蕴含了0lim 0=∆→∆u x 。
注意到在0→∆x 的过程中，或者0=∆u 有，这时有0=α；或者有0≠∆u ，但u ∆趋于0 ，因此由0lim 0=→∆αu ，可知0lim 0=→∆αu 。
于0→∆x ，得到()()()()xg f x g f dx dyx x x ∆-∆+=→∆000lim=()xu x u f x x x u ∆∆+∆∆'→∆→∆→∆0000lim lim lim α =()()x u g f 00'' .证毕复合函数求导规则可以写成dxdudu dy dx dy ∙= . 我们一般称它为 链式法则 。
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。
在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。
例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。
这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。
现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。
首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。
注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。
因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。
它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。
这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。
简单复合函数的导数公式
简单复合函数的导数公式简单复合函数的导数公式是高等数学中非常重要的一部分，可以用来求解各种函数的导数。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其中一个函数作为另一个函数的自变量。
本文将介绍如何求解简单复合函数的导数，并给出一些常见的例子。
一、复合函数的定义给定两个函数f(x)和g(x)，则复合函数定义为h(x)=f(g(x))。
其中，g(x)被称为内函数，f(x)被称为外函数。
将一个函数的输出作为另一个函数的输入来构造复合函数。
设函数y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，并且其导数可以根据链式法则进行求解。
1.一元函数的情况设函数y=f(u)和u=g(x)是一元函数关系，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx=(dy/du)*(du/dx)其中，dy/du表示y对u的导数，du/dx表示u对x的导数。
这个公式就是链式法则的一般形式。
2.多元函数的情况多元函数的复合函数导数的计算原理和一元函数的情况类似。
设函数z=f(u,v)和u=g(x,y)，v=h(x,y)是多元函数关系，则复合函数z=f(g(x,y),h(x,y))的导数可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂u)*(∂u/∂x)+(∂z/∂v)*(∂v/∂x)∂z/∂y=(∂z/∂u)*(∂u/∂y)+(∂z/∂v)*(∂v/∂y)其中，∂z/∂u表示z对u的偏导数，∂u/∂x表示u对x的偏导数。
由于此处涉及到多个自变量，需要分别对每个自变量求偏导数。
三、复合函数的导数的应用复合函数的导数公式在实际应用中非常重要，可以用于求解各种函数的导数。
1.指数函数和对数函数的复合函数指数函数和对数函数是常见的函数类型，它们的复合函数的导数计算方法如下：若y=a^u，则dy/du=a^u*ln(a)若y=log_a(u)，则dy/du=1/(u*ln(a))例如，求解函数y=(2^x)/(1+x)，可以将其表示成复合函数y=(f(g(x)))的形式，其中f(u)=2^u，g(x)=(1+x)。
一句话总结复合函数求导法
一句话总结复合函数求导法
复合函数求导法是微积分中的重要概念，它描述了两个函数复合后求导的方法。
下面列举了十个关于复合函数求导法的总结：
1. 复合函数的求导法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于外层函数f'(g(x))乘以内层函数g'(x)。
2. 复合函数求导的链式法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于
f'(g(x))乘以g'(x)。
3. 复合函数求导的应用：复合函数求导法可以用于求解复杂函数的导数，如指数函数、对数函数等。
4. 复合函数求导的基本思想：将复合函数视为两个函数的组合，先求内层函数的导数，再求外层函数的导数。
5. 复合函数求导的步骤：首先求内层函数的导数，然后求外层函数的导数，最后将两个导数相乘。
6. 复合函数求导的注意事项：在求导过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性。
7. 复合函数求导的例子：例如，对于复合函数f(g(x))=sin(x^2)，其导数等于2x*cos(x^2)。
8. 复合函数求导的推广：复合函数求导法可推广到多个函数的复合，依然使用链式法则进行求导。
9. 复合函数求导与反函数求导的关系：复合函数求导与反函数求导是相互关联的，可以通过链式法则进行推导。
10. 复合函数求导与高阶导数的关系：复合函数求导法可以推广到
高阶导数的计算，依然使用链式法则进行推导。
通过上述总结，可以清晰地了解复合函数求导法的基本原理和应用方法。
掌握这一知识点对于解决复杂函数求导问题非常重要，有助于进一步理解微积分的概念和方法。
希望上述内容能对你有所帮助！。
复合函数求导及应用 课件
[类题通法] 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点 是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经 过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
简单的复合函数求导问题
[例 1] 求下列函数的导数：
(1)y＝ 1－2x2；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin2x＋π3；(4)y＝5log2(2x＋1)．
1
[解] (1)设 y＝u 2 ，u＝1－2x2，
则
y′＝(u
1 2
)′(1－2x2)′＝12u－
1 2
·(－4x)
＝12(1－2x2)－
1 2
(－4x)＝
－2x 1－2x2 .
(2)设 y＝eu，u＝sin x， 则 yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin xcos x. (3)设 y＝sin u，u＝2x＋π3， 则 yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos2x＋π3. (4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 则 y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝ul1n02＝2x＋110ln 2.
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即 不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开 始由外及内逐层求导．
复合函数导数的综合问题
[例3] 设f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1 ＋ax＋b(a，b∈R，a，b为
常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．求a，b的值． [解] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b， 得f′(x)＝x＋1 1＋2 x1＋1＋a， 则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a， 此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a＝32，故a＝0.
复合函数导数的基本公式14个
复合函数导数的基本公式14个下面是复合函数导数的14个基本公式：1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本方法。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx等于dy/du乘以du/dx，即(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
2.反函数法则如果函数y=f(x)的反函数存在，则反函数y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
3.乘积法则设函数y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，即(dy/dx)=(u'(x)v(x))+(u(x)v'(x))。
4.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，且v(x)不等于0，则函数y的导数dy/dx等于(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2，即(dy/dx)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^25.幂函数法则设函数y=u(x)^n，其中u(x)是关于x的函数，n是常数，则函数y的导数dy/dx等于n(u(x))^n-1*u'(x)，即(dy/dx)=n(u(x))^n-1*u'(x)。
6.指数函数法则设函数y=a^u(x)，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于a^u(x)ln(a)*u'(x)，即(dy/dx)=a^u(x)ln(a)*u'(x)。
7.对数函数法则设函数y=log_a(u(x))，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于1/(u(x)ln(a))*u'(x)，即(dy/dx)=1/(u(x)ln(a))*u'(x)。
8.双曲函数法则设函数y=sinh(u(x))，其中u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)cosh(u(x))，即(dy/dx)=u'(x)cosh(u(x))。
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相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则2)()()()(v vu v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±三、基础运用举例1 y =e sin xcos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1D 22 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x+y =0C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x－y =03 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则6 求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x; (2)y =31xx-四、综合运用举例 例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )例2 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴0x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =0x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83)五、巩固练习 1.函数y =2)13(1-x 的导数是A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x 2.已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数3.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)C.9sin 2(3x +4π)D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)4.函数y =cos(sin x )的导数为A.－［sin(sin x )］cos xB.－sin(sin x )C.［sin(sin x )］cos xD.sin(cos x )5.函数y =cos2x +sin x 的导数为A.－2sin2x +xx2cos B.2sin2x +xx 2cosC.－2sin2x +xx 2sin D.2sin2x －xx 2cos6.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A.2y －8x +7=0 B.2y +8x +7=0 C.2y +8x －9=0D.2y －8x +9=0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.函数y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成.8.曲线y =sin3x 在点P （3π,0）处切线的斜率为___________.9.函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2π)的导数是 .10.函数y =)32cos(π-x 的导数为 .11.函数y =cos 3x 1的导数是___________.参考答案1 解析 y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1 答案 B2 解析 设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =x y , 另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x , 故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53), 从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251)515(42-=+-- , 由于切线过原点，故得切线 l A :y =－x 或l B :y =－25x 答案 A3 解析 根据导数的定义f ′(x 0)=k x f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k答案 －14 解析 设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！ 答案 n !5 解 设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2) 对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －46 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅复合函数的导数1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.y =u 3,u =1+sin3x 8.－39.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)32cos()32sin(ππ---x x 11.x x x 1sin 1cos 122⋅。