三角形易错点突破和重难点析解

三角形易错点突破和重难点析解

易错点突破

1．运用三角形三边关系性质致误

例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）.

A ．10厘米

B ．14厘米

C ．10厘米或14厘米

D ．无法确定

错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C.

分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形.

正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B.

2．应用判定方法致误

例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由.

错解：∠1=∠2. 理由如下：

在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC.

所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2.

分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.”

正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD.

所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2.

3．不理解“对应”致误

例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？

错解：这两个三角形全等.

图3

分析：对“ASA”全等判定法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.

正解：这两个三角形不一定全等. 如图4所示，在Rt EDC ∆，

12∠=∠，CD=AB ，90C C ∠=∠=︒，显然ABC ∆与EDC ∆不全等.

重难点析解

1．三角形的有关概念 例1（邹城市）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（ ）

A ．中线

B ．角平分线

C ．高线

D ．边的垂直平分线

分析：根据三角形中线的特征及其面积公式可知，等底同高的两三角形的面积相等.

解：只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分. 故选

A.

评注：三角形的“三线”在解题中有着广泛的应用，因此，要正确认识其定义及特征.

2．三角形的三边之间的关系

例2（十堰市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）

A ．1厘米，2 厘米，3厘米

B ．2厘米，3 厘米，6 厘米

C ．4厘米，6 厘米，8厘米

D ．5厘米，6 厘米，12厘米 分析：判断三条线段能否构成三角形，只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可，若大于则能构成，否则不能构成.

解：根据“三角形的两边之和大于第三边”.然后观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故选C.

评注：涉及三角形三边关系的问题时，应注意三角形三边关系的应用.

3．三角形的内角和

例3（聊城市）如图5，11002145∠=∠=，，那么∠3的度数是（ ）

A ．55°

B ．65°

C ．75°

D ．85°

图4

B E 图6

分析：本题可利用平角及邻补角的定义，把1∠和2∠转化为三角形的内角. 解：由图5可知：与∠1相邻的补角为80︒，与∠2相邻的补角为35︒，由三角形的内角和为180︒，可得∠3=180803565︒-︒-︒=︒. 故选B.

评注：涉及三角形有关的角度计算问题，一般要考虑到三角形内角和的应用.

4．全等三角形的性质

例4 如图6，已知AB AD =，AC AE =，12∠=∠.

试说明BC DE =.

分析：要说明BC DE =，只要说明ABC ADE △≌△即可. 由已知条件可知，这两个三角形已经具备两边对应相等，因此再找这两边的夹角相等即可.

解：12=∠∠，所以12DAC DAC +=+∠∠∠∠，

即BAC DAE =∠∠. 又AB AD =，AC AE =， 所以ABC ADE △≌△（SAS ），所以BC DE =.

评注：因为全等三角形的对应边相等，所以要说明分别属于两个三角形的线段相等，常常通过说明这两个三角形全等来解决问题.

5．利用三角形全等解决实际问题

例5 如图7，A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，BD=1千米，DC=1千米，村庄AC 、AD 间也有公路相连，且AD ⊥BC ，AC=3千米，只有村庄AB 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路. 现准备在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 试求所建造的斜拉桥长有多少千米？

分析：由于村庄AB 之间间隔了一个小湖，无法直接测量，故可利用转化思想，由△ADB ≌△ADC ，得AB=AC=3千米，从而计算出EF 的长.

解：在△ADB 和△ADC 中，因为BD=DC ，∠ADB=∠ADC 090=，AD=AD. 所以△ADB ≌△ADC （SAS ）.所以AB=AC=3千米.

所以()()3 1.20.7 1.1EF AB AE BF =-+=-+=（千米）.

评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，教材中全等三角形的例题、习题有很多是与生活息息相关的，其基本思路是通过建立数学模型，把实际问题先转化为数学问题.