第四章-向量组的线性相关性与矩阵的秩

注：用定义 3 或定理 1 求矩阵的秩较困难，因为 A 的各阶子式的值不易求出来，因此需要借助矩阵秩的性 质来求.
二、矩阵秩的性质
性质1 矩阵的秩等于其转置的秩，即 r(A)=r(AT).
利用行列式的性质1很容易证明此性质。
引理1 对于m×n 型矩阵 A , r(A)=n ÙA 的列向量组
线性无关。
所谓 a1, a2, …, as 线性无关，即如果 k1 a1 + k2 a2+ …+ks as = 0,
则必有 k1= k2= …= ks= 0.
例2 向量组 a1 = (1, 2, 0, 1)T, a2 = (1, 1, −1, 3) T, a3= (1, 3, 1, − 1)T
线性相关, 因为 2a1− a2 − a3 = 0.
x1 a1 + x2 a2+ …+xn an = b,
⇒
定理 1 对于方程组Ax=b， (1) Ax=b有解Ù向量b能由向量组a1, a2, …,an 线 性表示；
(2) Ax=b有唯一解Ù向量b能由向量组a1, a2, …,an 线性表，并且表示方法唯一.
齐次线性方程组Ax=0有非零解 Ù存在非零向量c，使得Ac=0。 设矩阵A为m×n阶矩阵，将A列分块为A=(a1,…, an)。
组的秩称为矩阵的列秩。
定义2 设 A 为 m × n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 ( 1 ≤ k
≤ min ( m, n) ), 由交叉处的 k2 个元素 ( 不改变它们 的相对位置 ) 所构成的方阵称为A的一个k 阶子阵，其 行列式称为 A 的一个 k 阶子式。
如：
⎡2 4 −1⎤
A = ⎢⎢1 0
充分性 <=
若某个向量可被其余向量线性表出，不妨设 a1可又 其余向量表示，即存在实数k2,…,ks，使得
a 1 = k2 a 2+ k3 a3 + … + ks as ,
于是 1⋅a 1+ (− k2) a 2 + … + (− ks ) a s = 0, 其系数 不全为零，因此 a1, a2, …, as 线性相关. 证毕.
关于矩阵的秩，有
定理 1 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零，
而所有 k+1 阶子式全为零，则 r ( A ) = k .
证 由于 A 的所有 k + 1 阶子式全为零，则 A 的任 一 k + 2 阶子式按某行( 列 )展开后必为零，进而全部 高于 k + 1 阶的子式全为零，又 A 中至少有一个 k 阶子式不为零, 故 r ( A ) = k .
证明略。
性质2
(三秩相等定理) r(A) =A 的行秩=A 的列秩.
向量组线性相关，则B的列向量组也线性相关。
证 由已知，方程Ax=0有非零解， 设u为其一个非零解，则有Au=0. 则Bu=PAu=0, 则u也是Bx=0的非零解，
从而u也是Bx=0的一个非零解，
因此B的列向量组线性相关。证毕。
定理5 向量组A: a1,…ar线性无关，向量组B: a1, …, ar, b 线性相关，则b可由向量组A线性表示，且表示唯
推论3 如果向量组 a1, a2, …, as 线性无关，则其中部
分向量也线性无关.
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关.
定理4 设m元向量组A: a1, a2, …, as ，n元向量组B: b1,
b2, …, bs ，m+n向量组C: c1, c2, …, cs ，且
ci
=
⎜⎜⎝⎛
ai bi
例3 证明 n 维向量组 e1= (1, 0, …, 0)T, …, en= ( 0, 0, …, 1)T线性无关.
证 如果 k1e1+ k2e2+…+ knen= 0, 则 (k1, k2, …, kn)T = (0, 0, …, 0)T， 从而 k1= k2= …= kn=0, 按定义可知，向量组e 1, e 2, …, e n 线性无关. 证毕.
⎟⎟⎠⎞, i
= 1,L, s
则A,B中任何一个向量组线性无关，则C也线性无关。
证 不妨设向量组A 线性无关。设实数k1, k2, …, ks 使得 k1c 1+k2c2+ … +kscs= 0，
即
k1
⎛ ⎜ ⎝
a1 b1
⎞ ห้องสมุดไป่ตู้ ⎠
+
k2
⎛ ⎜ ⎝
a2 b2
⎞ ⎟ ⎠
+
L
+
ks
⎛ ⎜ ⎝
as bs
⎞ ⎟ ⎠
证：充分性由定理5（定理4-4）可知。 必要性，反证法（请自己考虑）。
三、向量组的秩与极大无关组
定义3 向量组V中，如果含有r 个向量的子向量组线性无关，并
且V中任何含r+1个向量的子向量组都线性相关，则将r 称为 向量组V的秩。
如果向量组V的秩为r, 则V中含有r 个线性无关向量组成的 子向量组称为V的一个极大(线性)无关组.
第一节 向量组的线性相关性和秩
一一、、nn 维维向向量量的的定定义义及及运运算算
第二节 矩阵的秩
第三二二节、、向矩向量阵量空的空间秩间在向量组中的应用
一一、、研研究究向向量量组组线线性性相相关关性性的的意意义义 二二、、向向量量组组的的线线性性相相关关性性 三三、、向向量量组组的的秩秩与与极极大大无无关关组组
(m, n ) ).这些子式中有的为零，有的不为零。
上一页
定义3 A 的非奇异子阵（可逆子阵、非零子式）的 最高阶数称为矩阵A 的秩，记为 r ( A ). 零矩阵的秩为0。
由上定义可知 (1) 若 A 为 m × n 矩阵 , 则 r ( A ) ≤min{ m, n} ; (2) 若 A 为 n 阶方阵 , 则 r ( A ) ≤ n : ① r (A) = n ：即 | A | ≠ 0 ( 非奇异阵)，称 A 为满秩阵 , ② r (A) < n ：即 | A | = 0 ( 奇异方阵)，称 A 为降秩阵 . (3) 增广矩阵的秩不小于矩阵的秩，即 r( A )≤ r([A,B]).
一。
证 由已知，存在不全为零的实数 k1,…kr+1满足： k1a1+…+krar+kr+1b=0.
若kr+1=0，则存在不全为零的实数 k1,…kr满足 k1a1+…+krar=0.
这与向量组A线性无关矛盾，
因此kr+1必不为零，从而
b
=
⎛ ⎜ ⎝
−
k1 kr +1
⎞ ⎟ ⎠
a1
+
L
+
⎛ ⎜ ⎝
−
推论1 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性无关的充
要条件是其中任何一个向量都不能由其余s-1个向量线 性表出.
推论2 (1) 矩阵A 的列向量组线性相关(无关)的充要条件
是Ax=0有非零解(只有零解).
(2) 方阵A 的列向量组线性相关(无关)的充要条件是 det(A)=0 (det(A) ≠0 ).
kr kr +1
⎞ ⎟ ⎠
ar
因此b可由向量组A线性表示。 下证唯一性。设b可以被向量组A线性表示为：
b = α1a1 + L + α r ar , b = β1a1 + L + βr ar . 两式相减可得
(α1 − β1 ) a1 +L + (αr − βr ) ar = 0,
由于向量组A线性无关，从而上式系数全为零，即
=
0
⇒
k1a1 + k2a2 +L + ksas = 0
由于向量组A线性无关，因此 k1, k2, …, ks 必全为零， 推论4 从而 c1, c2, …, cs 线性无关. 证毕.
如果向量组 C线性相关，则向量组A,B也线性相关.
矮(短)无关高(长)亦无关；高(长)相关矮(短)亦相关.
例6 证明：对于矩阵A, B, P满足B=PA, 如果A的列
定理3 如果向量组 a1, a2, …, as 中有一部分向量线性
相关，则这 s 个向量也线性相关.
证 不妨设前 r (r<s) 个向量 a1, a2, …, ar 线性相关， 即存在不全为零的实数k1, k2, …, kr 使得 k1a 1+k2a2+ … +kra r= 0 令 kr+1= kr+2=…= ks= 0, 则有 k1a1+ k2a2+ … + krar+ kr+1ar+1+…+ ksas = 0, 由于系数k1, k2, …, ks 不全为零，因此 a1, a2, …, as 线性 相关，证毕.
则Ax=0有非零解Ù存在不全为零的实数c1 ,c2 , … ,cn , 使得
c1 a1 + c2 a2+ …+cn an = 0.
⇒
二、向量组的线性相关性
定义2 对于 n 维向量组 a1, a2, …, as ，如果存在不全为零的 实数 k1, k2, …, ks 使得 k1 a1 + k2 a2+ …+ks as = 0, 则称 n 维向量组 a1, a2, …, as 线性相关， 否则，称a1, a2, …, as 线性无关.
同样可验证a1, a3, a4 ； a1, a2, a4 及 a2, a3, a4 均是向量组 的极大无关组.
向量组的极大无关组可能不唯一.
定理5
向量组中的每个向量都可以由其极大无关组唯一线性表示。
上一页
注:
(1) 对于非零向量组V，其秩r 就是其极大无关组中向量的个
数，是由向量组唯一确定的；反过来，秩为r 的向量组V中
α1 = β1,L,αr = βr
唯一性得证。证毕。
推论5 矩阵A 的列向量组线性无关，则Ax=b有唯一解的
充要条件是矩阵[A, b]的列向量组线性相关.
推论5 向量组a1,…ar 线性无关，向量b不能由a1,…ar 线性表示，则向量组a1,…ar , b线性无关。
证：反证法
推论6 向量b能由a1,…ar 线性表示，且表达式唯一Ù向 量组a1,…ar 线性无关。
的极大无关组就是由r个线性无关的向量组成，存在但不一
定唯一； (2) 对于零向量组，其秩就为0;
本节作业：
(3)向量组线性无关Ù向量组的 习题4-1：1, 2, 6, 9
秩等于其所含向量的个数。
一一、、矩矩阵阵的的秩秩 二二、、矩矩阵阵秩秩的的性性质质
一、矩阵的秩
定义1 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩. 矩阵的列向量
例1 零向量0=(0, 0, 0, 0)T可由向量组 a1 = (1, 2, 0, 1)T, a2 = (1, 1, −1, 3) T, a3= (1, 3, 1, − 1)T 线性表示 0=2a1− a2 − a3.
对于线性方程组Ax=b, 其中系数矩阵A为m×n阶矩阵， 将A列分块为A=(a1,…, an)，未知数向量为x=(x1,…, xn)T, 则有
表出.
证 必要性 =>
设 a1, a2, …, as 线性相关，则有不全为零的实数 k1, k2, …, ks ，使 k1a 1+ k2a2+ … + ksa s= 0.
不妨设 ks≠ 0,
于是
as
=
− k1 ks
a1
+L+
− ks−1 ks
as−1.
即 as 可由 a1, a2, …, as−1 线性表出.
一个向量组线性无关当且仅当它的极大无关组就是它自身.
例7 设3维向量组：a1= (1, 0, 0)T, a2= (0, 1, 0)T, a3= (0, 0, 1)T,
a4= (1, 1, 1)T. 显然 a1, a2, a3 线性无关，且 a4 = a1+ a2 +a3 , 即 a4 能由 a1, a2, a3 线性表出，所以 a1, a2, a3 就是向量组 a1, a2, a3, a4 的一个极大无关组，因此向量组的秩为3.
例4 含有零向量的向量组必定线性相关.
证 若向量组 a1, a2, …, as 含有零向量，不妨设 a1= 0，
则有
1⋅a1+0⋅a2+ …+ 0⋅as = 0,
其系数不全为0，按定义此向量组线性相关。证毕。
定理2 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性相关的
充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性
一、研究向量组线性相关性的意义
定义1 对于 n 维向量组 a1, a2, …, as ，如果存在实数 k1, k2, …, ks 使得 k1 a1 + k2 a2+ …+ks as = b, 则称向量b为a1, a2, …, as 的线性组合。 或者称向量b能由向量组a1, a2, …, as 线性表示(线性表出)。
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 2 − 3⎥⎦
选取第一行、第一列的元素 2 则为 A 的个一阶子式，选取 A 的第一、三行及二、三列,
则得 A
的一个二阶子式
4 2
−1 ， −3
2 4 −1
而 A 的唯一的三阶子式为 | A | = 1 0 0 .
0 2 −3
m × n 矩阵 A 的
k
阶子式共有
C
k n
C
k m
个 (1 ≤ k ≤ min