《常微分方程》2015期末试题及答案
《常微分方程》期末试卷
《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。
常微分方程期末考试题大全(东北师大)
证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。
证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为，即.由于，则存在,当时，.因而，由,从而有，显然。
应用洛比达法则得。
证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。
由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。
分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。
任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。
这就证明了方程组最多有个线性无关的解。
证明题:如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。
证已知是对应齐次方程的基本解组,则齐次方程的通解为。
用常数变易法，求原方程的特解。
设是原方程的特解，则满足下列关系，解得，,积分得 .原方程的一个特解为故是原方程的一个特解。
证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。
，是方程组（1)的线性无关解组.证: 设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。
，，是方程组（1）的线性无关的解组。
证先证明，，.。
.，都是方程组（1）的解。
由于方程组（1）的解，则有，即其中表示单位矩阵。
由易得。
(2），由(2）,上式变为,.故，，...，都是方程组(1）的解。
再证明向量组，，.。
，线性无关。
因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，.若,，即，，给上式两边关于求阶导数，得，,则必有。
给，两边关于求阶导数，则必有。
同理，可得,。
故向量组，，...，线性无关.综上所述,我们证明了向量组，，。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
周口师范学院常微分方程题库答案期末15
一、 填空题 （每空 2 分，共 14 分）
1．3
2． y = 2 3． y = 2ex − e−x 4．[− 6 , − 4]
55
⎛0⎞ ⎜⎟ 5．⎜ 0 ⎟ ⎜⎝ et ⎟⎠
⎛ et
⎞
⎜
⎟
6． ⎜ e2t
⎟
⎜⎜⎝
e−t ⎟⎟⎠
7． (−2, 3) .
二、 选择题 （每小题 2 分，共 10 分） 1．D 2．D 3．B 4．A 5． B
5、求初值问题
⎪⎧ dy ⎨ dx
=
x2
−
y2,R :
x +1
≤ 1,
y
≤ 1 的解的存在区间，并求第
⎪⎩
y(−1) = 0
二次近似解。
解：可得 M = 4 ，h = 1 ，L = 2 ,解的存在区间 x − 1 ≤ 1 ……4
4
4
Φ0 = y0 = 0 ，…………………………………………5
《常微分方程》试卷 第 4 页 共 6 页
u + x du = u + e−u ， x du = e−u
dx
dx
………4
《常微分方程》试卷 第 2 页 共 6 页
∫ ∫ 分离变量，再积分，得 eudu = dx + C
x eu = ln x + C ， u = ln(ln x + C)
………7
即 y = x ln(ln x + C)
……8
所以方程的通解为：
y = (c1 + c2 ln x )x 其中 c1,c2 是任意常数……………8
《常微分方程》试卷 第 6 页 共 6 页
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
常微分方程期末试题(A)答案
二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分） 1、求解方程2)(d d xyx y x y -=； 解 令xu y =，则xux u y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x u xu -=+，2d d u xu x -= 显然，0u =为方程的一个解，从而0y =为原方程的一个解。
当0≠u 时，分离变量，再积分，得C x xuu +=-⎰⎰d d 2 C x u+=ln 1，C x u +=ln 1 即通积分为： Cx xy +=ln2、求解方程)1(d d 2y x xyy-=； 解 当1≠y 时，分离变量得x x y y yd d 12=- 等式两端积分得12d d 1C x x y y y+=-⎰⎰122211ln 21C x y +=- 1222e ,e 1C x C C y --±==-方程的通积分为2e 12x C y --= 3、求解方程x y xy2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为 xC y 3e-=令非齐次方程的特解为 xx C y 3e)(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为 xC y 3e-=+x2e514、解方程0d 2d )3e (322=++y y x x y x x解 )3e (),(22y x y x M x +=，y x y x N 32),(=xNy x y M ∂∂==∂∂26 因此，原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为 C x y x x xx=+⎰0222)d 3e (或C x y x x x xx x=+⎰⎰02202d 3d e即 C y x x x x =++-232e )22( 5、求解方程2221)(x y x y y +'-'= 解 令x x =p y ='，则，原方程的参数形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=='=2221x xp p y p y x x由x y y d d '=，有x p p x p x x p d )d 2()d (=-++-整理得 0)1d d )(2(=--xpx p 由20p x -=，解得2xp =，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为 24x y =由01d d =-xp，解得C x p +=，代入参数形式的第三式，得原方程通解为2221C Cx x y ++=三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末考试试卷共5页文档
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。