(完整版)导数讲义(学生新版)(可编辑修改word版)
高中数学全套讲义 选修1-1 导数概念中挡 学生版
目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (4)考点二导数的几何意义 (4)题型3 有关斜率的判断与计算 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2018春•菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值2．（2019春•韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．3．（2018春•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．2f '（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）B ．2f '（4）2f <'（2）f <（4）f -（2）C ．2f '（2）2f <'（4）f <（4）f -（2）D ．f （4）f -（2）2f <'（4）2f <'（2）4．（2017春•东坡区校级月考）函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f <（3）f -（2）B ．0f '<（2）f <（3）f -（2）f '<（3）C ．0f '<（3）f <（3）f -（2）f '<（2）D ．0f <（3）f -（2）f '<（2）f '-（3） 5．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ．题型2 导数的概念6．（2017春•邢台月考）设函数()1sin 2f x x =+，则等于0()(0)lim (x f x f x→- ) A ．2-B ．0C ．3D ．27．（2019•濮阳一模）已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞8．（2018春•商丘期中）已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)lim x f x f x→+-的值为( )A ．e -B ．1C ．eD ．09．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为21()(2s t gt g =为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为( )A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定12．（2018秋•中山市期末）已知曲线y lnx =的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t 秒后的距离为322s t t t =-+，则2t =秒时的瞬时速度为( )A ．8/m sB ．10/m sC ．16/m sD ．18/m s14．（2018•邯郸二模）若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是( ) A ．23(e -，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e-- 15．（2018秋•龙岩期末）已知P 为函数y lnx =图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 ．16．（2019春•襄阳期末）正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．17．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．课后综合巩固练习1．（2017•红桥区模拟）已知函数321()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为 ．2．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．3．（2015秋•徐州期末）若函数()x f x e ax =-在(1,)+∞上单调增，则实数a 的最大值为 ． 4．（2018春•江岸区校级月考）已知一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3s 时的瞬时速度为( )A ．5 /m sB ．6 /m sC ．7 /m sD ．8 /m s5．（2018•咸阳三模）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(0)(1)f f '=' ．6．（2018春•昌吉市期末）如图函数()f x 的图象在点P 处的切线为：25y x =-+，则f （2）f +'（2）= ．7．（2019春•让胡路区校级月考）已知函数()()y f x x R =∈上任一点0(x ，0())f x 处的切线斜率200(3)(1)k x x =-+，则该函数的单调递增区间为 ．8．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．9．（2016春•鹤壁期末）已知点P 在曲线41x y e =+上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ．10．（2016春•安徽校级月考）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m ，底面直径为6m ，水以35/m s π的速度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 ．。
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
(完整word版)第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)
导数与导函数的概念【基础知识点】 1．函数从到的平均变化率为①____________，若21x x x =-△，21()()y f x f x =-△，则平均变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 3．几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
4．导函数的概念：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。
【典例解析】【典例1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导， （3）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=__________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺ ()2x x'=⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝)('o x f （x －x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=± （2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数 （1）35y x =（2）41y x =（3）4log y x = （4）sin()2y x π=-（5）3cos()2y x π=+ （6）x x x y = 题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线331x y =上一点)38,2(P ,则过P 点的切线方程为 .解析：过点P 的切线的斜率为()'24k f ==，那么切线方程为()8423y x -=- ，即123160x y --= ．变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________. 题型二：点不在曲线上【典例3】过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为 解析：设切点为()00,x y ，切线的斜率为()'0021fx x =+，则切线方程为：()()'000y y f x x x -=- ，因为点)0,1(-在切线上，故()()'0001y f x x -=-- ，解得00x = ，或02x =- ，切点为()0,1 或()2,3- ，故切线方程为20x y -+= 或330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()xf x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程。
(2021年整理)高中数学完整讲义——导数及其应用2.导数的运算
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（完整版)高中数学完整讲义—-导数及其应用2。
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导数讲义
导数讲义一、导数的概念1．切线的斜率 如图5—1所示，曲线)(x f y =在其上一点),(00y x P 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置．由于割线PQ 的斜率为0)()(x x x f x f k --=，因此当0x x →时如果k 的极限存在，则极限=k 00)()(limx x x f x f x x --→ ………………..（1） 即为切线PT 的斜率．2、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→ (2)存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '． 令),()(,000x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=则(2)式可改写为).()()(lim lim00000x f x x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆=000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ (3)所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率． 若(2)(或(3))式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．3、倒数的几何意义：由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是).)((000x x x f y y -'=-由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为.1k -从而过点P 的法线方程为).()(1000x x x f y y -'-=-二、常用的求导公式(1)(C )'=0, (2)n nx x n n ,)(1-='为正整数； (3);sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='=' (4)(tan x )'=sec 2x , (cot x )'=-csc 2x , (5)),0,1,0(log 1)(log >≠>='x a a e x x a a 特别xx 1)(ln ='. (6)(a x )'=a x ln a ,特别的(e x )'=e x , (7) 211)(arcsin x x -='， 211)(a r c c o s x x --=' 211)(arctan x x +='， 211)cot arc (x x +-='.三、导数的运算法则1．、设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(vv u v u vu '-'='. 2、复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为：y '(x )=f '(u )⋅g '(x ).证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim)()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(l i ml i m 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆.四、导数的应用 1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .反之，设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f ' （或()f x ' ）恒成立。
(完整版)高二导数讲义
导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ∆∆→∆0lim。
2、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案(可编辑修改word版)
§1.1.2导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数。
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．（一）、情景引入，激发兴趣【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。
科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
(二)、探究新知，揭示概念求平均速度 ht求时间增量t求位移增量h求瞬时速度v = limh t →0t求割线的斜率 yx增量x增量y函数在点x 处的变化率limyx→0x= lim f (x+x) -f (x),并对x→0 x猜想的合理性进行分析后，引出定义 1：（函数在一点处可导及其导数）③剖析概念加深理解【探讨 1】怎样判断函数在一点是否可导？判断函数y =f (x) 在点x0处是否可导转化判断极限lim f (x+x) -f (x)是否存在x→0 x【探讨 2】导数是什么？y limx→0 x学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如(x)2忘写括号的现象加以纠正.练习：1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.2.设函数f(x)在x0处可导，则limx→0f (x0 +x) -f (x-x)等于xA. f′(x0)B.0C.2 f′(x0)D.－2 f′(x0)3.已知一个物体运动的位移 S（m）与时间 t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度；（2）求物体在 t 时刻的瞬时速度；（3）求物体 t 时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？。
2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。
1.1导数的概念讲义
导数的概念讲义知识要点：一、曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy二、确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim →∆x 0x∆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. 三、瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 四、确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs=s(t 0+Δt)－s(t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt. 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时五、导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数。
导数讲义
导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数讲义(学生新版)
导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。
1导数讲义1
1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数. 2.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A.－1B.－2C.2D.0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.答案 (1)C (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A.2x －y ＋3＝0B.2x －y －3＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1B.－3C.－4D.－2答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢.(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.4x －3y ＋1＝0C.3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D.3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________. 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，∴切点P 的坐标为(1,1).故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1.∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. [方法与技巧]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e答案 B解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y'=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 016(x )等于()A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.4.(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A.－1B.0C.2D.4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A.x ＋4y －2＝0B.x －4y ＋2＝0C.4x ＋2y －1＝0D.4x －2y －1＝0答案 A解析 y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号).当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值， 此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7.若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”.已知函数f (x )＝x 2－1和函数g (x )＝2ln x ，那么函数f (x )和函数g (x )的隔离直线方程为____________. 答案 y ＝2x －2解析 由题意得函数f (x )和函数g (x )的隔离直线为它们在交点(1,0)处的公切线.因为f ′(1)＝2＝g ′(1)＝k ，所以切线方程为y ＝2(x －1).8.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________. 答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)， 则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图像的切线平行，则实数a 的值为( ) A.14B.12C.1D.4答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244a -⨯=，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.12.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，134 C.⎝⎛⎭⎫52，134 D.⎝⎛⎭⎫52，2答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大.13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.14.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________. 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在.由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12).∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12) ＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
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导数一、导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在x 0 处有增量∆x ，那么函数 y 相应地有增量∆y =f （x + ∆x ）－f （x ），比值 ∆y叫做函数 y=f （x ）在 x 到 x + ∆x 之间的平均变化率， 0 0 ∆x0 0即∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。
如果当∆x → 0 时， ∆y 有极限，我们就说函数 y=f(x) ∆x ∆x ∆x在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（x 0 ）或 y ’|。
f’(x 0 )= lim ∆y = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。
x = x 0∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x例、 若lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = k ，则lim f (x 0 + 2 ⋅ ∆x ) - f (x 0 ) 等于（ ）∆x →0A. 2k ∆xB. kC. 1 k 2∆x →0 ∆xD. 以上都不是 变式训练： 设函数 f (x ) 在点 x 0 处可导，试求下列各极限的值．1. lim∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) ；∆x2． lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) .h →0 2h3．若 f '(x ) = 2 ，则lim f (x 0 - k ) - f (x 0 )=？k →0 2k二、导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ）处的切线的斜率。
也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ） 处的切线的斜率是 f ’（x 0 ）。
切线方程为 y －y 0 =f /（x 0 ）（x －x 0 ）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ① C ' = 0;（C 为常数）②(x n )' = nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ;⑤ (e x )' = e x ;⑥ (a x )' = a x ln a ;⑦(ln x )' = 1 ;x⑧(l o g ax )' = 1 log e . x a习题：求下列函数的导数：（8 分钟独立完成） （1） f (x ) = （2） f (x ) = x 4（3） f (x ) = （4） f (x ) = sin x（5） f (x ) = -cos x （6） f (x ) = 3x （7） f (x ) = e x （8） f (x ) = log 2 x（9） f (x ) = ln x （10） f (x ) = 1x（11） y = 3 + 1cos x4 4 （12） y =x1+ x（13） y = lg x - e x（14） y = x 3 cos x2、导数的四则运算法则： [ f (x ) + g (x )]' = f '(x ) + g '(x )[ f (x ) - g (x )]' = f '(x ) - g '(x ) [ f (x )g (x )]' = f '(x )g (x ) + f (x )g (x )'⎡ f (x ) ⎤'⎢ g (x ) ⎥ = f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )g 2 (x ) ⎣ ⎦ 练习：求下列函数的导数： （1） y = x 2 + 2 x ；（2） y =- ln x ；（3） y = x sin x ；（4） y = x ln x 。
（5） y = sin x x ；（6） y = x 2。
ln x3、复合函数求导：如果函数(x ) 在点 x 处可导，函数 f (u )在点 u=(x ) 处可导，则复合函数 y=xx1 - 2x 1 + x 2f (u )=f [(x )]在点 x 处也可导，并且(f [(x ) ])ˊ=f '[(x )]'(x )例、求下列函数的导数（1）y= cos x （2）y=ln (x + )练习：求下列函数的导数（1）y =1(3x - 1)2（2） y =sin （3x +）4常考题型：类型一、求导数相关问题例 1、若曲线 y ＝e －x 上点 P 处的切线平行于直线 2x ＋y ＋1＝0，则点 P 的坐标是． 例 2、曲线 y ＝x e x －1 在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1例 3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y ＝2x ，则 a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例 1.曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点(1， - 1) 处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程例 2.与直线2x - y + 4 = 0 的平行的抛物线 y = x 2 的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程例 3.求过点(2，0) 且与曲线 y = 1相切的直线方程．x （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例 4.求过曲线 y = x 3 - 2x 上的点(1， - 1) 的切线方程．变式训练：1、[2014·广东卷] 曲线 y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2)处的切线方程为 ．b 2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ＝ax 2＋ (a ，b 为常数) x过点 P (2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x ＋2y ＋3＝0 平行，则 a ＋b 的值是 ．3、与直线x - y + 1＝0 平行, 且与曲线 y＝x3- 1 相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.变式训练：1.函数y =x ln x 的单调递减区间是（）A．(e-1,+∞) B．(-∞, e-1)C．(0, e-1)D．(e,+∞) 2.(05 年广东高考题)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( ) （Ａ）(2, +∞) （Ｂ）(-∞, 2) （Ｃ）(-∞, 0) （Ｄ）(0, 2)考点二求含参数的函数的单调区间考例 1、已知函数f (x) 的单调性. f (x) =1x2-m ln x + (m -1)x ，m ∈R ．当m ≤ 0 时，讨论函数2例 2、设函数 f(x)= 2x3- 3(a -1)x2+1, 其中a ≥ 1.求 f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a ≥--1，求f(x)的单调区间。
变式训练：x－11、[2014·ft东卷] 设函数f(x)＝a ln x＋，其中a 为常数．x＋1(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．2、【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ]若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a 的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)2－6，－8C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 例 3、[2014·辽宁卷] 当 x ∈[－2，1]时，不等式 ax 3－x 2＋4x ＋3≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )[ 9]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]变式训练：（ft 东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题（数学文） 已 知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 的图像经过点 M (1, 4) ，曲线在点 M 处的切线恰好与直线x + 9 y = 0 垂直.（Ⅰ）求实数a , b 的值；（Ⅱ）若函数 f (x ) 在区间[m , m +1] 上单调递增，求m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1) 确定函数的定义域，求导数 f '(x ) . (2) 求方程 f '(x ) = 0 的根.(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f (x ) 在这个根处无极值.注:可导函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处取得极值是 f '(x 0 ) = 0 的充分不必要条件. 例 1、已知函数 f (x ) = 2ax - b+ 4 ln x 在 x = 1与x = 1 处都取得极值．x3（1） 求a 、b 的值；变式训练：设 x = 1, x = 2 是 f ( x ) = a ln x + bx + x 函数的两个极值点.（1） 试确定常数 a 和 b 的值；（2） 试判断 x = 1, x = 2 是函数 f ( x) 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例 2、（06 安徽卷）设函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx (x ∈ R ) ，已知 g (x ) = 奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
f (x ) - f '(x ) 是A ．[－5，－3] B.（Ⅱ）求g(x) 的单调区间与极值。
例 3、已知函数f (x) =ax 3 +bx 2 + (c - 3a - 2b)x +d（I）求c, d 的值；的图象如图所示．（II）若函数f (x) 在x = 2 处的切线方程为3x +y -11 = 0 ，求函数f (x) 的解析式；（III）在（II）的条件下，函数y =f (x) 与y =1f '(x) + 5x +m 的图象有三个不同3的交点，求m 的取值范围．例4、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b) R)．(1)当b＝4 时，求f(x)的极值；1－2x(b∈(1)(2)若f(x)在区间0，3变式训练：上单调递增，求b 的取值范围．1、已知函数 f (x) =x +b 的图象与函数g(x) =x 2+ 3x + 2 的图象相切,记F (x) = f (x)g(x) .（Ⅰ）求实数b 的值及函数 F (x) 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程 F (x) =k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围. 2、（2011 全国Ⅱ文 20）已知函数f (x) =x3+ 3ax2+ (3 - 6a)x +12a - 4(a ∈R)(Ⅰ)证明：曲线y = f (x)在x = 0 的切线过点(2, 2)（Ⅱ）若f (x)在x =x0处取得极小值，x0 ∈(1, 3) ,求a 的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[a, b] 上最值的步骤：（1）求出 f (x) 在(a, b) 上的极值.（2）求出端点函数值f (a), f (b) .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例 1、(2010 年重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数 a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论 g(x)的单调性，并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．例 2、设函数 f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线 x－6y－7＝0 垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．例 3、已知函数f (x) =1x2+a ln x,2g(x) = (a +1)x , a ≠-1．（I）若函数f (x),求实数a 的取值范围；g(x) 在区间[1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同，（II）若 a∈(1, e] (e = 2.71828 ) ，设 F (x) =f (x) -g(x) ，求证：当x1, x2∈[1, a]时，不等式| F (x 1 ) - F (x 2 ) |< 1成立．例 4、[2014·安徽卷] 设函数 f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中 a ＞0. (1)讨论 f (x )在其定义域上的单调性；(2)当 x ∈[0，1]时 ，求 f (x )取得最大值和最小值时的 x 的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。