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高一数学12月月考试题理

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河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
A． b2 = 4c + 4
B．若1- b + c > 0 ，则 x02 < 1
C．若
x0
>
0
，则 cx2
- bx
+1
<
0
的解集为
æ ç
è
1 x0 +
2
,
1 x0
ö ÷ ø
D．
b
+
c
有最小值为
-
9 4
三、填空题
13．
x
>
0
时，
y
=
x2 (x +1)2
+
1 的值域为 x+1
.
14．写出一个函数 f ( x) 的解析式，满足：① f ( x) 是定义在 R 上的偶函数；② x ¹ 0 时，
æçè1,
16 9
ù úû
D．
é16 êë 9
,
2ùúû
二、多选题 9．已知 -1 £ a £ 3,1 £ b £ 2 ，则以下命题正确的是（ ）
A． -1 £ ab £ 6 C． -2 £ a - b £ 1 10．以下函数是偶函数的是（ ）
A． f ( x) = 2x + 2-x
B． 0 £ a + b £ 5
a
+ 2
b
³
2
-
ab ，即
a+
2
b ³ 4 ，即
a+
b ³2，
故
a
+b 2
³
2-
ab 是
a+
b ³ 2 的充要条件，故 D 错误.
故选：A. 8．D

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．全集{*x x =∈U N 且}10x <,{}1,3,5,7A =,{}6,7,8,9B =,则()A B =U( )A.{}2B.{}2,4C.{}7D.{}2,4,72．已知()1f x ax =+,()222g x x x a =-+,1x ∃,[]20,1x ∈,()()12f x g x >,则a 的取值范围是( ) A.(),2-∞B.()2,+∞C.(),1-∞D.()1,+∞3．“a <1<-”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知0a >且1a ≠,()()1a x f x a -=与()a g x x =的图象可以是( )A. B. C. D.5．已知2log 3a =,3log 5b =,113c ⎛= ⎝A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>6．已知0a >,0b >,a b +=A.4B.6C.8D.97．已知0a >,b >2的一个充分不必要条件是( ) A.1ab ≥B.a b +≥1b+≥2≥8．已知()()1,2,x a x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩1>)的值域为D ,2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则a 的取值范围是( )A.()1,2B.()2,3C.161,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D.16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题9．已知13a -≤≤,12b ≤≤,则以下命题正确的是( ) A.16ab -≤≤B.05a b ≤+≤C.21a b -≤-≤D.()()114a b +-≤10．以下函数是偶函数的是( ) A.()22x x f x -=+ B.()211f x x x =-+ C.()()11f x x x =-≠±D.()()lg 1012x x f x =+-11．已知()()22log 3f x x mx m =-++的定义域为D ,值域为M ,则( ) A.若D =R ,则M ≠RB.对任意m ∈R ,使得()()57f f -=-C.对任意m ∈R ,()f x 的图象恒过一定点D.若()f x 在(),3-∞上单调递减,则m 的取值范围是{}6 12．20x bx c -+<的解集为()00,2x x +,则( ) A.244b c =+B.若10b c -+>,则201x <C.若00x >,则210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭D.b c +有最小值为94-三、填空题13．0x >时,22(1)x y x =+14．写出一个函数()f x 的解析式,满足:①()f x 是定义在R 上的偶函数;②0x ≠时,()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x =________.15．全集{}1,2,3,4,5,6,7,8=U ,{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,如图中阴影部分的集合为M ,若x M ∃∈使得:2430x mx m -+-<,则m 的取值范围是________.16．教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系:若()y f x =为奇函数,则()y f x a b =-+的图象关于点(),a b 中心对称,易知:()f x =()g x =四、解答题17．已知集合{}2120,{2}(0)A x x mx B x x m m =+-<=-<>∣∣. （1）1m =时,求A B ;（2）若B A ⊆,求m 的取值范围.18．已知()f x 满足212x f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.（1）求()f x 的解析式;（2）解不等式()()211f x f x -<--.19．已知())2log f x x =是奇函数.（1）求a ;（2）证明:()f x 是R 上的增函数. 20．()()()22222x x x x f x t --=-++.（1）若t =()0f x <的解集;（2）若()f x 最小值为1,求t .21．已知二次函数()2f x x bx c =++,()f x x =的解为1-,3. （1）求b ,c ;（2）证明:1-,3也是方程()()f f x x =的解,并求()()f f x x =的解集.22．已知()12f x mx n x =-++的图象的对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）求m ,n ;（2）若在区间[],(2)a b a >-上,()f x 的值域为[],a b ,求a ,b .参考答案1．答案：B解析：由题意可知:{}1,3,5,6,7,8,9A B =, 又因为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9=U ,所以(){}2,4A B =U.故选:B. 2．答案：A解析：[]12,0,1x x ∃∈,()()12f x g x >,所以,()()12max min f x g x >,()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减,所以()2min 21g x a =-,当0a =时,()()2122212f x g x x x =>=-,即22212x x >-,取210x x ==成立. 当<0a 时,()1max 1f x =,即211a -<,得1a <,所以<0a当0a >时,()1max 1f x a =+,即121a a +>-,得2a <,所以02a <<, 综上:a 的取值范围是(),2-∞. 故选:A 3．答案：B解析：不等式a <1a -<0<,所以()210a a -<, 即()()110a a a -+<,解得01a <<或1a <-,故1a <-能推出a <<1<-,所以“a <1<-”的必要不充分条件. 故选:B 4．答案：D解析：对()()1a x f x a -=,该函数过定点()0,1,且()0f x >恒成立, 对()a g x x =,该函数过定点()0,0,若01a <<,对()()1a x f x a -=,10a -<,则()1a x -在R 上单调递减, 又01a <<,故()f x 在R 上单调递增,若1a >,对()()1a x f x a -=,10a ->,则()1a x -在R 上单调递增, 又1a >,故()f x 在R 上单调递增, 故排除AB;对()g x ,由0a >且1a ≠,故()g x 在定义域内单调递增, 故排除C. 故选:D. 5．答案：A解析：因为32234=<<,可知:32222log 2log 3log <<2a <<;35<<=3333log 5log <<b <<105>,可知:15111033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,即01c <<; 综上所述:c b a <<. 故选:A. 6．答案：C解析：0a >,0b >,1a b +=,()414144144b a b a a b a b a b a b a b -⎛⎫∴+=+=++-=++≥= ⎪⎝⎭=a ==故选:C 7．答案：A解析：对A 选项:若ab ≥2≥≥,当且仅当a b =时等号成立,当4a =,b =2≥,但1ab <,故0a >,0b >时,ab ≥2≥的充分不必要条件,故A 正确;对B 选项:取a ==825=<,故a b +≥2≥的一个充分条件,故B 错误;对C选项:取a b ==12=<,1b≥2≥的一个充分条件,故C错误;2≥2≥2,2≥2≥的充要条件,故D错误.故选:A.8．答案：D解析：若12a<<,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递减,此时())fx∈+∞,当x>()22af x xx=+-≥,当且仅当x=>又函数()f x的值域D满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则21a≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎪⎩2a≤<;若2a=,()11,222,xf xx xx⎧≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩12≤时,()1f x=,当x>()222f x xx=+-≥,当且仅当x=又函数()f x的值域)2,D⎡=+∞⎣,满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,成立;若2a>,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递增,此时()(f x∈, 则(D⊆,又(2,3⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立,所以此时2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立;2a ≤≤,故选:D. 9．答案：BD解析：对于A:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]2,6ab ∴∈-,故A 错误. 对于B:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]0,5a b ∴+∈,故B 正确. 对于C:[]1,2b ∈,[]3,2a b ∴-∈-,故C 错误.对于D;[]10,4a +∈,[]10,1b -∈,()()[]110,4a b ∴+-∈,故D 正确. 故选:BD. 10．答案：AD解析：A 选项,()f x 的定义域为R ,()()22x x f x f x --=+=, 所以()f x 是偶函数,符合题意.B 选项,22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,()f x 的定义域为R , ()113f -=,()11f =,()()11f f -≠,所以()f x 不是偶函数.C 选项,()23f -=-==()21f ==()()22f f -≠,所以()f x 不是偶函数.D 选项,()()lg 101x f x =+()()110lg 101lg 2102x xx x x f x -+-=++=+()()()lg 101lg10lg 10122x x x x xf x =+-+=+-=,所以()f x 是偶函数. 故选:AD 11．答案：ACD解析：对于A,要使定义域为R ,只需230x mx m -++>恒成立,所以判别式()2430m m -+<,所以真数23x mx m -++不能取遍所有正实数,所以M ≠R ,故A 对对于B,若()()57f f -=-,即()()()()()()2222log 553log 773m m m m ---++=---++,整理得()()22log 286log 528m m +=+,得28605280286528m m m m +>⎧⎪+>⎨⎪+=+⎩, 此时m ∈∅,故B 错;对于C,()22331x mx m x m x -++=++-,因为与m 无关,所以10x -=,1x =,2log 42y ==,过定点（1,2),故C 正确;对于D,若()f x 在(),3-∞上单调递减,只需函数23t x mx m =-++在(),3-∞上递减,且()30t ≥,即329330m m m ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩,解得6m =,故D 对. 故选:ACD 12．答案：AC解析：由题意可知:方程20x bx c -+=的根为00,2x x +,则()000002222x x x bx x c ++=+=⎧⎨+=⎩,)0022x x +-===,整理得244b c =+,故A 正确;对于选项B:例如02x =,则68b c =⎧⎨=⎩,满足116830b c -+=-+=>, 则2041x =>,故B 错误;对于选项C:若00x >,则0020x x +>>,不等式210cx bx -+<即为()()200022210x x x x x +-++<, 整理得()()001210x x x x -+-<⎡⎤⎣⎦,令()()001210x x x x -+-=⎡⎤⎣⎦,解得x ==且022x +>>所以210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫⎪+⎝⎭,故C 正确;对于选项D:因为()()()20000222222b c x x x x +=+++=+-≥-, 当且仅当02x =-时,等号成立, 所以b c +有最小值为2-,故D 错误; 故选:AC.13．答案：3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：因为0x >,令()10,11t x =∈+,则11x t=-, 则222111111t y t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()0,1t ∈, 可知21y t t =-+开口向上,对称轴为t =0112||1,|t t t y y y ======所以21y t t =-+在()0,1内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭,即22(1)x y x =+)0,+∞内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．答案：0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩(答案不唯一)解析：由题意可得:()0,0ln ,0x f x x x =⎧=⎨≠⎩符合题意.故答案为:0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩.15．答案：()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭解析：因为{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,所以{}2,3,7B C =, 图中阴影部分表示的集合为(){}3,7B C A =U ,即{}3,7M =,由题意,233430m m -+-<或277430m m -+-<,解得6m <-或m >所以m 的取值范围是()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 16．答案：51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：因为()2121212121x x x x f x -+-===-++()121121x f x --=-+,()()1111312221232212221221x x x x x x g x ----⎛⎫⨯+++ ⎪+⎝⎭====++⨯+所以()()()151115444g x f x f x =--+=---⎡⎤⎣⎦, 因为()y f x =为奇函数,则()14y f x =-也奇函数, 所以()g x 关于点51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭对称, 故答案为:51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭17．答案：（1）{}13A B x x =<<（2）01m <≤解析：（1）当1m =时,{}{}212043A x x x x x =+-<=-<<, {}13B x x =<<,所以{}13A B x x =<<.（2）化简{}21202m A x x mx x ⎧-+⎪=+-<=<<⎨⎪⎪⎩⎭, {}{}222(0)B x x m x m x m m =-<=-<<+>,若B A ⊆,则1m <≤. 18．答案：（1）()21,22x f x x x -=≠- （2）()2,2-解析：（1）令2132222x t x x -==+≠--,则x =则()f t =()212x f x x -=-,2x ≠. （2）因为211x -≤,11x --≤-,因为()2122x f x x -==-),2-∞内单调递减, 若()()211f x f x -<--,则211x x ->--,即220x x --<, 则2020x x x ≥⎧⎨--<⎩或2020x x x <⎧⎨+-<⎩,解得02x ≤<或20x -<<, 所以不等式()()211f x f x -<--的解集为()2,2-. 19．答案：（1）1a =（2）证明见解析解析：（1）因为())2log f x x =是奇函数,则()()0f x f x +-=,可得))()222222log log l 0og log x x x a x a +==+-=,解得1a =. （2）由（1）可知:())2log f x x =,x>=≥-0x >对任意x ∈R 恒成立,所以()f x 的定义域为R .对任意1x ,[)20,x ∈+∞,且120x x ≤<,则2212111x x ≤+<+,可得1≤<所以121x x ≤<,则))2122log log x x <,即()()12f x f x <, 所以()f x 在[)0,+∞内单调递增,又因为()f x 为奇函数,则()f x 在(],0-∞内单调递增, 且()f x 连续不断,所以()f x 是R 上的增函数. 20．答案：（1）()1,1-（2）12t = 解析：（1）因为()()()()()()()22222222242222224x x x x x x x x x x x x f x t t t ------⎡⎤=-++=+-++=+++-⎢⎥⎣⎦, 令222x x m -=≥=+,当且仅当22x x -=,即0x =时,等号成立, 则24y m tm =+-,2m ≥,若t =29410y m m =--,2m ≥,令294010y m m =--<,可得2m ≤<即22x x -+<()22522x x -⨯+<22x <<,可得11x -<<, 所以()0f x <的解集为()1,1-.（2）若()f x 最小值为1,结合（1）可知:24,2y m tm m =+-≥的最小值为1,因为24y m tm =+-的开口向上,对称轴为2t m =-, 若22t -≤,即4t ≥-时,24y m tm =+-在[)2,+∞内单调递增, 可知当2m =时,24y m tm =+-取得最小值,即4241t +-=,解得t =2>,即4t <-时,24y m tm =+-在2,2t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递减,在,2t ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭单调递增,可知当m =24y m tm =+-取得最小值,412t t ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭,无解;综上所述:t =21．答案：（1）1b =-,3c =-（2）证明见解析,{}- 解析：（1）因为()f x x =的解为1-,3,则11933b c b c -+=-⎧⎨++=⎩,解得13b c =-⎧⎨=-⎩. （2）由（1）可知:()23f x x x =--,且()11f -=-,()33f =, 则()()()111f f f -=-=-,()()()333f f f ==, 即1-,3也是方程()()f f x x =的解,对于()()f f x x =,即()()()22223333f x x x x x x x --=------=,整理得:()(()(310x x x x -+=,解得x =所以()()f f x x =的解集为{}-.22．答案：（1）m =14= （2）1a =-,2b =解析：（1）由()12f x mx n x =-++可知,定义域为{}2x x ≠-,其图象对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故有222m n --=-,即1m n +=,有()2m n -⨯-+===即()1324f x x x =-+72,4⎫-⎪⎭,检验计算得()()()131131442444244f x f x x x x x +--=-++---+=+--+即m ==（2）当x >-34x 都随x 的增大而减小, 故()f x 在()2,-+∞上单调递减,又()f x 在区间[],(2)a b a >-上,()f x 值域也为[],a b ,故有()()f a b f b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,即131********4a b a b a b ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩,且2a b -<<, 解得1a =-,2b =.。

北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

湖北省襄阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

湖北省襄阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α的值为（）A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-，所以3cos 5α==.故选：A.2.在平面直角坐标系中，点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号，从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<，所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限；故选：D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，设4054N =⨯，则N 所在的区间为（）A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值，结合选项即可判断．【详解】4051020423N =⨯=⨯，()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+，所以N 所在的区间为()121310,10.故选：C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，在下列不等式中，一定成立的是（）A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增，可得到()()12f f <，结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在()0,∞+单调递增，则()()12f f <，因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数，则()()()()11,22f f f f =--=--，所以()()12f f --<--，即()()12f f ->-，故A 正确，B 错误；而CD ，由于()f x 不连续，故无法判断()()2,1f f -的大小关系，故CD 错误.故选：A.6.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．7.设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为()2,7x ∈，故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解，则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又()7g x x x =+在(上单调递减，在)上单调递增，且()7112222g =+=，()()777827g g =+=>，故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选：A8.已知1,0,0x y x y +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>，所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++，当且仅当242x y x x x y +=+时，即21,33x y ==时，取等号.故选：B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可以写出函数()f x 的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时，()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数()f x 的图像如下：显然，函数()f x 没有最小值，故A 错误；根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减，故B 正确；令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃，故C 正确；由图可知，令0x =得()()200f f ==，故D 正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若,a b n >为正整数，则n n a b >B.若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<，则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <，则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ；按0x ≥和0x <时分别化简()f x ，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B 和C ；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D ．【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<.当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的，值域为()1,1-，因此B 错误，C 正确；由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -，所以D 正确，故选：ACD .【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：1.代数法：求方程()0f x =的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出()y f x =的图象，或者转化为两个图象的交点问题．12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x，则（）A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =，lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>，令()0f x =，()0g x =，得101x x x =-，lg 1x x x =-，因为10x y =与lg y x =互为反函数，所以它们的图象关于直线y x =对称，因为1111x y x x ==+--，所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点,A B 关于直线y x =对称，作出1xy x =-，10x y =与lg y x =的大致图象，如图，由图象可知A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，对于A ，由上述分析得121110,xx x =>，则11010x >，所以11211010xx x x ⋅=⋅>，故A 错误；对于B ，由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-，故B 正确；对于C ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故C 正确；对于D ，()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭，当且仅当2211x x x x =，即122x x ==时，等号成立，显然(2)2lg 20g =-≠，则22x ≠，故等号不成立，所以124x x +>，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，而1x y x =-的图象也关于y x =对称，从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径623r ==，所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，若点P 是角θ终边上的一点，则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ，再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，令21x +=，则=1x -，1y =，所以()1,1P -，所以sin 2θ==.故答案为：2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以其定义域为{}0x x ≠，又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减，所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，又()119f =，所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <，所以()()3log 1fx f <，则3log 1x >，则3log 1x <-或3log 1x >，解得103x <<或3x >，所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，即每过两个单位，将()f x 的图象向右平移2个单位，同时将对应的y 坐标变为原来的两倍，再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，L ，21n x n =-，则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ，因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，所以216n =，得4n =，结合图象，可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{}|211B x m x m =-<≤+.（1）当0m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x -<≤（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由题意得到B 是A 的真子集，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =，所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩，解得142x <≤，所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，当0m =时，集合{11}B x x =-<≤，所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，因为{}|211B x m x m =-<≤+，当B =∅时，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；当B ≠∅时，则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩（等号不同时成立），解得324m ≤<，综上，34m ≥，故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】（1）112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A可知；（2）采用换元法令[]42,4xt =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数，给定区间I ，对于函数()f x 满足性质P ：存在x I ∈，使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..（1）设[)()0,,I f x =+∞=，判断()f x M ∈是否成立并说明理由；（2）设(]()20,1,log I g x a x ==+，若()g x M ∈，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x M ∈，理由见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可；（2）根据函数满足性质P 的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.【小问1详解】()f x M ∈，理由如下：因为[)()0,,I f x =+∞=，取1x =，此时()()2122f f =>=，所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+，()g x M ∈，所以存在(]0,1x ∈，使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++，所以221log x a x +≥，令()()221log 01x h x x x +=<≤，令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，因为01x <≤，所以11x ≥，所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)1,h x ∈+∞，则1a ≥，所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且()f x 在()0,∞+上单调递减．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解关于x 的不等式()()122f x f -+≥．【答案】（1）证明见解析；（2）13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=．令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数得证；【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+，所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥，所以()()221f x f -≥，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递减，所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩，即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【解析】【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.（1）求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集；（2）函数()()20,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）()2,+∞（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出()f x 的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+，由此得解；（2）将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断ln(21)20n n -++>，再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+，由101x x ->+，可得11x -<<，即()f x 的定义域为()1,1-；又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()ln 20f f x f +>，可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-，所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩，即()1ln 2f x -<<-，即111ln ln 12x x --<<+，即111e 12x x -<<+，解得1e 13e 1x -<<+，则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭；【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x ≤<时，()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 的值域为(],0-∞；若1a >，则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减，所以()g x 的值域为(]2,1a -，此时只需20a -<，即2a >，所以2a >；若01a <<，则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增，可得()g x 的值域为[)1,2a -，此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a 的范围是()2,+∞；【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，理由如下：因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭，所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭，因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减，所以当1x >时，()(1)0h x h <=，所以(21)0h n +<，即[]1n(21)(21)10n n +-+-<，即ln(21)20n n +-<，所以ln(21)20n n -++>，即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

2022-2023学年河北省高一上学期月考(12月)数学试卷含解析

2022-2023学年河北省高一上学期月考(12月)数学试卷含解析

2022-2023学年河北省高一上学期月考（12月）数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 不等式x2>8的解集是( )A. (−2√2,2√2)B. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)C. (−4√2,4√2)D. (−∞,−4√2)∪(4√2,+∞)2. 函数f(x)=e x+lnx，g(x)=e−x+lnx，g(x)=e−x−lnx的零点分别是a，b，c，则( )A. a<c<bB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3. 考察函数：①y=|x|②y=|x|x ③y=−x2|x|④y=x+x|x|，其中(0,+∞)在上为增函数的有( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 函数f(x)=log a(x2−4x−5)(a>1)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (5,+∞)5. 若命题“∀x∈R，kx2−kx−1<0”是真命题，则实数k的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. (−∞,−4]∪(0，+∞)D. (−∞,−4)∪[0，+∞)6. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(−2,2)内有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y =f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C.D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{14}P x x =∈<N ∣，集合{}260Q x x x =--∣，则P Q =（ ） A ．(1,3] B ．{2，3} C ．{1，2，3} D ．(1,4]【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合Q ，再用列举法表示集合P ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由260x x --，即()()320x x -+，解得23x -≤≤，所以{}{}223|60|Q x x x x x =---≤=≤，又{}{14}2,3,4P x x =∈<=N ∣，所以2,3P Q，故选：B2．已知α为第三象限角，且5cos 13α=-，则tan α的值为（ ） A ．1213-B ．125C ．125-D ．1213【答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系可得sin α，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】∵α为第三象限角，且5cos 13α=-，∴12sin 13α==-， 故12sin 1213tan 5cos 513ααα-===-. 故选：B. 3．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：因为11x<，所以10x x -<，(1)0x x ∴-<，(1)0x x ∴->，0x ∴<或1x >，当1x >时，0x <或1x >一定成立，所以“1x >”是“11x<”的充分条件；当0x <或1x >时，1x >不一定成立，所以“1x >”是“11x<”的不必要条件． 所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件． 故选：A4．已知函数()y f x =对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()20.8a f =，()()0.82log 0.8,2b f c f ==，则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．a c b <<【答案】A【分析】由题意可得()f x 是增函数，再根据20.82log 0.80.82<<，即可求出答案.【详解】由对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，可得()f x 是增函数， 再由20.820.8(0,1),log 0.80,21∈<>，所以20.82log 0.80.82<<，所以b a c <<. 故选：A.5．若{}210,,a a ∈，则a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】本题首先可根据{}210,,a a ∈得出1a =或21a =，然后对1a =、21a =进行分类讨论，即可得出结果.【详解】因为{}210,,a a ∈，所以1a =或21a =，若1a =，则21a a ，不满足元素的互异性，排除；若21a =，则1a =-或1（舍去），1a =-，此时集合为{}0,1,1-， 故选：A.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数，集合中的元素需要满足确定性、互异性以及无序性，考查计算能力，是简单题.6．已知函数()log 11a y x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点()00,A x y ，且满足001mx ny +=，其中m ，n 是正实数，则21m n+的最小值（ ） A ．4 B．C ．9D【答案】C【分析】由对数函数解析式易知(2,1)A ，则有21m n +=，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件.【详解】由log (1)1a y x =-+过定点(2,1)， ∴21m n +=， ∴22(21(521)2)m n m n m n m n n m +=++=++59≥+=，当且仅当22m n n m =，即13m n ==时取等号． 故选：C ．7．下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（ ） A ．21xy x =+B ．21x xy x +=+C ．y x =D ．1y x x=-【答案】C【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A ：函数定义域为R ，且22()()1()1x xf x f x x x --==-=-+-+，故为奇函数，当0x >时1()1f x x x=+，而1y x x =+在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 故()f x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合； B ：函数定义域为{|1}x x ≠-，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合； C ：函数定义域为R ，且()()f x x f x -=-=-，故为奇函数，函数单调递增，符合； D ：函数定义域为{|0}x x ≠，且11()()()f x x x f x x x-=--=--=--，故为奇函数，函数分别在(,0)-∞、(0,)+∞上递增，整个定义域不递增，不符合.故选：C8．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 2【答案】C【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图是一个半圆，求得l 与r 之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，22l r l r ππ∴=⇒=， 圆锥的表面积为27π，22327r rl r ππππ∴+==， 3r ∴=， 故圆锥的底面半径为3cm ， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.9．已知函数()10,0{?,0x x f x lgx x -≤=>，函数()()()()24g x f x f x m m R =-+∈,若函数()g x 有四个零点，则实数m 的取值范围是 A ．[)lg5,4 B ．[)34， C ．[){}34lg5⋃， D ．(],4-∞【答案】B【详解】画出函数()10,0,0x x f x lgx x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图所示．设()t f x =，由()()()240g x f x f x m =-+=，得240t t m -+=，由题意得方程240t t m -+=在[1,)+∞上有两个不同的实数解，所以216401410m m ∆=->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得34m ≤<．点睛：已知方程解的个数（或函数零点的个数）求参数的取值范围时，可通过分离参数的方法将问题转化为求函数的值域问题处理；也可构造两个函数，在同一坐标系内画出两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解．二、多选题10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()f x =()g x =B ．()f x x =与()g x =C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()21f x x x =-+与()21g t t t =-+【答案】BCD【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.【详解】解：对于A 选项，函数()f x =(][),11,-∞-⋃+∞，()g x =定义域为[)1,+∞，故错误；对于B 选项，()f x x =与()g x =R ，且()g x x =，满足，故正确； 对于C 选项，函数()xf x x =与()1,01,0xg x x >⎧=⎨-<⎩的定义域均为{}0x x ≠，且()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩，满足，故正确；对于D 选项，()21f x x x =-+与()21g t t t =-+的定义域与对应关系均相同，故正确.故选：BCD11．已知函数)123f x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，然后逐一判断即可.故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD12．已知函数1|ln(2),2()12,22x x x f x x -⎧-⎪=⎨+≤⎪⎩，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间是[1,2][3,)+∞B ．若函数()()g x f x m =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是35,22⎧⎫⎛⎫+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭C ．若函数()()g x f x m =-有四个零点123,,x x x ，4x ，则3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦D ．若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A ，数形结合将问题转化为()f x 的图象与直线y m =有三个交点即可判断选项B ，根据题意，作出图象，确定有四个交点时122x x +=，43122x x =+-，利用双勾函数性质求出34x x +的取值范围，即可求解选项C ，根据一元二次方程的根结合()f x 的图象，数形结合可判断选项D. 【详解】利用函数图象变换，作图如下：由图可知，函数()f x 的单调递增区间是[1,2],[3,)+∞，故A 错误； 函数()()g x f x m =-恰有三个零点，即()f x 的图象与直线y m =有三个交点，所以3m =或5m >，故B 正确；函数()()g x f x m =-有四个零点，则3522m <≤， 不妨设123x x x <<<4x ， 令3|ln(2)|2x -=，解得32e 2x -=+或32e 2+， 令5|ln(2)|2x -=，解得52e 2x -=+或52e 2+， 所以由图可知， 53352222123401,12,e2e2,e 2e 2x x x x --≤<<≤+≤<++<≤+，则有12|1||1|112222x x --+=+，即1211112222x x -+-+=+， 所以1211x x -+=-，所以122x x +=，34|ln(2)||ln(2)|x x -=-，即34ln(2)ln(2)x x --=-， 则43122x x =+-，所以3433331122422x x x x x x +=++=-++--， 设532232e ,e t x --⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则对钩函数1()4f t t t =++在5322e ,e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以555333222222max ()(e )e e4,()(e )e e4f t f f t f ----==++>=++，所以335522224()4,f e e t e e --⎛⎤++++ ⎝∈⎥⎦，即33552242234,4x e e x e e --⎥+⎛⎤+++∈+ ⎝⎦又因为122x x +=，所以3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦，故C 正确；令2[()]2()0f x af x -=，解得()0f x =或()2f x a =， 由()0f x =解得3x =，所以()2f x a =有三个不同的解，由B 选项分析过程可知322a =，或522a >，解得34a =，或54a >，所以实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，故D 正确；故选:BCD.有三个交点，选项C 中，根据()f x 的图象与直线y m =有四个交点，确定四个零点分布的位置，并根据解析式确定122x x +=和43122x x =+-，利用换元思想将34x x +变为单变量函数，利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.三、填空题13．已知函数()()2f x g x =()()⋅f x g x __________.【答案】()()(()2,f x g x x x =∈-+∞【分析】相乘后得到新函数，定义域需要也需要求解.【详解】()()2f x gx x ⋅=10x x +>⎧⎪⎨⎪⎩，所以(()2,x ∈-+∞.【点睛】利用已有的函数求解新的函数解析式时，一定要注意函数的定义域，若定义域非实数集一定要记得将定义域写在末尾.14．已知函数2()x f x e ax =-，对任意12,(,0)x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】(,]2e-∞【分析】确定函数为偶函数，再判断函数的单调性得到2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】|()|2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=--=-=，即()f x 为偶函数， 又对120,0x x <<且12x x ≠，都有2121()(()())0x x f x f x --<， 知()f x 在(,0)-∞上单调递减，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则当0x >时，()20x f x e ax '=-≥，即2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立， 令()x e g x x =，0x >，则2(1)()x e x g x x '-=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)1e g e ==， ∴2a e ≤，即2e a ≤．故答案为：(,]2e-∞．15．已知集合sin 2,,123A y y x x ππ⎧⎫⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{}cos ,0B y y x x π==<<，则A B =_______．【答案】112⎛⎫⎪⎝⎭， 【分析】分别求两个集合，再求交集.【详解】,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2,12y x ⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦，()0,x π∈ ()cos 1,1y x ∴=∈-，所以1,12A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，()1,1B =-，所以1,12A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭16．函数()2()lg 2f x x x =+-定义域是___________．【答案】(1,]2π-【解析】利用余弦函数的性质、结合对数的定义进行求解即可.【详解】由题意可知：2cos 022()12220212x k x k k Z x x x x πππππ⎧≥-≤≤+∈⎧⎪⇒⇒-<≤⎨⎨+->⎩⎪-<<⎩. 故答案为：(1,]2π-四、解答题17．计算：（1）112416254-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3332log 2log32log 8-+；（3） （4）2345log 3log 4log 5log 2⨯⨯⨯． 【答案】（1）1；（2）0；（3）18；（4）1.【解析】利用指数与对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】（1）11224162522514-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.（2）3333333342log 2log 32log 8log log 32log 8log 8log 10324⎛⎫-+=+=⨯== ⎪⎝⎭-.（3）111362233 1.512⨯⨯⨯⨯111136623233342⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭22318=⨯=.（4）234513141512log 3log 4log 5log 2112131415g g g g g g g g ⨯⨯⨯=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质、换底公式，掌握运算性质是解题的关键，属于基础题. 18．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）cos 2y x =+； （2）4sin y x =； （3）1cos32y x =；（4）π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析. 【分析】（1）根据五点法列表描点作图即可； （2）根据五点法列表描点作图即可； （3）根据五点法列表描点作图即可； （4）根据五点法列表描点作图即可； 【详解】解：（1）列表描点，并用光滑的曲线连接即可cos 2y x =+在[]0,2π上的图象，（2）列表 x2π π32π2πsin y x =0 10 1-0 4sin y x =4 04-描点，并用光滑的曲线连接即可得4sin y x =在[]0,2π上的图象，（3）列表3x2π π32π2πx6π3π 2π23π1cos32y x =1212-12描点，并用光滑的曲线连接即可得1cos32y x =在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，（4）列表π26x -2π π32π2πx12π3π712π56π1312ππ3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 033-描点，并用光滑的曲线连接即可得π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在13,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，19．已知函数()243f x ax x =++．(1)若关于x 的不等式2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求,a b 的值． (2)求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集． 【答案】(1)7a =-；37b =-(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式解的特点可得1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根，由此可代入1x =求得7a =-，再将7a =-代入不等式求得37b =-；（2）由题意得()()410ax x ++>，对0a =，a<0，04a <<，4a =与4a >五种情况分类讨论即可得到结果.【详解】（1）因为2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<， 所以1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根，且a<0， 将1x =代入2430ax x ++=，得430a ++=，则7a =-，所以不等式2430ax x ++>为27430x x -++>，转化为()()1730x x -+<， 所以原不等式解集为317xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，所以37b =-.（2）因为()243f x ax x =++，所以由()1f x ax >--得2431ax x ax ++>--，整理得()2440ax a x +++>，即()()410ax x ++>，当0a =时，不等式为440x +>，故不等式的解集为{}1x x >-； 当0a ≠时，令()()410ax x ++=，解得4x a=-或=1x -， 当a<0时，()4410a a a ----=>，即41a ->-，故不等式的解集为41x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣； 当04a <<时，41a -<-，故不等式的解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当4a =时，41a-=-，不等式为()210x +>，故其解集为{}1x x ≠-； 当4a >时，41a->-，故不等式的解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭；综上：①当a<0时，原不等式解集为41xx a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣； ②当0a =时，原不等式解集为{}1x x >-；③当04a <<时，原不等式解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；④当4a =时，原不等式解集为{}1x x ≠-； ⑤当4a >时，原不等式解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭.20．在①()()()b a b a c b c +-=-；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积．问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =，_________？【答案】条件选择见解析，【分析】选①：结合正弦求出边c ，利用余弦定理求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果； 选②：合正弦求出边c ，利用平面向量数量积的定义求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果；选③：合正弦求出边c ，利用二倍角公式以及降幂公式得到关于角A 的方程，进而解方程求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果；【详解】解：因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==， 选①：因为()()()b a b a c b c +-=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选②：若4AB AC ⋅=，故||||cos 4AB AC A ⋅⋅=， 则1cos 2A =，∵(0,)A π∈，故3A π=，所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=， 故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去）， ∵(0,)A π∈，故3A π=．所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=21．若{},0,1A a =-，1,,1B c b b a ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，且A B =，()2f x ax bx c =++. （1）求()f x 解析式；（2）若[]1,2x ∈-时，求()f x 的值域；（3）若[]1,x m ∈时，()[]1,f x m ∈，求实数m 的值.【答案】(1)()222f x x x =-+；(2)[] 1,5；(3)2. 【分析】（1）由集合相等，可求得,,a b c ，从而求得函数解析式； （2）简单二次函数的值域求解，配方即可；（3）由对称轴知，二次函数在该区间上单调递增，则该二次函数过点()1,1和(),m m ，解方即可. 【详解】（1）由A B =，可得：1a =，1b a +=-，0b c +=，解得：1,2,2a b c ==-=，故：()222f x x x =-+.（2）()222f x x x =-+=()211x -+故：当1x =时，取得最小值1； 当1x =-时，取得最大值5.故该函数的值域为[]1,5.（3）由解析式可得，对称轴为：1x =， 故该二次函数在[]1,m 上单调递增，故： ()()11f f m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩整理得21122m m m =⎧⎨-+=⎩ 解得1m =或2m =，又1m >， 故2m =.【点睛】本题考查集合的相等、二次函数的值域、二次函数的基本性质，属基础题.22．某工厂第一季度某产品月生产量分别为100件､120件､130件.为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：件）与月份x 的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+（其中a ，b ，c 为常数）.已知4月份的产量为136件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？【答案】135件比130件更接近于4月份的产量136件，选用指数型函数，()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.【分析】利用待定系数法得到函数的表达式，即可作出判断.【详解】解：选二次函数作为模拟函数时，设2()(0)f x px qx r p =++≠，由已知1004212093130p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得53570p q r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故2()53570f x x x =-++，2(4)5435470130f =-⨯+⨯+=件；选指数型函数()(0)x g x ab c a =+≠作为模拟函数时，由已知23100120130ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得800.5140a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()800.5140x g x =-⨯+，4(4)800.5140135g =-⨯+=件，经比较可知，135件比130件更接近于4月份的产量136件，故选用指数型函数 ()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.。

高一数学月考试题答案

高一数学月考试题答案

1 4
2log2 3
lg25
lg
1 4
1 25
3
2
3
1.
3
（2） 92 (2
3
1)0
1 64
1 3
32
3 2
1
1 4
3
1 3
27 1
4
32
.
18．解（1）当 a 2 时，M x 2 x 5, N x 3 x 5, ðR N x x 3或x 5,
M (ðRN ) x 2 x 3;
所以广告费用为 22 万元时，厂家的年利润最高.
22.（1） f (x) a（x 1）2 a b(a 0) ,
f (1) 1
a 1
因为
a
0
,故
f
(4)
10
,解得
b
2
．
（2）由已知可得
g
(x)
x
2 x
2
，设
2 x1 x2 ，
∵
g ( x1 )
g(x2)
( x1
x2 )(1
2 x1x2
又由当 x 3时，函数 f x x2 8x 18 (x 4)2 2 ，
当 x 4 时，函数取得最小值
f
x min
f
(4)
2
所以由图象可得 y f (x) 与 y 2 的图象有 2 个交点， 即函数 g (x) f (x) 2 恰有 2 个零点．
故答案为: 2 ．
三、解答题
17．解（1） lg
3, x x 3,
( ,1) x [1,3]
(3,
)，
由 f x 的图象知，当 x 3 时，由 x2 4x 3 1 可得 x 2 2 .

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（ ）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（ ）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1） 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x N x =∈<<，那么下列关系正确的是（ ）A AB ．3A ∈C ．A ⊆D ．{}3A ∈【答案】B【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可. 【详解】集合{}{}152,3,4A x x =∈<<=N ，对选项A A ，故A 错误； 对选项B ，3A ∈，故B 正确；对选项C A ，故C 错误；对选项D ，{}3表示集合，{}3A ∈表示错误，故D 错误. 故选：B.2．设20.6a =，0.62b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解. 【详解】解：∵200.61<<，∴01a <<， ∵0.60221>=，∴1b >， ∵22log 0.6log 10<=，∴0c <， ∴b a c >>， 故选：C.3．若正数a 、b 满足4a b +≤，则下列各式中恒正确的是（ ）A ．112ab ≥； B ．111a b+≥；C 2≥；D ．221162ab a b ≥-+．【答案】B【分析】由条件可得4ab ≤，可判断AC ，由11111()()14a b a b a b+≥++≥，可判断C ，由22162a a b b+≤-可判断D.【详解】∵0,0,4a b a b >>+≤，∴202a b ab +⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，∴2042a b ab +⎛⎫<≤≤ ⎪⎝⎭，∴114ab ≥，可取到14，故A 错误； ∵4a b +≤，∴1111111()()(2)(21444b a a b a b a b a b +≥++=++≥+=， 当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；2，故C 错误； 由222()2162a b ab ab a b =+-≤-+，∴2211612a b ab+≥-，取1a b ==，2211121426a b ab <-==+，221162ab a b ≥-+不成立，故D 错误.故选：B ．4．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q+； B ．()()1112p q ++-； C D 1．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++，解得11x =，21x =，因为20x <不合题意，舍去故选D ．5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，10【答案】B【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.6．下列函数中，函数图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．21y x =- C ．12y x = D ．12log y x =【答案】B【分析】根据题意函数为偶函数且在()0,∞+上单调递增，对选项进行逐一验证. 【详解】函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数， 选项A. 2x y =不是偶函数，故排除.选项B. 21y x =-是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，满足条件. 选项C. 12y x =不是偶函数，故排除.选项D. 12log y x =是偶函数，当0x >时，12log y x=是减函数，不满足.故选：B7．已知函数()242,1,,1,x x ax x f x a x ⎧-+<=⎨⎩对于任意两个不相等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围. 【详解】由题可得，函数()f x 为单调递减函数， 当1x <时，若()f x 单减，则对称轴21x a =≥，得：12a ≥, 当1x ≥时，若()f x 单减，则01a <<， 在分界点处，应满足142a a -+≥，即35a ≤，综上：1325a ≤≤ 故选：B8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域.有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()1241etK I t -=+，其中K 为最大确诊病例数.当()00.05I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为()ln193≈（ ） A ．35 B ．36 C ．60 D ．40【答案】B【分析】根据题意列出等式，整理化简可得0ln19124t =-，解出0t 即可. 【详解】由题意知，0()0.05I t K =，得01240.051t K K e-=+，整理，得012419t e -=，即0ln19124t =-， 解得036t ≈. 故选：B二、多选题9．已知p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，则下列选项是p 的充分不必要条件的是（ ） A ．6a > B ．6a < C ．10a ≥ D ．10a ≤【答案】AC【分析】依题意由存在量词命题为真求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，得当[]2,3x ∈时，()2min26a x ≥+=，即6a ≥.对于A ，“6a >”是“6a ≥”的充分不必要条件； 对于B ，“6a <”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件； 对于C ，“10a ≥”是“6a ≥”的充分不必要条件； 对于D ，“10a ≤”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件. 故选：AC.10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29【答案】AC【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为211413327⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭,故A正确；对于B,用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则1()5P A =,1()3P B =,1()4P C =,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为42325345⨯⨯=,所以此密码被破译的概率为23155-=,故B 不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则82()123P A ==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则61()122P B ==,故取到同色球的概率为2111132322⨯+⨯=,故C 正确；对于D,易得()()P A B P BA =,即()()()()P A PB P B P A ⋅=,即()[1()]()[1()]P A P B P B P A -=-,∴()()P A P B =,又1()9P AB =,∴1()()3P A P B ==,∴2()3P A =,故D 错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键 11．设()ln 26f x x x =+-，则下列区间中不存在零点的是（ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]【答案】ACD【分析】判断(2)f 、(3)f 的符号，根据零点存在定理即可判断函数零点所在区间. 【详解】(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>，(2)(3)0f f ∴<，函数()ln 26f x x x =+-的零点位于[2,3].故选：ACD12．已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A 、C 的正误，根据基本不等式，可得选项B 、D 的正误.【详解】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=，所以21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．三、填空题13．已知函数()2f x ax bx c =++，满足不等式()0f x <的解集为()(),2,t -∞-⋃+∞，且()1f x -为偶函数，则实数t =________. 【答案】0【分析】根据偶函数定义，可得20b a -=，然后根据二次不等式的解集得到二次函数的两个零点为2,t -，然后结合韦达定理，即可解出0=t【详解】根据解集易知：a<0 ，()1f x -为偶函数，可得：()()()()221112f x a x b x c ax b a x a b -=-+-+=+-+-则有：20b a -=易知20ax bx c ++=的两根为,2t -，则根据韦达定理可得：2bt a-=-解得：0=t 故答案为：0 14．若函数()221x x f x a -+=在()1,3上递减，则函数2log (2)a y x x =-增区间________.【答案】(),0∞- 【分析】函数()221xx f x a -+=在()1,3上递减，利用复合函数的单调性可得a 的取值范围，进而可判断函数2log (2)a y x x =-增区间．【详解】设t y a =，则221t x x =-+，在()1,3上递增， 函数()221xx f x a -+=在()1,3上递减，t y a ∴=在()1,3上递减，可得01a <<∴函数2log (2)a y x x =-增区间，即22u x x =-的单调递减区间令220x x ->，解得2x >或0x < ∴函数2log (2)a y x x =-增区间为,0故答案为：,0【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查指对函数的性质，属于中档题．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数的概率是_______.【答案】14【解析】由函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数，得到2a b ≤，再结合古典概型及其概率的计算方法，即可求解.【详解】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得{}1,2,3,4,5,6a ∈，{}1,2,3,4,5,6b ∈ 又由函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数，则2ba≥，即2a b ≤， 当a 取1时，b 可取2，3，4，5，6； 当a 取2时，b 可取4，5，6； 当a 取3时，b 可取6，共9种， 又因为(),a b 的取值共36种情况， 所以所求概率为91364=. 故答案为：14.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．已知函数131()31x x f x ++=+在20211[]202-,上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m +=________.【答案】4【分析】构造()()2g x f x =-是奇函数，由奇函数的对称性求解． 【详解】设()()2g x f x =-，[2021,2021]x ∈-， 13131()()223131x x x x g x f x ++-=-=-=++，()()2g x f x -=--=131331322()311313x x xx x xg x -+-++--=-==-+++， 所以()g x 是奇函数，又max max ()()2g x f x M ==-，min min ()()22g x f x m =-=-， 所以max min ()()40g x g x M m +=+-=，4M m +=． 故答案为：4．四、解答题17．一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立的k 的取值集合为A ，函数()()2lg 56f x x x =-++的定义域为B ．(1)求集合A ，B ；(2)记C A B =，{}5D x m x m =<<+，x C ∈是x D ∈的充分不必要条件，求m 的取值范围． 【答案】(1)(3,0]A =-，()1,6B =-； (2)(5,1]--.【分析】（1）讨论0k =和0k ≠两种情况，结合判别式法求出A ，由真数大于0求出B ； （2）根据题意C 是D 的真子集，进而求得答案.【详解】（1）对A ，若0k =，则308-<，满足题意；若0k ≠，则230Δ30k k k k <⎧⇒-<<⎨=+<⎩. 综上：30k -<≤，即(3,0]A =-.对B ，()225605601,6x x x x x -++>⇒--<⇒∈-，即()1,6B =-.（2）由（1），(1,0]C A B =-⋂=，因为x C ∈是x D ∈的充分不必要条件，所以C 是D 的真子集，于是15150m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨+>⎩，即(5,1]m ∈--. 18．函数()()22log 25f x x ax a =--在(],2-∞-上单调递减，()1425x x g x a a +=--．(1)求a 的取值范围； (2)当2,2x时，求()g x 的最小值．【答案】(1)[)24-，(2)答案见解析 .【分析】(1)二次函数与对数函数复合的单调性讨论；(2)二次函数与指数函数复合的最小值，由x 的取值范围得到指数函数的取值范围，再求二次函数的最小值.【详解】（1）设()225t x x ax a =-- ，则()()()222log 25log f x x ax a t x =--=⎡⎤⎣⎦由题意可得，()202t a ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩，所以24a -≤<， 所以，a 的取值范围为[)24-，. （2）因为[]22x ∈-， ，所以22122244x -⎡⎤⎡⎤∈=⎣⎦⎢⎥⎣⎦，， . 又因为()()21242525x x x g x a a a a a +=--=--- ，若 1424xa a ⎡⎫∈=⎪⎢⎣⎭，，时，()g x 有最小值25a a --； 若112244x a ⎡⎫∈-=⎪⎢⎣⎭，，时，()g x 有最小值18816a -， 19．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）710（Ⅲ）14.68 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【详解】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. （Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人的所有可能结果是：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p =710（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）． 由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．【点睛】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．已知函数()2log 1a x f x x -=+为奇函数． (1)求实数a 的值；(2)若()()22log 430m x f x x -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[)2,+∞【分析】（1）利用奇函数定义求出实数a 的值；（2）先求解定义域，然后参变分离后求出()()22log 23g x x x =--+的取值范围，进而求出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意得：()()f x f x -=-，即22log log 11a x a x x x+-=--+，解得：1a =±， 当1a =-时，101a x x -=-<+，不合题意，舍去， 所以1a =,经检验符合题意；（2）由101x x->+，解得：11x -<<，由2430x x ++>得：1x >-或3x <-， 综上：不等式中()1,1x ∈-，()()22log 430m x f x x -+++≤变形为()()2log 13m x x ⎡⎤≥-+⎣⎦，即()()2log 13m x x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，令()()()2222log 23log 14g x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦，当()1,1x ∈-时，()(),2g x ∈-∞， 所以2m ≥，实数m 的取值范围为[)2,+∞.21．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系式为：0()ktP t P e -=（e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的45． （1）求函数()P t 的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少还需过滤几小时？（参考数据：lg 20.3≈） 【答案】（1）04()()5t P t P =（2）30【分析】（1）由题意代入点（1，45P 0），求得函数P （t ）的解析式； （2）根据函数P （t ）的解析式，列不等式求出t 的取值范围即可．【详解】解：（1）根据题设，得0045k P P e -=，45k e -∴= 所以，()045t P t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由()004151000t P t P P ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，得4151000t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 两边取以10为底的对数，并整理，得t （1﹣3lg2）≥3，∴t≥30因此，至少还需过滤30小时【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，求指数型函数的解析式，指数型不等式的解法，是中档题．22．对于函数()f x ，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“伪奇函数”． （1）已知函数()21x f x x -=+，试问()f x 是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数()()()31n g x n xn -=-∈R 使得()()2g x f x m =+为定义在[]1,1-上的“伪奇函数”，试求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使得()12423x x f x m m +=-⋅+-是定义在R 上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不是；（2）5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（3）1⎡⎣． 【分析】（1）先假设()f x 为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出()g x 的解析式，然后将问题转化为“()222x x m -=-+在[]1,1-上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m 的取值范围；（3）将问题转化为“()()22644222x x x x m m ---=-+++在R 上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m 的取值范围.【详解】（1）假设()f x 为“伪奇函数”，∴存在x 满足()()f x f x -=-，2211x x x x ---∴=--++有解，化为220x +=，无解， f x 不是“伪奇函数”；（2）()()()31n g x n x n -=-∈R 为幂函数，2n ∴=，()g x x ∴=，()2x f x m ∴=+，()2x f x m =+为定义在[]1,1-的“伪奇函数”，∴22x x m m -+=--在[]1,1-上有解，∴()222x x m -=-+在[]1,1-上有解， 令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴12m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 又对勾函数1y t t =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增， 且12t =时，52y =，2t =时，52y =， min max 5112,2y y ∴=+==，1y t t ∴=+的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 52,22m ⎡⎤∴∈--⎢⎥⎣⎦，5,14m ⎡⎤∴∈--⎢⎥⎣⎦； （3）设存在m 满足，即()()f x f x -=-在R 上有解，()1212423423x x x x m m m m --++∴-⋅+-=--⋅+-在R 上有解，()()22644222x x x x m m --∴-=-+++在R 上有解，令[)222,x x t -+=∈+∞，取等号时0x =，()222622m t mt ∴-=--+在[)2,∞+上有解，222280t mt m ∴-+-=在[)2,∞+上有解（*）， ()2244280m m ∆=--≥，解得m ⎡∈-⎣，记()22228h t t mt m =-+-，且对称轴t m =，当m ⎡⎤∈-⎣⎦时，()h t 在[)2,∞+上递增，若（*）有解，则()22222280h mt m =-+-≤，12m ⎡⎤∴∈⎣⎦，当(m ∈时，()h t 在[)2,m 上递减，在(),m +∞上递增，若（*）有解，则()222222880h m m m m m =-+-=-≤，即280m -≤，此式恒成立，(2,m ∴∈，综上可知，1m ⎡∈⎣.【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.。

2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则A B ⋃=_________.【正确答案】{1,2,3,4}直接根据并集定义得到答案.【详解】集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则{1,2,3,4}A B ⋃=.故答案为.{1,2,3,4}本题考查了并集计算，属于简单题.2．函数()f x _______________.【正确答案】(]3,1-【分析】由根式函数定义域的求法得到103xx-≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103xx-≥+，所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()f x =(]3,1-.故(]3,1-本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【正确答案】()12f x x =【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为.()12f x x =4．函数4()f x x x =+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为__________．【正确答案】174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,4上单调递减，所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以()max 172f x =，所以()f x 的值域为174,2⎡⎤⎢⎣⎦，故答案为.174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______.【正确答案】5先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求()3f 的值.【详解】因为函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，所以()()11f f -=，即()131a a --=-，解得2a =，所以()3f =5故56．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．【正确答案】(1,2)【分析】令211x -=求解即可.【详解】令211x -=，得1,2x y ==，故函数()f x 图象过定点(1,2)P ，故(1,2)7．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是_________【正确答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】利用函数是偶函数得到不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），即2≤|a |，∴a ≤﹣2或a ≥2，故(,2][2,)-∞-+∞ ．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f （a ）＝f （|a |）是解决偶函数问题的关键．8．设8log 9a =，3log 5b =，则lg 2=__________．（用a 、b 表示）【正确答案】223ab+【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】由8log 9a =，3log 5b =，则328222log 9log 3log 33a ===即32log 23a=又3332log 10log 2log 53b a=+=+233ab a +=则3lg 323aab =+2lg 33log 3lg 22a==，则lg3lg 232a =32223323a ab a ab =⨯=++，故答案为.223ab+9．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【正确答案】89根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由0∆≥，解得23m ≤，然后由()2212121222x x x x x x ++⋅=-，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m ∆=-+-≥，解得23m ≤，所以112222322,2x x x x m m m +=⋅-=+，则()2212121222x x x x x x ++⋅=-，()22232222m m m +-=-⨯，2232m m =-+，237248m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2212x x +的最小值为2237823489⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故8910．已知函数()e e ,0x xy a b a b -=+>的最小值为2，则a b +的最小值为__．【正确答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为e 0,0,0,e 0x x a b ->>>>，所以e e 2x x y a b -=+≥=，仅当ln ln 2b ax -=时取等号，又e e x x y a b -=+的最小值为2，所以1ab =，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取等号．故211．若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有aF b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【正确答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1bF b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是3的倍数，当6,3a b ==时，623a P b==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故312．已知函数2(3)1,1()11log ,14a a x a x f x x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】3(1,]2根据函数()f x ()f x 在R 上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数()f x 在R 上是增函数，所以(3)1y a x a =-+-在区间(,1)-∞上是增函数且211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上也是增函数，对于函数(3)1y a x a =-+-在(,1)-∞上是增函数，则303a a ->⇒<；①对于函数2[1,11log ,)4a y x ax x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝+∞⎭，（1）当01a <<时，12a<，外函数log a y u =为定义域内的减函数，内函数2221111(424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得01a <<时函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当1a >时，外函数log a y u =为定义域内的增函数，要使函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是增函数，则内函数2221111()424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上也是增函数，且对数函数真数大于0，即21104u x ax =-+>在[1,)+∞上也要恒成立，所以2212215111044a a a a a ⎧≤≤⎧⎪⎪⎪⇒⇒≤⎨⎨<⎪⎪-+>⎩⎪⎩，又1a >，所以12a <≤，②又()f x 在R 上是增函数则在衔接点处函数值应满足：22111531log 1044a a a a a a ⎛⎫-+-≤-+⇒+-≤ ⎪⎝⎭，化简得5322a -≤≤，③由①②③得，312a <≤，所以实数a 的取值范围是3(1,]2.故答案为.3(1,]2方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间[,]a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．二、单选题13．若实数a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．1>a b B ．222a b ab +≤C ．2b a a b+≥D ．11a b<【正确答案】B【分析】根据特殊值判断ACD ，由不等式性质判断B.【详解】当2,1a b ==-时，1ab<，故A 错误；因为222()20a b a b ab -=+->，所以222a b ab +<，故B 成立；当1,1a b ==-时，2b aa b+≥不成立，故C 错误；当当2,1a b ==-时，11a b>，故D 错误.故选：B14．函数()222x xx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除B,D ，再利用特殊值排除选项C ，进而求解.【详解】函数()222x xx f x -=+的定义域为R ，且22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++，则函数()f x 为偶函数，故排除选项B,D ；又因为当0x >时，()0f x >，故排除选项C ，故选.A15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：2001,2t v v at s v t at =+=+，22102v v as -=，现小明以加速度(0)a a ≠做匀加速直线运动，在A 地处的速度为1v ，在B 地处的速度为2v ，则它在A 地和B 地的中点处的速度3v 满足（）A ．123122v v v v v =+B ．1232v v v +=C ．1232v vv +<<D ．3v =【正确答案】D【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为22102v v as -=，所以由题意得223122s v v a -=⋅，222322s v v a -=⋅，所以3v =A 、B 、C 均错.故选：D.16．命题p ：存在R a ∈且0a ≠，对于任意的x ∈R ，使得()()()f x a f x f a +<+；命题1q ：()f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，存在00x <使得()00f x =，则下列说法正确的是（）A ．只有1q 是p 的充分条件B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【正确答案】C【分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减可得出()()()()f x a f x f x f a +<<+，对于命题2q ：当00a x =<时，()()00f a f x ==，结合()f x 单调递增可得出()()f x a f x +<，进而可得()()()f x a f x f a +<+，由充分条件的定义可判断1q ，2q ，进而可得正确选项.【详解】对于命题1q ：当0a >时，x a x +>，因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +<，因为()0f x >恒成立，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题1q 可得出p 成立，所以1q 是p 的充分条件；对于命题2q ：当00a x =<时，x a x +<，()()00f a f x ==，因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题2q 可得出p 成立，所以2q 是p 的充分条件；所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}22|440,{||25|3}A x x x a B x x =--+≤=-≥.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)当“x A ∈”是“B R ð”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,1][4,5]- (2)(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）将3a =代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合,A B ，再根据集合的交运算即可求解.（2）求出B R ð，根据题意可得()B R ðA ，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当3a =时，{}{}{}22244045015A xx x a x x x x x =--+≤=--≤=-≤≤∣，{||253}{|253B x x x x =-≥=-≥∣或253}x -≤-{|4x x =≥或1}x ≤，所以{11A B x x ⋂=-≤≤或}[][]451,14,5x ≤≤=-⋃.（2）由（1）可得()1,4R B =ð，{}()()()(){}22440220A x x x a x x a x a ⎡⎤=--+≤=+--+≤⎣⎦∣∣，当0a >时，{}22A x a x a =-≤≤+，当0a =时，{}2A =，当0a <时，{}22A x a x a =+≤≤-，“x A ∈”是“R x B ∈ð”的必要不充分条件，则()B R ðA ，显然0a =，不成立；当0a >时，2124a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式可得2a ≥，此时2a ≥；当0a <时，2124a a +≤⎧⎨-≥⎩，解不等式可得2a ≤-，此时2a ≤-，所以实数a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞ .18．已知11()f x a x=-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(2)判断函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性并证明.【正确答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）函数()y f x =是非奇非偶函数，理由如下：由题意可知，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()1111()f x a x a x -=-=+-，11()f x a x-=-+，所以()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()y f x =是非奇非偶函数；（2）函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，因为120x x <<，所以121212120,00,x x x x x x x x --<<>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上是增函数.19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合01()(12)kt m c t kV-=-，其函数图象如图所示，其中V 为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2ktc t c -=⋅，其中c为停药时的人体血药浓度．(1)求出函数1()c t 的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【正确答案】(1)()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）令0m N KV=，则1()(12)kt c t N -=-，由图象可知，图象经过(4,8)，(8,12)两点，则()()481281212k k N N --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1614N k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度为15时为最迟停止注射时间，故()141161215t c t -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，解得16t =，浓度从15降到4为最长间隔时间，故142()1524t c t -=⨯=，即144215t -=，两边同时取以2为底的对数，则14224log 2log 15t -=，即221lg(310)lg152log 4log 15224lg 2lg 2t ⨯⨯-=-=-=-lg31lg 20.4810.322 1.93lg 20.3+-+-=-≈-=-，所以 1.9347.7t =⨯≈，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．已知幂函数223()()m m f x x m -++=∈Z 是奇函数，且()f x 在(0,)+∞为严格增函数．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求2212log ()log [2()]y f x f x =-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】（1）0m =，3()f x x =；（2）162x -=时取到最小值为34；2x =时，取得最大值13．（1）由()f x 单调递增得出312m -<<，又m Z ∈，得0m =或1m =，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为()222log 13log 9y x x =++，令2log t x =可得213964y t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，在(0,)+∞为增函数，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数，不符合题意；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log y x x x x =-++=，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2213319649y t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=，所以2193t t y ++=在11,6t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，当16t =-即21log 6x =-，162x -=时min 34y =；因为1517(1)16666⎛⎫---=<--= ⎪⎝⎭，当1t =时，即2log 1x =，2x =时max 93113y =++=.本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数．(1)当1a =时，解不等式()2f x <的解集；(2)当6a =时，写出函数()y f x =的单调区间；(3)若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i = ，122021x x x <<<L ，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-++-= ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(,2)-∞(2)增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，减区间为[3,6](3)(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x x =-，当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<，所以12x <<，当1x =时，()02f x =<成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <，综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）当6a =时，()226,666,6x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以由二次函数的单调性知，()f x 的严格增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，严格减区间为[3,6]；（3）①当0a ≤时，()()f x x x a =-在[0,2]上严格增，所以12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211(()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得2a ≤-；②当4a ≥时，()()f x x a x =-在[0,4]上严格增，12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得6a ≥，③当24a ≤<时，()f x 在[0,]2a 上严格增，在[],22a 上严格减，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-++- ()()0222a a f f f f ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224(4)4442a a a a =⨯-+=-+<，不满足条件，④当02a <<时，()f x 不单调，max ()max{(),(2)}42a f x f f =<，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x-+-++- max 2()8f x ≤<，不满足条件，所以实数a 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ ．关键点点睛：本题的关键在于求12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对a 需结合单调性分类讨论.。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(含答案解析)

四川省成都市第七中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(含答案解析)
对于B， ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C， ，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D， ， ，当且仅当 时，等号成立，故D错误；
故选：ABC
10.关于 的方程 有两个大于 的实数根的充分条件可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由一元二次方程根的分布列式求解，再由充分条件的概念判断，
I.当 时，函数 显然单调递增，
所以 ， ，
由题意可得 ，
这与 矛盾，故舍去；
II，当 时， 在 单调递减， 单调递增，
①.当 时，即 ，所以 ，
由题意可得 ，
这与 矛盾（舍去）.
②．当 时，即 ，
所以 ，
，
由题意得 ，
a.当 时，此时 ，
所以
，故 ，
而 ，故 ，
b.当 时，此时 ，所以
，
故 ，
而 ，
由当 时，不等式 恒成立，即 ， ，则函数 在 上单调递减，
故 ， ， ， ， ， 或 ，解得 ，
故选：B.
8.设 ，其中 ．若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A.RB. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设 ， ，
因为设 ，对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，
3.函数 的定义域是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分式及对数成立的条件可得 ，解不等式可求答案．
【详解】由题意可得，
解不等式可得，﹣1＜x≤1
∴函数的定义域为（﹣1，1]
故选C.
【点睛】本题考查了含有对数与分式的函数的定义域的求解，是基础题．

2022-2023学年山西省古交市校高一年级上册学期第三次月考(12月)数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省古交市校高一年级上册学期第三次月考(12月)数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省古交市第一中学校高一上学期第三次月考（12月）数学试题一、单选题1．设集合{}{}04,13M x x N x x =<<=-≤≤，则M N ⋂=（ ） A ．{}10x x -≤≤ B ．{}14x x -≤< C ．{}13x x -≤≤ D ．{}03x x <≤【答案】D【分析】由交集的定义计算即可.【详解】因为{}{}04,13M x x N x x =<<=-≤≤， 所以M N ⋂={}03x x <≤. 故选：D.2．在0~360范围内，与70-终边相同的角是（ ）A ．70B ．110C ．150D ．290【答案】D【解析】根据终边相同的角的定义即可求解.【详解】与70-终边相同的角的为()70360k k Z -+⋅∈， 因为在0~360范围内， 所以1k =可得70360290-+=， 故选：D.3．方程3log 5x x =-的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】构造函数()3log 5f x x x =+-，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间.【详解】构造函数()3log 5f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上为增函数， 所以，函数()3log 5f x x x =+-至多只有一个零点，()140f =-<，()32log 230f =-<，()310f =-<，()34log 410f =->，由零点存在定理可知，方程3log 5x x =-的根所在的区间为()3,4. 故选：D.【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题.4．已知函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ） A ．9- B ．9C ．19-D ．19【答案】D【分析】根据题意，直接计算即可得答案. 【详解】解：由题知，211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D5．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．()22lg (lg )lg x y x y ⋅=+B ．1lg(lg lg 2x x y =+C ．ln ln x y e x y +=+D ．ln ln x y e xy ⋅=【答案】B【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果.【详解】A 中，()22lg lg lg =2lg lg x y x y x y ⋅=++，故A 不正确；B 中，(1lg lg lg lg 2x x x y =+=+，故B 正确；C 中，ln ln ln ln x y x y e x e e y +=⋅=，故C 不正确；D 中，()ln ln ln ln ln yx y x y e e x ⋅==，故D 不正确.故选：B.6．:p 30α=是:q 1sin 2α=成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【详解】若α=30∘则1sin 2α=，若1sin 2α=，则()30360k k Z α=︒+︒∈或()150360k k Z α=︒+︒∈， 故p 是q 成立的充分不必要条件． 故选：B7．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为22log 3log 21a =>=，1020331c -<=<=，1122log 31log 0b =<=，所以a c b >>. 故选：D8．已知函数()20.5()log 3f x x ax a =-+在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[4,4]-D ．(4,4]-【答案】C【分析】令2()3g x x ax a =-+，则函数()g x 在(2,)+∞内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a 的取值范围【详解】解：令2()3g x x ax a =-+，∵ ()20.5()log 3f x x ax a =-+在(2,)+∞上单调递减，∴ ()g x 在(2,)+∞内递增，且恒大于0，22a∴≤且(2)0g ≥， 44a ∴-≤≤．故选：C ．二、多选题9．下列计算成立的是（ ） A ．222log 8log 4log 42-== B ．333log 5log 4log 92+== C ．lg 2lg5lg101+== D ．322log 23log 23==【答案】CD【分析】利用对数运算确定正确选项. 【详解】对于A 选项，22228log 8log 4log log 214-===，故A 选项错误. 对于B 选项，()3333log 5log 4log 54log 20+=⨯=，故B 选项错误. 对于C 选项，()lg2lg5lg 25lg101+=⨯==，故C 选项正确.对于D 选项，322log 23log 23==，故D 选项正确.故选：CD10．下列命题是存在量词命题且是真命题的是（ ） A ．存在实数x ，使220x +<B ．存在一个无理数，它的立方是有理数C ．有一个实数的倒数是它本身D ．每个四边形的内角和都是360° 【答案】BC【分析】根据已知逐个判断各选项即可得出结果.【详解】对于A.是存在量词命题，但不存在实数x ，使220x +<成立，即为假命题，故A 错误， 对于B,2为有理数，故B 正确， 对于C,是存在量词命题，例如1的倒数是它本身，为真命题，故C 正确， 对于D,是全称量词命题，故D 错误， 故选：BC11．下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．若tan 2α=，则sin cos 3sin cos αααα+=-C ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πD ．终边经过点()(),0m m m >的角的集合是2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BCD【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论． 【详解】766πππ-=--，是第二象限角，故A 错误； 若tan 2α=，则sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--，故B 正确；圆心角为3π的扇形的弧长为π，扇形的半径为33ππ=，面积为13322ππ⨯⨯=，故C 正确；终边经过点()(),0m m m >，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故D 正确； 故选：BCD12．已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（ ） A ．0<a <1B ．129222,2x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D ．)12222,3x x ⎡+∈⎣【答案】ACD【分析】A 选项：将方程()f x a =的解转化为函数()f x 与y a =图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到a 的范围；BCD 选项：由题意可得2122log log x x -=，整理得121=x x ，利用二次函数的对称性得到348x x +=，然后利用对勾函数的单调性求范围即可.【详解】函数()f x 的图象如上所示，方程()f x a =的解可以转化为函数()f x 与y a =图象交点的横坐标，由图可知01a <<，故A 正确； 由题意可知2122log log x x -=，即212log 0x x =，解得121=x x ，由图可知212x <<，所以1222122x x x x +=+，令2212=+y x x ，则函数2212=+y x x 在()1,2上单调递增，当21x =时，3y =，22x =时，92y =，所以122x x +的范围为93,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错； 函数2813y x x =-+的对称轴为4x =，所以348x x +=，又121=x x ，所以12342218x x x x x x +++=++，函数()22218g x x x =++在()1,2上单调递增，()110g =，()2122g =，所以12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 122222x x x x +=+，函数()2222h x x x =+在(上单调递减，)2上单调递增，h=()13h =，()23h =，所以)122x x ⎡+∈⎣，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．计算：12lg4-=______. 【答案】1【分析】根据对数运算法则运算即可.【详解】解：()112222lg4lglg 2lg5lg 2lg101--=-=+==.故答案为：1.14．若2log 53a =，则5a =___________. 【答案】8 【分析】利用对数的运算性质和对数与指数的关系求解即可 【详解】解：因为2log 53a =，所以2log 53a=，所以3528a ==，故答案为：815．已知3sin cos 8αα=，且02πα<<，则cos sin αα+的值为__________.【分析】结合条件和平方关系求出cos sin αα+平方的值，再判断其正负，开方即得.【详解】因为3sin cos 8αα=，所以222sin 4sin cos 2sin c 37(cos 12sin os 12cos )8＝αααααααα++=+⨯==++，又02πα<<，所以cos sin 0αα+>，所以7cos sin 2αα+=， 故答案为：72. 16．已知函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()2y f x x a =++有两个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)4,2--【分析】把零点个数问题转化为函数()g x 与y a =-图像有2个交点，由()g x 的性质作出图像即可． 【详解】解：函数()2y f x x a =++有两个零点等价为()2f x x a +=-有两个解， 令()()2g x f x x =+，y a =-，上述问题可进一步转化为()()2g x f x x =+与y a =-图像有2个交点， 易知函数()g x 在1x ≤或1x >上递增， 当1x ≤时，()14g =；当1x >时，()12g =但不取点()1,2．∴易作出()222,1log 2,1x xx x g x x x ⎧+≤=⎨+>⎩与y a =-图像如下：由图像易知24a <-≤， 42a ∴-≤-<．故答案为：42a -≤<-．四、解答题 17．（11sin 1sin 1sin 1sin αααα+--+（α是第二､三象限角）（2）计算5551log 352log log log 1450+-+【答案】（1）2tan α-；（2）92.【分析】（1）根据同角三角函数平方关系，把根号开出来，再根据角α的范围，去绝对值得答案； （2）利用对数的运算性质计算可得答案.【详解】（1）因为α是第二､三象限角，所以cos 0α<，且sin 1α≤，=1sin 1sin cos cos αααα+-=-1sin 1sin cos cos αααα+-=---2sin 2tan cos ααα=-=-（2）5551log 352log log log 1450+-+1122521=log 35142log 2lne 50⎛⎫÷÷++ ⎪⎝⎭1132252119=log 52log 2lne 32=222++=+⨯+18．化简下列各式：（1（2）11(1cos )sin tan ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）1；（2）sin α.【分析】（1）根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案. （2）见切化弦，根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案.【详解】（1）原式cos5sin 51cos5sin 5︒-︒===︒-︒；（2）原式1cos (1cos )sin sin αααα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21cos sin (1cos )sin sin sin αααααα+=-==． 19．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，()f x 图象关于y 轴对称，当0x ≥，()22f x x x =-.（1）求出()f x 的解析式.（2）若函数()y f x =与函数y m =的图象有四个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）(1,0)m ∈-.【分析】（1）函数()f x 图象关于y 轴对称，即为偶函数，即可求出0x <的解析式，便可得解； （2）作出函数()f x 的图象，即可得出与函数y m =的图象有四个交点时m 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，()()f x f x =-当0x ≥时，()22f x x x =-，当0x <时，0x ->，()()()22()22f x f x x x x x =-=---=+，所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）由第一问，根据二次函数性质，作出函数()f x 图象：要使函数()y f x =与函数y m =的图象有四个交点，则(1,0)m ∈-【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数解析式，求解函数根的个数，考查数形结合思想. 20．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【答案】（1）或；（2）；．【详解】试题分析：（1）根据扇形面积公式，和扇形周长公式，，分别解出弧长和半径，然后利用原型机的公式；（3）将面积转化为关于半径的二次函数，同时根据实际问题得到的范围，利用二次函数求最值，同时得到取得最大值时的，然后利用三角形由圆心和弦的中点连线与弦垂直，利用直角三角形求弦长．试题解析：（1）解：设扇形半径为,扇形弧长为，周长为,所以,解得 或，圆心角,或是．（2）根据，，得到,,当时，，此时，那么圆心角，那么，所以弦长【解析】1．扇形的面积，圆心角；（2）三角形的计算． 21．已知函数()1log (01a mxf x a x -=>-且1,1)a m ≠≠是奇函数. (1)求实数m 的值；(2)若2a =，试求函数()f x 在[]3,5上的值域 【答案】(1)1- (2)23log ,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由函数在定义上为奇函数则()()f x f x -=-，进而()()0f x f x -+=，就可以求出参数； （2）当2a =时证明函数在区间()1,+∞的单调性，从而得出函数()f x 在[]3,5上的单调性，利用单调性即可求出函数在闭区间[]3,5上的值域.【详解】（1）由题意函数为奇函数则有：()()f x f x -=-， 即()()0f x f x -+=， 由()1log (01a mxf x a x -=>-且1,1)a m ≠≠， 所以11log log 011a a mx mxx x -++=---， 即11111mx mx x x -+⨯=---，所以22211m x x -=-对定义域中的x 均成立，所以211m m =⇒=±，由题1m ≠，所以1m =-；（2）当2a =时，()21log 1x f x x +=-， 令12111x t x x +==+--， 所以当121x x >>时，2112221111x x t t ⎛⎫⎪-=⎛⎫+-+ ⎪ --⎝⎭⎝⎭ ()()()21121222201111x x x x x x =--=<----， 所以12t t <，所以2122log log t t <，即12()()f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 在[]3,5上单调递减，所以()()()53f f x f ≤≤， 即()23log 12f x ≤≤， 所以当2a =时，函数()f x 在[]3,5上的值域为：23log ,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．已知函数()423x x f x a =+⋅+，a R ∈．(1)当4a =-，且[]0,2x ∈时，求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 在[]0,2的最小值为1，求实数a 的值；【答案】(1)[]1,3-(2)a =-【分析】（1）令[]21,4x t =∈，结合二次函数的性质可求得最值，由此可得()f x 值域；（2）令[]21,4x t =∈，可得()()23f x g t t at ==++，分别在12a -≤、142a <-<和42a -≥的情况下，根据二次函数单调性确定最小值点，由最小值可构造方程求得结果.【详解】（1）当4a =-时，()4423x x f x =-⋅+；令2x t =，则当[]0,2x ∈时，[]1,4t ∈，243y t t =-+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，()min 44231f x ∴=-⨯+=-，()max 161633f x =-+=，f x 的值域为[]1,3-.（2）令2x t =，则当[]0,2x ∈时，[]1,4t ∈， ()()23f x g t t at ==++，对称轴为2a t =-； 当12a -≤，即2a ≥-时，()g t 在[]1,4上单调递增，()()min 141g t g a ∴==+=， 解得：3a =-（舍）； 当142a <-<，即82a -<<-时，()g t 在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,42a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， ()2min 3124a a g t g ⎛⎫∴=-=-+= ⎪⎝⎭，解得：a =a =- 当42a -≥，即8a ≤-时，()g t 在[]1,4上单调递减，()()min 41941g t g a ∴==+=， 解得：92a =-（舍）；综上所述：a =-。

四川省成都2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

四川省成都2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

成都高2026届高一上期数学12月考试（答案在最后）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.6730︒'化为弧度是（）A.3π8B.38C.673π1800D.6731800【答案】A 【解析】【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可【详解】π3π673067.51808'︒=⨯=（弧度）．故选：A2.不等式2210x x --<的解集是（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()1,2- C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.()2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210x x --<，可化为(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，即不等式2210x x --<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．3.已知函数()()32,20243f x ax bx f =+-=，则()2024f -=（）A.－7B.－5C.－3D.3【答案】A 【解析】【分析】按题意取值即可【详解】因为()320242024202423f a b =⨯+⨯-=，所以3202420245a b ⨯+⨯=，所以()32024202420242527f a b -=-⨯-⨯-=--=-.故选：A.4.已知sin 5β=-，π02β-<<，则cos β=（）A.5B.5±C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】由已知，利用同角公式计算得解.【详解】由π02β-<<，得cos 0β>，而5sin 5β=-，所以25cos 5β==.故选：D5.已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下的,()x f x 对应值表，那么函数()f x 在区间[1,6]上的零点至少有（）x1234567()f x 123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B 【解析】【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，(2)0,(3)0,(4)0,(5)0f f f f ><><.则(2)(3)0<f f ，(3)(4)0f f <，(4)(5)0f f <，又函数()f x 的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在(2,3),(3,4),(4,5)上至少各一个零点，因此在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选：B.6.已知0.3281log ,log 27, 1.15a b c -=-==，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.b<c<aC.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.【详解】由题意33228221log log 5log 27log 3log 35a b =-=>===，00.3822log 27log 3log 21 1.1 1.1b c -==>==>=，所以,,a b c 的大小关系为c b a <<.故选：D.7.某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据()Q t 的图象确定()C t 的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．8.若定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式2(4)(2)2f x f x x --<+的解集为（）A.()()3,22,1--⋃-- B.()2(),31,-∞-- C.()),31(,2(2,)-∞--+∞ D.(,3)(2,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，并得到()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，分2x >和2x <两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设120x x >>，()()()()211221121200x f x x f x x f x x f x x x -<⇒-<-，故()()()()12211212f x f x x f x x f x x x <⇒<，令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，其中()()f x F x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()f x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上为奇函数，故()()()()()f x f x f x F x F x xxx---====--，所以()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，当20x ->，即2x >时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒<+--，即()()224F x F x -<-，()()224F x F x -<-，故22422x x x x ->-=-⋅+，又20x ->，故21x +<，解得32-<<-x 或2<<1x -，与2x >求交集得到空集；当20x -<即2x <时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒>+--，即()()224F x F x ->-，()()224F x F x ->-，故22422x x x x -<-=-⋅+，又20x ->，故21x +>，解得1x >-或3x <-，与2x <取交集得(),31,2()x -∞--∈ .故选：B二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++<，则命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥B.“x y >”是“x y >”的必要不充分条件C.命题“x ∀∈Z ，20x >”是真命题D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21->，但21-<；x y >也不能推出x y >，例如23>-，而23<-；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；当0x =时，20x =，故C 错误；关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.7π6-是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C.若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D.若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】BC 【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A 选项；利用扇形的面积公式可判断B 选项；利用三角函数的定义四可判断C 选项；取π4α=可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为7π5π2π66-=-且5π6为第二象限角，故7π6-是第二象限角，A 错；对于B 选项，若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为π3π3r ==，因此，该扇形的面积为113πππ3222S r ==⨯=，B 对；对于C 选项，若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，因为α为锐角，不妨取π4α=，则π22α=为直角，D 错.故选：BC.11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得ab d a b=+；②由AE AF≥可得2a b+≥；③由ADAE ≥可得211a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.①B.②C.③D.④【答案】ABCD 【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b =+，故①正确；对于②：因为AFBC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以AE a b==+，因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b+≥，故②正确；对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以2a b≥+211a b≥+，故③正确；对于④：因为AD AF ≥，所以2≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12.已知函数12()22(R)x f x x x a a -=-++∈，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 在()1,+∞上单调递减B.函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C.存在实数a ，使得函数()f x 有三个不同的零点D.存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ 【答案】BD 【解析】【分析】对函数()f x 变形，并分析函数()f x 的性质，再判断选项ABC ，利用函数性质解不等式判断D 作答.【详解】R a ∈，函数12()(1)21x f x x a -=-++-的定义域为R ，对于A ，当1x >时，21()(1)21x f x x a -=-++-，而2(1)1y x a =-+-，12x y -=在()1,+∞上都单调递增，因此函数()f x 在()1,+∞上单调递增，A 错误；对于B ，因为12(2)(1)21()xf x x a f x --=-++-=，因此函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，B 正确；对于C ，对任意实数a ，由选项A 知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则函数()f x 在[1,)+∞上最多一个零点，由对称性知，函数()f x 在(,1]-∞上最多一个零点，因此函数()f x 在R 上最多两个零点，C 错误；对于D ，当2a =-时，12()(1)235x f x x -=-+-≥，而(1)(3)5f f -==，由对称性及选项A 知，()f x 在(),1-∞上单调递减，当1x ≤时，得1x ≤-，当1x ≥时，得3x ≥，即()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，所以存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，D 正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.第II 卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.3223827--⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.)3232112332433482122733----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1222191223344--⎛⎫⎛⎫=--+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14-.14.已知函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.【答案】()1,5##[)1,5【解析】【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，所以,8m m +为220x x t -+-=的两个根，所以22401t t ∆=->⇒<则()823815m m m m m t t ++==-⎧⎧⇒⎨⎨⨯+==-⎩⎩，即()()212log 215f x x x =-++，令()12log h x x =，则()h x 在()0,∞+单调递减，令()()22215116g x x x x =-++=--+，则()g x 为开口向下，对称轴为1x =的抛物线，且()035g x x >⇒-<<，所以()3,1x ∈-时，()g x 单调递增；()1,5x ∈时，()g x 单调递减；因为()()()()212log 215f x x x h g x =-++=，所以函数()f x 的单调增区间为()1,5.故答案为：()1,515.已知1x ，2x 分别是关于x 的方程ln 2023x x =，e 2023x x =的根，则12x x =________【答案】2023【解析】【分析】令1232023ln ,e ,xy x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，由图象的对称性即可得出答案.【详解】由已知条件有2023ln x x =，2023e x x =，令1232023ln ,e ,x y x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，曲线1ln y x =和2e xy =关于直线y x =对称，曲线32023y x =关于32023y x=，设曲线3y 分别与12,y y 交于点121220232023,,,A x B x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点,A B 关于直线y x =对称，而点112023,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称点为112023,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即为点222023,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212023x x =，所以122023x x =.故答案为：2023.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有()()()2f m n f m n f m -++=，且当0x >时，()0f x <．若()24f =-，2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定[]1,1x ∈-内的最大值为(1)2f -=，从而可得22(42)1m a m <-+-，再分离参变量即可求实数a 的取值范围.【详解】取0,m n ==则有()()()000f f f +=，所以()00f =，取0,,m n x ==则有()()()00f x f x f -+==，所以()f x 为奇函数，任意1212,,,x x x x ∈>R 则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，所以()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x x m n x ==-，则有()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()12120f x f x f x x -=-<，所以()f x 在定义域R 上单调递减，所以()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，令()()()1,0,1124m n f f f ==+==-，所以()12f =-，所以max ()(1)(1)2f x f f =-=-=，因为2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，所以22(42)1m a m <-+-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，分离变量可得342a m m+<-，因为函数3y m m =-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，所以min 132y =-=-，所以422a +<-解得1a <-，故答案为:(),1-∞-.四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设m 为实数，U =R ，集合{}2log (2)1A xx =-≤∣，{2}B x m x m =≤≤+∣．（1）若1m =，求A B ⋃，()U A B ⋂ð；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】17.{|14}x A B x =≤≤⋃，(){|2U A B x x ⋂=≤ð或3}x >18.04m <≤【解析】【分析】（1）先求出集合,A B ，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【小问1详解】由2log (2)1x -≤可得：022x <-≤，则24x <≤，所以{|24}A x x =<≤，当1m =时，{|13}B x x =≤≤，所以{|14}x A B x =≤≤⋃，{|23}A B x x ⋂=<≤(){|2U C A B x x ⋂=≤或3}x >.【小问2详解】易知2m m <+恒成立，A B ⋂≠∅即224m <+≤或24m <≤解得02m <≤或24m <≤所以04m <≤.18.已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-．（1）求t 和cos θ的值；（233的值．【答案】（1）t =cos 3θ=（2【解析】【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.【小问1详解】由三角函数的定义知：6sin 3θ==-，则0t <，于是解得t =3cos 3θ==.【小问2详解】已知终边过点(1,得tan θ=(()3333312151+===-.19.杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为115km /h ν=的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1114Q v t ∆=⋅（1t 表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为22155v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222241v t Q t ⋅∆=+．已知该运动员初始体力为010000kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()15,011551,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060415,01601415516400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值min ()(1)6400Q t Q ==；②疲劳阶段4800()4001200(14)Q t t t t=++<≤，则有4()400120040012005200Q t t t ⎛⎫=++≥+⨯ ⎪⎝⎭；当且仅当4t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ ．20.我们知道，函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．已知函数4()42x f x =+．（1）利用上述结论，证明：函数()f x 的图像关于1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；（2）判断函数()f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：()()212f x ax a f x ++++<．【答案】（1）证明见解析（2）4()42x f x =+为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明1()()12g x f x =+-为奇函数即可；（2）由题可得4()42x f x =+为减函数，又结合（1）结论可知()()212f x ax a f x ++++<()()()221110f x ax a f x x a x a ⇔+++<-⇔+++>，后分类讨论a 的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明1()()12g x f x =+-为奇函数，又1214414()()11122241424x x xx g x f x +-=+-=-=-=+⋅++，易知函数()g x 定义域为R .R R ，，x x ∀∈-∈1114414()()1144114x x x x x x g x g x ------====-+++，所以()g x 为奇函数，所以()f x 的图像关于1(,1)2成中心对称图形．【小问2详解】易知24x y =+为增函数，且240x +>，对任意的x ∈R 恒成立，所以4()42x f x =+为减函数.又由（1）知，点(,())x f x 与点(1,(1))x f x --关于点1(,1)2成中心对称，即()(1)2f x f x +-=，所以原不等式等价于2(1)2()(1)f x ax a f x f x +++<-=-，所以211x ax a x +++>-，即2(1)0x a x a +++>，由2(1)0x a x a +++=解得121x a x =-=-，，当1a >时，原不等式解集为{|x x a <-或1}x >-；当1a =时，原不等式解集为{|1}x x ≠-；当1a <时，原不等式解集为{|1x x <-或}x a >-．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.21.定义：对于函数()y f x =，当[],x a b ∈时，值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，当(]0,3x ∈时，()1112f x x =--.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”；（3）求函数()f x 在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】21.()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩22.[]1,223.[]1,2和[]2,1--【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得()f x 在[)3,0x ∈-上的解析式，结合()00f =，从而求解函数()f x 的解析式；（2）根据函数()f x 在[]1,3上的单调性建立方程组求解即可；（3）根据区间的定义知0a b ab <⎧⎨>⎩，分03a b <<≤和30a b -≤<<讨论，分析函数()f x 的单调性，建立方程组求解即可.【小问1详解】()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，当[)3,0x ∈-时，则(]()110,3,111122x f x x x -∈-=---=-+，又()f x 是奇函数，则()()1112f x f x x =--=-++，所以()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩.【小问2详解】设13a b ≤<≤，函数()3122f x x =-，因为()f x 在[]1,3上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()311223112213f b b b f a a a a b ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”为[]1,2.【小问3详解】因为()f x 在[],a b 时，函数值()f x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0,0a b ≠≠，所以11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑03a b <<≤或30a b -≤<<，①当03a b <<≤时，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，故当(]0,3x ∈时，()max ()11f x f ==，则11a≤，所以，13a ≤<，则13a b ≤<≤，由（2）知，此时()f x 的“倒值映射区间”为[]1,2；②当30a b -≤<<时，可知因为函数()f x 在[]3,1--上单调递减，()1,0-上单调递增，故当[)3,0x ∈-时，()min ()11f x f =-=-，则11b≥-，所以，31b -<≤-，当[]()133,1,22x f x x ∈--=--在[]3,1--上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()131221312231f b b b f a a a a b ⎧=--=⎪⎪⎪=--=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以()f x 的“倒值映射区间”为[]2,1--；综上，函数()f x 在定义域内的“倒值映射区间”为[]1,2和[]2,1--.22.已知函数()()3log 31x f x mx =++是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()311log 322x g x a a x f x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12-（2）0a >或10a =--【解析】【分析】（1）根据偶函数性质()()f x f x -=代入即可求解；（2）令3x t =，转化为关于t 的一元二次函数，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为()f x 的定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()33log 31log 31x x mx mx -++=+-，所以()()333313log 31log log 31log 33x x x x x mx mx mx ⎛⎫+++=-=+ ⎝⎭--⎪所以3log 3x mx x mxmx --=-=-所以()210m x +=，即12m =-．【小问2详解】由（1）知()()31log 312x f x x =+-所以()()()333111log 3log 3log 31222x x x g x a a x f x a a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=⋅--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g x =，()333131log 3=log 31log 23x x x x a a x +⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭，即1313=23x xx a a +⋅-，整理得()21313102x x a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，其中1302x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以0a ≠，令3x t =，则得211102at a t ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，①当0a >时，1302x ->，即12t >，所以方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13602m a a⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以当0a >时，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解．②当0a <时，1302x -<，即102t <<，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的开口向下，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以满足恒有2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩，解得10a =--综上所述，当0a >或10a =--时，()g x 有唯一零点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=代入原函数即可求解参数；。

广西高一上学期12月月考数学试题(解析版)

广西高一上学期12月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（ ） ()(){}310M x x x =-+={1,0,2,4,5}N =-M N ⋂=A ． B ． C ． D ．{2,1}-{}1-{0,1,4}{1,0,3,5}-【答案】B【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可.,M N 【详解】因为，，故可得. {}1,3M =-{1,0,2,4,5}N =-M N ⋂={}1-故选：B. 2．函数的定义域为（ ） ()20225log 13y x x =+--A ． B ． ()(),33,-∞+∞ ()()1,33,⋃+∞C ． D ．()1,+∞()3,+∞【答案】B【分析】根据函数有意义的条件，列出不等式组，解之即可求解. 【详解】要使函数有意义， ()20225log 13y x x =+--则有，解得：且，3010x x -≠⎧⎨->⎩1x >3x ≠所以函数的解集为， ()20225log 13y x x =+--()()1,33,⋃+∞故选：B.3．已知，则“”是“”的（ ） a ∈R 6a <236a <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】等价转化，再从集合的包含关系即可判断和选择. 236a <【详解】因为，即，又是的真子集， 236a <()6,6a ∈-()6,6-(),6-∞故“”是“”的必要不充分条件. 6a <236a <故选：B.4．已知角的终边经过点，则（ ） α(M cos α=A B C D 【答案】B【分析】利用三角函数的定义可求得的值. cos α【详解】由三角函数的定义可得. cos α==故选：B.5．已知，则的最小值为（ ） 12,2x y x x >=+-y A ．2 B ．1 C ．4 D ．3【答案】C【分析】变形后利用基本不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 2x >120,02x x ->>-由基本不等式得， 11222422y x x x x =+=-++≥=--当且仅当，即时，等号成立， 122x x -=-3x =则的最小值为4. y 故选：C6．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ） ()1e 1exxf x x +=⋅-e A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，排除两个选项，再根据函数值的正负排除一个，得正确选项．【详解】函数的定义域是，，为偶函{|0}x x ≠1e e 11e ()()()()1e e 11ex x xx x xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅-=⋅=---数，排除CD 选项，，排除B ， 1e(1)01ef +=<-故选：A ．7．已知,,,则、、的大小关系为（ ）2log 3a =32b -=12log 3c =a b c A ． B ． a b c >>c a b >>C ． D ．c b a >>a c b >>【答案】A【分析】由对数函数的性质可得，由指数幂的运算可得，即可得答案. 1,0a c ><18=b 【详解】解：因为, 22log 3log 21a =>=, 3311228b -===，1122log 3log 10c =<=所以， a b c >>故选：A.8．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范21,2()6,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩()0f x a -=围为（ ） A ． B ．C ．D ．(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)【答案】A【分析】画出函数 的图像，将方程恰有三个不同的实数根转化为函数()y f x =()0f x a -=与有3个不同的交点即可.()y f x =y a =【详解】若方程恰有三个不同的实数根， ()0f x a -=则函数与有3个不同的交点 ()y f x =y a =如图与的图像()y f x =y a=由图可得函数与有3个不同的交点，则 ()y f x =y a =01a <<故选：A.二、多选题9．下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ） ()0,1A ． B ． ()f x x =()2f x x =-C ． D ．1() f x x=2()4f x x =-+【答案】BC【分析】根据奇偶性的定义，结合常见函数的单调性，即可判断和选择.【详解】对A ：定义域为，且，故为偶函数，A 错误； ()f x R ()()f x x f x -==()f x 对B ：定义域为，且，故为奇函数， ()f x R ()()2f x x f x -==-()f x 又在上单调递减，故B 正确； ()2f x x =-()0,1对C ：的定义域为，且，故为奇函数， ()f x {|0}x x ≠()()1f x f x x-=-=-()f x 又在上单调递减，故C 正确； ()1f x x=()0,1对D ：的定义域为，且，故为偶函数，D 错误.()f x R ()()24f x x f x -=-+=()f x 故选：BC.10．下列转化结果正确的是（ ） A ．60°化成弧度是B ．化成度是－600° π310π3-C ．－150°化成弧度是D ．化成度是15° 7π6-π12【答案】ABD【分析】根据弧度制和角度制的转化公式依次计算即可. 【详解】对选项A ：60°化成弧度是，正确； π3对选项B ：化成度是－600°，正确； 10π3-对选项C ：－150°化成弧度是，错误；5π6-对选项D ：化成度是15°，正确. π12故选：ABD11．下列结论中不正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则22ac bc >a b >11a b <a b >C ．若，，则 D ．若，则a b >c d >ac bd >21a b ->a b <【答案】BCD【分析】根据等式性质得到A 正确，取特殊值得到BCD 错误，得到答案.【详解】对选项A ：，不等式两边除以，则，正确；22ac bc >()20c c ≠a b >对选项B ：取，，满足，，错误； 1a =-1b =11a b<a b <对选项C ：取，满足，，，错误； 1,0,0,1a b c d ====-a b >c d >ac bd =对选项D ：取，满足，，错误. 2,1a b ==21a b ->a b >故选：BCD12．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）(),1()123,1x a x f x a x a x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩R a A ．4 B ．3C ．D ．1314【答案】CD【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围.【详解】由函数是上的增函数，(),1()123,1x a x f x a x a x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩R 所以 ()()(1)010111202121314a a a a a a a a --⎧⎪<<⎧<<⎪⎪⎪->⇒<⎨⎨⎪⎪≤-⨯-+⎩⎪≥⎪⎩所以， 1142a ≤<故选：CD.三、填空题13．已知函数，则___________. ()3,02,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩()5f f ⎡⎤=⎣⎦【答案】27-【分析】根据自变量范围代入对应解析式得，再根据范围代入对应解析式得结果.()53f =-()3f -【详解】因为， ()5253f =-=-所以， ()()()353327f f f ⎡⎤=-=-=-⎣⎦故答案为：27-14．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为___________. 30︒2π【答案】12π【分析】由题意，根据弧度制的概念，结合扇形的面积公式，可得答案. 【详解】∵，∴，∴扇形面积. 30,6l r παα=︒==2126r ππ==112121222S lr ππ==⨯⨯=故答案为：.12π15．已知函数的图像恒过定点，且点在直线()()log 11(0,1)m f x x m m =-+>≠P P 上，则的最大值为___________.1(0,0)ax by a b +=>>ab 【答案】##0.12518【分析】由对数函数性质求定点坐标，再根据点在直线上有，应用基本不等式求的最21a b +=ab 大值，注意等号成立条件.【详解】由题设恒过，又在直线上， ()f x (2,1)P P 1(0,0)ax by a b +=>>所以，当且仅当时等号成立， 21a b +=≥18ab ≤122a b ==所以的最大值为.ab 18故答案为：1816．设则不等式的解集为________． ()()1232e 2log 13x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，()2f x >【答案】())1,2+∞【分析】分，讨论解即可. 2x <3x ≥()2f x >【详解】当时，，解得；2x <12e 2x ->12x<<当时，，解得3x ≥()23log 12x ->x >综合得不等式的解集为()2f x >())1,2+∞ 故答案为：())1,2+∞四、解答题17． 计算下列各式的值：(1)220323()(1(3)38-+--(2)75222log (42)log 6log 3⨯+-【答案】(1)1 (2)20【分析】（1）根据有理数指数幂的运算法则进行计算，可得答案； （2）根据对数的运算法则，进行计算，可得答案.【详解】（1）;22320233233399()(1(3)()1(11382244´-+--=+-=+-=（2）.75522222221419log (42)log 6log 3log (22)log log 262191203log ⨯+-=⨯=++=+=18．已知第二象限角α满足 .请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）条件①：角α终边上一点，且； (),2P x 2cos 5x α=条件②：； 4sin 5α=条件③：. 7sin cos 5αα-=(1)求的值； 1tan tan αα+(2)求的值.()22sin cos sin 2cos sin ααααα+-【答案】(1)条件选择见解析， 2512-(2)条件选择见解析，或 2532-5099-【分析】（1）选①，根据三角函数定义计算得到，，选②，根据同角三角形4sin 5α=3cos 5α=-函数关系得到，选③，解方程得到，或者，，3cos 5α=-4sin 5α=3cos 5α=-3sin 5α=4cos 5α=-代入数据计算得到答案.（2）化简得到原式等于，代入数据计算即可. 22tan 12tan 1tan 2tan αααα++⋅-【详解】（1）选①：角α终边上一点，且，故， (),2P x 2cos 5x α=2cos 5x α==且α为第二象限角，解得，由此得，，，32x =-4sin 5α=3cos 5α=-4tan 3α=-； 125tan tan 12αα+=-选②：，α为第二象限角，，，4sin 5α=3cos 5α==-4tan 3α=-； 125tan tan 12αα+=-选③：因为，平方可得， 7sin cos 5αα-=12sin cos 25αα=-，α为第二象限角， 7sin cos 512sin cos 25αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得，或者，，4sin 5α=3cos 5α=-3sin 5α=4cos 5α=-当时，；当时，， 4tan 3α=-125tan tan 12αα+=-3tan 4α=-125tan tan 12αα+=-故. 125tan tan 12αα+=-（2）（2） ()22sin cos sin 2cos sin ααααα+-22222sin cos 2sin cos tan 12tan 1sin 2cos sin tan 2tan ααααααααααα++++=⋅=⋅--当选①②时：时，原式；4tan 3α=-416211253916432293⎛⎫⨯-++ ⎪⎝⎭=⨯=-+当选择③时：时，原式；4tan 3α=-416211253916432293⎛⎫⨯-++ ⎪⎝⎭=⨯=-+时，原式；3tan 4α=-392115041693992164⎛⎫⨯-++ ⎪⎝⎭=⨯=-+19．已知 ， . ()11f x x =-[]2,6x ∈（1）证明：是定义域上的减函数； ()f x （2）求的最大值和最小值.()f x 【答案】（1）证明见解析；（2），. ()min 15f x =()max 1f x =【解析】（1）设，作差比较与，根据单调性的定义，即可证明结论成1226x x £<£()1f x ()2f x 立；（2）根据（1）的结论，可直接得出结果.【详解】（1）证明：设 ， 1226x x £<£则 ， ()()()()21121212111111x x f x f x x x x x --=-=----因为 ， ， ，所以 ， 110x ->210x ->210x x ->()()120f x f x ->即 .()()12f x f x >所以是定义域上的减函数. ()f x （2）由（1）的结论可得，在上单调递减； ()11f x x =-[]2,6x ∈所以，. ()()min 165f x f ==()()max 21f x f ==20．已知函数（且）在区间上的最大值是16，()xf x a =0a >1a ≠[]2,4-（1）求实数的值；a （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范()()22log 32g x x x a =-+R ()log 121a t -≤t 围．【答案】（1）或；（2）． 2a =1411,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在01a <<()f x []2,4-1a >()f x 区间上是增函数求解；[]2,4-（2）根据的定义域是，由恒成立求解．()()22log 32g x x x a =-+R 2320x x a -+>【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数， 01a <<()f x []2,4-因此当时，函数取得最大值16，即， 2x =-()f x 216a -=因此． 14a =当时，函数在区间上是增函数， 1a >()f x []2,4-当时，函数取得最大值16，即， 4x =()f x 416a =因此．2a =（2）因为的定义域是，()()22log 32g x x x a =-+R 即恒成立．2320x x a -+>则方程的判别式，即，2320x x a -+=∆<0()23420a --⨯<解得， 98a >又因为或，因此． 14a =2a =2a =代入不等式得，即， ()2log 121t -≤0122t <-≤解得， 1122t -≤<因此实数的取值范围是．t 11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭21．目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年()*N n n ∈()2105n n -的销售收入95万元.(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1)第2年 (2)方案二，理由见解析【分析】（1）设为前n 年的总盈利额，，根据，解不等式得()f n ()()()1019f n n n =---()0f n >到答案.（2）根据二次函数性质和均值不等式分别计算总利润，得到总利润相同，再比较时间得到答案. 【详解】（1）设为前n 年的总盈利额，()f n ，()()()()22951059010100901019n n n f n n n n n +-=--=--=---由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； ()0f n >19n <<*N n ∈（2）方案二更合理，理由如下：方案一：总盈利额，()()221009010516010f n n n n +-=--+=-当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 16020180+=方案二：平均盈利额为， ()21009091010010020401n n n f n n n n +-⎛⎫=-++≤-⎪-== ⎝⎭第 11 页 共 11 页当且仅当，即时，等号成立； 9n n=3n =即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，3n =()120f n =总利润为万元；12060180+=综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适. 22．已知函数.()ln(2)ln(2)f x x x =-++(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；()f x (2)若，求实数的取值范围.(21)ln 3f m +>m 【答案】(1)的定义域为；为偶函数()f x ()2,2-()f x (2)()1,0-【分析】（1）先列不等式组求得函数的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将()f x 转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数的取值范围.(21)ln 3f m +>m 【详解】（1）由，可得，则函数的定义域为2>02+>0x x -⎧⎨⎩22x -<<()f x ()2,2-由[][]()ln 2()ln 2()ln(2)ln(2)()f x x x x x f x -=--++-=++-=可得函数为偶函数()f x （2）由，()ln(2)ln(2)f x x x =-++可得(21)ln(221)ln(221)ln(32)(12)f m m m m m +=--+++=+-由 ，可得(21)ln 3f m +>2<2+1<2(3+2)(12)>3m m m --⎧⎨⎩解之得，则实数的取值范围为10m -<<m ()1,0-。

福建省厦门市2023-2024学年高一数学上学期12月月考模拟试题(含答案)

福建省厦门市2023-2024学年高一数学上学期12月月考模拟试题(含答案)

福建省厦门市2023-2024学年高一数学上学期12月月考模拟试题注意事项：1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本练习卷上无效.3．答题结束后，学生必须将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}11A x x=-<<，{}|02B x x=≤≤，则A B⋃=（）A. ()1,2-B.[]0,1C.[)0,1D.(]1,2-2. 下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x=++ B.4sinsiny xx=+C.2y22x x-=+ D.4lnlny xx=+3. 已知函数()()π2sin03f x xωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，则“()f x在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭存在最大值点”是“1ω=”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数()1sin2xx xf x-=的图象大致为（）A.B.C.D.5. 在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上点()1,0A重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当2radϕ=时，点M与点O之间的距离为（）A.1cos1 B.2sin1 C. 26. 设函数()ln|21|ln|21|f x x x=+--，则f(x)（）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减7. 已知函数()f x的定义域为R，()2f x+为偶函数，()21f x+为奇函数，则（）A.12f⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.()10f-=C.()20f=D.()40f=8. 设711,cos,2sin822a b c===，则（）A. b a c>> B. b c a>>C. c a b>> D. c b a>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.y =B.y = C.lg10xy = D.lg 10xy =10. 已知函数f(x)=sin x x ωω+(ω>0)满足:f(π6)=2,f(2π3)=0,则()A. 曲线y=f(x)关于直线7π6x ＝对称B. 函数y=f(π3x -)是奇函数C. 函数y=f(x)在(π6,7π6)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[-2,2]11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t （单位：秒），已知2cos483≈︒，则（）A.π23cos 30d t θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中2cos 3θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B. π3sin 230d t θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2sin 3θ=-，且π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭C .大约经过38秒，盛水筒P 再次进入水中D. 大约经过22秒，盛水筒P 到达最高点12. 已知0,0x y >>，且2x y xy +=．则下列选项正确的是（）A. x y +的最小值为3+ B. 2241x y +的最小值为12C.()22log log 25x y +≥ D.224x y-+>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13. 某地中学生积极参加体育锻炼，其中有70%的学生喜欢足球或游泳，50%的学生喜欢足球，60%的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______．14. 已知函数()()()tan 0f x x ωϕω=->的最小正周期为π3，写出满足“将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后为奇函数”的ϕ的一个值______．15. 若方程π1sin 233x ⎛⎫-=⎪⎝⎭在()0,π的解为()1212,x x x x <，则()12sin 22x x -=______．16. 椭圆曲线232y ay x bx cx d +=+++是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线23:31C y x x =-+，则C 与x 轴的交点个数n =______；若()22f x x =-，C 与x 轴交点的横坐标从小到大排列为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，则()()11nii i f x x +=-∏______．（这里11n x x +=，若1n ≥，则121nini aa a a ==⋅⋅⋅∏；若0n =，则1nii a==∏）三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）求函数()f x 在[]0,π的单调递减区间．18. 已知定义域为R 的函数()f x ，满足对,x y ∀∈R ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．（1）求证：()f x 在(),-∞+∞单调递增；（2）求关于x 的不等式()()()()222f x f x f ax f a -<-的解集．19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角αβ、的终边分别与单位圆交于,A B两点．（1）如果3tan 4α=，B 点的横坐标为513，求()cos αβ+的值；（2）设αβ+的终边与单位圆交于,,,C AP BQ CR 均与x 轴垂直，垂足分别为,,P Q R ，求证：以线段,,AP BQ CR 的长为三条边长能构成三角形．20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min 012345水温/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从100℃开始，经过min x 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①(0,0)y kx b k x =+<≥；②()0,01,0x y ka b k a x =+><<≥；③()()log 1,0,0a y x k b a k x =++>>≥．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈．）21. 记ABC 的内角为,,A B C，已知()22sin sin2C C A B -≥+．（1）求C 的取值范围；（2）若cos sin21sin 1cos2A BA B =++，请用角C 表示角A 和角B ．22. 已知函数()()2,sin 2x x tf xg x x t -==+，满足()f x 是奇函数，且不存在实数,m n 使得()()f mg n =．（1）求()f x ；（2）若方程()2ln log x af x =恰有两个实根()1212,x x x x <，求实数a 的范围并证明()2211ln e a x a x x g x >．数学试题答案注意事项：1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本练习卷上无效.3．答题结束后，学生必须将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}11A x x=-<<，{}|02B x x=≤≤，则A B⋃=（）A. ()1,2-B.[]0,1C.[)0,1D.(]1,2-【正确答案】D【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设{}{}11|02{|12} A B x x x x x x⋃=-<<⋃≤≤=-<≤.故选：D2. 下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x=++ B.4sinsiny xx=+C.2y22x x-=+ D.4lnlny xx=+【正确答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，()2224133y x x x=++=++≥，当且仅当=1x-时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x>，2422242x x x x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x =+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3. 已知函数()()π2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则“()f x 在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭存在最大值点”是“1ω=”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据三角函数的最值、充分和必要条件等知识求得正确答案.【详解】()()π2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，ππππππ0,0,333333x x x ωωωω<<<<<+<+，“()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭存在最大值点”，等价于“2πππ33ω+>”，等价于“12ω>”，所以“()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭存在最大值点”是“1ω=”的必要不充分条件.故选：B4. 函数()1sin 2x x xf x -=的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】首先判断奇偶性，再由区间()0,π上的函数值，利用排除法判断即可.【详解】根据题意，函数()1sin 2x x x f x -=，其定义域为R ，由()()()11sin sin 22x x x x x xf x f x ------===，函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当()0,πx ∈时，sin 0x >，120x ->，则()0f x >，排除B.故选：A ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M （开始时与圆盘上点()1,0A 重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B ，细绳的粗细忽略不计，当2rad ϕ=时，点M 与点O 之间的距离为（）A. 1cos1B. 2sin1C. 2【正确答案】D【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可.【详解】展开过程中：2,1BM AB R BO ϕ==⋅==,MO ==,故选：D.6. 设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f(x)（）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【正确答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.7. 已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -= C. ()20f = D.()40f =【正确答案】B 【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.8. 设711,cos ,2sin822a b c ===，则（）A. b a c >> B. b c a >>C. c a b>> D. c b a>>【正确答案】D【分析】先证明π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan<<x x x，由b，c结合商数关系作商比较，由b，a结合二倍角余弦公式作差比较.【详解】如图所示：在单位圆中，设π0,2AOB x⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则 AB x=，sinBC x=，tanAT x=，因为BC AB<，所以sin x x<，因为111122AOTAOBS AB S AT=⨯<=⨯扇形，所以AB AT<，即tanx x<，所以当π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin tanx x x<<<，所以12sin1122tan21122cos2cb==>⨯=，则c b>；22171711cos12sin20 284884b a⎛⎫-=-=-->-⨯=⎪⎝⎭，则b a>，所以c b a>>，故选：D关键点睛：本题的关键是利用单位圆证明π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，再利用此结论结合作差法和作商法比较大小即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.y =B.y = C.lg10xy = D.lg 10xy =【正确答案】AC 【分析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．【详解】y x =的定义域为x R ∈，值域为R y ∈，对于A选项，函数y x ==的定义域为x R ∈，故是同一函数；对于B选项，函数y x ==≥，与y x =解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数lg10x y x ==，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，lg 10xy x ==的定义域为()0,∞+，与函数y x =定义域不相同，故不是同一函数.故选：AC ．本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.10. 已知函数f(x)=sin x x ωω+(ω>0)满足:f(π6)=2,f(2π3)=0,则()A. 曲线y=f(x)关于直线7π6x ＝对称B. 函数y=f(π3x -)是奇函数C. 函数y=f(x)在(π6,7π6)单调递减D. 函数y=f(x)的值域为[-2,2]【正确答案】ABD【分析】用辅助角公式化简()f x ,再利用22,063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()y f x =的值域为[2,2]-,故D 正确；因为203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112,33k k Z ππωπ+=∈,所以1131,2k k Z ω-=∈，因为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以222,632k k Zπππωπ+=+∈,所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k -=+,即1281k k =+，所以{1,13,25,37}ω∈ ，因为()227732sin 1212sin 1426632f k k πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以曲线()y f x =关于直线76x π=对称,故A 正确；因为()22sin 121333f x k x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222sin 12142sin 121k x k k x π=+-=+即33f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,故B 正确；取13ω=,则最小正周期2271366T πππππω==<-=,故C 错误.故选：ABD11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t （单位：秒），已知2cos483≈︒，则（）A.π23cos 30d t θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中2cos 3θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B. π3sin 230d t θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2sin 3θ=-，且π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭C. 大约经过38秒，盛水筒P 再次进入水中D. 大约经过22秒，盛水筒P 到达最高点【正确答案】ABD【分析】若O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，P 为筒车经过t 秒后的位置，由题设知筒车的角速度π30ω=，令AOB θ∠=，易得π30t POB θ∠=+，而cos OBPOB OP ∠=、2d OB =-，即可求d 的解析式判断A 、B 的正误，38t ≈、22t ≈代入函数解析式求d ，即可判断C 、D 的正误.【详解】由题意知，如图，若O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，P 为筒车经过t 秒后的位置，筒车的角速度2ππ6030ω==，令2cos cos 3AOB θ∠==且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πcos cos()30t OBPOBOPθ∠=+=，故πcos()30tOB OPθ=⋅+，而2d OB=-，∴π23cos30d tθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中2cos3θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又πππ23cos23cos cos3sin sin303030d t t tθθθ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭ππ22cos3030t t=-+，若π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且2sin3θ=-，所以cosθ=此时πππ3sin23sin cos3cos sin2 303030d t t tθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ππ2cos23030t t=-+，故π3sin230d tθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2sin3θ=-，且π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故A、B正确；当38t≈时，38π1804830=︒+︒，且sin48≈，2cos3θ=，∴523cos(48)23(cos48cos sin48sin)3dθθθ=+︒+=+︒-︒=，故盛水筒P没有进入水中，C错误；当22t≈时，22904230p=°+°，且cos2sin42483=≈，22cos(9042)42)22sin42425d=-︒+︒+︒+︒=+︒+︒=，故盛水筒P到达最高点，D正确.故选：ABD12. 已知0,0x y>>，且2x y xy+=．则下列选项正确的是（）A.x y+的最小值为3+ B. 2241x y+的最小值为12C.()22log log 25x y +≥ D.224x y-+>【正确答案】ABD【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，0,0x y >>，且2x y xy +=，2121x y xy y x +=+=.A 选项，()213332y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+⎭+=+ ⎪⎝，当且仅当2,2y xx x y ===+时等号成立，所以A 选项正确.B选项，28x y xy xy +=≥≥≥，当且仅当24x y ==时等号成立.则41140,1122xy xy <≤≤-<，由2x y xy +=两边平方得2222222244,44x y xy x y x y x y xy ++=+=-，所以222222222241444112x y x y xy x y x y x y xy +-+===-≥，所以B 选项正确.C 选项，()()2222log log 2log 2log 164x y xy +=≥=，所以C 选项错误.D 选项，0,0x y >>，且2x y xy +=，若1y =，则2x x +=无解，所以1y ≠，则()212,01yx y y x y -==>-，解得1y >，所以()22221222211y y y x y y y y y -+-+=+-=+⨯--()2211222211y y y y y y ⎡⎤-+=+⨯=+⨯+⎢⎥--⎣⎦，由于1y >，所以()10y y ->，所以222214x y -+>+⨯=，D 选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13. 某地中学生积极参加体育锻炼，其中有70%的学生喜欢足球或游泳，50%的学生喜欢足球，60%的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______．【正确答案】80%【分析】先求得既喜欢游泳，又喜欢足球的人数，从而求得正确答案.【详解】既喜欢游泳，又喜欢足球的人数有50%60%70%40%+-=，所以该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是40%80% 50%=.故80%14. 已知函数()()()tan0f x xωϕω=->的最小正周期为π3，写出满足“将函数()f x的图象向左平移π12个单位后为奇函数”的ϕ的一个值______．【正确答案】π4（答案不唯一）【分析】先求得ω，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案.【详解】函数()()()tan0f x xωϕω=->的最小正周期为ππ,33Tωω===，所以()()tan3f x xϕ=-，向左平移π12个单位后，得到ππtan3tan3124y x xϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所得函数为奇函数，所以ππππ,,Z 4242k kkϕϕ-==-∈，故可取ϕ的一个值为π4.故π4（答案不唯一）15. 若方程π1sin 233x ⎛⎫-=⎪⎝⎭在()0,π的解为()1212,x x x x <，则()12sin 22x x -=______．【正确答案】##【分析】先求得πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后根据12,x x 的关系式以及二倍角公式求得()12sin 22x x -.【详解】由于0πx <<，所以ππ5π022π,2333x x <<-<-<，由于π1sin 2033x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以π02π3x <-<，根据正弦函数的性质可知121212ππ22ππ5π33,2326x x x x x x -+-=+-=+=，且12ππππ02,2π3223x x <-<<-<，1πcos 23x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以()()()121212sin 222sin cos x x x x x x -=--11115π5π2sin cos 66x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11115π5πππππ2sin 2cos 22sin 2cos 2663232x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ππ12cos 2sin 22333x x ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故16. 椭圆曲线232y ay x bx cx d +=+++是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线23:31C y x x =-+，则C 与x 轴的交点个数n =______；若()22f x x =-，C 与x 轴交点的横坐标从小到大排列为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，则()()11nii i f x x +=-∏______．（这里11n x x +=，若1n ≥，则121nini aa a a ==⋅⋅⋅∏；若0n =，则1nii a==∏）【正确答案】①. 3②. 9-【分析】首先由零点存在定理以及三次多项式最多3个根即可得出第一问的答案；再得出若t 是3310x x -+=的一个根，则22t -也是3310x x -+=的一个根，进一步()2i i f x x +=，（其中3,1,2,3i i x x i +==），从而即可得解.【详解】对于第一空：设()331g x x x =-+，则()()()()()210,130,010,110,230g g g g g -=-<-=>=>=-<=>，又因为三次方程至多3个根，所以3310x x -+=有三个实根12321012x x x -<<-<<<<<，即3n =；对于第二空：不妨设t 是3310x x -+=的一个根，即3310t t -+=，则23121,31t t t t -=--=，则()()()32323113131122tt t t t -⎛⎫-+=-- ⎝-+⎪⎭-32323333112313113110t t t t t t t t t -+--⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22t -也是3310x x -+=的一个根，因为12321012x x x -<<-<<<<<，所以()222123123111211,210,210,1x x x x x x -=->-=-<-=-∈，所以2221321322,2,2x x x x x x -=-=-=，即()2i i f x x +=，（其中3,1,2,3i i x x i +==），因为3310x x -+=恰有三个实根123x x x <<，所以()()()()312331g x x x x x x x x x =-+=---，所以()()()()()()()()()222122331331122222f x x f x x f x x x x x x x x ---=-+-+-+()()()()()()()()331122*********x x x x x x g g =----------=--=-，即()()119nii i f x x +=-=-∏.故3，9-.关键点睛：第一空的关键是零点存在定理，第二空的关键是得出()2i i f x x +=，（其中3,1,2,3i i x x i +==），从而即可顺利得解.三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）求函数()f x 在[]0,π的单调递减区间．【正确答案】（1）()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图象求得,ωϕ，也即求得()f x 的解析式.（2）根据三角函数单调区间的求法求得()f x 在[]0,π的单调递减区间．【小问1详解】由图可知5πππ2π,π,22632T T ωω=-====，所以()()2cos 2f x x ϕ=+，π2π2cos 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）得()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由π2π22ππ6k x k ≤-≤+解得π7πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈，令0k =可得函数()f x 在[]0,π的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18. 已知定义域为R 的函数()f x ，满足对,x y ∀∈R ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．（1）求证：()f x 在(),-∞+∞单调递增；（2）求关于x 的不等式()()()()222f x f x f ax f a -<-的解集．【正确答案】（1）证明见解析.（2）当2a <时，不等式的解集为(),2a ；当2a =时，不等式解集为∅；当2a >时，不等式的解集为()2,a .【分析】（1）用定义法判断函数的单调性；（2）根据函数的单调性求不等式的解集.【小问1详解】设12x x <，则()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()2111f x x f x f x =-+-()21f x x =-，因为当0x >时，()0f x >，又210x x ->，所以()210f x x ->，即()()210f x f x ->，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.【小问2详解】化()()()()222f x f x f ax f a -<-为()()()()222f x f a f ax f x +<+，因为()()()f x y f x f y +=+，则原式可化为:()()()()222f x f a f ax f x +<+，即()()222f x a f ax x +<+，因为()f x 在(),-∞+∞单调递增，所以222x a ax x +<+，()2220x a x a -++<，()()20x x a --<，令()()20x x a --=，12x=，2x a =，当2a <时，不等式的解集为(),2a ；当2a =时，不等式解集为∅；当2a >时，不等式的解集为()2,a .19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角αβ、的终边分别与单位圆交于,A B两点．（1）如果3tan 4α=，B 点的横坐标为513，求()cos αβ+的值；（2）设αβ+的终边与单位圆交于,,,C AP BQ CR 均与x 轴垂直，垂足分别为,,P Q R ，求证：以线段,,AP BQ CR 的长为三条边长能构成三角形．【正确答案】（1）1665-（2）证明详见解析【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.（2）先求得,,AP BQ CR，然后根据三角形的知识求得正确答案.【小问1详解】依题意，,αβ是锐角，由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得34sin ,cos 55αα==.由于B 的横坐标为5131213=，所以125sin ,cos 1313ββ==，所以()4531216cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.【小问2详解】由于ππ0,0,0π22αβαβ<<<<<+<，由（1）得()16cos 065αβ+=-<，所以ππ2αβ<+<，所以C 在第二象限，且()63sin 65αβ+===，依题意可知：()3563sin ,sin ,sin 51365AP BQ CR αβαβ=====+=，即392563,,656565AP BQ CR ===，64636565AP BQ CR +=>=，102256565AP CR BQ +=>=，88396565BQ CR AP+=>=，所以以线段,,AP BQ CR 的长为三条边长能构成三角形．20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min012345水温/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从100℃开始，经过minx后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：①(0,0) y kx b k x=+<≥；②()0,01,0xy ka b k a x=+><<≥；③()() log1,0,0ay x k b a k x=++>>≥．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈．）【正确答案】（1）选②，理由详见解析，解析式为9802010xy⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭（2）最佳饮用口感的放置时间为6.54min【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式.（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.【小问1详解】根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，所以选②()0,01,0xy ka b k a x=+><<≥，且121009284.80ka bka bka b⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，21009284.80k bka bka b+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，利用加减消元法解得9,80,2010a k b===，所以9802010xy⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭.【小问2详解】由980206010x y ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，得91102x⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数得()91lglg ,lg 91lg 2102x x =-=-，lg 20.3016.54min12lg 3120.477x =≈≈--⨯.答：最佳饮用口感的放置时间为6.54min .21. 记ABC 的内角为,,A B C，已知()22sin sin2C C A B -≥+．（1）求C 的取值范围；（2）若cos sin21sin 1cos2A BA B =++，请用角C 表示角A 和角B ．【正确答案】（1）2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）π2B C =-、3π22A C =-【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得C 的取值范围.（2）根据三角恒等变换的知识求得正确答案.【小问1详解】依题意()22sin sin2C C A B -≥+，即22sin 2sin cos C C C C -≥，由于0πC <<，所以sin 0C >，所以1cos C C -≥，ππ12sin 1,sin 662C C ⎛⎫⎛⎫+≤+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ππ7π666C <+<，所以5ππ7π2π,π6663C C ≤+<≤<，所以C 的取值范围是2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】2cos sin22sin cos sin 1sin 1cos22cos cos A B B B BA B B B ===++,cos cos sin sin sin A B B A B =+，()cos sin A B B +=，所以πcos sin ,sin sin 2C B C B⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，由于ππππ,06223C B ≤-<<<，所以π2B C =-.由于ππ2π22A B C A C C A C ++=+-+=+-=，所以3π22A C =-.22. 已知函数()()2,sin 2x x t f x g x x t -==+，满足()f x 是奇函数，且不存在实数,m n 使得()()f mg n =．（1）求()f x ；（2）若方程()2ln log x af x =恰有两个实根()1212,x x x x <，求实数a 的范围并证明()2211ln e a x a x x g x >．【正确答案】（1）()2121x xf x +=-（2）()0,∞+；证明见解析【分析】（1）利用奇函数性质()()f x f x -=-求解；（2）先将方程()2ln log x af x =化简，分参，将函数零点转化为函数图象交点问题，再利用根和函数性质得到121=x x ，消元证明不等式.【小问1详解】因为()22x xt f x t -=+，且()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x x t t t t ----=-++，所以，122122x x x xt tt t -⋅-=-+⋅+，所以()()()()122122xxx x t t t t-⋅+=-+⋅-，所以2222222222x xx x x x t t t t t t +-⋅-⋅=-+-⋅+⋅，所以222222xxxxt t -⋅=-+⋅，即22222xxt ⨯=⋅，所以21t =，解得1t =±，当1t =时，()2121x xf x -=+，因为()sin g x x=，存在()()000f g ==，不满足题意，当1t =-时，()2121221212121x x x x xf x +-+===+---，当0x >时，21121x +>-，此时()()f xg x >，满足题意，所以1t =-.【小问2详解】由（1）得，()2121x xf x +=-，所以()21log 1x f x x +=-，所以方程()2ln log x af x =恰有两个实根转化为1ln 1x x a x +=⋅-恰有两个实根，转化为()1ln 1x xa x -=+，令()()1ln 1x xp x x -=+，所以()()()()()2211ln 11ln 2ln 11x x x x x x x x x p x x x -⎛⎫++--+- ⎪⎝⎭'==++，令()12ln h x x x x =+-，所以()()22212110x h x x x x +'=++=>，所以()12ln h x x x x =+-单调递增，因为()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0p x '<，()p x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0p x '>，()p x 单调递增，所以()()min 10p x p ==，因为()1ln 1x xa x -=+有两个不等实数根，所以0a >.因为两个实根()1212,x x x x <，所以1201x x <<<，因为()()1122121ln 1ln 11x x x x a x x --==++，所以()()()()12221111ln 11ln x x x x x x +-=+-，整理得：()()()21212121ln1ln 0x x x x x x x x -+-=，因为1201x x <<<，所以1210x x -=且()12ln 0x x =，解得121=x x ，要证()2211ln e a x a x x g x >成立，只需证2121sin ln e a x a x x x >成立，即证1212ln e sin ax a x x x >，由121=x x 得，即证11111lnsin sin e ln e a a a x a x x x ⇒>->，只需证1111ln e e ln 0sin sin a a x a a x x x -⇒<+<⋅，设函数()s ln n e i a q a xx x ⋅+=，()0,1x ∈，()1111ln 1x x a x -=+，因为()s ln n e i a q a xx x ⋅+=为增函数，且当1x =时，0a =，所以()()10q x q <=，所以原不等式成立.①利用奇函数性质化简求t ，注意化简过程；。

河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析

高一数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与2024-︒角终边相同的角是（）A.24︒B.113︒C.136︒D.224︒2.已知集合{34},{20}A x x B x x =∈-<≤=->N∣∣，则()B A ⋂=R ð（）A.{}1,2 B.{}2,1,0-- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--3.已知函数()2,0πsin ,03x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则(1)f -=（）A.2B.12-C.12D.24.函数3()ln(1)f x x x=--的零点所在区间为（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)5.“lg 0x >”的一个必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤-C.2x >- D.||2x >6.设13π21log 3,2,log 3a b c ===，则（）A.b a c >>B.a b c >>C.c a b>> D.a c b>>7.已知1m >，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.132y y y =< D.213y y y <=8.若函数()222,143,1x m x f x x mx m x ⎧-<=⎨-+≥⎩有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.()[),01,-∞⋃+∞C.[)1,2 D.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角α和β的终边关于x 轴对称，则（）A.sin sin αβ=-B.tan tan αβ=C .πsin cos 2αβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D.cos(π)cos αβ-=10.下列说法正确的是（）A.若0x >，则1x x+有最小值2B.若x ∈R ，则241xx +有最大值2C.若x y >，则33x y > D.若0x y <<，则11x y>11.关于幂函数()()1mf x m x -=-，下列结论正确的是（）A.()f x 的图象经过原点B.()f x 为偶函数C.()f x 的值域为()0,∞+ D.()f x 在区间()0,∞+上单调递增12.设函数()f x 的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,,,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()22f x x x =+，则（）A.()323f = B.()3f x 的最小值为1-C.()3f x 在[]1,1-上单调递减D.()31f x -为偶函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.14.已知集合{}{}21,xA xB x x a =<=≥∣∣，若,x A x B ∃∈∈，则实数a 的取值范围是__________.15.函数()4323x f x x -=+的单调递增区间为__________.16.已知函数3322y x =+与函数1122x x y +--=-的图象交于,,M N P 三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角α的终边经过点()sin 30,1P ︒．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin(π)cos 5πcos 2ααα++⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y 均为正数，且1x y +=，求证：4925x y+≥；（2）已知0a b >>，求证：3322a b ab a b+>+.19.已知函数21()21x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是定义域为R 的奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明．20.已知f x b =++（a ，b 均为常数），且(0)1,(1)2f f ==-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对(1,2)x ∀∈，不等式3log [()]2f x m +≤成立，求实数m 的取值范围．21.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =-.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上单调递减，求实数λ的取值范围.22.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之x，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明垃圾和.记C点到城A的距离为km处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB的中点处，求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值.高一数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与2024-︒角终边相同的角是（）A.24︒B.113︒C.136︒D.224︒【答案】C 【解析】【分析】将2024-︒改写为20241363606︒-=-︒⨯︒，根据终边相同角的定义即可求解.【详解】因为20241363606︒-=-︒⨯︒，所以2024-︒角与136︒角终边相同.故选：C2.已知集合{34},{20}A x x B x x =∈-<≤=->N∣∣，则()B A ⋂=R ð（）A.{}1,2 B.{}2,1,0-- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】【分析】根据集合的补集与交集的概念计算即可.【详解】由题意可得，{0,1,2,3,4},{|2}A B x x ==>，∴{|2}B x x =≤R ð，∴(){}0,1,2B A =R ð．故选：C ．3.已知函数()2,0πsin ,03x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则(1)f -=（）A.2B.12-C.12D.2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入计算可得.【详解】由题意可得()π1sin 32f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选：A4.函数3()ln(1)f x x x=--的零点所在区间为（）A.(2,3) B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【答案】B 【解析】【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果.【详解】易知函数3()ln(1)f x x x=--在其定义域(1,)+∞上连续不断，且3(3)ln 210,(4)ln 304f f =-<=->，则函数的零点在区间(3,4)上．故选：B ．5.“lg 0x >”的一个必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤-C.2x >-D.||2x >【答案】C 【解析】【分析】先利用对数函数单调性求得“lg 0x >”的充要条件，然后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可.【详解】由lg 0x >得1x >，要成为“lg 0x >”的必要条件，则{}1x x >是其对应的集合的真子集，而22,42,2x x x -<<-≤-均不满足题意，因为{}1x x >是{}2x x >-的真子集，所以“lg 0x >”的一个必要条件是“2x >-”.故选：C6.设13π21log 3,2,log 3a b c ===，则（）A.b a c >>B.a b c >>C .c a b>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】13π210log 31,21,log 03a b c <===< ，c a b ∴<<．故选：A ．7.已知1m >，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.132y y y =<D.213y y y <=【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可.【详解】二次函数22()2(1)1f x x x x =-=--，其图象的对称轴方程为1x =，而()()112m m -++=，所以()()11f m f m -+=，即13y y =，当1x >时，()f x 是单调增函数，因为1m >，所以11m m +>>，所以()()1f m f m +>，即23y y <，综上，213y y y <=．故选：D ．8.若函数()222,143,1x m x f x x mx m x ⎧-<=⎨-+≥⎩有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()[),01,-∞⋃+∞C.[)1,2D.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】C 【解析】【分析】分析可知，函数()f x 在(),1-∞上有一个零点，在[)1,+∞上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x <时，函数()2xf x m =-单调递增，则函数()f x 在(),1-∞上至多一个零点，当1x ≥时，函数()()()22433f x x mx m x m x m =-+=--至多两个零点，因为函数()f x 有三个零点，则函数()f x 在(),1-∞上有一个零点，在[)1,+∞上有两个零点，当1x <时，令()20xf x m =-=，可得2x m =，必有0m >，解得2log x m =，所以，2log 1m <，解得02m <<；当1x ≥时，由()()()30f x x m x m =--=，可得x m =或3x m =，所以，1313m m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得m 1≥.综上所述，实数m 的取值范围为[)1,2.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角α和β的终边关于x 轴对称，则（）A.sin sin αβ=-B.tan tan αβ=C.πsin cos 2αβ⎛⎫+=⎪⎝⎭D.cos(π)cos αβ-=【答案】AC 【解析】【分析】根据题意2π,k k αβ=-+∈Z ，然后根据诱导公式逐项判断即可.【详解】因为角α和β的终边关于x 轴对称，可得2π,k k αβ=-+∈Z .对于A ，由sin sin(2π)sin k αββ=-+=-，A 正确；对于B ，由tan tan(2π)tan()tan k αβββ=-+=-=-，B 错误；对于C ，由πsin cos cos(2π)cos()cos 2k ααβββ⎛⎫+==-+=-=⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由cos(π)cos cos(2π)cos k ααββ-=-=--+=-，D 错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.若0x >，则1x x+有最小值2B.若x ∈R ，则241xx +有最大值2C.若x y >，则33x y > D.若0x y <<，则11x y>【答案】ACD 【解析】【分析】根据基本不等式和不等式的性质判断．【详解】0x >，则12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，A 正确；x ∈R ，20x>．211141222x x x x =≤++，当且仅当21x =，即0x =时等号成立，因此241x x +的最大值是12，B 错；由不等式的性质知C 正确，因为0x y <<，所以0,0y x xy ->>，所以110--=>y x x y xy ，即11x y>，D 正确，故选：ACD ．11.关于幂函数()()1mf x m x -=-，下列结论正确的是（）A.()f x 的图象经过原点B.()f x 为偶函数C.()f x 的值域为()0,∞+D.()f x 在区间()0,∞+上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】由题意11m -=，得2()f x x -=，利用幂函数的性质判断各选项即可.【详解】由题意，11m -=，所以2m =，即2().f x x -=对于A ，()221f x xx-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，故()f x 的图象不经过原点，A 错误；对于B ，因为221()f x xx-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，2211()()()f x f x x x -===-，故()f x 为偶函数，B 正确；对于C ，由于21()0f x x =>，故值域为(0,)+∞，C 正确；对于D ，由于20-<，故2()f x x -=在区间(0,)+∞上单调递减，D 错误．故选：BC ．12.设函数()f x 的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,,,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()22f x x x =+，则（）A.()323f = B.()3f x 的最小值为1-C.()3f x 在[]1,1-上单调递减 D.()31f x -为偶函数【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得出3()f x 的解析式，即可判断ABC ；求得3(1)f x -的解析式，作出函数的图象，由图象判断D ．【详解】根据题意，由223x x +≤，解得31x -≤≤，232,31()3,33,1x x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以3(2)3f =，故A 正确；当31x -≤≤时，223()2(1)1f x x x x =+=+-，且3()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]3,1--上单调递减，()()()33313,11,33f f f =-=--=，所以31()3f x -≤≤，即3()f x的值域为[]1,3-，故B正确，C错误；因为231,22(1)3,23,2x xf x xx⎧--≤≤⎪-=<-⎨⎪>⎩，则3(1)f x-的图象如图所示，由图可知()31f x-的图象关y轴对称，所以函数()31f x-为偶函数，故D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】2π3【解析】【分析】先根据扇形面积求得弧长，再利用弧长公式求得圆心角.【详解】由扇形面积12S rl=，得13π2lr=，解得2πl=，所以该扇形的圆心角（正角）2π3lrα==.故选：2π314.已知集合{}{}21,xA xB x x a=<=≥∣∣，若,x A x B∃∈∈，则实数a的取值范围是__________.【答案】(,0)-∞【解析】【分析】由命题的真假得出a A∈，从而易得其范围．【详解】{|21}{|0}xA x x x=<=<，{|}B x x a=≥，因为,x A x B∃∈∈，所以a A∈，所以a的范围是(,0)-∞，故答案为：(,0)-∞．15.函数()4323x f x x -=+的单调递增区间为__________.【答案】33(,,)22-∞--+∞【解析】【分析】利用分离常数法，得9()223f x x =-+，结合x 的范围可得答案.【详解】434699()2232323x x f x x x x -+-===-+++，由230x +¹，得32x ≠-，当3(,)2x ∈-∞-时，923y x =+单调递减，()f x 单调递增；当3(,)2x ∈-+∞时，923y x =+单调递减，()f x 单调递增，所以()f x 的单调增区间为33(,),(,)22-∞--+∞．故答案为：33(,,)22-∞--+∞．16.已知函数3322y x =+与函数1122x x y +--=-的图象交于,,M N P 三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，三个交点中一个必是点()1,0-，另外两个点关于点()1,0-对称．不妨记()1,0N -，设11133(,),122M x x x +>-，由1()f x =1()g x 求得1x ，所以此三点中最远的两点间的距离为2||MN ．【详解】不妨记111(1)12333()(1),()2222222x x x x y f x x x y g x +--+-+=+=-===+=-，函数32y x =与22x x y -=-是奇函数且关于坐标原点对称，易知()(),f x g x 两个函数的图象均以点(1,0)-为对称中心，所以三个交点中一个必是点()1,0-，另外两个点关于点()1,0-对称．不妨记()1,0N -，设11133(,),122M x x x +>-，所以1()f x =1()g x ，即111(1)13(1)222x x x +-+=+-，解得111x +=，10x =，则2MN =，所以此三点中最远的两点间的距离为2||MN =．．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角α的终边经过点()sin 30,1P ︒．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin(π)cos 5πcos 2ααα++⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）sin 5α=，cos 5α=（2）12【解析】【分析】（1）根据三角函数定义即可得；（2）结合诱导公式即可得.【小问1详解】由1sin 302︒=，故角α的终边经过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以25sin 5α==，12cos 5α==；【小问2详解】sin(π)cos sin cos 1555πsin 225cos 25αααααα-+++-+==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y 均为正数，且1x y +=，求证：4925x y+≥；（2）已知0a b >>，求证：3322a b ab a b +>+.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1的妙用，结合基本不等式证明即可；（2）利用作差法证明即可.【小问1详解】证明：因为1x y +=，所以4949()()x y x y x y +=++49494913y x y x x y x y ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，又因为0,0x y >>，所以490,0y x x y>>，所以4912y x x y +≥=，当且仅当49y x x y =，即23,55x y ==时取等号，所以4925x y+≥．【小问2详解】证明：33223232a b ab a b a ab b a b+--=-+-2222222()()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+，因为0a b >>，所以20,()0a b a b +>->，所以2()()0a b a b -->，所以33220a b ab a b +-->，即3322a b ab a b +>+．19.已知函数21()21x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是定义域为R 的奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）证明见解析（2）函数()f x 在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数为奇函数；（2）利用定义法证明函数的单调性.【小问1详解】函数21()21x x f x -=+的定义域为R ，对于x ∀∈R ，都有x -∈R ，且211221()()211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以函数()f x 是定义域为R 的奇函数．【小问2详解】函数()f x 在R 上单调递增，证明如下：对于12,x x ∀∈R ，且12x x <，()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，因为12x x <，所以12022x x <<，则12120,10,102222x x x x -<+>+>，则()()120f x f x -<，故函数()f x 在R 上单调递增.20.已知f x b =++（a ，b 均为常数），且(0)1,(1)2f f ==-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对(1,2)x ∀∈，不等式3log [()]2f x m +≤成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2()41(0)f x x x x =-+≥（2）[3,11]．【解析】【分析】（1）由(0)1,(1)2f f ==-，代入函数解析式求出,a b ，得函数()f x 的解析式；（2）不等式等价于0()9f x m <+≤，利用函数()f x 在定义区间内的值域，求实数m 的取值范围．【小问1详解】由f x b =++，得2f b =++，即2()(0)f x x ax b x =++≥，由(0)1,(1)2f f ==-，可得(0)1,(1)12,f b f a b ==⎧⎨=++=-⎩解得1,4.b a =⎧⎨=-⎩所以2()41(0)f x x x x =-+≥【小问2详解】由3log [()]2f x m +≤，可得0()9f x m <+≤，所以对(1,2)x ∀∈，都有0()9f x m <+≤成立．由于22()41(2)3f x x x x =-+=--，所以()f x 在(1,2)上单调递减，且(1)2,(2)3f f =-=-，因此当(1,2)x ∈时，()(3,2)f x ∈--，要使0()9f x m <+≤，则29m -≤，且30m -≥，解得311m ≤≤．故实数m 的取值范围为[3,11]．21.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =-.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上单调递减，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2()2g x x x=--（2）(,0]-∞【解析】【分析】（1）设点(),x y 是()g x 图象上任意一点，则(),x y 关于原点的对称点(),x y --在函数()f x 的图象上，即可求解；（2）2()(1)2(1)1h x x x λλ=-++-+，分为1λ=-，1λ>-与1λ<-三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设点(),x y 是()g x 图象上任意一点，则(),x y 关于原点的对称点(),x y --在函数()f x 的图象上，所以2()2()y x x -=---，即22y x x =--，所以2()2g x x x =--．【小问2详解】222()()()12(2)1(1)2(1)1h x g x f x x x x x x x λλλλ=-+=----+=-++-+，①当1λ=-时，()41h x x =-+在[]1,1-上单调递减，满足题意；②当1λ>-时，要使()h x 在[]1,1-上单调递减，由二次函数的性质可得111λλ-≤-+，解得10λ-<≤，所以10λ-<≤；③当1λ<-时，要使()h x 在[]1,1-上单调递减，由二次函数的性质可得111λλ-≥+，解得1λ<-，所以1λ<-．综上，实数λ的取值范围是(,0]-∞．22.两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为km x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB 的中点处，求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.【答案】（1）0.065（2）0.0625【解析】【分析】（1）由题意得90ACB ∠=︒，由20,AB AC x ==可得22400BC x =-，从而得总影响度的解析式，即可求解；（2）可得2225(320)(400)x y x x +=-，令2320(320,720)x t =∈+，所以5230400()1040y t t=-++，利用基本不等式求解即可得出答案.【小问1详解】点C 在以AB 为直径的半圆上，所以90ACB ∠=︒，由20,AB AC x ==，可得22400BC x =-，由题意可得2249(020)400y x x x =+<<-，因为垃圾处理厂建在弧 AB 的中点处，所以490.065200400200y =+=-，故所求总影响度为0.065．【小问2详解】由（1）知222222222494(400)95(320)400(400)(400)x x x y x x x x x x ⨯-++=+==---，令2320(320,720)x t =∈+，则2320x t =-，所以255(320)(720)2304001040t t y t t t t ==-⨯---+()5,320,720230400()1040t t t=∈-++，因为2304002480960t t +≥=⨯=，当且仅当230400t t =，即480,t x ==此时5510.0625230400960104016()1040y t t =≥==-+-++，故垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值为0.0625．。

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内蒙古集宁一中2017-2018学年高一数学12月月考试题 理
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟 第一卷 （选择题 共60分）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意 每小题5分，共60分。

） 1． 设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *
}，M ＝{x |x 2
－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( )．
A ．{3,4}
B ．{1,5}
C ．{2,3}
D ．{1,4}
2. 下列各组几何体中是多面体的一组是( )
A ．三棱柱、四棱台、球、圆锥
B ．三棱柱、四棱台、正方体、圆台
C ．三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥
D ．圆锥、圆台、球、半球 3. .设
，则
大小关系正确的是（ ） A.
B.
C.
D.
4. 用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为
( )
A ．8 B.8πC.4π D.2
π
5. 已知函数
，若
，则（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 3
6.若函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )
A.14
B. 4 C ．2 D. 1
2
7. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A ．12π B.32
3πC ．8πD ．4π
8. 函数
的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()
A ．1＋3
B ．1＋22
C ．2＋3
D ．2 2
10. .用二分法求方程
的近似解（精确度0.01），先令
则根
据下表数据，方程的近似解可能是( )
A.2.512
B.2.522
C.2.532
D.2.542
11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
2π3B ．πC.4π
3
D ．12π 12. 若定义在
R
上的偶函数
)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当
[]x x f y x x f x 3log )(,)(1,0-==∈则函数时，的零点个数是 （ ）
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
第二卷 （非选择题 共90分） 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为_______. 14. 函数)32(log )(2
2
1--=x x x f 的单调递增区间是_________.
15. 已知2a ＝5b
＝10，则1a ＋1b
＝________.
16. .若函数有两个零点，则实数的取值范围是______.
三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分10分) 已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
6
x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B
＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值.
18. （本小题满分12分）
求值：
(2) 已知＝5，求：a 2
＋a －2
;
19. （本小题满分12分） 已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，18. (1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
20. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝3x
，f (a ＋2)＝81，g (x )＝1－a
x
1＋a
x .
(1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性； (2)用定义证明：函数g (x )在R 上是单调递减函数； (3)求函数g (x )的值域.
21. （本小题满分12分）已知一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．
(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;
(2)当x 为何值时，S 最大？并求S 的最大值.
22. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln (3＋x )＋ln (3－x )．
(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(3)若f (2m －1)＜f (m )，求m 的取值范围． 高一年级第三次月考理科数学参考答案 一、选择题 DCBBC DAACC AB 二、填空题
13. 4∶9 14. (－∞，－1) 15. 216.
三、解答题
17. 【解析】 由
6x ＋1≥1，得x －5x ＋1
≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．
又∵B ＝{x |x 2
－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， ∴有42
－2×4－m ＝0，解得m ＝8.
此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.
18. （1） 2 （2） 7
19【解】(1)由题意，得f (2)＝2a ＝18
，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3
.
(2)∵f (x )＝x －3
＝1x
3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
∵f (－x )＝(－x )－3
＝－x －3
＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．
当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3
，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )
是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 20. 【解】 (1)由f (a ＋2)＝3
a ＋2
＝81，得a ＋2＝4，故a ＝2，则g (x )＝1－2
x
1＋2
x ，
又g (－x )＝1－2－x
1＋2－x ＝2x
－1
2x
＋1＝一g (x ) 故g (x )是奇函数．
(2)证明：设x 1<x 2∈R ，g (x 1)－g (x 2)＝112121x x +-－222121x x +-＝)
21)(21()
22(22
112x x x x ++- ∵x 1<x 2，∴21
22
x x <，
∴g (x 1)－g (x 2)>0，即g (x 1)>g (x 2)，则函数g (x )在R 上是单调递减函数． (3)g (x )＝1－2x
1＋2x ＝2－＋2
x
1＋2
x
＝
2
1＋2
x －1. ∵2x >0,2x
＋1>1，∴0<11＋2x <1,0<21＋2x <2，－1<21＋2x －1<1，
故函数g (x )的值域为(－1,1)．
21. 【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r
2＝6－x 6，得r ＝6－x
3
，
∴S ＝－23
x 2
＋4x (0<x <6)．
(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2
＋6，
∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2
.
22. 【解】 (1)要使函数有意义，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3＋x >0
3－x >0，解得－3＜x ＜3，
故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln (3－x )＋ln (3＋x )＝f (x )， ∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝ln (3＋x )＋ln (3－x )＝ln (9－x 2
)，
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x ＜3时，函数y ＝f (x )为减函数． 又函数y ＝f (x )为偶函数，∴不等式f (2m －1)＜f (m )，等价于|m |＜|2m －1|＜3， 解得－1＜m ＜1
3或1＜m ＜2.。

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