高一数学必修4知识总结及典型例题(精简版)

数学必修4知识点总结

第一章：三角函数

1、与角α终边相同的角的集合： .

§1.1.2弧度制 1、1弧度的角的定义 . （≈rad 1 ） 2、 圆心角公式： （ 扇形周长 = ） 3、弧长公式： . 4、扇形面积公式： .

[例1] 已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积为 cm 2.

[例2] 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则扇形的面积为

§1.2.任意角的三角函数

1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么=αsin ，=αcos ，=αtan

2、设点(),A x y

为角

α终边上任意一点，那么（设r =

=αsin ，=αcos ，=αtan

3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号：

§1.2.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：

（2）商数关系： .

[例1] 已知点的类型：角α的终边经过点)4,3(a a P -，那么ααcos 2sin +的值等于

[例2] 已知函数值的类型：已知tan()24πα+=,求（1）ααααcos sin cos sin -+的值；（2）α

α2

2cos sin 1- 的值。

§1.3、三角函数的诱导公式

1、αsin ，αcos ，αtan 在各个象限的正负：

2、απ±与α±或απ±k 2Z k ∈：概括为“函数名不变，符号看象限”

3、

απ

±2 与

απ

±2

3：概括为

[例1] 已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限。

[例2] 已知α是第三象限角，那么2

α

是 （ ）

A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角

[例3] 已知角α终边上一点)3,4(-P ，求)

29sin()211cos()

sin()2cos(απαπαπαπ

+---+的值.

§1.4.正弦、余弦、正切函数的图象和性质

1、会用五点法作图：sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为：

2、周期函数公式：=T ，

周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时， 都有 ，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.

x y sin =

x y cos =

x y tan =

图象

定义域 R

R

值域

R

最值

无

周期性 奇偶性

单调性

Z k ∈

在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递增

在 上单调递减

在 上单调递增

对称性

Z k ∈

对称轴方程： 对称中心

对称轴方程： 对称中心

无对称轴

对称中心

§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象：1、A 是 ； ϕ是 ； 相位是 ； 2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.

[例1] 函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3

2sin(3π-=x y 的图象（ ）

（A ）向左平移个

6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3

π单位 [例2] 函数212sin ()4

y x π

=--是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数

B. 最小正周期为π的奇函数

C. 最小正周期为2π的偶函数

D. 最小正周期为2π

的奇函数

[例3] 由函数x y sin =的图象如何变换得到)3

2sin(3π

+

=x y 的图象？ （ 先平移后伸缩法）

[例4] 求函数)3

2

1tan(π+=x y 的周期、定义域和单调区间。

第三章、三角恒等变换

1、 两角和与差的

正弦： =±)sin(βα 余弦：=±)cos(βα 正切：=+)tan(βα =-)tan(βα 2、 二倍角：正弦： =α2sin 正切：=α2tan

余弦：=α2cos = =

升幂公式：2

2

1cos 22cos 1cos 22sin αααα

⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)

2

1sin (1cos 2)2

αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩

3、辅助角公式：=+=x b x a y cos sin （其中辅助角ϕ所在象限由tan b

a

ϕ=

与点(,)a b 的象限决定). [例1] 若均βα,为锐角，==+=

ββααcos ,5

3

)(sin ,552sin 则 。

[例2] 已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2

,2(π

πβα-

∈、，求βα+的值.

[例3] 函数x x y cos sin 3+=，]2

,2[π

π-

∈x 的最大值和增区间。

[例4]已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02

A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为

2(

,2)3M π

-.（1）求()f x 的解析式；

（2）求()f x 的单调递增区间. (1答案：()2sin(2)6

f x x π=+