高一数学必修4知识总结及典型例题(精简版)
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题[2]
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高中数学必修四 第一章知识点归纳第一：任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类(正角、负角、零角和象限角)，正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k zββπα=+∈ ,弧度制,弧度与角度的换算,弧长lr α=、扇形面积21122s lr r α==,二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0）,那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
三：同角三角函数的关系式与诱导公式:1.平方关系：22sin cos 1αα+=2. 商数关系:sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变,符号看象限.正弦余弦正切第二、三角函数图象和性质基础知识：1、三角函数图像和性质1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。
高中数学 必修4知识点(完整知识点梳理及经典例题答案详解)
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、考纲要求：1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．二、知识点梳理1、考点一：角的有关概念从运动的角度看，角可分为、和从终边的位置来看，角可分为和轴线角。
2、考点二：弧度的概念与公式在半径为r的圆中，3、考点三：任意角的三角函数三、要点探究【例1】 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos θ＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3【例2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【例3】 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.第二节 同角三角函数关系式与诱导公式一、考纲要求：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．二、知识点梳理1、考点一：同角三角函数基本关系式㈠ 平方关系：㈡商数关系： 2、考点二：诱导公式三、要点探究【例1】 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝________.【例2】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos (α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 【例3】 在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．第三节 三角函数的图象与性质一、考纲要求：1．画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质． 二、知识点梳理正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质三、要点探究【例1】 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)已知sin x ＋sin y ＝23，则23＋sin y －cos2x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤112，73B.⎣⎡⎦⎤－1，73C.⎣⎡⎦⎤112，1 D.⎣⎡⎦⎤112，79【例2】 求下列函数的单调区间： (1)y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3；(2)y ＝－⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 【例3】 (1)若函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A>0)满足f(1)＝0，则( ) A ．f(x －2)一定是奇函数B ．f(x ＋1)一定是偶函数C ．f(x ＋3)一定是偶函数D ．f(x －3)一定是奇函数(2)函数f(x)＝(sin x ＋cos x)2的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π第四节 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用一、考纲要求：1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．二、知识点梳理1、考点一：y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念及五点法描图 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝Asin (ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝Asin (ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示2、考点二：函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的步骤三、要点探究【例1】 设x ∈R ，函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【例2】 (1)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4【例3】 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R)的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f(x)的取值范围． 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、考纲要求：1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．二、知识点梳理1、考点一、两角和与差的三角函数公式sin (α±β)＝ cos (α±β)＝ tan (α±β)＝ 其公式变形为：tan α＋tan β＝ tan α－tan β＝tan αtan β＝ 2、考点二、 二倍角公式sin 2α＝ cos 2α＝ ＝ ＝tan 2α＝.其公式变形为：sin 2 α＝cos 2 α＝三、要点探究：【例1】 4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2 B.2＋32C.3 D ．22－1 【例2】 已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 【例3】 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g(x)＝2sin2x2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合．第六节 简单的三角恒等变换一、考纲要求：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)． 二、知识点梳理 考点 半角公式【例1】 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1【例2】 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f(x)＝2f(－x)，求cos2x －sin xcos x1＋sin2x的值；(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．【例3】 已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋cos2x ＋a. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 第七节 平面向量的概念及线性运算一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识点梳理1、考点一、向量的有关概念2、考点二、向量的线性运算3、考点三、线性向量运算共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得三、要点探究【例1】给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．【例2】(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，向量AB＋AD＝λAO，则λ＝________.＝3BF，若AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，则m＋n＝________.【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若向量AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．第八节 平面向量基本定理及坐标表示一、考纲要求：1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、知识点梳理1、考点一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．考点二、平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝λa ＝ ，|a|＝ .2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB ＝考点三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，当且仅当 时，向量a ，b 共线．【例1】 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若向量DE ＝λ1 AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【例2】 已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 【例3】 (1)若向量MN ＝(－1,3)，NP ＝(3，t)，且MN ∥NP ，则向量MP ＝( )A ．(1,3)B ．(2，－6)C ．(－3,2)D ．(3,2)(2)设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a ∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第三节平面向量的数量积及平面向量的应用一、考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2..掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3..能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．二、知识点梳理考点一、平面向量的数量积1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作O＝a，O＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝，a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ .(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．考点二、数量积的性质与运算律1．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝(2)a⊥b⇔(3)a·a＝，|a|＝a·a.a·b.(4)cos 〈a，b〉＝|a||b|(5)|a·b| |a||b|.2．数量积的运算律(1)交换律：a·b ＝ .(2)分配律：(a ＋b)·c ＝ .(3)对λ∈R ，λ(a·b)＝ ＝考点三、 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)要点探究：【例1】 (1)在四边形ABCD 中，向量AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B ．25 C ．5 D ．10(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则向量AE·BD ＝________.【例2】 (1)平面向量a 与b 的夹角为60°， |a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．10(2)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．【例3】 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b|＝ 2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．.。
高一数学必修4知识点及习题
必修4第一章三角函数与角终边相同的角的集合} {|ββ=，特殊角的弧度与角度换算角度3004506009001201350150018002100225024002703000315033003600弧度弧长公式：、扇形面积公式：三角函数值在各象限的符号（画出坐标图表示、写出口诀）正弦：余弦：正切：同角三角函数的关系式平方关系： 2. 商数关系：诱导公式——口诀：正弦余弦正切必做题：1、tan(600)-=，sin225︒=。
2、α的终边与6π的终边关于直线xy=对称，则α＝_____。
3、已知扇形AOB的周长是6cm，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= 。
4、设a<0,角α的终边经过点P（－3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于。
5、函数2cos1y x=-的定义域是_____。
61150-︒2sin的结果是。
必做题：1、集合{2ππ4ππ|+≤≤+k k αα，∈k Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）D ）2、已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是 。
3.已知α是第二象限角，那么2α是 （ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角4、若cos 0,tan 0αα<>5、已知角α终边上一点P （－4，3），求：)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+6、已知1sin ,cos 3θθθθ=⋅是第二象限角，求tan 的值。
()()()()()()sin +sin -cos +cos -=tan +tan -αβαβαβαβαβαβ=⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩sin 2cos 2==tan 2ααα=⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩必做题：1、已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα 。
2、若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则 。
高中数学必修4知识点与习题 带答案
高中数学必修4知识点第一章 基本初等函数二 （三角函数）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴综合型训练函数性质一、选择题1． 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）A ． 34B ． 34-C ． 34±D ． 32． 函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（ ） A ． {}3,1,0,1- B ． {}3,0,1- C ． {}3,1- D ． {}1,1- 3． 若α为第二象限角，那么α2sin ，2cosα，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个4． 已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ． 21mm- B ． 21m m-- C ． 21m m-± D ． m m 21-±5． 若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）． A ． 2 B ． 2- C ． 2-或2 D ． 06． 已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）． A ． 231+-B ． 231+-C ． 231-D ． 231+ 二、填空题1． 若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____．2． 若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________． 3． 设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角． 4． 与02002-终边相同的最大负角是_______________．5． 化简：0360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________．三、解答题1． 已知,9090,90900<<-<<-βα求2βα-的范围．2． 已知⎩⎨⎧>--<=,1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34()31(f f +的值．3． 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值．（2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值．4． 求证：22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα-+=-+第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ．综合型训练 一、选择题 1． 方程1sin 4x xπ=的解的个数是（ ）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 82． 在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A ． )45,()2,4(ππππ B ． ),4(ππC ． )45,4(ππD ． )23,45(),4(ππππ 3． 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A ． 2πB ．4π-C ． 4πD ． 34π4． 已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+ 则（ ）A ． P Q <B ． P Q >C ． P Q =D ． P 与Q 的大小不能确定5． 如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T , 且当2x =时取得最大值,那么（ ） A ．2,2T πθ==B ． 1,T θπ==C ． 2,T θπ==D ．1,2T πθ==6． x x y sin sin -=的值域是（ ） A ． ]0,1[- B ． ]1,0[ C ． ]1,1[- D ． ]0,2[- 二、填空题 1． 已知x a a x ,432cos --=是第二、三象限的角，则a 的取值范围___________．2． 函数)(cos x f y =的定义域为)(322,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ，则函数)(x f y =的定义域为__________________________． 3．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是___________________________． 4． 设0ϖ>，若函数()2sin f x x ϖ=在[,]34ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________． 5．函数)sin(cos lg x y =的定义域为______________________________． 三、解答题1． （1）求函数xx y tan log 221++=的定义域．（2）设()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值与最小值． 2． 比较大小（1）32tan3tan2,2ππ；（2）1cos ,1sin ．3． 判断函数x x xx x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=的奇偶性．4． 设关于x 的函数22cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ， 试确定满足1()2f a =的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值．第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：baC BAa b C C -=A -AB =B⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．基础型训练 一、选择题1． 化简AC -BD +CD -AB 得（ ） A ． AB B ． C ． BC D ． 02． 设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ． 00a b =B ． 001a b ⋅=C ． 00||||2a b +=D ． 00||2a b += 3． 已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4． 下列命题中正确的是（ ） A ． 若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ． 若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ． 若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ． 若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25． 已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A ． 3- B ． 1- C ． 1 D ． 36． 已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值， 最小值分别是（ ）A ． 0,24B ． 24,4C ． 16,0D ． 4,0 二、填空题1． 若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2． 平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅=，则向量b =____．3． 若3a =,2b =，且与的夹角为060，则a b -= ．4． 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________．5． 已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使bt a +最小，则实数t 的值为___________． 三、解答题1． 如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2． 已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模．3． 已知点(2,1)B -，且原点O 分→AB 的比为3-，又(1,3)b →=，求→b 在→AB 上的投影．4． 已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？提高型训练一、选择题1． 若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ． 3,5a b ==-B ． 10a b -+=C ． 23a b -=D ． 20a b -=2． 设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP， ()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A ． 2B ． 3C ． 23D ． 32 3． 下列命题正确的是（ ）A ． 单位向量都相等B ． 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ）C ． ||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ． 若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅= 4． 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（ ）A ． 7B ． 10C ． 13D ． 4 5． 已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为A ． 6πB ． 4πC ． 3πD ． 2π6． 若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( ) A ． )2,4( B ． )2,4(-- C ． )3,6(- D ． )2,4(或)2,4(-- 二、填空题1． 已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b-的最大值是 ．2． 若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状_________． 3． 若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________． 4． 若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += ．5． 平面向量,中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b =，则向量=______．三、解答题1． 已知,,a b c 是三个向量，试判断下列各命题的真假． （1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量．2． 证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++3． 平面向量13(3,1),(,)2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =．4． 如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．一、选择题 1．B000tan 600,4tan 6004tan 604aa ==-=-=--2． C 当x 是第一象限角时，3y =；当x 是第二象限角时，1y =-； 当x 是第三象限角时，1y =-；当x 是第四象限角时，1y =- 3． A22,(),4242,(),2k k k Z k k k Z ππαππππαππ+<<+∈+<<+∈,(),422k k k Z παπππ+<<+∈2α在第三、或四象限，sin 20α<，cos2α可正可负；2α在第一、或三象限，cos2α可正可负4．Bsin cos tan cos αααα===5．sin sin cos cos cos ααααα+=+，当α是第二象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα+=-+=；当α是第四象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα+=-=6．B41,cos sin 32πααα=-=-+=二、填空题1．二，-cos 0α=<，则α是第二、或三象限角，而20y P =>得α是第二象限角，则12sin ,tan 23x x αα===-=-2． (21)k βαπ=++3． 一、二07.4122,2ππ<-<得1α是第一象限角；9.994,2πππ<-+<得2α是第二象限角4． 0202-00020025360(202)-=-⨯+- 5． 000000tan 00,cos900,sin1800,cos 2700,sin 3600===== 三、解答题 1． 解：0000009090,4545,9090,2ββα-<-<-<-<-<<()22ββαα-=+-，001351352βα-<-<2． 解：11411()cos ,()()1332332f f f π===-=-14()()033f f ∴+=3． 解：（1）222222222121sin cos tan 2173434sin cos 34sin cos tan 112x x x x x x x x +++===++ （2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x xx x x x x x -+-+=+22tan tan 17tan 15x x x -+==+ 4． 证明：右边2(1sin cos )22sin 2cos 2sin cos αααααα=-+=-+- 2(1sin cos sin cos )2(1sin )(1cos )αααααα=-+-=-+22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα∴-+=-+综合训练一、选择题1． C 在同一坐标系中分别作出函数121sin ,4y x y x π==的图象，左边三个交点， 右边三个交点，再加上原点，共计7个2． C 在同一坐标系中分别作出函数12sin ,cos ,(0,2)y x y x x π==∈的图象，观察：刚刚开始即(0,)4x π∈时，cos sin x x >； 到了中间即5(,)44x ππ∈时，x x cos sin >；最后阶段即5(,2)4x ππ∈时，cos sin x x >3． C 对称轴经过最高点或最低点，()1,sin(2)128882f k ππππϕϕπ=±⨯+=±⇒⨯+=+ ,4k k Z πϕπ=+∈4． B ,sin cos ;sin cos 222A B A B A B B A B A πππ+>>-⇒>>-⇒>sin sin cos cos ,A B A B P Q ∴+>+> 5． A 22,(2)sin(2)1,T f ππθθπ===+=可以等于2π6． D 0,sin 0sin sin 202sin ,sin 0x y x x y x x ≥⎧=-=⇒-≤≤⎨<⎩二、填空题1． 3(1,)2- 23023341cos 0,10,,1234214a a ax a a a a -⎧<⎪-⎪--<<-<<-<<⎨--⎪>-⎪-⎩2． 1[,1]2-2122,cos 1632k x k x ππππ-≤≤+-≤≤ 3． 28[4,4],33k k k Z ππππ++∈ 函数cos()23x y π=-递减时，2223x k k ππππ≤-≤+4． 3[,2]2 令,,2222x x ππππωωω-≤≤-≤≤则[,]22ππωω-是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[,]34ππ-⊆[,]22ππωω-，则3422232ππωωππω⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩5． (2,2),()22k k k Z ππππ-+∈ sin(cos )0,1cos 1,0cos 1,x x x >-≤≤∴<≤而 22,22k x k k Z ππππ-<<+∈三、解答题1． 解：（1）12042log 0tan 02x x k x k x πππ<≤⎧+≥⎧⎪⎪⇒⎨⎨≤<+⎪⎪≥⎩⎩得02x π<<，或4x π≤≤(0,)[,4]2x ππ∴∈（2）0,0sin 1x x π≤≤≤≤当时，而[01]，是()cos f t t =的递减区间 当sin 1x =时，min ()cos1f x =； 当sin 0x =时，max ()cos 01f x ==．2． 解：（1）2tan tan 332tan tan,2233ππππ>∴>； （2）1,sin1cos142ππ<<∴>3． 解：当2x π=时，()12f π=有意义；而当2x π=-时，()2f π-无意义，()f x ∴为非奇非偶函数．4． 解：令cos ,[1,1]x t t =∈-，则222(21)y t at a =--+，对称轴2at =， 当12a <-，即2a <-时，[1,1]-是函数y 的递增区间，min 112y =≠； 当12a >，即2a >时，[1,1]-是函数y 的递减区间，min 141,2y a =-+= 得18a =，与2a >矛盾；当112a-≤≤，即22a -≤≤时，22min 121,43022a y a a a =---=++=得1,a =-或3a =-，1a ∴=-，此时max 415y a =-+=．第二章 平面向量 基础训练参考答案一、选择题1． D 0AD BD AB AD DB AB AB AB --=+-=-= 2． C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==3． C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥；（3）2222()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-=（4）平行时分00和0180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅4． D 若AB DC =，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；a b a b +<+ 若//a b ，则a 在b 上的投影为a 或a -，平行时分00和0180两种20,()0a b a b a b ⊥⇒==5． C 31(3)0,1x x +⨯-==6． D 2(2cos 3,2sin 1),|2|(2cos a b a b θθθ-=-+-=-==4，最小值为0二、填空题1． (3,2)-- (9,6)AB OB OA =-=-- 2． 43(,)55- 5,cos ,1,,a ba ab a b a b=<>==方向相同，143(,)555b a ==-3．222()2922a b a b a ab b -=-=-+=-⨯=4． 圆 以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆 5． 45-22222()258a tb a tb a tab t b t t +=+=++=++45t =-时即可三、解答题1． 解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=- 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+2． 解：22(2)(3)672a b a b a a b b +-=--=-2220cos 60672,2240,a a b b a a --=---=(4)(2)0,4a a a -+==3． 解：设(,)A x y ，3AOOB=-，得3AO OB =-，即(,)3(2,1),6,3x y x y --=--==- 得(6,3)A -，(4,2),20AB AB =-=5cos 10b AB b ABθ==4． 解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反． 提高型答案一、选择题1． C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--= 2． C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---122(2PP ==≤=3． C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b =时，与可以为任意向量；||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角 4．C2236916cos a b a a b b +=++=+=5． C 21cos ,423a b a bπθθ====6．D设(2,),b ka k k==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或二、填空题1． 4 2(2cos 3,2sin 1),288sin()43a b a b πθθθ→→-=-+-=+-≤=2． 直角三角形 (1,1),(3,3),0,AB ACAB AC AB AC ==-=⊥3．),(2222--或设所求的向量为22(,),220,1,2x y x y x y x y -=+===±4．由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222446a b a b a b a b a b a b ++-=+⇒+=+--=+⨯-=5． 43(,)55- 设2243(,),435,1,,55b x y x y x y x y =-=+===- 三、解答题1． 解：（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =，这是一个假命题 因为,()0a b a c a b c ⋅=⋅⋅-=，仅得()a b c ⊥- （2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b的夹角），方向与a在b 相同或相反的一个向量． 这是一个假命题因为向量a 在b 的方向上的投影是个数量，而非向量．2． 证明：设(,),(,)x a b y c d ==，则2222,,x y ac bd x a b y c d =+=+=+而cos ,cos x y x y x y x y x yθθ==≤ 即x y x y≤，得2222ac bd a b c d +≤++22222()()()ac bd a b c d ∴+≤++3． 解：由13(3,1),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b ===22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=-4． 解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-.cos 2121)(222222θa a BCPQ a BCPQ a AC AB AP a APAB AC AP a AC AB AQ AB AC AP AQ AP +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ教。
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)
平面向量【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。
（9）若ma na =，则m n =。
(完整版)高一数学必修4三角函数知识点及典型练习
第一、任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长lr α=、扇形面积21122s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
三角函数值在各象限的符号：三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：22sincos 1αα+= 2. 商数关系：sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦余弦正切4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⎪±=±⎪⎪±=⎨⎪±⎪±=⎪⎩m m5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα⎧⎪=⎪=-=-=-⎨⎪⎪=-⎩余弦二倍角公式变形： 222cos1cos2,2sin 1cos2αααα=+=-第二、三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。
3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ϕ=⇒=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ϕωϕ=+⇒=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ωϕωϕ=+⇒=+ 4、求函数sin()y A x ωϕ=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
数学必修4知识点归纳总结
数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。
练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。
求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。
过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。
如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。
角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。
高一数学必修4知识点归纳加题型
高一数学必修4知识点归纳加题型高一数学必修4是一门重要的学科，涵盖了许多重要的数学知识点。
在本文中，将对高一数学必修4中的知识点进行归纳整理，并附加一些相关的题型，以帮助同学们更好地掌握这些知识。
1. 函数与方程1.1 一次函数一次函数的数学表示形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
常见的题型包括求解线性方程组，求解一次函数的图像等。
示例题：已知一次函数的图像为直线y = 2x - 3，求函数的解析式。
1.2 二次函数二次函数的数学表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数。
常见的题型包括求顶点坐标，求零点，绘制二次函数的图像等。
示例题：已知二次函数的顶点坐标为(-2, 5)，且过点(1, 2)，求函数的解析式。
2. 三角函数2.1 正弦函数正弦函数的数学表示形式为y = A*sin(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为初相位，D为垂直位移。
常见的题型包括求解三角方程，求解三角函数的图像等。
示例题：在区间[0, 2π]上，求解方程sin(2x) = 1的解。
2.2 余弦函数余弦函数的数学表示形式为y = A*cos(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为初相位，D为垂直位移。
常见的题型包括求解三角方程，求解三角函数的图像等。
示例题：在区间[0, 2π]上，求解方程cos(2x) = -1/2的解。
3. 平面向量平面向量的数学表示形式为A = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
常见的题型包括向量的加法、减法，向量的数量积，向量的模等。
示例题：已知向量A = (2, -1)，向量B = (-3, 4)，求向量A与向量B的数量积。
4. 解析几何4.1 直线和圆的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
圆的标准方程为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径长度。
高一数学必修4知识总结及典型例题(精简版)
数学必修4知识点总结第一章：三角函数1、与角α终边相同的角的集合： .§1.1.2弧度制 1、1弧度的角的定义 . （≈rad 1 ） 2、 圆心角公式： （ 扇形周长 = ） 3、弧长公式： . 4、扇形面积公式： .[例1] 已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积为 cm 2.[例2] 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则扇形的面积为§1.2.任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么=αsin ，=αcos ，=αtan2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么（设r ==αsin ，=αcos ，=αtan3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号：§1.2.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）商数关系： .[例1] 已知点的类型：角α的终边经过点)4,3(a a P -，那么ααcos 2sin +的值等于[例2] 已知函数值的类型：已知tan()24πα+=,求（1）ααααcos sin cos sin -+的值；（2）αα22cos sin 1- 的值。
§1.3、三角函数的诱导公式1、αsin ，αcos ，αtan 在各个象限的正负：2、απ±与α±或απ±k 2Z k ∈：概括为“函数名不变，符号看象限”3、απ±2 与απ±23：概括为[例1] 已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限。
[例2] 已知α是第三象限角，那么2α是 （ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角[例3] 已知角α终边上一点)3,4(-P ，求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值.§1.4.正弦、余弦、正切函数的图象和性质1、会用五点法作图：sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为：2、周期函数公式：=T ，周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时， 都有 ，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR值域R最值无周期性 奇偶性单调性Z k ∈在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递增在 上单调递减在 上单调递增对称性Z k ∈对称轴方程： 对称中心对称轴方程： 对称中心无对称轴对称中心§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象：1、A 是 ； ϕ是 ； 相位是 ； 2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.[例1] 函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)32sin(3π-=x y 的图象（ ）（A ）向左平移个6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3π单位 [例2] 函数212sin ()4y x π=--是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为2π的偶函数D. 最小正周期为2π的奇函数[例3] 由函数x y sin =的图象如何变换得到)32sin(3π+=x y 的图象？ （ 先平移后伸缩法）[例4] 求函数)321tan(π+=x y 的周期、定义域和单调区间。
高中数学必修四数列知识点总结与典例练习
暑期补习资料（四）——数列专题一、基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n . 3．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .4．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.等比数列的相关性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k .(5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n，T 3n T 2n ，…成等比数列．二、典型例题1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122.(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝( ) A ．25 B ．27 C ．50D ．543.(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．404.设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于( ) A ．15B ．17C ．19D ．215.在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．126.已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项和S 5＝( )A.3312 B ．31C.314D ．以上都不正确7.(2019·豫北重点中学联考)数列{a n }满足a 4＝27，a n ＋1＝－3a n (n ∈N *)，则a 1＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1D ．－38.(2019·绵阳诊断性考试)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152 B ．314 C.334D ．1729.(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 210.(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－5011.(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .12.(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．13.(2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1(a n ＋a n ＋2)2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .14.(2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．15.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .16.(2019·兰州诊断性测试)设数列{a n＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127.(1)求a5的值；(2)求数列{a n}的前n项和．17.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝a n n.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．18.(2019·湖北八校联考)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a n＋2＝4a n＋1－4a n.(1)求证：数列{a n＋1－2a n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．三、数列求和常用方法题型一 分组转化法求和若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减．[典例] (2019·吉林调研)已知数列{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝8，{b n }是等差数列，b 1＝3，b 4＝12.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[针对训练](2018·焦作四模)已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n －a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .题型二 错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.[典例] (2019·南昌模拟)已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .[针对训练]1．数列12，34，58，716，…的前10项之和为________．2．(2019·临川一中质检)已知等差数列{a n }满足a 3＝5，其前6项和为36，等比数列{b n }的前n 项和S n ＝2－12n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .题型三 裂项相消法求和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n 项和.[典例] (2019·湖南十三校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n . (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝1a n ＋1＋1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[针对训练]1．(2019·成都检测)在递减的等差数列{a n }中，a 1a 3＝a 22－4.若a 1＝13，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143 B ．1143 C.2413 D ．6132．(2018·潍坊二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0(n ∈N *)，S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 12a 2n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n .[方法技巧]1．用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．2．几种常见的裂项方式求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法 (1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。
数学高一必修四几何知识点总结
数学高一必修四几何知识点总结一、知识概述《高一必修四几何知识点》①基本定义：高一必修四几何主要涉及平面向量等知识。
平面向量就是既有大小又有方向的量，可以把它想象成既有长度又有指向的箭头。
像在生活里，力和速度就是典型的向量，力有大小并且朝着一定方向推或者拉东西，速度也是有快慢并且朝着某个方向运动。
②重要程度：它是高中数学的重要内容，在数学的各个领域，像物理学研究物体运动中力和加速度等关系、解析几何里可以用来解题等都有重要意义。
算是桥梁类的知识，连接了代数和几何。
③前置知识：需要一些初中的平面几何基础知识，比如三角形、平行四边形等图形的性质等知识，还要有一定的运算能力。
④应用价值：在很多实际场景有用。
比如在建筑工程中计算物体受力情况，力就是向量，如果知道几个力向量就可以合成算出总的作用力方向和大小。
二、知识体系①知识图谱：在高中数学体系里，平面向量这部分知识是独立又与其他知识联系紧密的分支。
它上承初中几何知识，下启高中很多数学分支的解题思路。
②关联知识：与平面几何紧密联系，就像三角形的三条边如果看成向量的话，很多性质可以通过向量来体现。
还和三角函数也有关联，通过向量的坐标等可以和三角函数结合起来。
③重难点分析：重难点在于向量的概念和运算规则的理解和运用。
向量运算有加法、减法、数乘、点积等，这些运算既有坐标形式又有几何形式，得理解清楚。
理解向量的方向和它与其他向量的夹角等很关键。
④考点分析：考试里分量很重，会以选择题考查向量概念，填空题考查向量的简单运算，解答题经常会综合其他知识考查向量在几何或者物理中的应用。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：平面向量概念关键在于有方向和大小。
比如从家到学校的位移就是向量，位移的距离是大小，从家指向学校这个方向就是方向。
②特征分析：向量可以平移，只要方向和大小不变，那么就是同一个向量。
它可以用有向线段表示。
③分类说明：分零向量（大小为0，方向任意）、单位向量（大小为1的向量）、平行向量（方向相同或者相反的向量）、相等向量（大小和方向都相同的向量）等。
高中数学必修4知识点总结(精华实用版)
第一章 三角函数{1、任意角正角: 负角: 零角:2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 如：-1350（ ）1350（ ）950（ ）-950( )-6300（ ）6300( )-7000（ ）7000（ ）第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为3、与角α终边相同的角的集合为 4 、1弧度的角:半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α= ．5、弧度制与角度制的换算公式：π=( )0,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．1800= rad ，10= rad 如：150= rad, 512π= 06、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l = ，2C r l =+，S = = ．7、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin α= ，cos α= ，()tan 0x α=≠ ．8、三角函数在各象限的符号：9、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=（变式： ， ）；()sin 2tan cos ααα=．(变式: , )10、三角函数的诱导公式：(口诀：函数名称不变，符号看象限．)()()1sin 2k πα+= ，()cos 2k πα+= ，()tan 2k πα+= ． ()()2sin πα+= ，()cos πα+= ，()tan πα+= ． ()()3sin α-= ，()cos α-= ，()tan α-= ． ()()4sin πα-= ，()cos πα-= ，()tan πα-= ．()5sin 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ，cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．()6sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．1112、（课本52页第二段）关于ωϕA 、、对()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的影响 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅A ；②周期2πωT =；③频率12f ωπ==T；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m ax m in 12y y A =-，()m axm in12y y B =+，()21122x x x x T =-<第二章 平面向量1、向量： 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．如：A B 记作零向量：长度为 的向量．记作 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）： 的非零向量．零向量与任一向量 ．记作 相等向量： ． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．首尾连⑵平行四边形法则的特点：共起点．共起点之对角线⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+r r r r r r⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+r r r r ；②结合律： ()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则a b +=rr （ ）．3、向量减法运算：⑴减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuur rAB 或 a 。
uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若e是单位向量，则| e| 1。
r r4.零向量：长度为 0 的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
8.三角形法则：uuur uuur AB BA。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。
当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。
高一数学必修4常考点总结与归纳(简约版)
高中数学必修4复习资料⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 二象限{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限．）()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y xω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．函数性质⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．baC B Aa b C C -=A -AB =B⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则12cos a b a bx θ⋅==+24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin 22sin cos ααα=． （2） (3)22tan tan 21tan ααα=-(4)2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． 26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 基础训练题一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30° B．-30° C．630° D．-630°2、角α的终边落在区间（－3π,－52 π）内,则角α所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．25 4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππ21sin 2(sin cos )ααα±=±2572518257-2518-C ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5、函数)3x 2sin(3y π+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（ ）.A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 6、与函数tan(2)4y x π=+的图象不相交的一条直线是（ ）.A ．2x π=B ．2y π=C ．8x π=D ．8y π=7、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．tan 1α 8、已知sinαcosα = 18 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）A ．±34B ．±23C ．23D ．－239、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是 （ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．210、sin34π²cos 625π²tan 45π的值是（ ）A ．－43B ．43C ．－43D ．4311、已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21a a +-D ．211a +-12、已知 53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα ，那么cos2β的值为 （ ）A. B. C. D. 13、)24tan 1)(20tan 1)(21tan 1(o o o +++的值是（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 14、函数y = ）.A ．},222{Z k k x k x ∈+<≤πππ B ．},2{},222{Z k k x x Z k k x k x ∈+=∈+<≤πππππC. },222{Z k k x k x ∈+≤<πππ D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Z ππ≠+∈ 二．填空题15、函数)42sin(π+-=x y 的周期是________________________. 16、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________．17、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为____________．18、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ． 19、函数)32sin(2π+=x y 的图象的对称轴方程是20、函数xxy 2tan 1tan 2-=的最小正周期是 21、已知sinθ+cosθ＝22(0＜θ＜π)，则cos2θ的值为 22、记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若2009)2009(=f ，则)2010(f = 1---7：BCACDCB 8---14:BDACABB 15、π4。
(完整版)高中数学必修4知识点及其配套习题,推荐文档
⎩ 高中数学必修4 知识点⎧正角: 按逆时针方向旋转形成的角⎪、任意角负⎨角: 按顺时针方向旋转形成的角⎪零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为{k ⋅360 <<k ⋅360 + 90 , k ∈Z}第二象限角的集合为{k ⋅360 + 90 <k ⋅360 +180 , k ∈Z}第三象限角的集合为{k ⋅ 360 +180 <<k ⋅ 360 +270 , k ∈Z}第四象限角的集合为{k ⋅ 360 + 270 <<k ⋅ 360 + 360 , k ∈Z}终边在 x 轴上的角的集合为{=k ⋅180 , k ∈Z}终边在 y轴上的角的集合为{=k ⋅180 + 90 , k ∈Z}终边在坐标轴上的角的集合为{=k ⋅90 , k ∈Z}3、与角终边相同的角的集合为{=k ⋅360 +, k ∈Z}4、已知是第几象限角，确定(n ∈N* )所在象限的方法：先把各象限均分nn 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是=l ．r7、弧度制与角度制的换算公式：2= 360 ，1 =⎛180 ⎫≈57.3 ．， 1 = ⎪180 ⎝⎭8、若扇形的圆心角为(为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r ，C = 2r +l ，S =1lr =1r 2 ．2 29、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P的坐标是(x, y )，它与原1x 2 + y 2 tan 点的距离是r (r = > 0)，则sin = y ， cos = x ， tan = y(x ≠ 0)．r r x 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线： sin= MP ， cos= OM ， tan = AT ．12、同角三角函数的基本关系： (1)sin 2+ cos 2= 1 sin 2=(1- c os 2,cos 2=1-sin 2 ；(2)sin) ⎛sin = tan cos, cos= sin ⎪⎫ ．⎝⎭13、三角函数的诱导公式：= tancos(1)sin (2k +)= sin ， cos (2k +)= cos ， tan (2k +)= tan (k ∈ Z )．(2)sin (+)= -sin， cos (+)= -cos ， tan (+)= tan．(3)sin (-)= -sin ， cos (-)= cos ， tan (-)= - tan ．(4)sin (-)= sin ， cos (-)= -cos， tan (-)= -tan ． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5 sin ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ( ) 2 -⎪ = cos ， cos 2 -⎪ = sin ． ⎝ ⎭ ⎝ ⎭6 sin ⎛ ⎫ ⎛⎫( ) 2 +⎪ = cos， cos 2 +⎪ = -sin．⎝ ⎭⎝ ⎭口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14．函数 y = A sin(x +) + B （其中A > 0，> 0）最大值是 A + B ，最小值是 B - A ，周期是T = 2，频率是 f= ，相位是2 x +，初相是；其图象的对称轴是直线x += k + (k ∈ Z ) ，凡是该图2象与直线 y = B 的交点都是该图象的对称中心。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案
21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3
高一数学必修四知识点
高一数学必修四学问点中学阶段学科学问穿插多、综合性强，以理解和应用为主，要求学生要有更强的分析、概括、综合、实践的实力。
在中学阶段，不能只局限于学问的学习，而要重视视察、思维、分析、阅读、动手等实力的造就。
下面是我给大家带来的高一数学学问点，盼望大家能够宠爱!高一数学学问点汇总空间几何体外表积体积公式：1、圆柱体:外表积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:外表积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—外表积C=2πrS 底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)练习题：1.正四棱锥P—ABCD的侧棱长和底面边长都等于，有两个正四面体的棱长也都等于.当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC 完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是()(A)五面体(B)七面体(C)九面体(D)十一面体2.正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，那么球的外表积为()(A)9(B)18(C)36(D)643.以下说法正确的选项是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.全部的几何体的外表都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等高一数学学问点总结一)两角和差公式(写的都要记)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二)用以上公式可推出以下二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要)sin2A=2sinA_cosA三)半角的只需记住这个：tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2(cosA)^2=(1+cos2A)/2五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式1-cosA=sin^(A/2)_21-sinA=cos^(A/2)_2高一数学学问点梳理重点难点讲解：1.回来分析：就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进展测定，确定一个相关的数学表达式，以便进展估计预料的统计分析方法。
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数学必修4知识点总结
第一章：三角函数
1、与角α终边相同的角的集合： .
§1.1.2弧度制 1、1弧度的角的定义 . （≈rad 1 ） 2、 圆心角公式： （ 扇形周长 = ） 3、弧长公式： . 4、扇形面积公式： .
[例1] 已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积为 cm 2.
[例2] 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则扇形的面积为
§1.2.任意角的三角函数
1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么=αsin ，=αcos ，=αtan
2、设点(),A x y
为角
α终边上任意一点，那么（设r =
=αsin ，=αcos ，=αtan
3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号：
§1.2.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：
（2）商数关系： .
[例1] 已知点的类型：角α的终边经过点)4,3(a a P -，那么ααcos 2sin +的值等于
[例2] 已知函数值的类型：已知tan()24πα+=,求（1）ααααcos sin cos sin -+的值；（2）α
α2
2cos sin 1- 的值。
§1.3、三角函数的诱导公式
1、αsin ，αcos ，αtan 在各个象限的正负：
2、απ±与α±或απ±k 2Z k ∈：概括为“函数名不变，符号看象限”
3、
απ
±2 与
απ
±2
3：概括为
[例1] 已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限。
[例2] 已知α是第三象限角，那么2
α
是 （ ）
A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角
[例3] 已知角α终边上一点)3,4(-P ，求)
29sin()211cos()
sin()2cos(απαπαπαπ
+---+的值.
§1.4.正弦、余弦、正切函数的图象和性质
1、会用五点法作图：sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为：
2、周期函数公式：=T ，
周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时， 都有 ，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
x y sin =
x y cos =
x y tan =
图象
定义域 R
R
值域
R
最值
无
周期性 奇偶性
单调性
Z k ∈
在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递增
在 上单调递减
在 上单调递增
对称性
Z k ∈
对称轴方程： 对称中心
对称轴方程： 对称中心
无对称轴
对称中心
§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象：1、A 是 ； ϕ是 ； 相位是 ； 2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.
[例1] 函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3
2sin(3π-=x y 的图象（ ）
（A ）向左平移个
6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3
π单位 [例2] 函数212sin ()4
y x π
=--是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数
B. 最小正周期为π的奇函数
C. 最小正周期为2π的偶函数
D. 最小正周期为2π
的奇函数
[例3] 由函数x y sin =的图象如何变换得到)3
2sin(3π
+
=x y 的图象？ （ 先平移后伸缩法）
[例4] 求函数)3
2
1tan(π+=x y 的周期、定义域和单调区间。
第三章、三角恒等变换
1、 两角和与差的
正弦： =±)sin(βα 余弦：=±)cos(βα 正切：=+)tan(βα =-)tan(βα 2、 二倍角：正弦： =α2sin 正切：=α2tan
余弦：=α2cos = =
升幂公式：2
2
1cos 22cos 1cos 22sin αααα
⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)
2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩
3、辅助角公式：=+=x b x a y cos sin （其中辅助角ϕ所在象限由tan b
a
ϕ=
与点(,)a b 的象限决定). [例1] 若均βα,为锐角，==+=
ββααcos ,5
3
)(sin ,552sin 则 。
[例2] 已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2
,2(π
πβα-
∈、，求βα+的值.
[例3] 函数x x y cos sin 3+=，]2
,2[π
π-
∈x 的最大值和增区间。
[例4]已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为
2(
,2)3M π
-.（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 的单调递增区间. (1答案：()2sin(2)6
f x x π=+
第二章：平面向量：
1、向量的加法：=+b a
向量的减法：=-b a
2、平面向量共线定理：向量()
0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 . 3、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，
有且只有一对实数21,λλ，使 .
4、设()()2211,,,y x b y x a ==， 则： ⑴=±b a ， ⑵=a λ
（1）坐标公式：=⋅b a .其中： =a
，=b （2）夹角公式： =⋅b a
. 两向量的夹角公式 1212222
2
1
1
22
cos x x y y a b a b
x y x y θ+⋅==
+⋅+
5、 a 在b 方向上的投影为： .
=2
a （求模先求平方：如求
b a 2+，则先求
6、平行：⇔b a // ⇔
7、垂直：⇔⊥b a ⇔
8、设()()2211,,,y x B y x A ，则=AB ，=AB [例1] 设平面三点)0,1(A ，)1,0(B ，)5,2(C ，(1) 试求向量2AB →＋AC →
的模； (2)若向量AB → 与AC →
的夹角为θ，求θcos .
[例2]已知平面向量),1(x a =
，32(+=x b ，R x x ∈-),.若b a //，求b a -的值.
[例3] 已知向量(cos ,1)α=a ，(2,sin )α=-b ，3(,)2
παπ∈，
且⊥a b ．（Ⅰ）求sin α的值；（Ⅱ）求tan()4πα+的值．
[例4] 已知向量(sin , cos )x x =a ，(cos ,sin 2cos )x x x =-b ，02
x π
<<
.（1）若a b ∥，求x ；
（2）设()f x =⋅a b ，（1）求()f x 的单调增区间；。