第二章用正交变换化为标准型新.

第二章用正交变换化为标准型

第一节2、1几种化标准形的方法

2、1、1配方法

2、1、2初等变换法

2、1、3偏导数方法

2、1、4雅可比方法

第二节2、2用正交变换化为标准形

p 2、2、1非退化线性替换的定义

2、2、2正交替换法

2、2、3例子

2、2 用正交变换化为标准形

2、2、1非退化线性替换的定义

定义1、设x,…,x;y,…,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

称为由x,…,x到y,…,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式≠0，那么线性替换就称为非退化的。

2、2、2正交替换法

正交替换法：先写出二次型的矩阵A，在用正交替换X=TY将A对角化，从而

T’AT=，其中λ（i=1，2，…,n为二次型f(x,x,…x的矩阵的所有特征值，同时有f(x,x,…x=λy+λy+…+λy

2、2、3例子

【例1】用正交变换化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4x x-4x x-8x x为标准形，要求写出所用的正交替换（广西师范大学*2001*（三）*15分）

解：A==

=x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0

x=1,1,10,

(i x=1

E-A=----

η=η=

(ii x=10

10E-A=--------

η=--γ

γβ=η-<η,λ> γ=+=+=β --

γ=令V=（γ，γ，γ）=

令X=UY为所用正交变换，即Y=U’X

f(x,x,x=X’AX=(UY’AUY=Y’U’AUY=Y’Y=y+y+10y为标准形

【例2】用正交变换化二次型f(x,x,x=x-2x+x+4x x+8x x+4x x为标准形，并写出所用的正交变换。（广西师范大学*2002*（三）*15分）

解：f的矩阵A===

=x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0

即A的特征根为6，-3，-3

（i）x=6

6E-A=----------

η=γ=

(ii x=-3

-3E-A=----

η=η=-γη -<η,γ> γ=βγ= V=

（γ，γ，γ）=

用正交变换为X=UY，即U’Z=Y

f(x,x,x=X’AX=(UY’AUY=Y’U’AUY=Y’Y=6y-3y-3y为标准形

【例3】设实二次型q(x,x,x= 2x+2x+ax-2x x-2x x-2x x经正交线性替换化为标准形3 y+3 y，求a并写出所有的正交线线替换。（广西师范大学*2009*（七）*20分）

解：A====0

有(x-2(x-a+2-2(x-2-（x-a）=0

X=0,3，3是A的特征值 -4a+2+4+a=0

解之a=2

（i）x=3

3E-A=--

T= T=．款待，好客，殷勤

host

-A= n-- T

2．节目主持人

3．大堆，许多=β=T- ,η > η = ．

2

η

hostile

adj．1．不友好的，敌对的，怀有敌意的故V=（η

be hostile to：对…有敌意

hot

adj．1

使U’AU= X=UY 即令=U

hotel

【例4】（1

hour (x,x,x= λx+3x+3x 2．机构，公司，商号3．(H一议院

vt,x

adj．家庭(务y,y,y

n．1．住房，住房供给

2．(外、阀壳，防护罩

+hover

vi．（．(鸟翱翔，盘旋

2

how 维向量x，使x Ax<0,并对（1）中实二次型的矩阵A

conj．然而，可是，不过维向量x，使x Ax=-1.（广西师范大学*2007*八1．紧抱，搂2．靠岸航行，紧靠…行走,x adj．巨大的，庞大的

hull

1．船身，船体

=（t-λ）(t-5(t-1 =0

即A vt,5,1

标准形有y

-

v．／n．(作

（嗡嗡声

）

adj．1．人的，人类的

2．有人性的，通人情的

humanity

n．1．[总称]

(ii t=1

E-A=-- T=

*humble

adj．1．恭顺的，谦卑的

2．地位低下的，卑贱的

T

adj．潮湿的

U=（T，T，T

humo(ur

n．幽默(感，诙谐

AUY= Y Y

= Y Y=Y Y =(y,y

y= y-

n．猎人

+hurl

1 故λ=-1+hurricane

n．龙卷风，暴风(雨

hurry

）证明：f(x=X

hurry up：赶紧，赶快

=A∈M（R）（或R）

2．伤…的感情<0故A

n

X=C Y 使得f(x化为实二次型的典范式；fx= X AX=

adj．1( C AC Y= y

+hygiene

+…

+hypothesis

n．1．假设，假说

2．前提

-1的平方项一定存在。

令

=y=…=y

vt．冰镇+iceberg

n．冰山，流冰

idea

n．=1

可得线性方程组：CX=Y C(C