1.9—斐波那契数列与黄金分割复习过程
斐波那契数列 黄金分割 c++
斐波那契数列、黄金分割以及它们在C++语言中的应用一、概述1.1 斐波那契数列的定义与性质斐波那契数列是古典数学中最为常见的数列之一，它的定义如下： F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n为正整数。
斐波那契数列具有许多有趣的性质，例如任意两个相邻的斐波那契数都是互质的等等。
1.2 黄金分割的概念黄金分割是指一条线段在“分割”时，分割成两部分的比例恰好等于整体与较大部分的比例相同。
这个比例通常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为1.618。
1.3 C++语言在数学计算中的应用C++作为一种广泛应用的编程语言，其在数学计算领域也有着重要的应用。
通过C++语言，我们可以实现对斐波那契数列和黄金分割的计算和应用。
二、斐波那契数列在C++中的实现2.1 递归方法在C++中，可以利用递归的方法来实现斐波那契数列的计算。
递归的代码如下所示：```cppint fibonacci(int n) {if (n <= 1) {return n;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}```2.2 迭代方法除了递归方法外，我们还可以使用迭代的方法来计算斐波那契数列。
迭代的代码如下所示：```cppint fibonacci(int n) {int a = 0, b = 1, c;if (n == 0) {return a;}for (int i = 2; i <= n; i++) {c = a + b;a = b;b = c;}return b;}```三、黄金分割在C++中的应用3.1 黄金分割比例的计算在C++中，可以编写函数来计算黄金分割的比例。
下面是一个简单的示例代码：```cppdouble golden_ratio() {return (1 + sqrt(5)) / 2;}```3.2 黄金分割点的求解除了计算黄金分割的比例外，我们还可以通过黄金分割的比例来实现对线段的黄金分割点的求解。
高中数学课件-修改斐波那契数列与黄金分割讲义
12（4，4，4）→4（2，2） →2（1，1）
27瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称
至少称几次能保证找出这瓶次品？
27（9，9，9） 9（3，3，3） 3（1,1,1）
3次
81瓶呢？ 81（27，27，27） 27
4次
243瓶呢？ 243（81，81，81） 81
729瓶呢？
5次 6次
待测数量扩大3倍， 次数就增加1次。
4
表面上看来，似乎这就是最好的方 法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验 方法并不是最好的方法；每次取试验区间 的0.618处去做试验的方法，才是最好 的，称之为“优选法”或“0.618法”。
华罗庚证明了，这可以用较少的试验 次数，较快地逼近最佳方案。
5
2． 黄金分割点的再生性和“折纸法” ① 黄金分割点的再生性
其实有公式：前 n项和 = Ln2 L2 , Ln 表示卢卡斯数列的第 n 项。
(请大家课下自己制作)
39
6． 斐波那契数列的一些更深刻的性质
1） 通项公式 Fn
1 5
1
2
5
n
1 3
5
n
一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数
5 的式子表达，这是十分意外的结果。
该证明由法国数学家比内（Binet）做出。
这里有3瓶口香糖，其中有一瓶少了3 片，你能用什么办法把它找出来吗？
平衡
次数：1次
不平衡
5瓶口香糖，有一瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
（推想）
平衡
不平衡
次数：2次
5瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
3瓶还要1次
（推想）
斐波那契-黄金分割
斐波那契-黄⾦分割斐波那契数列普通递推F0=0,F1=1,F n=F n−1+F n−2快速倍增递推F2n=F n(2F n+1−F n)F2n=F n(F n+1+F n−1)F2n+1=F2n+1+F2n 矩阵递推1 1 1 0F n−1F n−2=F nF n−1通项公式及其推导令ϕ=1+√52,ˆϕ=1−√52∵F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\hat\phi^n)=\lfloor \dfrac{\phi^i}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{2} \rfloor所以、斐波那契以指数形式增长1.母函数法$ \digamma(x)=\sum\limits_{\infin} F_nx n\ \digamma(x)=x2\digamma(x)+x\digamma(x)+x\ \digamma(x)=\dfrac{1-x-x2} $母函数进⾏展开，⾸先我们要知道⽜顿⼆项式定理、⽜顿⼴义⼆项式定理、⼆项式定理的推⼴⽜顿⼆项式定理(n \in N^{+})(x+y)^n = \sum\limits_{i=0}^{n} C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}**⼆项式定理推⼴⾄(n \in N) **(1+x)^n=\sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i} x^i~~~~(n>0)(1+x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{-n}^{i} x^i=\sum\limits_{i=0}^{\infin}(-1)^i C_{n+i-1}^{i} x^i⽜顿⼴义⼆项式定理(\alpha \in R)(x+y)^{\alpha}=\sum\limits_{i=0}^{\infin}\tbinom{\alpha}{i} x^{\alpha-i}y^k其中\tbinom{\alpha}{i}类似组合数\tbinom{\alpha}{i}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-i+1)}{i!}特殊形式(1+x)^n = (1-x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i}x^i推导开始：设~\digamma(x)=\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\alpha x}+\frac{B}{1-\beta x} \\=\frac{A+B-x(A\beta+B\alpha)}{1-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta x^2}\\ \left\{ \begin{matrix} A+B=0\\A\beta+B\alpha=-1\\ \alpha+\beta=1\\ \alpha\beta=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \alpha=\phi\\ \beta=\hat\phi\end{matrix} \right.\\ \therefore \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\phi x}-\frac{1}{1-\hat\phi x})\\ \because\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}x^n\\ \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum\limits_{n=0}^{\infin}(\phi^n-\hat\phi^n) x^n2.数列待定系数法类似于求解a_n = pa_{n-1}+q性质1.卡西尼性质F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n证：F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\\ =det \left( \left[ \begin{matrix} F_{n+1}~~F_{n}\\ F_{n}~~F_{n-1} \end{matrix} \right] \right) =det \left( \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \right)^n = \left( det \left( \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \right) \right)^n=(-1)^n2.附加性质F_{n+m}=F_m F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}证：\because \left[ \begin{matrix} F_{n}~~~F_{n-1}\\ F_{n-1}~~~F_{n-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{n-1}\\ \therefore \left[ \begin{matrix} F_{n+m}~~~F_{n+m-1}\\ F_{n+m-1}~~~F_{n+m-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{n+m-1}=\left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0\end{matrix} \right]^{n} \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{m-1}= \left[ \begin{matrix} F_{n+1}~~~F_{n}\\ F_{n}~~~F_{n-1} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F_{m}~~~F_{m-1}\\ F_{m-1}~~~F_{m-2} \end{matrix} \right]\\ \therefore F_{n+m}=F_{n+1}F_{m}+F_nF_{m-1}变形：F_{2n} = F_n(F_{n+1}+F_{n-1}) .3.整除与GCD性质\forall a,b \in N,F_a|F_b\Leftrightarrow a|b[][][](F_n,F_m) = F_{(n,m)}证：设~n>m~~则~(F_n,F_m)=(F_{n-km},F_m)\\ 设~r=n-km~,r<m~则~(F_r,F_m)=(F_r,F_{m-kr})\\ 这就类似于欧⼏⾥德算法的过程\\ \therefore~(F_n,F_m)=F_{(n,m)}4.求和公式奇数项：\sum\limits_{i=1}^{2n-1}[2\nmid i] F_{i}= F_{2n}偶数项：\sum\limits_{i=2}^{2n}[2\mid i] F_{i}= F_{2n+1}-1平⽅项：\sum\limits_{i=1}^{n}F_i^2=F_n F_{n+1}证：画图推⼴1.⼴义斐波那契数列当n<0时F_n=F_{n+2}-F_{n+1}F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n2 .类斐波那契数列⼜称斐波那契—卢卡斯数列对于数列G,若G_0=a,G_1=b,且数列满⾜递推关系式，则称G是类斐波那契数列G_n =a F_{n-1} + b F_{n}⽤矩阵可证类斐波那契数列也有部分斐波那契数列的性质任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列3. Lucas数列与Fibonacci数列Lucas数列为a=2,b=1的类斐波那契数列，记为LL_n = (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n~~~~(n\ge 2)Lucas数列能够辅助写出看似很困难的等式2L_{n+m}=5 F_n F_m+L_n L_m\\ 2F_{n+m}=5 F_n L_m+L_n F_m\\ L_{2n}=L_n^2-2(-1)^n\\ F_{2n}=F_n L_n\\ L_n=F_{n+1}+F_{n-1}4.编码(齐肯多夫定理)齐肯多夫表述法表⽰任何正整数都可以表⽰成若⼲个不连续的斐波那契数之和证：若~m~为斐波那契数,成⽴\\ 否则考虑最⼤~n1~满⾜~F_{n1}< m<F_{n1+1}\\ 继续考虑最⼤~n2~满⾜~F_{n2} < m-F_{n1}<F_{n2+1}\\ 反证：\\ 若~F_{n1}~和~F_{n2}~为连续斐波那契数\\ 则~F_{n1+1}<m~与~F_{n1+1}>m~⽭盾模意义下的循环对于任意整数n , 数列为F_i~(mod~n)周期数列. ⽪萨诺周期\pi(n)记为该数列的周期.例如，模3的斐波那契数列前若⼲项为:0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0\cdots\therefore \pi(3) = 8.性质：1.~~\pi(n)\le 6 n且只有满⾜n=2*5^k的形式时才取得到等号2.~~\forall a,b\in N~且~(a,b)=1，\pi(a)\pi(b)=\pi(ab)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
斐波那契数列的黄金分割比
斐波那契数列的黄金分割比稿子一嘿，朋友们！今天咱们来聊聊那个超神奇的斐波那契数列的黄金分割比！你知道吗？斐波那契数列就像是一串藏着无数秘密的数字密码。
从 0、1 开始，后面每个数都是前两个数的和，像 0、1、1、2、3、5、8、13……一直这样下去。
而这个数列里还藏着一个超级迷人的黄金分割比。
当你用数列里后面的数除以前面的数，比如2÷1、3÷2、5÷3、8÷5……你会发现，算出来的结果越来越接近一个神奇的数字，大约是 1.618 。
这 1.618 可不得了，它就像大自然的魔法数字一样。
花朵的花瓣数量、鹦鹉螺的壳、人体的比例，好多好多地方都能看到它的影子。
比如说，一朵漂亮的玫瑰花，它的花瓣数量可能就遵循着斐波那契数列的规律。
还有啊，我们觉得一个人长得好看，身材比例协调，说不定也是因为接近了这个黄金分割比呢。
是不是觉得很神奇？就好像大自然有一双看不见的巧手，按照这个比例来创造出美丽和和谐。
反正我每次想到这个，都觉得世界真是太奇妙啦，一个简单的数列居然藏着这么大的秘密！好啦，今天关于斐波那契数列的黄金分割比就先聊到这儿，咱们下次再见咯！稿子二哈喽呀，亲爱的小伙伴们！今天咱们要一起走进斐波那契数列的黄金分割比这个神秘又有趣的世界！斐波那契数列，听起来是不是有点高大上？但其实理解起来也不难啦。
就像搭积木一样，从 0 和 1 开始，后面的数字都是前面两个数字相加。
然后呢，在这个数列里就出现了黄金分割比这个神奇的家伙。
咱们不停地用后面的数字去除以前面的数字，你就会发现，越往后，得数越接近 1.618 。
这个 1.618 可不简单哟！它好像是宇宙的美学密码。
你看那些艺术作品，很多构图都暗合着这个比例，让人看着就觉得特别舒服、特别美。
还有建筑呢，有些著名的建筑的比例也和黄金分割比有关系，站在那里，就是一种视觉的享受。
而且哦，在投资理财里，也有人用这个黄金分割比来找买卖的时机。
数学文化第四讲斐波那契数列与黄金分割
2、兔子数列 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔 子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有 生育能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。 假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生 的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，• • • 上述数列中的每一个数称为斐波那契数． 此数列有下述递推公式： u1 = 1， u2 = 1，un = un-1 + un-2 ，n > 2 ． 用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：
1 1 5 n 1 5 n , un 5 2 2
二、黄金分割
著名天文学家开普勒说：几何学里有两个 宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分 割。前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的 钻石矿。
数学之美
德国天文学家开普勒曾说：“几何学有两大宝 藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。 前者如黄金，后者如珍珠。”
A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when,as the whole line is to the greater segment,so is the greater to the less.
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出 左边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数列与黄金分割
称这样的分数为“连分数”。
24
上述连分数可以看作是 x 1
1 x
中，把 x
的表达式反复代入等号右端得到的；例如，
第一次代入得到的是
x 1 11 1 x
反复迭代，就得到Βιβλιοθήκη 述连分数。25x1
1
1 1
1
1
1
1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
26
通常，求连分数的值，如同求无理数的 值一样，我们常常需要求它的近似值。
5 1 2
1 2
1 1 2( 5 1) 5 1
5 1 51
2
1
1 5 1 1
1 1
2
1 5 1
2
1 5 1 2
2
33
反复迭代，得
5 1 2
1
1
1 1
1
1
1
1
34
它竟然与我们在上段中研究的连分数
一样！因此，黄金比的近似值写成分数表
达的数列，也是，1, 1 , 2 , 3 , 5 ,
12 3 58
解答
11
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
12
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
13
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
14
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1，则大段= x ，小段= 1 x 。
故有 x 1 x ， x2 x 1 0
1x
解得 x 1 5 ，其正根为
斐波那契数列与黄金分割(最新)
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黄金分割大量地出现在绘画艺术中，并形成 了黄金分割学派，其中包括达· 芬奇、A.丢勒、G. 西雷特等许多画家． 15世纪和16世纪早期，几乎所有的绘画大师 都试图将绘画中的数学原理与数学和谐和主要目 的结合起来．米开朗琪罗、拉斐尔及其他许多艺 术家都对数学有浓厚的兴趣，而且力图将数学应 用于艺术．
22上一页 下一页 主源自页 返回 退出例如，画家波提切利的名作“维纳斯的诞生”
女神维纳斯从爱琴海中浮水而出，花神、风神迎送左右的情形．画中也包 含了黄金分割． 23
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达· 芬奇与黄金分割 达· 芬奇广泛研 究了人类身体的 各种比例，右面 一张图画的是他 对人体的详细研 究，而且图中标 明了黄金分割的 应用。这是一张 他为数学家Ｌ· 帕 西欧里的书《神 奇的比例》所作 的图解，该书出 版于１５０９年。
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画中耶稣位于正中央，双手摊开，两臂与周围的空间形 成了 一大一小两个倒三角形。
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未完成的作品《圣 徒杰罗姆》 （Saint Jerome）， 该画约作于公元 1483年。在作品中， 圣徒杰罗姆的像完 全位于画上附加的 黄金矩形内。
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螺线中的秘密
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CD BC AB 0.618 . DE CD BC
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古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和 宽的比是0.618.建筑师们发现，按这样的比例来设计 殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更 加舒适、美丽．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显 得更加协调和令人赏心悦目．
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。
通项公式斐波那契数列通项公式（见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
斐波那契数列与黄金分割教学教材
就可画出此函数的大致的图象，从而近似地找 到所要求的极大值点。但这种做法劳民伤财， 并不可取。
优选法——华罗庚教授在二十世纪六、七十年 代大力提倡的方法（美国数学家KIEFER于1953年 首先提出 ）
在区间[0,1]上按一定的原则取两点A<B，比较F(A)及F(B)的大小。 若 F(A)>F(B),
1个花瓣的 马蹄莲， 2个花瓣的 虎刺梅， 3个花瓣的 延龄草， 5个花瓣的 飞燕草， 8个花瓣的 大波斯菊， 13个花瓣的 瓜叶菊
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
现在我们来找数列的通项
斐波那契数列满足
an an1 an2
我们将斐波那契数列分解为两个等比数列之和，
再将两个等比数列的第n 项相加得到斐波那契数列的通项公式
等比数列的通项公式 代入条件
an a1q n1
an an1 an2
得 解之得两个根
a1qn1 a1qn2 a1qn3
当然, 在涉及艺术、音乐等领域中， 各人的主 观感觉起着重要作用， 说一定要严格地符合 黄金分割的原则, 恐怕过于牵强附会， 能够符 合到“八九不离十”的地步, 就很不错了。 因 此, 我们说黄金分割无处不在。这是一个事实. 但也不能机械地、形而上学地去理解， 认为 连小数点后面第几位都应该完全符合， 这样 的“削足适履”反而会闹出笑话，也不利于 创造性的思维， 能大体符合黄金分割的原则， 就很足以使人赞叹了。
在一个区间上取两个点的原则应是：这两个点应关于区间的中点对 称配置，同时，其中的任何一个点应同时是缩小区间上的一个这样的 点。
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B、斐氏数列与游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说： “请您把这块地毯分成四小块， 再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。” 这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正 方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英 尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是 魔术师做到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目 的！
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
• 可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
7月 8月 9月 10月 11月 12月 13 21 34 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。
用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：
有人比喻说，“有关斐波那契 数列的论文，甚至比斐波那契的兔 子增长得还快”，以致1963年成立 了斐波那契协会，还出版了《斐波 那契季刊》。
3、斐波那契数列趣话
数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一 起．
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果 它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命． 发 人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．
该书使斐波那契成为在数论史中，贡献介于丢番
图和费尔马之间。然而，现代数学家之所以会知
道他的名字，并非因为他在数学上的成就，而是 得知于斐波那契数列。这是在1228年修订《算盘 全集》时增加的脍炙人口的“兔子问题”（简称 为斐氏数列）。
2、兔子数列
兔子问题
如果每对兔子（一雄一雌）每月能 生殖一对小兔子（也是一雄一雌， 下同），每对兔子第一个月没有生 育能力，但从第二个月以后便能每 月生一对小兔子。假定这些兔子都 不发生死亡现象，那么从一对刚出 生的兔子开始，一年之后会有多少 对兔子呢？
我国著名数学家徐利治教授指出：“数学园地 处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园， 这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。”
除了扮演传播印度数学——阿拉伯数字的角
色，斐波那契在数学中的贡献也是非常大的。除 了《算盘全集》外，另有《几何实用》（1220）， 《平方数书》（1225），是专门讨论二次丢番图 方程式的。书中最有创造性的工作应是同余数，
向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的， 有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺 线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是 34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更 大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的 两个斐波那契数．
有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这
朵花的花瓣刚好是157瓣。且他又发现其中有13瓣与 其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内， 这表明这朵花的花瓣数目是由F7=13和F12=144合成 的。这一模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真 正意义上的解释直到1993年才给出。目前科学家们 对这一模式还在研究之中。
2 > 1.666 > 1.625 > 1.6190 > 1.6181
1+ 5 2
=1.6180・・・
黄金比，黄金数
斐波那契数列的美妙性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
☆ 随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近 黄金分割0.6180339887…… ☆ 从第二项起，每个奇数项的平方都比前后两项之积 多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征
生物学家们发现，花瓣数是极有特征的。多 数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34， 55，89，144……
例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5 瓣花瓣，许多翠雀属植物有8瓣花瓣，万寿菊的 花瓣有13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣……
向日葵花盘内葵花子排列的螺线数．
☆ 前n个斐氏数加起来再加1，就等于第n+2个斐氏数。
☆ 相邻两个数的平方和也是一个斐波那契数，且脚标 恰为前两者脚标之和。
“十秒钟加数”的秘密
1 2
• 数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必
3
定等于第 7个数的 11 倍！
5
8
13
所以右式的答案是：
21
21 11 = 231
34 55
+ 89un1Fra bibliotek125n125n,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …..
a1 a2 1, an1 an an1, n 2, 3, 4,...
斐波那契数列
斐波纳契数列的性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ・・・
各項分别为前项的多少倍？
后一项
前一项 的观察
1 < 1.5 < 1.6 < 1.6153 < 1.6176 < 1.6179 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1.6180・・・
1.9—斐波那契数列与黄金 分割
古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这 个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关， 而且数学中充满着美的因素，到处闪现着美的光辉。
英国著名数理逻辑学家罗素指出：“数学，如果 正常地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美， 正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”
??
“十秒钟加数”的秘密
• 又例如：
右式的答案是： 610 11 = 6710
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
斐波那契协会和《斐波那契季刊》 斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问 题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 13，…之后，并没有进一步探讨此序列， 并且在19世纪初以前，也没有人认真研究 过它。没想到过了几百年之后，十九世纪 末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应 用，从而突然活跃起来，成为热门的研究 课题。
斐波那契(意，约1170-1250)
解答
1月 1对
解答
1月 1对
2月 1对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对