1.9—斐波那契数列与黄金分割复习过程

A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征
生物学家们发现，花瓣数是极有特征的。多 数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34， 55，89，144……
例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5 瓣花瓣，许多翠雀属植物有8瓣花瓣，万寿菊的 花瓣有13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣……
向日葵花盘内葵花子排列的螺线数．
我国著名数学家徐利治教授指出：“数学园地 处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园， 这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。”
除了扮演传播印度数学——阿拉伯数字的角
色，斐波那契在数学中的贡献也是非常大的。除 了《算盘全集》外，另有《几何实用》（1220）， 《平方数书》（1225），是专门讨论二次丢番图 方程式的。书中最有创造性的工作应是同余数，
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
• 可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
7月 8月 9月 10月 11月 12月 13 21 34 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。
用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：
2 > 1.666 > 1.625 > 1.6190 > 1.6181
1+ 5 2
=1.6180・・・
黄金比，黄金数
斐波那契数列的美妙性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
☆ 随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近 黄金分割0.6180339887…… ☆ 从第二项起，每个奇数项的平方都比前后两项之积 多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
该书使斐波那契成为在数论史中，贡献介于丢番
图和费尔马之间。然而，现代数学家之所以பைடு நூலகம்知
道他的名字，并非因为他在数学上的成就，而是 得知于斐波那契数列。这是在1228年修订《算盘 全集》时增加的脍炙人口的“兔子问题”（简称 为斐氏数列）。
2、兔子数列
兔子问题
如果每对兔子（一雄一雌）每月能 生殖一对小兔子（也是一雄一雌， 下同），每对兔子第一个月没有生 育能力，但从第二个月以后便能每 月生一对小兔子。假定这些兔子都 不发生死亡现象，那么从一对刚出 生的兔子开始，一年之后会有多少 对兔子呢？
??
“十秒钟加数”的秘密
• 又例如：
右式的答案是： 610 11 = 6710
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
斐波那契协会和《斐波那契季刊》 斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问 题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 13，…之后，并没有进一步探讨此序列， 并且在19世纪初以前，也没有人认真研究 过它。没想到过了几百年之后，十九世纪 末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应 用，从而突然活跃起来，成为热门的研究 课题。
un15125n125n,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …..
a1 a2 1, an1 an an1, n 2, 3, 4,...
斐波那契数列
斐波纳契数列的性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ・・・
各項分别为前项的多少倍？
后一项
前一项 的观察
1 < 1.5 < 1.6 < 1.6153 < 1.6176 < 1.6179 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1.6180・・・
B、斐氏数列与游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说： “请您把这块地毯分成四小块， 再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。” 这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正 方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英 尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是 魔术师做到了。他让匠师用下图的办法达到了他的目 的！
1.9—斐波那契数列与黄金 分割
古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这 个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关， 而且数学中充满着美的因素，到处闪现着美的光辉。
英国著名数理逻辑学家罗素指出：“数学，如果 正常地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美， 正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”
有人比喻说，“有关斐波那契 数列的论文，甚至比斐波那契的兔 子增长得还快”，以致1963年成立 了斐波那契协会，还出版了《斐波 那契季刊》。
3、斐波那契数列趣话
数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一 起．
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果 它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命． 发 人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．
☆ 前n个斐氏数加起来再加1，就等于第n+2个斐氏数。
☆ 相邻两个数的平方和也是一个斐波那契数，且脚标 恰为前两者脚标之和。
“十秒钟加数”的秘密
1 2
• 数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必
3
定等于第 7个数的 11 倍！
5
8
13
所以右式的答案是：
21
21 11 = 231
34 55
+ 89
斐波那契(意，约1170-1250)
解答
1月 1对
解答
1月 1对
2月 1对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对
2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的， 有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺 线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是 34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更 大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的 两个斐波那契数．
有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这
朵花的花瓣刚好是157瓣。且他又发现其中有13瓣与 其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内， 这表明这朵花的花瓣数目是由F7=13和F12=144合成 的。这一模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真 正意义上的解释直到1993年才给出。目前科学家们 对这一模式还在研究之中。