理论力学第十一章,动量定理

O
是以 x= xC0 , y=0 为中心的椭圆方程， 因此悬挂在滑块上的单摆也称为椭圆摆。
30
例 题2
轨迹演示
例 题3
电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是 m1，转子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造 和安装的误差，使转子的质心 O2 对它的轴线有一个很小的偏 心距 b（图中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度 转动 时，电动机所受的总水平力和铅直力。
O
φ
B mB g
29
yB l cos
例 题2
mA xB x l sin xC 0 l sin m A mB yB l cos
消去φ ，即的到单摆B的轨迹方程：
(1 mB 2 2 ) ( xB xC 0 )2 y B l 2 mA
y x A mA g x φ B mB g
vE
φ E
D
vD
x
y
p pOA p
1 m1l 2( m1 m 2 )l 2
B ω O pOA
pBD+pB+pD A
1 ( 5m1 4m 2 )l 2
φ E
D
x
2，动量定理
质点
ma F
d ( mv ) F dt
质点微分形式的动量定理
d ( mv ) Fdt
i
zc
m z m
i
i i
Mv c m i v i
p Mvc
px Mvcx

2）冲量

常力的冲量 变力的冲量
I Ft
I F dt
t1 t2
矢量
I x Fx dt
t1
t2
I y Fy dt
t1
t2
I z = Fz dt
t1
t2
例 题1
画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA，规尺 BD 以及滑块B 和 D 组成(图 a)，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l，质量是 2m1；两滑块的质量都是m2；曲柄长l，质量是m1，并以角速度 ω绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角φ时整个机构的动 量。
mv 2 mv1 Fdt
t1 t2
质点积分形式的动量定理 （冲量定理）
质点系
d ( mi vi ) Fi dt
d mi v i dt
Fi
dp Fi Fie Fi i Fie dt
dp Fie dt
质点系微分形式的动量定理
dpx e Fix dt
xc=常量=xco
取坐标轴如图所示。在人走动前，
质心得坐标为
xC 0
m 2 a m1b m 2 m1
m1g
l
人走到船尾时，船移动的距离为s， 则质心的坐标为
m2 ( a l s ) m1( b s ) xC m2 m1
例 题1
xC 0
y a m2g b m1g s O m2g x x
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为
Fy
Fx
xC
m1 x1 m2 x2 m2 b cos t m1 m2 m1 m2
F1
F2
17
p1 x m1v1 cos p1 y m1v1 sin
p2 x (m1 m2 )v2 p2 y 0
例 题2
质点系水平方向不受外力，铅直方向受重力
m1g+m2g，地面法向约束力的合力为F=F1+F2，
则有
y y
t+Δt 瞬时
30
F
x
0
30
t 瞬时
3 m﹒s－1 m2 m1 O x m2 O
m 2 a m1b m 2 m1
xC
m2 ( a l s ) m1( b s ) m2 m1
由于质心在轴上的坐标不变，
解得
m1g
l
s
m2 l m2 m1
例 题2
图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道
平移的滑块A上，设A，B的质量分别为mA，mB，运动开始 时，x=x0，x 0 , 0 ， 0 。试求单摆B的轨迹方程。
t2 e iy
p2 x (m1 m2 )v2 p2 y 0
e iy
由冲量定理有
p2 y p1 y
例 题2

t t t
p2 y p1 y ( F ) dt I
t1
F (m1 m2 ) g dt
t t t
y
t 瞬时
y
t+Δt 瞬时
30
第十章，动量定理

1，动量Βιβλιοθήκη Baidu冲量
1）动量：
质点 质点系
mv
矢量
p x mi vix p y mi viy p z mi viz
xc
p mi v i
计算质点系动量的简便方法
质心坐标公式：
rc
m r m
i
i i
m x m
i i
i
yc
m y m
i i
5，质点系质心运动守恒定律

1） 若
Fi e 0 ,
ac 0 v c 常量 v co
vco 0
rc= 常量= rco
acx 0 vcx 常量 vcxo
Fixe 0, 2）
若 vcxo 0
xc= 常量 = xco
只有外力才能改变质点系质心的运动
例 题1
0 ( m1v1 sin )
Fdt (m1 m2 ) gt
3 m﹒s－1
30
m1g+m2g
m1 v2 x

t t
t
Fdt (m1 m2 ) gt m1v1 sin
m2
m1
O
x
m2 O
令F ′为车受到的平均法线约束力， 此力可以看成常力，
F t
的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v

vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例 题1
v

考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt

dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y B A ω O φ D x
(a)
例 题1
例 题1
整个机构的动量等于曲柄OA，规尺 解：
y vB B ω O
BD，滑块B和D的动量的矢量和，即
p = pOA + pBD + pB + pD 其中曲柄OA的动量 pOA=m1vE ，大小是
y
vA
A D x
vE
φ E
vD
pOA = m1vE = m1lω/2
p=
px
常量 常量
p0
px0
2）
Fixe 0,
只有外力才能改变质点系总的动量，内力不能改 变质点系总的动量。
例 题1
火炮（包括炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是 m2，
炮弹相对炮车的发射速度是 vr ，炮筒对水平面的仰角是
（图a）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连， 试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。
m1g+m2g
m1 v2 x
Ox轴方向动量守恒
p1x p2 x
m1v1 cos (m1 m2 )v2
邮包落入车后车的速度为
v2 m1v1 cos 0.433 m s－1 m1 m2
F
F=F1+F2
18
p1 x m1v1 cos p1 y m1v1 sin
e Macx Fix
e Macy Fiy
Macz Fize

质心轨迹已知
e Mac Fi e Macn Fin O e Fib
质心运动定理投影形式
Mac Fie
e Macx Fix Macy Fiye
Macz Fize
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例 题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰 角是 （图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力 在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
t t
t
Fdt
F
F=F1+F2
F t (m1 m2 ) gt m1v1 sin
F (m1 m2 ) g m1v1 sin 6.38 N t
19

4，质点系质心运动定理
dp Fie dt
Mac Fie
p Mvc

质点系质心运动定理
y O x A
mA g x
φ B mB g
28
Fixe 0,
vcxo = 0
xc=常量=xco
例 题2
解：以系统为对象，其运动可用滑块A的坐标x和单摆摆动的角度φ
两个广义坐标确定。 由于沿x方向无外力作用，且初始静止，系统质心坐标xC应保持常值xC0。 则
y x A mA g x
m x mB ( x l sin ) mA x0 mB ( x0 l sin 0 ) xC A xC 0 mA mB mA mB mB 解出 x xC 0 l sin m A mB 单摆B的坐标为 mA xB x l sin xC 0 l sin mA mB
B pBD+pB+pD A ω O pOA φ E
(b)
其方向与vE一致，即垂直于OA并顺着ω的转
向(图 b)。
D x
例 题1
因为规尺和两个滑块的公共质心在点A， 它们的动量表示成
y vB B ω O
vA
A
p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA
由于动量 pOA 的方向也是与 vA 的方向一致， 所以整个椭圆机构的动量方向与 vA 相同， 而大小等于
vsin = vrsin 联立求解上列三个方程，即得 vm1
vr
vm1
α
（b）
m2 vr cos m1 m2
( 2m1 m2 )m2 v 1 cos2 vr ( m1 m2 )2 tan (1 m2 ) tan m1
例 题2
设一质量m1 =10 kg的邮包从传 递带上以速度v1=3 m·－1 沿斜面落 s
如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾， 设人质量为m2，船的质量为m1 ，船长l，水的阻力不计。 求船的位移。
y a m2g b m1g s O m2g m1g l x x
例 题1
解：
y a m2g b m1g s O m2g x x
取人与船组成质点系。
Fixe 0,
vcxo = 0
y
O2
ω O1 W1
b ωt x
W2
Fy
Fx
例 题3
e Macx Fix
e Macy Fiy
例 题3
y
解:
取整个电动机（包括定子和转子）作为研 究对象。选坐标系如图所示。 质心 C 的运动定理为 (m1 m2 ) C Fx x
O2
ω O1 W1
b ωt x
W2
(1) (2)
dpy dt
F
e iy
dpz Fize dt
质点系动量定理投影形式
dp Fie dt
p2 p1 ( Fi )dt I
t2 e t1 t2
e i
质点系积分形式的动量定理 冲量定理
e e p2 x p1 x ( Fix )dt I ix t1
例 题2
t+Δt 瞬时质点系的动量为
p2 (m1 m2 )v2
y
t 瞬时
y
t+Δt 瞬时
30
动量p1和p2在坐标轴Oxy上的投影为
30
3 m﹒s－1 m2 m1 O x m2 O
m1g+m2g
m1 v2
x
p1 x m1v1 cos p1 y m1v1 sin
p2 x (m1 m2 )v2 p2 y 0
m1
v1
30
m2
入一小车内，如图所示。已知车的 质量m2 =50 kg，原处于静止，不计 车与地面的摩擦，求（1）邮包落 入车后，车的速度；（2）设邮包 与车相撞时间Δt=0.3 s，求地面所 受的平均压力。
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例 题2
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p mi v i
解：
研究邮包和小车组成的质点系，t 瞬时质点系的动量为 p1 m1v1 m2 0