理论力学第十一章,动量定理
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合肥工业大学《理论力学》第十一章动量定理
dI = Fd t
力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量
I t2 Fdt t1
(11－5)
冲量计算的投影式
若 I Ixi Iy j Izk,
F X (t)i Y (t) j Z (t)k
则冲量计算的投影式为
I x
t2 X (t)dt
t1
I y
t2 Y (t)dt
t1
I z
(2)
p带’ = d m2v L
2R mv mv 2(d R)
L
L
= m v = p带
例11-3 椭圆规机构如图，已知规尺 BD = 2L , 质量为2m1，滑
块 B、D 的质量均为 m2；曲柄OA = L，质量为 m1，以匀角速度ω 绕轴O 转动。求: 图示瞬时， ⑴ 曲柄 OA 的动量；⑵ 整个机
t1
质点动量定理 的积分形式
(11－7)
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同 一时间内的冲量。
二、质点系的动量定理
设质点系有 n 个质点，第 i 个质点的质量为 mi，速度为 vi；
受力Fi(e) ········外力，Fi(i) ········内力，
由质点的动量定理，有
已知 m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系统动量。
v3
v2
y
m2
p
m1v1
m3
45°
m1 v1
m2v2
O
解： p m1v1 m2v2 m3v3
45° m3v3
x
px m2v2 m3v3 cos 45 2.707 m3v py m1v1 m3v3 sin 45 3.293m3v
理论力学-第11章 动量定理及其应用
采用质心运动定理。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar，
由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a
故，四棱柱体的加速度a 极易由牛顿定律求出。 根据质心运动定理，并注意到
miaix macx
得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力
macx m1acos m2a F
第8章 动量定理及其应用
(A) A盘质心运动得快 (B) B盘质心运动得快 (C) 两盘质心运动相同 (D) 无法判断
四种答案中哪一个是正确的？
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
m aC Fie
i
根据上述方程，如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则
有
FRe Fie 0
i
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
d dt
(mi
vi )
Fi
Fii Fie
对于由n个质点所组成的质点系可列出n个这样的方程，将方 程两侧的项分别相加，得到
d (
dt i
mi vi )
i
Fii
i
Fie
注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出，因此质点 系的内力的矢量和等于零，于是上式变为
myC
i
Fiye
i
mzC
i
Fize
xC , yC ,zC －为质心加速度在直角坐标轴上的投影。
质心运动定理
质心运动定理
A F′ B F
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同 位置上，各作用一水平力F和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？
体相对地面的位移。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar，
由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a
故，四棱柱体的加速度a 极易由牛顿定律求出。 根据质心运动定理，并注意到
miaix macx
得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力
macx m1acos m2a F
第8章 动量定理及其应用
(A) A盘质心运动得快 (B) B盘质心运动得快 (C) 两盘质心运动相同 (D) 无法判断
四种答案中哪一个是正确的？
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
m aC Fie
i
根据上述方程，如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则
有
FRe Fie 0
i
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
d dt
(mi
vi )
Fi
Fii Fie
对于由n个质点所组成的质点系可列出n个这样的方程，将方 程两侧的项分别相加，得到
d (
dt i
mi vi )
i
Fii
i
Fie
注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出，因此质点 系的内力的矢量和等于零，于是上式变为
myC
i
Fiye
i
mzC
i
Fize
xC , yC ,zC －为质心加速度在直角坐标轴上的投影。
质心运动定理
质心运动定理
A F′ B F
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同 位置上，各作用一水平力F和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？
体相对地面的位移。
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
11动量定理
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第十一章 动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg， 面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方 向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。 甲 乙 尾 首 【解】 x 因无水平力 水平方向质心守恒， 又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0， 由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
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第十一章 动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量 均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为 ，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的 质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1
t2
t1
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第十一章 动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零 ，F 0 ， 则 有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1
11_动量定理 大学理论力学
车辆速度减少的值与v无关
如发射第二次导弹 如何计算∆v值 ∆
冲量定理
r re r r dp d r r = ∑ m i v i = ∑ Fi , dp = d ∑ m v = ∑ F e dt , i i i dt dt
re re t2 r r r r p2 − p1 = Σm i v 2 − Σm i v1 = ∫ ∑Fi dt = ∑ I i ,
r Σm i ri v rc = , m
x
r r v p = mv c = Σmi vi ,
求下例图所示物体的动量。 例11-1: 求下例图所示物体的动量。 11p=0 m v
p=mv
m
ω
p=0
ω
v
p=mvc
W
已知椭圆规的AB杆质量为 杆质量为2m 杆质量为m 例11-2: 已知椭圆规的 杆质量为 1,OC杆质量为 1，物块 杆质量为 A,B质量为 2，OC=AC=BC=l，物系的动量。 质量为m 质量为 ，物系的动量。 解：
px = m Cx = m&C = −2(m +m )lωsin ω t v x 1 2
px = m ωecos t ω 2
py = m2ωesinωt
由
得
dpx =F x dt dpy = F −mg −m g 1 2 y dt Fx = −m2eω2 sin ω t 2 Fy = (m +m )g +m eω cosω t 1 2 2
电机不转时, x 电机不转时, F 力.
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
l m1 cos ωt + 2m1l cos ωt + 2m 2 l cos ωt 2 xc = 3m1 + 2m 2
理论力学11动量定理分解
0
α
解得:
P3
P2
N
u
B m1 (u sin v) m2 (u cos v)
m3 v 0
x
v u( P 1cos P2sin )/(P 1 P2 P 3)
30
§12-4
将 K MvC
质心运动定理
( e)
( e) M r F C i
( e) d 代入到质点系动量定理，得 ( MvC ) Fi dt
若质点系质量不变， 则 MaC Fi
或
1. 投影形式：
( e) ( e) ( e) C Fix C Fiy C Fiz x , MaCy M y , MaCz M z 。 ① MaCx M
根据质心运动定理，有
mi aCix Fix , m2a2 x m2e 2 cost N x
( e)
mi aCiy Fiy , m2 a2 y m2 e 2 sin t N y m1 g m2 g
( e)
N x m2 e 2 cost , N y m1 g m2 g m2 e 2 sin t
mv2 y mv1 y I y Fy dt mv2 z mv1z I z Fz dt
t1 t1 t2
t2
t1 t2
质点的动量守恒 若 F 0 ，则 m v 常矢量， 若 Fx 0 ，则 mvx 常量， 二．质点系的动量定理
(e) dP Fi dt
C
33
例题水平面上放一均质三棱柱 A, 在此三棱柱上又放一均质三 棱柱 B 两三棱柱的横截面都是 直角三角形,且质量分别为M
b
B
和m,设各接触面都是光滑的,
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学课件第十一章 动量定理
dt
F (e) y
dPz
dt
F (e) z
质点系的动量某轴上的投影对时间的导数等于作用于质点系的
所有外力在同一坐标轴上投影的代数和。
§ 11-2 动量定理
v
设t=0时，v质点系的动量为P1 的动量为 P2 。则
，经过时间t后，质点系 v P1
v
dP
d(mivvi )
v Fi(e)dt
Mi
P
Pvx2
v
Py2
Pz2
cos(P, v
i) v
Px
/
P
cos(P, j) Py / P
vv
cos(P, k ) Pz / P;
§ 11-1 动量和冲量
例11-2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量为m , OC=CA=CB= l 。求在图示位置曲柄以匀角速度转动时
Fdt 0
2
的过m程vv中2 ，m速vv度1 分Iv别为质v点v1、动vv2量定理
vv2 积分式
某段时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上力在此段
时间内的冲量
§ 11-2 动量定理
二、质点系的动量定理
设在由力nFv个i 的质作点用组下成，的获质得点速系度，为第ivv个i 质点的质量为 mi ，
椭圆规的动量。
vA
A
解：取整个刚体系统
P
为研究对象。
vC
C
P点为AB杆的速度瞬 心
O
vB
B
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC
F (e) y
dPz
dt
F (e) z
质点系的动量某轴上的投影对时间的导数等于作用于质点系的
所有外力在同一坐标轴上投影的代数和。
§ 11-2 动量定理
v
设t=0时，v质点系的动量为P1 的动量为 P2 。则
，经过时间t后，质点系 v P1
v
dP
d(mivvi )
v Fi(e)dt
Mi
P
Pvx2
v
Py2
Pz2
cos(P, v
i) v
Px
/
P
cos(P, j) Py / P
vv
cos(P, k ) Pz / P;
§ 11-1 动量和冲量
例11-2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量为m , OC=CA=CB= l 。求在图示位置曲柄以匀角速度转动时
Fdt 0
2
的过m程vv中2 ，m速vv度1 分Iv别为质v点v1、动vv2量定理
vv2 积分式
某段时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上力在此段
时间内的冲量
§ 11-2 动量定理
二、质点系的动量定理
设在由力nFv个i 的质作点用组下成，的获质得点速系度，为第ivv个i 质点的质量为 mi ，
椭圆规的动量。
vA
A
解：取整个刚体系统
P
为研究对象。
vC
C
P点为AB杆的速度瞬 心
O
vB
B
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC
理论力学第11章 动量定理
n n n dPy dPx e e dP Fix , Fiy , z Fize dt dt dt i 1 i 1 i 1
质点系的动量在某坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于 作用在该质点系上的所有外力在该轴上的投影的代数和。
§11.3 动量定理
2)积分形式:
e e P2 P dP F dt I 1 i i p2 t2 p1 i 1 t1 i 1 n n
t2 t2 力 F 在有限时间间隔内的冲量为 I t1 dI t1 Fdt
力的元冲量 dI Fdt
冲量的国际单位是 N s kg m s
§11.2 力的冲量
设力 F 在直角坐标系下的解析投影式 F Fx i Fy j Fz k
则冲量在x,y,z三个轴上的投影式分别为
yB l cos
消去 φ ，即的到单摆 B 的轨迹方程：
y
O x A mA g x φ
mB 2 2 (1 ) ( xB xC 0 )2 yB l2 mA
B mB g
x xC 0
是以 x= xC0 , y=0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也 称为椭圆摆。
§11.3 动量定理 例 题 11-3
mi 为质点系的总质量，定义质点系质量中心（质 令m i 1 n 心）C的矢径为 mr
rc
n
i 1
i i
m
则
d n d P mri (mrc ) mvc dt i 1 dt
质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积，动量的 方向与质心速度的方向相同。
§11.1 质点及质点系的动量
由此，当细杆铅垂时小球相对于物 块有最大的水平速度，其值为
质点系的动量在某坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于 作用在该质点系上的所有外力在该轴上的投影的代数和。
§11.3 动量定理
2)积分形式:
e e P2 P dP F dt I 1 i i p2 t2 p1 i 1 t1 i 1 n n
t2 t2 力 F 在有限时间间隔内的冲量为 I t1 dI t1 Fdt
力的元冲量 dI Fdt
冲量的国际单位是 N s kg m s
§11.2 力的冲量
设力 F 在直角坐标系下的解析投影式 F Fx i Fy j Fz k
则冲量在x,y,z三个轴上的投影式分别为
yB l cos
消去 φ ，即的到单摆 B 的轨迹方程：
y
O x A mA g x φ
mB 2 2 (1 ) ( xB xC 0 )2 yB l2 mA
B mB g
x xC 0
是以 x= xC0 , y=0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也 称为椭圆摆。
§11.3 动量定理 例 题 11-3
mi 为质点系的总质量，定义质点系质量中心（质 令m i 1 n 心）C的矢径为 mr
rc
n
i 1
i i
m
则
d n d P mri (mrc ) mvc dt i 1 dt
质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积，动量的 方向与质心速度的方向相同。
§11.1 质点及质点系的动量
由此，当细杆铅垂时小球相对于物 块有最大的水平速度，其值为
理论力学第11章动量定理
动量定理关注物体的运动状态，而能量守恒定律关注物体的能量转化与守恒。在一些特定情况下，两个 定律是相关的。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
理论力学第十一章动量定理
[注 ] 1、质心运动定理是动量定理的另种表现形式，与 质心运动定理是动量定理的另种表现形式， 质点运动微分方程形式相似:对任意一质点系， 质点运动微分方程形式相似:对任意一质点系，无 论它作什么形式的运动， 论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可看成 一个质点的运动， 一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集 中在质心这点上, 所有外力也集中作用在质心。 中在质心这点上, 所有外力也集中作用在质心。
drc dri = ∑mi = ∑mivi = P 上式两边对t 上式两边对t求导 ⇒m dt dt
即
∑mi ri , m = ∑mi 质心 : rc = m
p =m c v
——刚体动量的计算式 ——刚体动量的计算式
[P245 图11-1]
[例１]曲柄连杆机构的曲柄OA以匀ω 转 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 OA=AB= 曲柄OA及连杆 都是 及连杆AB 动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是 y vA 匀质杆, 质量各为m 滑块B的质量也为m 匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。 45º时系统的动量 时系统的动量。 求当ϕ = 45º时系统的动量。 vc1 解: 曲柄OA：v C 1 曲柄OA： 滑块B 滑块B： v C 3 = PBω AB = 2 lω 连杆AB： 连杆AB： v C 2 = PC 2ω AB =
Fx = 0 Fy = (m + m2 )g 1
动约束力——电机转动时的约束力。 动约束力 电机转动时的约束力。 电机转动时的约束力 附加动约束力 = 动约束力 - 静约束力 是由于系统运动而产生的。 是由于系统运动而产生的。
本题的附加动约束力： 本题的附加动约束力：
x
方向： −m eω2 sin ωt 方向： 2
第十一章：动量定理
内力:
r Fi
(i
)
内力性质:
（1）
∑
r Fi
(i
)
=0
（2）
∑
r M
O
(
r Fi
(
i
)
)
=
0
质 点:
( ) r
dPi
=
d
m i vri
dt
dt
= Fri(e) + Fri(i )
质点系:
(∑ ) ( ) d mivri
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ dt
d =
r dP dt
=
mivri = dt
Fri( e )
∑ r
dP = dt
Fri( e )
∑ ∑ ∑ dPx =
dt
F (e) ix
dPy = dt
F (e) iy
dPz = dt
F (e) iz
若 ∑ Fx(e) ≡ 0 , 则 px = 恒量
已知
m1, m2 , o1o2
= e,ω
=
常量，求：Fvx
,
v Fy
解: P = m2ω e
Px = m2ω e cosω t Py = m2ω e sinω t
=
tr F dt
0
冲量量纲： FT = MLT −2T = MLT −1 = MV
单位：
N ⋅ s 或 kg ⋅ m / s
动量量纲：
单位：
MV = MLT −1 = MLT −2T = FT kg ⋅ m / s 或 N ⋅ s
冲量与动量的量纲相同
§11-2 动量定理
1.质点的动量定理
mar
=
m
理论力学第十一章-质点系动量定理
§11-2 质心运动定理
质心运动定理 质点系旳总质量与质点系质心加速度乘积，
等于作用在这一质点系上外力旳主矢 .
质心运动定理揭示了动量定理旳实质：外 力主矢仅仅拟定了质点系质心运动状态旳变 化。
§11-2 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运 动与力之间旳关系
对于质点系：质心运动定理，描述质点系 整体运动与力之间旳关系
aA aD sin
maA N A mg cos MaD N A sin
aD
mg M
sin cos m sin2
aA
mg sin2 cos M m sin2
质点系动量定理应用于简朴旳刚体系统
例题8
电动机旳外壳和定 子旳总质量为 m1 ,质 心C1与转子转轴 O1 重叠 ；转子质量为 m2 ，质心O2 与转轴 不重叠 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以
结论与讨论
动量定理旳微分形式
动量定理微分形式 和积分形式
动量定理旳积分形式
S－质点系统旳冲量
质点系统动量在一段时间内旳变化量等于系统中全部
质点冲量旳矢量和
返回
质点系动量定理应用于简朴旳刚体系统
例题1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B旳质量均为m，曲 柄OC和连杆AB旳质量忽视不计； 曲柄以等角速度 绕O轴旋转；图 示位置时，角度 为任意值。
第11章 质点系动量定理
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机 工作时为何会左
？ 右运动； 这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学 11.动量定理
元冲量：
dS Fdt
S
t2
冲量：
F dt
t1
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．
S Rdt F dt Fdt Si
t1 t1 t1
t2
t2
t2
冲量的单位： Ns kgm/s2 s kgm/s
与动量单位同．
课堂练习：行星轮系由均质的系杆OA、中心齿轮1、行星齿轮 2及固定的内齿圈3组成。已知齿轮1、2的半径分别为r1和r2； 质量分别为m1和m2，系杆的质量为m，以角速度绕轴O转动。 求轮系的动量。
d (mi vi ) Fi (i ) Fi ( e ) dt
对整个质点系：
d (i ) (e) dt (mi vi ) Fi Fi
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即：
解：（解法二） 按
p MvC
求解
系统任意时刻的质 心坐标为
l 3l m1 m1 2m 2 l 4 2 2 xc cost l cost 2m1 m 2 3 l 2m1 1 2 yc sin t l sin t 2m1 m 2 3
将 m1=m2=m3=m， ＝ωt= 45º 代入
px 2(m1 m2 )l sin t 2 2ml 2 p y m1l cos t ml 2
系统的动量为
p
1 2ml[ 2i j] 2
动量的方向沿质心轨 迹的切线方向。
三．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应。 1．力 F 是常矢量： S F (t2 t1 ) 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
动量定理ppt课件
5
得 dp Fi(e)dt dIi(e)
或
dp dt
F (e) i
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
6
在 t1~ t2 内,
动量 p1 ~ p2 有
n
p2
p1
I (e) i
称为质点系动量定理的积分形i式1 ,即在某一时间间隔内,质点
m1 m2
s)
x 由 C1 xC2 ,
得 s m2 esin
m1 m2
23
16
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
py mvCy myC m1l cost
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
l
4(m1 m2 )2 sin 2 t m12 cos2 t
17
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
i 1
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2 m1
2
m2
21
e 例 11-6 地面水平,光滑,已知 m1, m2 , ,初始静止,
常量.
求:电机外壳的运动.
22
解:设
xC1 a
xC2
m1(a s) m2 (a e sin
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
理论力学第11章-动量定理
y
解：(用质点系动量定理求解) w
（1）取电机外壳与转子组成质点系。 （2）受力分析：外力有重力m1 g 、
O1 e p
m1g
m2g
O2
x
m2 g ；基础的反力F x 、 F y 和 M O 。
MO Fx
（3）运动分析：机壳不动，质点系
Fy
的动量就是转子的动量，其大小为 ：
p m2 w e
px m1 ew cosw t
11 动量定理
11.1 动量与冲量 11.1.1 动量
1.质点的动量
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢
量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
撞击后，A 与B 一起向前运动，历时2s 而停止。设A、
B 与平面的摩擦因数 f s= 0.25，求撞击前 A 的速度，以 及撞击时 A、B 相互作用的冲量。
解：（1）运动分析： v0
A与B 均作直线运动，设
A
B
AB
撞击前A的速度为v0，从
x
撞击开始到停止运动的2s内，A 的速度从v0到0；而B开
始是静止的，最后仍处于静止。
py m2 ew sin w t
设 t = 0 时：O1O2 铅垂，有 = wt 。由动量定理
的投影式得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx m2 w2 e sin w t
Fy (m1 m2 )g m ew2 cosw t
电机不转时，基础只有向上的反力 (m1 m2 )g ，称为
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的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v
vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例 题1
v
考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt
dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例 题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰 角是 （图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力 在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为
Fy
Fx
xC
m1 x1 m2 x2 m2 b cos t m1 m2 m1 m2
y B A ω O φ D x
(a)
例 题1
例 题1
整个机构的动量等于曲柄OA，规尺 解：
y vB B ω O
BD，滑块B和D的动量的矢量和，即
p = pOA + pBD + pB + pD 其中曲柄OA的动量 pOA=m1vE ，大小是
y
vA
A D x
vE
φ E
vD
pOA = m1vE = m1lω/2
0 ( m1v1 sin )
Fdt (m1 m2 ) gt
3 m﹒s－1
30
m1g+m2g
m1 v2 x
t t
t
Fdt (m1 m2 ) gt m1v1 sin
m2
m1
O
x
m2 O
令F ′为车受到的平均法线约束力， 此力可以看成常力，
F t
t t
t
Fdt
F
F=F1+F2
F t (m1 m2 ) gt m1v1 sin
F (m1 m2 ) g m1v1 sin 6.38 N t
19
4，质点系质心运动定理
dp Fie dt
Mac Fie
p Mvc
质点系质心运动定理
B pBD+pB+pD A ω O pOA φ E
(b)
其方向与vE一致，即垂直于OA并顺着ω的转
向(图 b)。
D x
例 题1
因为规尺和两个滑块的公共质心在点A， 它们的动量表示成
y vB B ω O
vA
A
p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA
由于动量 pOA 的方向也是与 vA 的方向一致， 所以整个椭圆机构的动量方向与 vA 相同， 而大小等于
如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾， 设人质量为m2，船的质量为m1 ，船长l，水的阻力不计。 求船的位移。
y a m2g b m1g s O m2g m1g l x x
例 题1
解：
y a m2g b m1g s O m2g x x
取人与船组成质点系。
Fixe 0,
vcxo = 0
例 题2
t+Δt 瞬时质点系的动量为
p2 (m1 m2 )v2
y
t 瞬时
y
t+Δt 瞬时
30
动量p1和p2在坐标轴Oxy上的投影为
30
3 m﹒s－1 m2 m1 O x m2 O
m1g+m2g
m1 v2
x
p1 x m1v1 cos p1 y m1v1 sin
p2 x (m1 m2 )v2 p2 y 0
p=
px
常量 常量
p0
px0
2）
Fixe 0,
只有外力才能改变质点系总的动量，内力不能改 变质点系总的动量。
例 题1
火炮（包括炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是 m2，
炮弹相对炮车的发射速度是 vr ，炮筒对水平面的仰角是
（图a）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连， 试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。
m 2 a m1b m 2 m1
xC
m2 ( a l s ) m1( b s ) m2 m1
由于质心在轴上的坐标不变，
解得
m1g
l
s
m2 l m2 m1
例 题2
图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道
平移的滑块A上，设A，B的质量分别为mA，mB，运动开始 时，x=x0，x 0 , 0 ， 0 。试求单摆B的轨迹方程。
xc=常量=xco
取坐标轴如图所示。在人走动前，
质心得坐标为
xC 0
m 2 a m1b m 2 m1
m1g
l
人走到船尾时，船移动的距离为s， 则质心的坐标为
m2 ( a l s ) m1( b s ) xC m2 m1
例 题1
xC 0
y a m2g b m1g s O m2g x x
t2 e iy
p2 x (m1 m2 )v2 p2 y 0
e iy
由冲量定理有
p2 y p1 y
例 题2
t t t
p2 y p1 y ( F ) dt I
t1
F (m1 m2 ) g dt
t t t
y
t 瞬时
y
t+Δt 瞬时
30
m1
v1
30
m2
入一小车内，如图所示。已知车的 质量m2 =50 kg，原处于静止，不计 车与地面的摩擦，求（1）邮包落 入车后，车的速度；（2）设邮包 与车相撞时间Δt=0.3 s，求地面所 受的平均压力。
15
例 题2
16
p mi v i
解：
研究邮包和小车组成的质点系，t 瞬时质点系的动量为 p1 m1v1 m2 0
y
O2
ω O1 W1
b ωt x
W2
Fy
Fx
例 题3
e Macx Fix
e Macy Fiy
例 题3
y
解:
取整个电动机（包括定子和转子）作为研 究对象。选坐标系如图所示。 质心 C 的运动定理为 (m1 m2 ) C Fx x
O2
ω O1 W1
b ωt x
W2
(1) (2)
dpy dt
F
e iy
dpz Fize dt
质点系动量定理投影形式
dp Fie dt
p2 p1 ( Fi )dt I
t2 e t1 t2
e i
质点系积分形式的动量定理 冲量定理
e e p2 x p1 x ( Fix )dt I ix t1vEφ ED来自vDxy
p pOA p
1 m1l 2( m1 m 2 )l 2
B ω O pOA
pBD+pB+pD A
1 ( 5m1 4m 2 )l 2
φ E
D
x
2，动量定理
质点
ma F
d ( mv ) F dt
质点微分形式的动量定理
d ( mv ) Fdt
m1g+m2g
m1 v2 x
Ox轴方向动量守恒
p1x p2 x
m1v1 cos (m1 m2 )v2
邮包落入车后车的速度为
v2 m1v1 cos 0.433 m s－1 m1 m2
F
F=F1+F2
18
p1 x m1v1 cos p1 y m1v1 sin
mv 2 mv1 Fdt
t1 t2
质点积分形式的动量定理 （冲量定理）
质点系
d ( mi vi ) Fi dt
d mi v i dt
Fi
dp Fi Fie Fi i Fie dt
dp Fie dt
质点系微分形式的动量定理
dpx e Fix dt
F1
F2
17
p1 x m1v1 cos p1 y m1v1 sin
p2 x (m1 m2 )v2 p2 y 0
例 题2
质点系水平方向不受外力，铅直方向受重力
m1g+m2g，地面法向约束力的合力为F=F1+F2，
则有
y y
t+Δt 瞬时
30
F
x
0
30