2019届浙江省高三三校联考数学试题

2019届浙江省高三三校联考
数学试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合{}
2
10A x x =-≥，{}
04B x x =<<，则A
B =
A ．(,1)-∞-
B. [)0,4
C. [)1,4
D. (4,)+∞
2．已知i 为虚数单位，2i
i
z +=，则z 的虚部为 A ．1
B. 2-
C. 2
D. 2i -
3．已知双曲线22
221-=y x a b
的渐近线方程为12=±y x ，则该双曲线的离心率为
C. 3
D. 2
4．函数
1
()||
=-
f x x
x
的图象是
A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)
ξ==
P x，(1)1
P x
ξ==-，若
1
2
<<
x，则A．()
Eξ随着x的增大而增大，()
Dξ随着x的增大而增大
B．()
Eξ随着x的增大而减小，()
Dξ随着x的增大而增大
C．()
Eξ随着x的增大而减小，()
Dξ随着x的增大而减小
D．()
Eξ随着x的增大而增大，()
Dξ随着x的增大而减小
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.
2
3
B.
4
3
C.
8
3
D.
16
3
7．“21
-<
x y”是“ln0
<
x
y
”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
8．如图，圆O是半径为1的圆，
1
2
OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC
⋅的取值范围是
A．
1
[,3]
8
-B．[1,3]
-
C．[1,1]
-D．
1
[,1]
8
-
9．在棱长为D ABC
-中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的
(第6题图)
正视图侧视图
俯视图
（第8题图）
Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内 的部分形成的区域的面积为 A
．6π B
．12π C
．6π
D
．6π
10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
16
第II 卷（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现
有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．
12．设,x y 满足约束条件210
201
x y x y x ì-+?ïï
-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；
满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．
13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6
π
=
A
，(4cos =+b a B ， 且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．
15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件
a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ．
16．已知函数220()1(2)042
-≤<+≤⎧⎪
=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，
，．若函数
()log ()y f x a x =--恰有两个零点，
则实数a
的取值范围为 ▲ ．
17．如图，椭圆C 1：2
214x y +=，椭圆C 2：2
2
182
y
x +=．
点P 为椭圆C 2上一点， 直线PO 与椭圆C 1依次交于 点A B ，，则
||
=||
PA PB ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
（第17题）
18．(本小题满分14分)
已知函数2
()6cos 32
x
f x x ωω=+-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离
为4．
（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若0()5
f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．
19． (本小题满分15分)
如图，已知四棱锥A BCDE -中，2A B B C
==
，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.
（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；
（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.
20．(本小题满分15分)
已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式； （II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.
21. （本小题满分15分）
如图，已知抛物线2
1:4C x y =与椭圆22
222:1(0)x y C a b a b
+=>>交于点A ，B ，
D
C
A
E
且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；
（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ， 求APQ ∆面积的最小值.
22．(本小题满分15分) 已知函数()()2
2
1ln 12ln f x x ax x x
=
--+-． （Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；
（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：(
)()()()2
2
2
ln 1213112ln 232*
n n n n N
⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．
参考答案
一、选择题
C B A
D B C D A D C
二、填空题
11. 3, 9π 12. 11,
2512 13. 160-, 15 14. 512π, 14
15. 21
16. (1,3] 17. 3-
18.解：（1）()3cos ωω=f x x x )3
π
ω=+x …………………3分
由条件8=T ，所以284
ππ
ω== …………………4分 所以()sin()43
ππ
=+x f x 令
22,2
43
2
π
ππ
π
ππ+≤
+≤
+∈x k k k Z ，得102
88,33
-
+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102
[8,8],33
-++∈k k k Z …………………7分
（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435
ππ=+=-
x f x 即0
3
sin(
)435ππ+=x ， …………………8分 因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ
<+<x
所以04
cos()435
ππ+=-x …………………10分
所以00(1)sin()443
πππ
+=++x f x
003[sin()cos cos()sin ]434434
ππππππ
=+++x x
343(52525
=⨯-=- …………………14分
19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =
由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,
所以EC CAB ⊥面 ……………………7分
(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，
则(
)0,0,0,C E A B
所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1
=-=-=--AB AE BE 11(22
=
=--CD BE 所以1(22-
-D ，1
(22
=--AD ……………………11分 所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0
⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y
取(1,3,1)=n ……………………13分 记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330
sin AD n AD n
α⋅==
……………………15分
20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分 由1223n n n a a a --=+得
1123()n n n n a a a a ---+=+
1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分 所以1
1+1123
()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+
113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分
（II ）由以上两式得111
[(3)3(1)(33)]4
--=
+---n n n a a a ……………………8分 11
11[(3)3(1)(33)]2
n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分 当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++ 所以110(33)330n n n n a a a -+->⇒-++>
当13=<n a 时，当113312
333333
n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增
所以33a -≤< . ……………………12分 当n 为偶数时1
11(3)3
(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a
所以1113312
03(33)33
+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减，
所以1>-a ……………………14分 综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分
21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则
抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分 椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:
1x x y y
l a b
+= ..…………………4分 由题意可知，12l l ⊥，则有200
20
()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.
所以：222a b =，从而椭圆2C
的离心率为2
e =
.…………………6分 （II
222212+=x y b b .…………………7分
设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,
由2222
22⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b
得22342
(12)4220+-+-=t x t x t b
所以2
2|||2|12=-=++P A t
AP x x t t .…………………9分
设2
21:2=-++l y x t t
，同理可得
4|||22|Q A AQ x x t t t
=-=++ .…………………11分 所以1||||2APQ
S AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t
.…………………12分 令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222
(1)(21)(31)
'()(12)+-+=+t t t f t t t
令'()0=f t
得2=
t (0,)2
上单调递减，在(,)2+∞上单调递增.
所以()(
)2≥=
f t f
所以∆≥APQ S .…………………15分 法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.
由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî
消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=， 由题意可知：222222000000
012
0004248(2)248421
y b x y b y y b y y y x y y ---===+++， 则220001002322121
y b y y y y y ---==
++，0
1004(21)y x x y -=+ .……………………9分 由0022221
:
1,2:4x x y y
l b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=， 由题意可知：00200
28
x x x y x +=-
=-， 则2008
x x x =--，22220000002000
2842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===
，…11分 所以3230001202
00008(1)(4)1
22(21)2(2)
∆++=-⋅==++APQ
x y x S y y x y y x x ， ……………………13分 记23
2(4)()(2)
x f x x x +=+，其中0x >，
则22422222222222
(4)(328)(4)(34)(2)
()(2)(2)
x x x x x x f x x x x x +--++-'==++， 由()0f x '=
，得x =
所以()f x
在
上递减，在)+∞上递增.
所以
3
min
()
f x f
===
所以
∆
≥
APQ
S………………15分22．解：（Ⅰ）当0
a=时，()()2
2
1
12
f x x
ln x ln x
=-
+-
因为()
1
ln x x
+≤，当1
x=时等号成立，
所以
2
2
2
2222
2
11111
1
1
x
ln,ln,x,
x
x x x x
ln
x
+
⎛⎫
+<<>
⎪+
⎝⎭
即即
所以()2
2
1
12
x
ln x ln x
->
+-
，即()0
f x>．……………………4分（Ⅱ）法一：显然0
a≤成立，
当0
a>时，因为
1
1
ln x
x
≥-，当1
x=时等号成立，
所以
2
2
22
2
111
1
11
x
ln
x
x x
x
⎛⎫
+
>-=
⎪+
+
⎝⎭
，即2
2
2
1
1
1
x
x
ln
x
<+
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
要()0
f x>即2
2
2
1
1
x ax
x
ln
x
+<
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
所以221
x ax x
+<+对一切0
x>成立，显然0
a>不符合，
综上所述()0
f x>时a的取值范围为0
a≤．……………………9分
法二：因为
2
a b a b
ln a lnb
-+
<
-
，所以
()
22
2
22
2
121121
22
1
1
x x
,,
x
ln x ln x
ln
x
++
<<
⎛⎫
+
+-
⎪
⎝⎭
即
要()0
f x>即2
2
2
1
1
x ax
x
ln
x
+<
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
所以
2
2
21
2
x
x ax
+
+<对一切0
x>成立，显然0
a>不符合，
综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x
>++- 取1a =-，2n ≥，则有
()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()
221ln 12ln n n n n +-<-111n n
=-- 所以()211ln 212ln212
+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……
()211ln 12ln 1n n n n
+-<
-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n ⎡⎤++++<-
+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。