方差分析法

现具有统计规律，服从正态分布。正负误差相 互抵消，误差的平均值趋向于零。 增加实验次数。随机误差没有确定的规律也不能 事先确定。由概率论结论可知，测量中随机误 差及测量数据的分布大多接近于正态分布。不 可完全避免。
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系统误差 (systematic error) 由某些或某个因素按照某一确定的规律起作用而形成 的误差。当实验条件确定，系统误差就是客观上的 恒定值，不能通过多次实验值的平均值而减小。多 次重复试验不能消除系统误差。 砝码不准，刻度不均匀，个人读取刻度的习惯
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例2：某样品质量的称量结果为58.7±0.2g，试求其相对误 差。
解：称量的绝对误差是0.2g，所以相对误差为ER=
X/X=0.2/58.7=0.3%
例3：已知由试验测得水在20摄氏度时的密度ρ是 997.9kg/m3，又已知其相对误差为0.05%，试求密度 ρ的范围。
解： ER= X/X=0.05% 所以X=997.9*0.05%=0.5kg/m3 ρ =997.9*(1±0.05%) kg/m3
方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变量， 例如铜浓度。因变量也称试验指标，其不同的 取值常称为观察值或试验数据。
自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组 以进行比较的变量例如操作人员。
在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称
1) 绝对误差是一个具有确定的大小、 符号及单位的量。
2) 给出了被测量的量纲，其单位与测 得值相同。
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7
2 相对误差（Relative Error）：
绝对误差与被测量真值之比
定义 特点：
r L
L0
绝对误差
被测量的真值，常用 约定真值代替，也可
以近似用测量值 L 来 代相替对误L差0
1） 相对误差有大小和符号。
显著性水平 a（也称显著度）是一个概率值,常用百分数表示。
置信水平（1-a）％（也称置信度）。 如取显著性水平 a=0.1，表明所作出的显著性与否的判断有
90%的把握，或者判断的可信程度是 90%，误判的可能性有 10%。
若 a=0.05 则 1-a=1-0.05=0.95=95% 若 a=0.01，则 1-a=1-0.01=0.99=99% 由于判断的结论不可避免的存在误差,为了减少差错的出 现机率，在特别重要的实验中，显著性水平 a 尽可能取小值， 使判断的结论具有较高的置信度。
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系统误差的处理方法
当分析方法、仪器、试剂及操作者确定后，即
确定了一个分析系统，此分析系统的固有缺陷所
导致的误差即系统误差。因此，如果条件不变，
系统误差是恒定的。
选择较好的分析方法 校正仪器 提纯试剂
完善分析系统
提高操作水平
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过失误差 (mistake error)----使得测量值异常的误 差。可以避免
都会使测量结果与被测量的真值有所不同，这 个差异称为测量误差。
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误差的基本概念
表示形式
误差
性质特点
绝对 相对 误差 误差
标准 误差
系统 误差
随机 粗大 误差 误差
6
6
1绝对误差（Absolute Error）
绝对误差 ＝ 测得值－ 真值
绝对误差
测得值
特点：
L＝L－L0
被测量的真值，常 用约定真值代替
方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
学习内容
第一节 方差分析简介 常用术语 基本假定 第二节 单因素方差分析
分析模型 基本思想 分析步骤 第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析 有交互作用双因素方差分析
22.0
23.5
21.5
23.4
21.8
21.2
20.6
23.8
23.0
要研究的问题
总体1，μ1 （铜=1）
总体2，μ2 （铜=2）
总体3，μ3 （铜=3）
总体4，μ4 （铜=4）
样本1
样本2
样本3
样本4
x1, s12
x2, s22
x3, s32
x4, s42
H0 : 1 2 3 4 ??
试验数据
不同操作人员测定铜元素的结果（ug/L）
ห้องสมุดไป่ตู้
甲
乙
丙
丁
22
21.8
21.9
22.1
22.5
20.9
23.2
22.8
21.7
22.7
23.8
21.6
23.1
21.2
22.9
21.7
22.8
20.2
24.0
22.4
21.5
20.7
22.8
23.0
21.4
21.1
21.2
23.2
22.9
22.0
22.7
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甲组
0.4， 0.2, 0.1, 0.0, 0.2, 0.2, 0.3, 0.3, 0.3, 0.4
d甲 0.24,
乙组
n 10
0.9, 0.1， 0.1, 0.1， 0.0， 0.0， 0.1
0.2， 0.2， 0.7，
d乙 0.24,
n 10
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前述两组数据的标准偏差分别是
甲组
0.42 0.22 0.42
S甲
乙组
10 1
0.28
S乙
0.92 0.12 0.72 0.40
10 1
由此可见,甲组测定值精密度较好。
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总体标准偏差和样本标准偏差
各个总体的均值相等吗？
f(X)
X
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
研究方法：两样本的t检验？
如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显 著性检验 ，会出现如下问题： 全部检验过程烦琐，做法不经济 无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低 犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降 低
方差分析目的
确定是否存在影响测试结果的系统误差，即 确定不同因素间或同一因素中不同水平是否存 在实质性的差异。
假定所研究的对象都是服从正态分布 。
方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA）的主要目 的是通过对方差的比较来同时检验多个均值之间差异 的显著性。
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方差分析简介
方差分析中的基本概念 方差分析中的基本假设与检验
为什么要进行方差分析？
在环境科研中，常常需要对测试结果进 行分析，以判断各种测试因素是对试验 结果产生显著影响，例如测量某一污染 物浓度时，不同的实验室、不同的测量 仪器、不同的分析方法、不同的操作人 员等种种因素都会对测试结果产生影响。 方差分析就上判断这些影响是否显著的 重要方法
标准偏差来衡量数据的分散程度。平方不 仅避免单次测量偏差相加时正负抵消，更 重要的是使大偏差能更显著地反映出来， 更好地表达数据的分散程度，表示测量的 精密度
当实验次数无穷大时，称为总体标准差。
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实验误差的来源及分类
随机误差（random error） 以不可预知的规律变化着的误差，随机误差的出
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系统误差来源
① 测量装置方面的因素 ② 环境方面的因素 ③ 测量方法的因素 ④ 测量人员的因素
计量校准后发现的偏差、仪器设 计原理缺陷、仪器制造和安装的 不正确等。
测量时的实际温度对标准温度的 偏差、测量过程中的温度、湿度 按一定规律变化的误差。
采用近似的测量方法或计算公式 引起的误差等。
测量人员固有的测量习性引起的 误差等。
为因素的水平。
方差分析中的几个基本概念
方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个 或多个定性自变量的关系
只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分 析。
研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为 多因素方差分析，其中最简单的情况是双因素 方差分析。
固定效应与随机效应模型
为便于理解，在单因素方差分析中，将因
在一定测试条件下随机误差的分布处于有限的范 围内。如果测量误差超过这个界限，则认为测量 该值时存在疏失误差。
来源： 测量人员疏忽造成的读数、记录或运算造 成的错误，加错试剂，溅失溶液等
处理方法： 对实验结果处理前，须剔除这类数值。 操作者应该严格认真，避免过失。
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显著性水平(a)与置信水平(1-a)
（1）误差： 测量值（X）与真值（XT）之间的 差值（E）。 （2）偏差（Deviation）：一组是表示个别测量 值与平均值之间的差值，一组分析结果的精密度 可以用平均偏差和准偏差两种方法来表示。
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误差与偏差
两者的区别与联系
用误差衡量测量结果的准确度，用偏差衡量测量结果 的精密度；误差是以真实值为标准，偏差是以多次测 量结果的平均值为标准。
可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等 价。
20世纪20年代由英国统计学家费喧（R. A. Fisher）最 早提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在 许多学科中得到了广泛应用。
方差分析思想
将测定数据 的总变异(方差)分解 为因素间 的变异和因素内不同水平间的变异。通过比较 因素在不同水平间的变异，分析不同水平 选取 是否对测定结果产生影响。或者通过因素间的 变异的比较分析各因素对分析结果产生的影响 及因素间的交互作用。