理论力学15分析静力学

3
分析力学取标量形式的能量和功为基本量。采用广义 坐标、广义速度、虚位移等描述系统的运动状态，从能量 和功等基本量出发，取整个系统为研究对象，建立系统主 动力之间的联系，从而避免了复杂系统中各质点或刚体之 间的众多约束力问题，使求解更便捷、更规范。
分析力学在处理复杂系统的力学问题，以及过渡到 非力学现象方面比牛顿力学更优越。
zA 0
yA 0
zA 0
(xB
vt ) 2
y
2 B
l2
zB 0
(xB xA)2 (yB yA)2 l2
zA 0
zB 0
y A x A
ห้องสมุดไป่ตู้
yB xB
yA xA
yc r
xc r 0
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y,
z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情
况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
17
例1 曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xArco s, yArsin xBrco s l2r2si2n , yB0
分析力学的奠基人是拉格朗日。他在1788年发表了 名称为《分析力学》的著作。在该著作中，拉格朗日以能 量和功为基本量，使用数学分析方法导出了具有普遍意义 的拉格朗日动力学方程，开创了力学的新的重要分支。
理论力学
引言
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。
理论力学
分析力学概述
牛顿力学以力、位移、速度、加速度等矢量为基本量。 故又称矢量力学。牛顿力学一般取单个质点或刚体为研究对 象，以建立坐标、矢量在坐标轴上投影的方法求解。
这种求解方法对质点或刚体个数少的不甚复杂的力学系统 可以得到满意的结果，且直观性较强。但对于质点或刚体个 数较多的复杂系统的力学问题，取单个物体为研究对象就会 出现约束力多、方程多、求解困难的问题。
15
三、自由度
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z )
3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。
其自由度为 k=3n-s 。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称
刚杆
x2+y2=l2
x2+y2<l2
14
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等 式。
我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况， 其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x 1 , y 1 , z 1 ; ; x n , y n , z n ) 0 ( j 1 , 2 , , s )
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束。
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。
11
几何约束： y A r 运动约束：v A r 0
( x A r 0 )
分析静力学的基本原理是虚位移原理，它从位移和功的 概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该方法适用于研究 任意质点系的平衡问题，是研究平衡问题的最一般的方法。
7
第十一章 分析静力学基础 §11–1 分析力学基本概念 §11–2 虚位移、虚功、理想约束 §11–3 虚位移原理 §11–4 以广义坐标表示的虚位移原理 、广义力 §11–5 保守系统平衡的稳定性
12
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整 约束方程只能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式，则这类约束称为完整约束。
13
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xAr0是微分方程，但
经过积分可得到 xArC（常数），该约束仍为完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时
对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。
8
§11-1 分析力学基本概念
一、约束和约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 例如：
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2yA2r2 ( x B x A ) 2 (y B y A ) 2 l2, y B 0
9
yA xA tant
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义 坐标的函数。
18
例2 双锤摆。设只在铅直平面内摆动。 (x1,y1) , (x2,y2 ) x12 y12 a2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。
例如, 前述曲柄连杆机构例子中, 确定曲柄连杆机构位置的四
个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。
16
四、广义坐标
一般地，质点系的自由度 k3ns
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用 适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个 约束方程方便得多。