四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．

1．命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p .

(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

命题真假判断的方法：

(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．

(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．

3．充分条件与必要条件的定义

(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分非必要条件．

(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要非充分条件．

(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．

(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊇B，则p是q的充分不必要条件；

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊇A，则p是q的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分、必要条件的判定方法

(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)传递法．

(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件．

(4)等价命题法：利用A⇒B与┐B⇒┐A，B⇒A与┐A⇒┐B，A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

(2)简单复合命题的真值表：

p q ┐p ┐q p或

q p且

q ┐(p或q)

┐(p且

q)

┐p或

┐q

┐p且

┐q

真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2.

(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.

注：

1．逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；

p假且q真；p真且q真三种情况．

2．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．

3．含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B. 2．(2012·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案 B

解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

答案 A

解析 从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确．

【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（ ）

A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

命

题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是

( )

A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数

B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数

C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数

D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C

解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 5．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈M

D ．若b ∈M ，则a ∉M 解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D

4． 下列命题中为真命题的是

( )

A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题

B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题

C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题