四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p .(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．命题真假判断的方法：(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分非必要条件．(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要非充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊇B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊇A，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分、必要条件的判定方法(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)传递法．(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件．(4)等价命题法：利用A⇒B与┐B⇒┐A，B⇒A与┐A⇒┐B，A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q ┐p ┐q p或q p且q ┐(p或q)┐(p且q)┐p或┐q┐p且┐q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2.(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.注：1．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B. 2．(2012·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3答案 A解析 从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确．【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（ ）A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 5．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M 解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D4． 下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y y ≥0－y y <0，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 2．已知命题p ：∃n ∈N,2n ＞1 000，则┐p 为( )． A ．∀n ∈N,2n ≤1 000 B ．∀n ∈N,2n ＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n ＜1 000解析 特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则┐p ：∀x ∈M ，┐p (x )．故选A. 答案 A4． (2012·湖北改编)命题“存在x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．存在x 0D ∈/∁R Q ，x 30∈QB ．存在x 0∈∁R Q ，x 30D ∈/QC ．任意xD ∈/∁R Q ，x 3∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 3D ∈/Q 答案 D解析 “存在”的否定是“任意”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈/Q .命题“存在x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“任意x ∈∁R Q ，x 3D ∈/Q ”，故应选D.1． (2011·)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是 ( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．2． (2012·辽宁改编)已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则┐p 是( ) A ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 ┐p ：存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.2． (2012·)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是 ( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 C解析 利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．②③答案 (1)A (2)B解析 (1)不等式2x 2＋x －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x >12或x <－1，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x－1>0D ⇒/x >12，故选A.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B .故选B. 6． 下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且┐q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且┐q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③. 5． 下列命题中正确命题的序号是________． ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 以下命题是真命题的序号是________．(1)“若f (x )是奇函数，则f (－x )也是奇函数”的逆命题； (2)“若x ，y 是偶数，则x ＋y 也是偶数”的否命题； (3)“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； (4)“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的逆否命题；【解析】 对于(4)，只需证明原命题为真，∵a ＋b ＋c ＝3，∴(a ＋b ＋c )2＝9. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝9，从而3(a 2＋b 2＋c 2)≥9，∴a 2＋b 2＋c 2≥3成立． 【答案】 (1)(3)(4) 2． 下列命题中正确的是( )A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥αD ．命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0” 答案 D解析 对A ，只有当p ，q 全是真命题时，p ∧q 为真；对B ，sin α＝12⇒α＝2k π＋π6或2k π＋5π6，k ∈Z ，故“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件；对C ，l ⊥β，α⊥β⇒l ∥α或l ⊂α；对D ，全称命题的否定是特称命题，故选D. 15．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号) 答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是： “∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错； 对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确10．给出下列命题： ①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb ”的逆否命题；④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是 ( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确． 12．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝4m ＋12－4m m ＋3<0⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确． 答案：②③⑤3．设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x >3且y ≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．如图：x 2＋y 2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x 2＋y 2≥9时，x >3且y ≥3并不一定成立，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2≥9，但x >3且y ≥3不成立；而x >3且y ≥3时，x 2＋y 2≥9一定成立，故选B.一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可． 4．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必要条件，故选A.5．0＜x ＜5是不等式|x －2|＜4成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由|x －2|<4，得－2<x <6。