thermal6 玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
2020-2021学年高二物理竞赛玻耳兹曼分布律课件
v0
3 vdN
0 v0
v0 3
0
N
6
v
3 0
v 2 (v0
v)dv
3v0
7N 27
14
3 dN 0
讨论：速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率 的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
气体分子 平均速率
矛盾
RT v 1.60
M mol
氮气分子在270C时的 平均速率为476m.s-1.
气体分子热运动平均速率高，
但气体扩散过程进行得相当慢。
克劳修斯指出：气体分子的速度 虽然很大，但前进中要与其他分 子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的 路程非常曲折。
在相同的t时间内，分子由A到
一切分子都在运动
Z d 2vn
Z 2d 2vn
平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程 v 1
Z
2d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
由归一化条件
f (v)dv 1
0
v0
0
Av(v0
v)dv
A 6
v03
1
A
6 v03
o
v
v0
(2)最概然速率由 df (v) 0 决定，即
高二物理竞赛玻尔兹曼分布律重力课件
vz2
1 v2 3
1 2
m0
vx2
1 2
m0
v2y
1 2
m0
vz2
1 2
kT
13
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
均能量都相等，均为 1 k T，这就是能量按自由度
2
均分定理 . 分子的平均总动能
k
i kT 2
分 子 平 动 转 动 平均平 平均转 平 均 类 型 自由度 自由度 动动能 动动能 总动能
xyz
dN C e E p kT dxdydz
则分子数密度 n dN C eEp kT dxdydz
E p 0 时 , C n0 为势能等于零处的分子数密度
n n0e Ep kT 粒子数按势能分布
6
（2）玻耳兹曼分布适用于一切保守场中的自由粒子
（3）气体等温气压公式：
n n0eEp kT
Ep mgh
n n0emgh kT
P nkT
P P0 e mgh kT
7
例 求上升到什么高度时大气压强减为地面的75%？设
空气温度为0C， 空气的摩尔质量为0.0289 Kg/mol。
解：
gh
P P0 e RT
P gh
ln
P0
RT
P
gh
e RT
P0
h RT ln P
g P0
葛正权实验
O ---铋蒸气源, 温度为T S1,S2,S3 --- 狭缝
Q ---圆筒,转速可达 500转/秒
G --- 玻璃薄板 2
在麦克斯韦速度分布律中，
dN N
=( m
2 kT
) e dv dv dv 3 2
玻耳兹曼分布律
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
玻尔兹曼分布律
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
dN = ndV = n0e-e p / kTdxdydz
取z 轴垂直向上，地面处 z=0， 可得
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。
解 由气体的状态方程, 有
n
=
p kT
=
1.33 ´ 10-3 1.38 ´10-23 ´ 300
=
3.21´1017 m-3
l=
1 2π d 2n =
1 2π (3´10-10 )2 ´ 3.21´1017
= 7.79 m
12/13
一. 分子的平均碰撞频率 Z
一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为性小球，分子间的碰撞 为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A
以平均速率 u 运动，其它分子都看作静止不动。
8/13
·单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为 nπ d 2u
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
一. 重力场中粒子按高度的分布
dp = -r gdh dp = -nm gdh
平衡态下气体的温度处处 相同，气体的压强为
玻尔兹曼能量分布定律
玻尔兹曼能量分布定律玻尔兹曼能量分布定律是描述物体在不同温度下能量分布的一种定律。
根据这个定律，物体的能量分布与其温度有关，温度越高，能量分布越广，峰值越低；温度越低，能量分布越窄，峰值越高。
玻尔兹曼能量分布定律是热力学的基本原理之一，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
在自然界中，物体的能量分布是非常普遍的，无论是热力学系统中的粒子分布，还是宏观物体的能量分布，都可以用玻尔兹曼能量分布定律来描述。
玻尔兹曼能量分布定律的形式是一个指数函数，其中包含了玻尔兹曼常数和温度两个参数。
根据这个定律，物体的能量分布可以通过温度来确定，温度越高，能量分布越广，物体的能量分布趋于均匀；温度越低，能量分布越窄，物体的能量分布趋于集中。
玻尔兹曼能量分布定律的应用非常广泛。
在热力学系统中，通过对物体的能量分布进行分析，可以得到系统的热力学性质，如熵、内能等。
在材料科学中，通过对材料的能量分布进行研究，可以了解材料的热导性、电导性等性质。
在天体物理学中，玻尔兹曼能量分布定律可以解释星体的辐射特性，如黑体辐射等。
除了在科学研究中的应用，玻尔兹曼能量分布定律还有许多实际的应用。
例如，在工程中，通过对能量分布的分析，可以确定材料的热传导性能，从而优化材料的设计。
在能源领域，通过对能量分布的研究，可以改进能源的利用效率，提高能源的利用率。
玻尔兹曼能量分布定律是描述物体能量分布的一种定律，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
通过对能量分布的研究，可以深入了解物体的热力学性质，优化材料的设计，改进能源的利用效率。
玻尔兹曼能量分布定律在科学研究和工程应用中具有重要的作用，对于推动科学技术的发展有着重要的意义。
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律1. 介绍玻耳兹曼分布律（Boltzmann Distribution），又称能级分布定律或热力学分布定律，是描述粒子在热平衡时能量分布的统计规律。
它是由物理学家玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann）在19世纪末提出的，对理解热力学平衡和统计力学起到了重要作用。
2. 能级与分布2.1 能级的定义在经典力学中，一个具有N个微观粒子的系统的能量是由粒子各自的能级所确定的。
能级（Energy level）是指一个粒子所处的状态或能量状态。
2.2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是以概率统计理论为基础，通过模拟随机抽样的方法，通过数学计算机模拟的形式，解决一些无法用传统数学方法解决的问题。
3. 玻耳兹曼分布律的推导以下是推导玻耳兹曼分布律的基本思路：3.1 假设•假设每个能级之间的间隔是常数，即能级数之比是整数。
3.2 系综理论•系综是对系统可能的状态进行统计的一种方法。
根据统计力学的观点，与一个给定的宏观信息相对应的，不同的微观状态可以构成一个系综。
3.3 统计力学的基本假设•统计力学的基本假设是，处于热平衡的系统会等可能地在所有可行的微观状态中进行跃迁。
这个假设被称为均等性原理。
3.4 玻耳兹曼分布律的推导•基于均等性原理，可以得出所有可能的微观状态的数目是相同的。
由此可以推导出玻耳兹曼分布律的表达式。
4. 玻耳兹曼分布律的表达式玻耳兹曼分布律的表达式如下：P i=e−E i/(kT)∑e−E j/(kT) nj=1其中，P i表示处于能级i的概率，E i表示能级i的能量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，n表示能级的总数。
5. 玻耳兹曼分布律的应用5.1 热力学平衡利用玻耳兹曼分布律，可以计算系统在热力学平衡状态下各个能级的占据概率。
通过能级的占据概率，可以推导出各种热力学性质，如熵、内能等。
5.2 电子能级分布玻耳兹曼分布律可以应用于描述电子在原子、分子中的能级分布。
这对于理解原子、分子的能级结构以及电子在能带中的行为具有重要意义。
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
7-6 玻耳兹曼能量分布律
Nantong University
7-6 玻耳兹曼能量分布律
一
玻耳兹曼能量分布律
mv
2
麦克斯韦速率分布公式中的因子e 写成 e kT ，于是有
k
2 kT
m 2 k kT 2 dN N e 4 v dv 2kT
3
在保守力场中，用分子的总能量 Nhomakorabea k p 代替 k ，用微分元 dvx dv y dvz 代替 4v2 dv
第7章 气体动理论
返回
4
p nkT
南通大学
Nantong University
7-6 玻耳兹曼能量分布律
二
等温气压公式
假定大气为理想气体，且忽略地球表面 的大气层上下温度的差异,得到等温气压公式
p n0 kTe p0e
mgz kT RT
p0e
mgz
kT
M mol gz
在航空、登山等活动中，估计上升的高度 p0 RT z ln M mol g p
n0 表示势能 p 0 处单位体积内具有各 种速度的分子总数 .
3
第7章 气体动理论
返回
2
南通大学
Nantong University
7-6 玻耳兹曼能量分布律
利用麦克斯韦分布函数的归一化条件
m 2 k kT dv x dv y dv z 1 e 2kT
第7章 气体动理论
返回
5
南通大学
Nantong University
7-6 玻耳兹曼能量分布律 玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann， 1844～1906），奥地利物理学家， 气体动理论的奠基人之一，在热力 学和统计物理学方面做出了卓越的 贡献．玻尔兹曼推广麦克斯韦的分 子速度分布律，建立了平衡态气体 分子的能量分布律——玻耳兹曼分 布律，提出了输运方程（后称为玻 耳兹曼输运方程）、H定理以及熵 的统计诠释．玻耳兹曼通过熵与概 率的联系，揭示了热力学系统的宏 观与微观之间的关联，并对热力学 第二定律进行了微观解释．
4-波尔兹曼能量分布律-4
一、玻耳兹曼能量分布律
麦克斯韦速度分布律
因子
dN N
(
m
2kT
)3
2
e
m(vx2
v
2 y
2kT
v
2 z
)
dvx
dvy
dvz
e e mv2 /2kT
k / kT
保守力场中分子总能量： k p
玻耳兹曼推广：当系统在保守力场中处于平衡态时，其
中坐标介于位置区间x～x+dx、y～y+dy、z～z+dz内；同
量为2.89×10-2 kg／mol，海平面处的压强为1.013×105
Pa）
解：由题意知空气的温度为 T＝273＋27＝300(K) 拉萨的高度 z＝3600m
p p0egz / RT 6.67104 Pa
因此位于3600m高空的压强只有海平面处压强的0.66%
§7 平均自由程和平均碰撞频率
一、概念
平均自由程：一个分子 连续两次碰撞所经过路
程的平均值，用 表示
平均碰撞频率：一个分子 在单位时间内与其他分子
z 碰撞次数的平均值，用
表示
线度 ~ 10-8m
v
z
二、计算
分子视为弹性小球，有效直径为d，
v v 速率为 ，碰撞后速率仍为
考虑一个分子运动，其它分子静止，运动分子在1秒内
与其它分子的平均nokT n noe kT
m gz
gz
p poe kT poe RT
------等温气 压公式
结论：随着高度升高，气体越稀薄，压强也越低
z RT ln po
g p
高度？
高度计公式
[例1]已知拉萨的高度为海拔3600m。若大气温度处处 相同，且为27℃，问拉萨的压强为多少？（空气摩尔质
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种数学模型。
它是由奥地利物理学家玻耳兹曼在19世纪末提出的，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
玻耳兹曼分布律的基本假设是：气体分子的速度是随机的，且分子之间的碰撞是弹性碰撞。
在这种情况下，气体分子的速度分布服从玻耳兹曼分布律。
玻耳兹曼分布律可以用以下公式表示：
f(v) = (m/(2πkT))^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/(2kT))
其中，f(v)表示速度为v的气体分子的概率密度函数，m表示气体分子的质量，k表示玻尔兹曼常数，T表示气体的温度。
从公式中可以看出，玻耳兹曼分布律与气体分子的质量、温度有关，速度越大的气体分子出现的概率越小。
此外，玻耳兹曼分布律还可以用于计算气体的热容、热传导系数等物理量。
在实际应用中，玻耳兹曼分布律可以用于研究气体分子的速度分布、
温度分布等问题。
例如，在研究气体分子的平均速度时，可以利用玻
耳兹曼分布律计算速度的平均值。
在研究气体的热传导性质时，可以
利用玻耳兹曼分布律计算气体分子的平均自由程。
总之，玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种重要数学模型，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
它的应用不仅有助于
深入理解气体分子的运动规律，还可以为相关领域的研究提供重要的
理论基础。
玻耳兹曼分布律PPT讲解
自由运动的路程 ：自由程 其平均值 ：平均自由程
二、平均碰撞频率
v
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率
其平均值 Z ：平均碰撞频率
一个分子在单位时间内走过的平均路程：v ， v / Z
4
三、Z 、 的计算
d ：分子直径
v
Z d 2vn
d 2：分子碰撞截面
Z 2d 2vn
V1
V2
V
V2 V
10
功 A是过程量，不是状态量，与 P，V，T，E不同
元功 dA，dP、 dV 、dT 、 dE
9
四、平衡态、准静态过程、功的几何表示
理想气体， PV RT
P
P
P
（ P，V ）
V
V
点 平衡态
有向曲线 准静态过程
V1
P
面积 A V2 PdV V1
面积 准静态过程的功
只有 PV 图上的面积表示功
解： Z 2d 2vn 2d 2 8RT P kT
81.19 亿次/秒
kT
2d 2P
ห้องสมุดไป่ตู้
2.09 107 m
T t 273.15 ， 1atm 1.013105Pa
6
热力学基础 第1节 几个基本概念
一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境
二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态
例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差
已知：空气摩尔质量 28.97 103 kg ，T 300K
解： h1处：n1
gh1
大学物理课件玻尔兹曼分布律
0 Nd( N x N ,y,z)f(x,y,z)dxd 1 ydz
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
xxNdNxf(x)dx g(x)g(N x)dN g(x)f(x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
而且与 e kT 成正比。这个结论称为玻尔兹曼能量 分布律，称 e kT为玻尔兹曼因子。
* 粒子数密度是指单位相空间的粒子数
13
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
上节我们得到，温度为T的热平衡态中，任何 系统的微观分子数密度按状态的分布规律：
ne(Kp) kT
在无外加势场的平衡态下，气体分子之间的相互作用 又可忽略时，分子在空间的分布是均匀的，玻尔兹曼
设分子质量为m，单位体积的分子
数为n。如图所示的体元内分子受
上下端面的压力差与其自身重力相
平衡
dP SmgnS dz
PdP
S
dz
P g
dP mgn dz
按公式 P=nkT ,可知
等温气体在重力场中，分 子数密度随高度的分布律 n0是z=0处的分子数密度
dn mgn
dz
kT
n(z)n0em gkzT
热平衡气体在重力场中气体密度分布随高度变 化，即密度分布是不均匀的，依赖于分子所在 力场的性质。
用U(r) 代替mgz
• 玻尔兹曼密度分布律
将重力场势能推广到任意势场，U( r )中，有
n(z)n0emgkzT
n(r)n0eU(r)kT
它描述了热平衡态下分子数密度在任意势场 U(r)1m2r2
玻尔兹曼分布律(补充)
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的起源和定义 • 玻尔兹曼分布律的数学表达形式 • 玻尔兹曼分布律的应用 • 玻尔兹曼分布律与其他统计分布的关系 • 玻尔兹曼分布律的近似和推广 • 玻尔兹曼分布律的实验验证
01 玻尔兹曼分布律的起源和 定义
起源
01
19世纪末，路德维希·玻尔兹曼在 研究气体分子运动时，提出了分 子分布的一种理论。
总结
泊松分布和玻尔兹曼分布律都是描述随机事件发生次数的统计分布，但它们关 注的侧重点不同。泊松分布关注的是单位时间内事件发生的次数，而玻尔兹曼 分布律关注的是事件发生的相对频率。
与指数分布的关系
指数分布
在一定条件下，某个事件发生的时间间隔往往服从指数分布。如果一个随机变量服从指数分布，则其概率密度函 数是关于时间间隔的倒数对称的。
在分子运动论中的应用
01
02
03
分析分子运动规律
利用玻尔兹曼分布律，可 以分析气体分子在平衡态 下的运动规律，如平均速 度、方均根速度等。
研究分子碰撞过程
玻尔兹曼分布律可以用于 研究气体分子之间的碰撞 过程，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
预测分子输运性质
通过玻尔兹曼分布律，可 以预测气体分子的输运性 质，如扩散系数、粘滞系 数等。
在信息论中的应用
熵的概念起源
玻尔兹曼分布律是信息论中熵概念的起源，熵表示系统的混乱程 度或不确定性的度量。
概率分布的应用
玻尔兹曼分布律作为一种概率分布，可以用于描述信息传输中的错 误概率分布。
信息编码与解码
在信息编码与解码的过程中，可以利用玻尔兹曼分布律来优化编码 方案，提高信息传输的效率和可靠性。
指导实际应用
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
玻尔兹曼分布律 - 推导麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。
这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。
如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。
实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。
据(9.29)式可得玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。
在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。
同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。
thermal6 玻尔兹曼分布律
3. Maxwell速度分布律（几何意义）
4. Maxwell速度分量的分布规律 5. 气体分子碰壁数…
在多方面的应用
1 nv 4
*.气体分子碰壁数…
1 nv 4
（1）泻流 （2）分子束技术和分子束速率分布 （3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸·太阳风·月球大气
'
p
n0e kT
dxdydz
(m
2 kT
)3/2
k
e kT
dvxdv ydvz
p
dN ' n0e kT dx dy dz
——主态空间体积元内各种 速度的分子总数
p
dN ' n0e kT dx dy dz
dV dx dy dz
dN'(vx ) n f (vx )dvx vxdtdA
热电子发射强度Je就是：
Je v min nf (vx )vxdvx x
Je
v min x
nf
(vx
)vxdvx
假定金属中自由电子遵从麦克斯韦分布,可以得到Je
Je
n( kT )1/2
2 m
W
e kT
mgz
n n0e kT
mgz
p kT n0e kT
mgz
p0e kT
Mgz
p0e RT
四. 等温大气压强公式
mgz
p p0e kT
Mgz
p p0e RT
H kT RT mg Mg
——等温气压公式
Boltzmann 分布定律及适用条件
3
虽根据定域子系统导得，但对于离域子系统，同样能够得到这个关系式。 式(33-28)表明，粒子占据 j 能级的概率不仅与该能级的简并度成正比，而且也与它的
( ) Boltzmann 因子 exp − ε j / kT 成正比。后者意即能级的能量 ε j 愈高，粒子占据的概率愈小，
而且是呈指数降低。至于式中子的配分函数 q 是一个表征粒子在能级中分布特征的函数，它
h2 2π mkT
⎟⎟⎠⎞3 /
2
<< 1
(33-34)
式(33-33)便必能满足。据此，不难看出，要满足式(33-34)，温度不能太低、气体的密度不 能太高、子的质量不能太小。这是因为只有在温度不太低时，才能保证在能级间隔不变的条 件下使子向高能级散布；气体密度不能太高和子的质量不能太小是为了使离域子的能级间隔
此外，Boltzmann 分布定律是用 Lagrange 未定乘数法导得，这是一个求解条件极值的方 法，式(33-2)和式(33-3)就是约束条件。特别是式(33-3)，表示系统的能量等于子的能量之和， 这就是说，子与子之间没有作用势能，因为微粒间的作用势能是不属于一个子所有，故这个 定律仅适用于独立子或近独立子系统，而不能应用于微粒间存在作用势能的相倚子系统。
⎜⎛ ∂S ⎟⎞ = 1 ⎝ ∂E ⎠N ,V T
(33-26)
所以，
β =− 1 kT
现将式(33-23)和(33-27)代入式(33-21)，便得
(33-27)
∑ N j =
N
g je−ε j / kT g je−ε j / kT
= g je−ε j / kT q
j
(33-28)
∑ 这就是 Boltzmann 分布定律，式中 q = g je−ε j / kT 称为子的配分函数。应该指出，式(33-25)
6-7 玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
1. 玻尔兹曼分布律
当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分 布律中的指数项应以总能量 E Ek E p Ek 1 mv2 ，这样在保守力场 代替动能 2 中分子的空间分布也不均匀。
玻尔兹曼
玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域 x-x+dx， y-y+dy，z-z+dz 及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分 子数 dN 设 Ep=0 处分子数密度为n0
ε p kT dxdydz e
设 Ep=0 处分子数密度为 n0 ，
在保守力场中，分子总是优先占据势能较低的 状态。
2. 重力场中气体分子按高度分布
重力场中考虑一竖直空气柱， 设Ep=0 处分子数密度为n0 ， ε p 据dN n e kT dxdydz
0
z
n
在 Z 处分子数密度为
m e dN n0 2kT
3 2
k p
kT
dvxdv y dvz dxdydz
玻尔兹曼分布律
设气体分子处于某一保守力场中，分子势能 为 p ，则其分子数密度仍遵从上式。 在空间某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 的分子数dN’
dN n0
n n0e
mgz kT
0
n0
重力场中气体分子按高度分布
当大气温度均匀时， 分子数密度随高度增 加按指数规律减小。
z
n
在同一高度
m
T
n 减小更快 n 减小更慢
0
n0
重力场中气体分子按高度分布
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k p
kT
dv x dv y dvz dx dy dz
n n0 e kT
p
平衡态理想气体分子热运动遵从1个统计规律：
m 3/ 2 dN n0 ( ) e 2 kT
k p
kT
第三章 …速率和能量的统计分布律
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §3.4 能量按自由度均分定理
平衡态理想气体分子热运动Maxwell分布律：
dN m f ( v )dv 4 ( N 2 kT
对 立 作 用
p
kT
p mgz
mgz e kT
n n0e
z~n
m~n
T~n
n
n n0
n0
T2 >T1 T1
z
四 四. . 等温大气压强公式 等温大气压强公式
因为大气中存在十分复杂的流动，因而大气
的温度和压强变化十分复杂。 假设大气是等温的且
处于平衡态，则大气压强随高度变化是怎样的？
p
kT
dx dy dz
dV dx dy dz
dN ' n0e dV
p
kT
p
kT
n( x, y, z ) n0e
——主态空间单位体积内具有 各种速度的分子数 ——分子按位能的分布律
p
n n0e
n
p
kT
——玻尔兹曼分布律常用形式
m 3/ 2 dN n0 ( ) e 2 kT
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流
（2）分子束技术和分子束速率分布
（3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 月球大气· 太阳风
Maxwell分布律中e 指数项
e
kT
mv 2 e 2 kT
e
k
kT
1 k mv 2 2
1 k mv 2 2
——分子平动动能 平衡态下气体分子数密度 n 处处相等， ———————————仅在无外力场下才成立！
1 N ' nv Adt 4 1 ' dN v nvf (v )dv dAdt 4
分子束中的速率分布 F(v)dv。
n vf (v )dvdAdt dN 'v vf ( v )dv 4 F (v )dv n N' v vdAdt 4
vf ( v )dv F (v )dv v
故，虽然阳光很强,但是天空是黑色的。
（c）太阳风
从太阳的高层大气中逃逸出来的粒子流称为太阳风。 氢原子核（质子）为主的粒子流，其平均速率为 400km· s-1（在太阳活动期可高达1000 km· s-1)，这就是 宇宙射线。 它对生物会产生巨大损害。 太阳风（质子流，即电流）产 生的磁场和地球磁场相互作用 把地球磁场压缩成为地球磁层。 地球磁层能够把太阳风抵挡在 地球外面。使得地球上的生物 避免受到宇宙射线的危害。
若分子受到重力场、惯性力场、电场力等的作用， 气体分子数密度将有一定的空间分布.
第三章
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
§3.4 能量按自由度均分定理
§3.3 玻耳兹曼分布律 重力场中 微粒按高度的分布
一. 玻尔兹曼分布律
1 nv 4
（3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 太阳风· 月球大气
（1）泻流
1 nv 4 气体从薄壁容器很小的小孔中逸出称为泻流。
处于平衡态的气体，在dt时间内，从△A 面积小孔逸 出的分子数△N’
1 N ' nv Adt 4
•只要很短时间dt内,逸出的气体分子数与容器中总分子
• h>R+500km 以上的大气散逸层中的气体十分稀薄，
是地球大气的最外层，
• 这称为地球大气逃逸。
vmin 2GM E h
（b）月球大气
• 上世纪70年代初美国太阳神16号宇宙飞船登上月球表 面时拍摄的照片。
可以看见,虽然阳光很强,但是天空是黑色的?
（c）月球大气
2GM moon vmin R
dv x
#、Maxwell速度分布律
1. 速度空间的概念 2. Maxwell速率分布律的几何意义 3. Maxwell速度分布律（几何意义） 4. Maxwell速度分量的分布规律 5. 气体分子碰壁数… 在多方面的应用
1 nv 4
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流
（2）分子束技术和分子束速率分布
p p0e
Mgz RT
z p0e H
等温气压公式的应用范围：
由于在地球表面附近大气的温度是随高 度变化的，该公式只有在高差相差不大的范 围内才与实际符合。
p0 z H ln p
——测高仪的理论依据
北京某旅游公司的经典广告：
只要半个平米的价格，日韩新马泰都玩了一圈； 一两个平米的价格，欧美列国也回来了； 下一步只好策划去埃及南非这些更为神奇的所在；
2
mv 2 e 2 kT
v 3dv
分子束的平均速率及均方根速率分别为
v束
9 kT 8m
2 v束
4kT m
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流 （2）分子束技术和分子束速率分布 （3）热电子发射 （4）地球大气分子逃逸· 太阳风· 月球大气
（3）热电子发射
• 自由电子经典模型：金属中的自由电子的能量
利用气体分子平均速率公式，分子束速率分布F(v)dv可表示为
mv 2 3/ 2 ) e 2 kT
F (v )dv
m 4 ( 8kT 2 kT
2 mv 2 e 2 kT
m
v 3 dv
m F (v )dv 2( kT )2
v 3dv
•分子束速率分布为
m F (v )dv 2( kT )2
dN ' ( v x ) n f (v x )dv x v x dtdA
热电子发射强度Je就是：
Je
v
min x
nf (v x )v x dv x
Je
min
vx
nf (v x )v xdv x
假定金属中自由电子遵从麦克斯韦分布,可以得到Je
kT 1/2 kT J e n( ) e 2 m
数相比小得多，则n和平均速率在 t 时刻有确定数值。
（2）分子束技术和分子束速率分布
具体求出分子束速率分布。
• dt 时间内从dA 面积的小孔逸出的分子数可写为，
N'
1 1 nvdAdt n vf (v )dv dAdt 4 4 0
其中速率为v 到v +dv 范围内的分子数是
' 1 nvf ( v )dAdt dv dN v 4
原始月球也有大气，但由于月球表面的重力加速度仅 为地球表面的1/6。
• 月球表面气体分子的最小逸出速率仅为地球表面最小逸 出速率的0.4倍。
因此在月球大气分子 中能逸出月球吸引力范围
的概率较地球大气大得多。
月球最小 逸出速率 地球最小 逸出速率
• 经过太阳系约47亿年时间流逝，月球大气分子已几乎 全部散逸光。其表面大气压强仅3×10-10 Pa。
e
kT ——玻尔兹曼因子
1876年任维也纳物理研究所所长
在玻尔兹曼假设基础上建立了分 子按能量的分布律…
二. 分子按坐标的分布律
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT
k p
kT
dv xdv ydvz dxdydz
x ~ x dx y ~ y dyn0e
mgz kT
p kT n0 e
mgz kT
p0e
mgz kT
Mgz RT
p0e
四. 等温大气压强公式
p p0
mgz e kT
H
p p0e
Mgz RT
kT RT mg Mg
——等温气压公式
•大气标高是粒子按高度分布的特征量！ •气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾的 相互协调形成稳定的大气压强分布。
气体处于保守力场中时
k p
v x ~ v x dv x v y ~ v y dv y v z ~ v z dv z
气体分子速度在 v ~ v dv
x ~ x dx 且空间位置在 r ~ r dr y ~ y dy z ~ z dz
§3.4 能量按自由度均分定理
平衡态理想气体分子热运动Maxwell速度分布律：
dN m 3/ 2 ( ) e N 2 kT
2 2 m(v2 x v y vz )
2 kT
dv x dv y dvz
系统在力场中处于平衡时分子的Boltzmann分布律：
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT
电子发射 加热 光的照射 强电场
光电效应 场致电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 月球大气· 太阳风
（a）地球大气逃逸
• 在离地球中心距离为 h 的高层大气中，必有某
些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而 逃逸的最小速率vmin,
GM E m 1 mv 2min h 2
vmin
2GM E h
W me (vx )2 / 2