thermal6 玻尔兹曼分布律

几年下来全世界你都玩遍可能还没花完一个厨房的价钱； 但是那时候，说不定你的世界观都已经变了。 生活在于经历，而不在于平米； 富裕在于感悟，而不在于别墅。 ——感谢中央，感谢八年房价涨八倍
第三章
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
mv 2 3/ 2 ) e 2 kT
v 2 dv
dN m 3/ 2 ( ) e N 2 kT
2 2 m(v2 x v y vz )
2 kT
dv x dv y dvz
mv 2 x )1/ 2 e 2 kT
dN ( v x ) m f (v x )dv x ( N 2 kT
• h>R+500km 以上的大气散逸层中的气体十分稀薄，
是地球大气的最外层，
• 这称为地球大气逃逸。
vmin 2GM E h
（b）月球大气
• 上世纪70年代初美国太阳神16号宇宙飞船登上月球表 面时拍摄的照片。
可以看见,虽然阳光很强,但是天空是黑色的?
（c）月球大气
2GM moon vmin R
要比金属外空气中的游离电子的能量低W(脱出
功)。自由电子脱出金属表面必须做功 , 所做的
功可由热运动能量提供。 • 只要 “碰撞”到金属表面上的自由电子的动 能大于脱出功W，它就能穿透金属表面进入自 由空间，这就是热电子发射现象。
若令沿金属表面法向向外的方向定为x正方向，则只有
速度分量vx为正，且 满足vx＞vxmin条件的自由电子“碰” 到金属表面上时才能逸出金属表面。 其中vxmin 与脱出功W 之间有如下关系
原始月球也有大气，但由于月球表面的重力加速度仅 为地球表面的1/6。
• 月球表面气体分子的最小逸出速率仅为地球表面最小逸 出速率的0.4倍。
因此在月球大气分子 中能逸出月球吸引力范围
的概率较地球大气大得多。
月球最小 逸出速率 地球最小 逸出速率
• 经过太阳系约47亿年时间流逝，月球大气分子已几乎 全部散逸光。其表面大气压强仅3×10-10 Pa。
第三章 …速率和能量的统计分布律
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §3.4 能量按自由度均分定理
平衡态理想气体分子热运动Maxwell分布律：
dN m f ( v )dv 4 ( N 2 kT
故，虽然阳光很强,但是天空是黑色的。
（c）太阳风
从太阳的高层大气中逃逸出来的粒子流称为太阳风。 氢原子核（质子）为主的粒子流，其平均速率为 400km· s-1（在太阳活动期可高达1000 km· s-1)，这就是 宇宙射线。 它对生物会产生巨大损害。 太阳风（质子流，即电流）产 生的磁场和地球磁场相互作用 把地球磁场压缩成为地球磁层。 地球磁层能够把太阳风抵挡在 地球外面。使得地球上的生物 避免受到宇宙射线的危害。
数相比小得多，则n和平均速率在 t 时刻有确定数值。
（2）分子束技术和分子束速率分布
具体求出分子束速率分布。
• dt 时间内从dA 面积的小孔逸出的分子数可写为，
N'
1 1 nvdAdt n vf (v )dv dAdt 4 4 0
其中速率为v 到v +dv 范围内的分子数是
' 1 nvf ( v )dAdt dv dN v 4
•李查逊(Richardson）公式。
W
m 1/2 f (v x ) ( ) e 2 kT
mv 2 x 2 kT
kT J e n( 2 m
• W >>kT，
W 1/2 ) e kT
me (v x min )2 W 2
热电子发射的条件： mev2x /2 > W
• 发射电子的阴极均由灯丝来加热。 • W smaller

对 立 作 用
p
kT
p mgz
mgz e kT
n n0e
z~n
m~n
T~n
n
n n0
n0
T2 >T1 T1
z
四 四. . 等温大气压强公式 等温大气压强公式
因为大气中存在十分复杂的流动，因而大气
的温度和压强变化十分复杂。 假设大气是等温的且
处于平衡态，则大气压强随高度变化是怎样的？
分子空间位置在
p
kT
r ~ r dr
的分子数：
dN ' n0e

dxdydz


m ( 2 kT
k )3/2 e kT
dv x dv y dvz
dN ' n0e

p
kT
dx dy dz
——主态空间体积元内各种 速度的分子总数
dN ' n0e
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT

k p
kT
dv x dv y dvz dx dy dz
n0 ——在势能为零处单位体积内具有各种速 率的分子总数
——玻尔兹曼分子按能量分布规律
Ludwig Boltzman（1844-1906）， Stefan(斯忒藩)的学生和助手
i . g.
p nkT
n n0e

mgz kT
p kT n0 e

mgz kT
p0e

mgz kT
Mgz RT
p0e

四. 等温大气压强公式
p p0
mgz e kT
H
p p0e
Mgz RT
kT RT mg Mg
——等温气压公式
•大气标高是粒子按高度分布的特征量！ •气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾的 相互协调形成稳定的大气压强分布。
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流
（2）分子束技术和分子束速率分布
（3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 月球大气· 太阳风
Maxwell分布律中e 指数项
e


kT

mv 2 e 2 kT
e

k
kT
1 k mv 2 2
1 k mv 2 2
——分子平动动能 平衡态下气体分子数密度 n 处处相等， ———————————仅在无外力场下才成立！
1 nv 4
（3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 太阳风· 月球大气
（1）泻流
1 nv 4 气体从薄壁容器很小的小孔中逸出称为泻流。
处于平衡态的气体，在dt时间内，从△A 面积小孔逸 出的分子数△N’
1 N ' nv Adt 4
•只要很短时间dt内,逸出的气体分子数与容器中总分子
2
mv 2 e 2 kT
v 3dv
分子束的平均速率及均方根速率分别为
v束
9 kT 8m
2 v束

4kT m
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流 （2）分子束技术和分子束速率分布 （3）热电子发射 （4）地球大气分子逃逸· 太阳风· 月球大气
（3）热电子发射
• 自由电子经典模型：金属中的自由电子的能量
利用气体分子平均速率公式，分子束速率分布F(v)dv可表示为
mv 2 3/ 2 ) e 2 kT
F (v )dv
m 4 ( 8kT 2 kT
2 mv 2 e 2 kT
m
v 3 dv
m F (v )dv 2( kT )2
v 3dv
•分子束速率分布为
m F (v )dv 2( kT )2

p
kT
dx dy dz
dV dx dy dz

dN ' n0e dV

p
kT
p
kT
n( x, y, z ) n0e
——主态空间单位体积内具有 各种速度的分子数 ——分子按位能的分布律
p
n n0e

n
p
kT
——玻尔兹曼分布律常用形式
m 3/ 2 dN n0 ( ) e 2 kT

k p
kT
dv x dv y dvz dx dy dz
n n0 e kT

p
平衡态理想气体分子热运动遵从1个统计规律：
m 3/ 2 dN n0 ( ) e 2 kT

k p
kT
若分子受到重力场、惯性力场、电场力等的作用， 气体分子数密度将有一定的空间分布.
第三章
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
§3.4 能量按自由度均分定理
§3.3 玻耳兹曼分布律 重力场中 微粒按高度的分布
一. 玻尔兹曼分布律
dN ' ( v x ) n f (v x )dv x v x dtdA
热电子发射强度Je就是：
Je
v

min x
nf (v x )v x dv x
Je

min
vx
nf (v x )v xdv x
假定金属中自由电子遵从麦克斯韦分布,可以得到Je
kT 1/2 kT J e n( ) e 2 m
e

kT ——玻尔兹曼因子
1876年任维也纳物理研究所所长
在玻尔兹曼假设基础上建立了分 子按能量的分布律…
二. 分子按坐标的分布律
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT
k p
kT
dv xdv ydvz dxdydz
x ~ x dx y ~ y dy z ~ z dz
W me (vx )2 / 2
min
热电子发射的条件： mev2x /2 > W
x
金属表面的自由电子受到 晶格离子的吸引力
• 热电子发射强度Je。 • 若设金属自由电子数密度为 n，则在 dt 时间内碰撞 在 dA 面积上的所有速度分量在 vx 到 vx + dvx 范围内 而vy vz 为任意的分子数为 dN ' (v x )
1 N ' nv Adt 4 1 ' dN v nvf (v )dv dAdt 4
分子束中的速率分布 F(源自文库)dv。
n vf (v )dvdAdt dN 'v vf ( v )dv 4 F (v )dv n N' v vdAdt 4
vf ( v )dv F (v )dv v
电子发射 加热 光的照射 强电场
光电效应 场致电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 月球大气· 太阳风
（a）地球大气逃逸
• 在离地球中心距离为 h 的高层大气中，必有某
些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而 逃逸的最小速率vmin,
GM E m 1 mv 2min h 2
vmin
2GM E h

k p
kT
dv x dv y dvz dxdydz
n n0e

p
kT
对于处于平衡态的气体中的原子、分 子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多 粒子，一般都可应用玻耳兹曼分布，只要 粒子之间相互作用很小而可忽略.
三. 重力场中微粒按高度的分布
非 均 匀 分 布
分子均匀分布 分子在地面聚集 分子热运动 重力作用
dv x
#、Maxwell速度分布律
1. 速度空间的概念 2. Maxwell速率分布律的几何意义 3. Maxwell速度分布律（几何意义） 4. Maxwell速度分量的分布规律 5. 气体分子碰壁数… 在多方面的应用
1 nv 4
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流
（2）分子束技术和分子束速率分布
§3.4 能量按自由度均分定理
平衡态理想气体分子热运动Maxwell速度分布律：
dN m 3/ 2 ( ) e N 2 kT
2 2 m(v2 x v y vz )
2 kT
dv x dv y dvz
系统在力场中处于平衡时分子的Boltzmann分布律：
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT
气体处于保守力场中时
k p
v x ~ v x dv x v y ~ v y dv y v z ~ v z dv z
气体分子速度在 v ~ v dv
x ~ x dx 且空间位置在 r ~ r dr y ~ y dy z ~ z dz
p p0e
Mgz RT
z p0e H
等温气压公式的应用范围：
由于在地球表面附近大气的温度是随高 度变化的，该公式只有在高差相差不大的范 围内才与实际符合。
p0 z H ln p
——测高仪的理论依据
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