无穷积分的性质与收敛判别法
积分的无穷级数
积分的无穷级数积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于求解曲线下的面积、求解概率密度函数等问题。
而积分的无穷级数则是指一种特殊的级数，它由一列积分组成，而不是由一列数值组成。
这种无穷级数的研究对于理解积分的性质和应用非常有帮助。
在介绍积分的无穷级数之前，我们先需要回顾一下一般的无穷级数的定义：设有实数列${a_n}$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$存在。
否则，称级数发散。
积分的无穷级数是由一列积分组成的级数。
具体来说，设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积（或可积于Riemann-Stieltjes意义下），则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$存在。
否则，称级数发散。
需要注意的是，积分的无穷级数并不是对于所有的可积函数都存在的。
事实上，对于某些函数族，它们的无穷级数可能会发散。
下面我们将介绍一些积分的无穷级数的性质和判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断级数的敛散性的一种常用方法。
类似地，我们可以将其推广到积分的无穷级数上。
比较判别法的基本思想是：将待定极限与已知级数或积分进行比较，如果待定极限的模长小于等于已知极限的模长，并且已知级数或积分收敛，则待定极限收敛。
例：比较级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的敛散性。
解：设$f_n(x)=\frac{1}{n+n\sin^2n}$，则有$\int_{0}^{\pi}f_n(x)dx=\frac{\pi}{2n(1+\frac{1}{2}\sin^2n)}\geq \frac{\pi}{4n}$又由于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的，因此可以利用比较判别法得出，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$也是发散的。
无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料
则当∫gdr收敛时，∫。fxdr亦收敛：-当∫。frdr发散时，∫。gdr亦发散，-证若」。gxdr收敛， M>0,Hu∈[a,+o,-Jgxd≤M.-因此jfxdr≤JgxdrsM.-由非负函数无穷积分的判别法， 。fxdr收敛，-第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立.-前页-后页-返回
§2无穷积分的性质及收敛判别-本节讨论无穷积分的性质，并用这些-性质得到无穷积分的收敛判别法。-一、无穷积 的性质-二、非负函数无穷积分的收敛判别法-三、一般函数无穷积分的收敛判别法-前页-后页-返回
一、无穷积分的性质-定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分-。fxdr收敛的充要条件是：Vc>0, ≥a,-当山1，山2>G时，-foeJfxwarfearke-证设Fw=∫fxdr,u∈[a,+o,则fx r-收敛的充要条件是存在极限imFu.由函数-L→+00-极限的柯西准则，此等价于-前页-后页-返回
ii由lim-fx=+0,存在G>a,使r>G,有-x0gx-fx>1,-8x-即fx>g,x∈[G,+o 因此由」gxdr发散-可推得∫fxdr发散.-推论2设f是定义在[a,+oo上的非负函数，在任何-有限区间 a,w上可积.-若fspn则ar收数-前页-后页-返回
若fp≤则fwdr发敢-推论3设f是定义在[a,+o上的非负函数，在任何有-限区间[a,u]上可积.若im 'fx=2,则-X→+00-当p>l,0≤<+o时，fxdr收敛：-田当p≤1,0<≤+oo时，fxdr发 .-说明：推论3是推论2的极限形式，读者应不难写-出它的证明-前页-后页-返回
5.4 反常积分
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
8
∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
十一章反常积分
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
无穷积分的性质与收敛判别法
§2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f ua⎰在u →+∞时是否存在极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰。
证明: 由于()lim au f x dx +∞→+∞=⎰()dx x f ua⎰=(),lim u F u →+∞所以()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim u F u →+∞存在⇔0,G ε∀>∃≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()221121|()()|.u u u u aaf x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-<⎰⎰⎰此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1 (线性性质) 若()dx x f a⎰+∞1与()dx x f a⎰+∞2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211 也收敛，且()()[]dx x f k x f k a ⎰+∞+2211=()()dx x f k dx x f k aa⎰⎰+∞+∞+2211。
（1）证明: 记()()111lim u aau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰, ()()222lim uaau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰,则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211=()()1122lim uau k f x k f x dx →+∞+⎡⎤⎣⎦⎰=1122[()()]lim uuaau k f x dx k f x dx →+∞+⎰⎰=1122()()lim lim uuaau u k f x dx k f x dx →+∞→+∞+⎰⎰=1122k J k J +=1122()().aak f x dx k f x dx +∞+∞+⎰⎰□性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=， （2）其中右边第一项是定积分。
无穷积分的性质与收敛判别
§2 无穷积分的性质与收敛判别1．证明定理11.2及其推论1定理11.2（比较法则）设定义在[),+∞a 上的两个函数f 和g 都在任何区间],[u a 上可积，且满足),[),(|)(|+∞∈≤a x x g x f ，则当∫+∞adx x g )(收敛时，∫+∞adx x f |)(|必收敛（或者，当∫+∞adx x g )(收敛，所以a A >∃，当A u u >>12时，有∫<21)(u u dx x g ε由于)(|)(|x g x f ≤，),[+∞∈∀a x ，因此更有∫∫<≤2121)(|)(|u u u u dx x g dx x f ε，故∫+∞adx x f |)(|收敛。
推论1 若f 和g 都在任何],[u a 上可积，1)(>x g ，且c x g x f x =∞→)(|)(|lim，则有（I ）当+∞<<c 0时，∫+∞adx x f |)(|与dx x g a∫+∞)(同敛态；（ii ）当0=c 时，由∫+∞adx x g )(收敛可推知，dx x f a |)(|∫+∞出收敛；（iii ）当+∞=c 时，由∫+∞adx x g )(发散可推知∫+∞adx x f |)(|也发散。
证：（I ）因为+∞<=<+∞→c x g x f x )(|)(|lim0，所以)(0c <>∀εε存在a A >，使得当Ax >时，有εε+<<−<c x g x f c )(|)(|0，即 dx x g c x f x g g c )()(|)(|)(()(0εε+<<−< （*）从而，若∫+∞adx x g )(收敛，那么∫+∞+Adx x g c )()(ε收敛。
于是由∫∫+∞+=AaAdx x f dx x f dx x f |)(||)(||)(|收敛。
2 无穷积分的性质
无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。
无穷积分的abel判别法
无穷积分的Abel 判别法一、引言在数学分析中，积分是一种重要的数学运算符号，用于计算曲线下的面积、体积以及求解微分方程等问题。
对于有界区间上的积分，我们可以通过定积分的方法进行求解。
然而，当积分的区间为无穷区间时，我们需要借助一些特殊的方法来进行计算。
本文将介绍一种被称为Abel 判别法的技巧，用于求解无穷积分。
二、无穷积分的定义和性质在介绍Abel 判别法之前，我们先来回顾一下无穷积分的定义和一些基本性质。
2.1 无穷积分的定义设函数f (x )在区间[a,+∞)上连续，如果对于任意的正数T ，积分∫f Ta (x )dx 都存在有限的极限，即lim T→+∞∫f Ta(x )dx =L存在，则称该极限L 为函数f (x )在区间[a,+∞)上的无穷积分，记作∫f +∞a(x )dx =L2.2 无穷积分的性质 无穷积分具有以下性质：1. 线性性质：设a,b 为常数，f (x )和g (x )为在区间[a,+∞)上连续的函数，则有∫(af (x )+bg (x ))+∞adx =a ∫f +∞a (x )dx +b ∫g +∞a(x )dx2. 比较性质：设在区间[a,+∞)上，函数f (x )和g (x )满足0≤f (x )≤g (x )，则有∫f +∞a(x )dx ≤∫g +∞a(x )dx3. 收敛性质：如果积分∫f +∞a(x )dx 存在有限的极限L ，则称该无穷积分收敛，否则称为发散。
三、Abel 判别法的原理Abel 判别法是一种判定无穷积分收敛性的方法，它基于级数收敛性的判别法。
下面我们将详细介绍Abel 判别法的原理。
3.1 Abel 判别法的表述设函数f (x )在区间[a,+∞)上连续，且在该区间上单调递减，则对于任意的正数T ，积分∫f Ta (x )dx 存在有限的极限L 的充分必要条件是级数∑f ∞n=a (n )收敛。
3.2 Abel 判别法的证明为了证明Abel 判别法的正确性，我们需要从级数的角度来考虑。
无穷积分的性质及收敛判别
极限的柯西准则,此等价于
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0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a
f
2
(
x
)
dx
都收敛
,
k1, k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)dx
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a
k1
f1
(
x
)
k2
f
2
(
x
)
dx
k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
再由柯西准则的充分性, 证得 h( x)dx收敛. a
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二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
f ( x)dx 收敛的充要条件是: M 0, 使 a u u [a, ), a f ( x)dx M .
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
f ( x) dx 与
f ( x) dx (b a ),
a
b
同时收敛或同时发散，且
b
无穷级数与收敛性分析
无穷级数与收敛性分析无穷级数是数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析以及应用数学中起着重要的作用。
无穷级数是指将一系列的项相加，并且这个序列是无限的。
在本文中，我们将探讨无穷级数的性质以及如何判断一个无穷级数的收敛性。
一、无穷级数的概念无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是序列的项。
如果存在一个数S，使得无穷级数中的部分和可以无限地接近S，那么我们称这个无穷级数是收敛的。
反之，如果部分和不趋近于一个有限的数，那么这个无穷级数是发散的。
二、收敛性判定的方法1. 通项的性质一个无穷级数的收敛性与其中的每一项密切相关。
首先，我们需要注意的是，无穷级数的第n项必须趋于零，即lim (n→∞) aₙ = 0。
这是一个必要条件，没有这个条件，我们无法得出无穷级数的收敛性。
2. 正项级数和负项级数对于正项级数，如果该级数的部分和有上界，则该级数是收敛的。
换句话说，如果存在一个数C，使得对所有的n，都有 a₁ + a₂ + ... + aₙ ≤ C，那么该级数是收敛的。
类似地，对于负项级数，如果该级数的部分和有下界，则该级数是收敛的。
换句话说，如果存在一个数C，使得对所有的n，都有 a₁ + a₂ + ... + aₙ ≥ C，那么该级数是收敛的。
3. 比较判别法比较判别法是判定无穷级数收敛性的一种重要方法。
假设我们有两个无穷级数：S = a₁ + a₂ + ... 和 T = b₁ + b₂ + ...。
如果对所有的n，都有 aₙ ≤ bₙ，且级数T是收敛的，则级数S也是收敛的。
反之，如果对所有的n，都有 aₙ ≥ bₙ，且级数T是发散的，则级数S也是发散的。
4. 比值判别法比值判别法是用来判定正项级数收敛性的常用方法。
对于正项级数S = a₁ + a₂ + ...，如果存在一个常数r（0<r<1），使得对足够大的n，有 aₙ₊₁ / aₙ ≤ r，则级数S是收敛的。
数学分析2无穷积分的收敛判别法
数学分析2无穷积分的收敛判别法无穷积分的收敛判别法是判断无穷积分是否收敛的一种方法。
在数学分析中，我们经常需要求解无穷积分，因此了解无穷积分的收敛性质是非常重要的。
本文将介绍几种常见的无穷积分的收敛判别法，包括比较判别法、绝对收敛和条件收敛、负常数法和瑕积分的收敛判别法。
首先，我们先介绍比较判别法。
比较判别法是基于两个函数的大小关系来判断无穷积分的收敛性。
设f(x)和g(x)是定义在[a,∞)上的两个非负函数，如果存在正数M和常数k，使得对于所有的x≥a，有0≤f(x)≤Mg(x)，那么当∫g(x)dx收敛时，∫f(x)dx也一定收敛；当∫g(x)dx发散时，∫f(x)dx也一定发散。
比较判别法的关键是找到适当的g(x)函数，通过比较f(x)和g(x)可以判断无穷积分的收敛性。
其次，我们介绍绝对收敛和条件收敛的概念。
对于无穷积分∫f(x)dx，如果∫，f(x)，dx收敛，那么称该无穷积分是绝对收敛的；如果∫f(x)dx收敛而∫，f(x)，dx发散，那么称该无穷积分是条件收敛的。
对于绝对收敛的无穷积分，不管积分的次序如何，都是收敛的；而对于条件收敛的无穷积分，如果改变积分的次序，可能会导致收敛性的改变。
再次，我们介绍负常数法判别法。
对于函数f(x)，如果存在负数c和常数k，使得对于所有的x≥a，有f(x)≤-kc，则∫f(x)dx收敛。
负常数法是一种简单有效的判别法，通过找到与函数相关的负常数，可以判断无穷积分的收敛性。
最后，我们介绍瑕积分的收敛判别法。
瑕积分是指在积分区间内存在一个或多个奇点的积分。
对于瑕积分∫f(x)dx，如果该积分在奇点处的积分不发散，称该瑕积分是收敛的；如果该积分在奇点处的积分发散，称该瑕积分是发散的。
判断瑕积分的收敛性需要考虑奇点处的积分是否发散。
综上所述，我们介绍了几种常见的无穷积分的收敛判别法，包括比较判别法、绝对收敛和条件收敛、负常数法和瑕积分的收敛判别法。
这些方法在数学分析中被广泛应用，可以帮助我们判断无穷积分的收敛性，从而解决实际问题。
数学分析11.2无穷积分的性质与收敛判别
第十一章 反常积分 2 无穷积分的性质与收敛判别定理：无穷积分⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件是：任给ε>0，存在 G ≥a ，只要u 1,u 2>G ，便有|⎰2u a f(x )dx-⎰1u a f(x )dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：若⎰+∞a 1(x )f dx 与⎰+∞a 2(x )f dx 都收敛，则⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛(k 1,k 2为任意常数)，且 ⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰+∞a1(x )f dx+k 2⎰+∞a2(x )f dx.性质2：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，a<b ，则⎰+∞a f(x )dx 与⎰+∞b f(x )dx 同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞a f(x )dx=⎰b a f(x )dx+⎰+∞b f(x )dx.注：性质2相当于定积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞a f(x )dx 收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在G ≥a ，只要u>G ，总有|⎰+∞a f(x )dx|<ε. 又可由⎰+∞a f(x )dx=⎰ua f(x )dx+⎰+∞u f(x )dx 结合无穷积分的收敛定义而得.性质3：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，且有⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，则⎰+∞af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰+∞af(x )dx |≤⎰+∞a|f(x )|dx.证：由⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，根据柯西准则的必要性，任给ε>0， 存在G ≥a ，当u 2>u 1>G 时，总有|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx <ε.利用定积分的绝对值不等式，又有|⎰21u u f(x)dx |≤⎰21u u |f(x)|dx<ε.又根据柯西准则的充分性，证得⎰+∞a f(x )dx 收敛.对|⎰u a f(x )dx |≤⎰ua |f(x )|dx(u>a)两边令u →+∞取极限，可得 |⎰+∞a f(x )dx |≤⎰+∞a |f(x )|dx.注：当⎰+∞a |f(x )|dx 收敛时，称⎰+∞a f(x )dx 为绝对收敛. 性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛. 但逆命题一般不成立. 收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理：(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，则当⎰+∞ag(x )dx 收敛时⎰+∞a|f(x )|dx 必收敛(或者当⎰+∞a|f(x )|dx 发散时，⎰+∞ag(x )dx 必发散).证：若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰+∞a |f(x )|dx 收敛.若⎰+∞a |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰+∞a g(x )dx 发散.例1：讨论⎰++∞2x1sinxdx 的收敛性.解：∵2x 1sinx +≤2x11+, x ∈[0,+∞)；又⎰++∞02x 11dx=∞u lim +→arctanu=2π, 收敛.根据比较法则知：⎰++∞02x1sinxdx 绝对收敛.推论1：若f 和g 都在[a,u]上可积，g(x)>0，且)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，则有： (1)当0<c<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)当c=0时，由⎰+∞a g(x )dx 收敛可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰+∞a g(x )dx 发散可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，∴任给ε>0，存在N ，当x>N 时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε， 即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当x=+∞时，)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，任给M>0，存在G ，当x>G 时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰+∞a g(x )dx 发散，⎰+∞a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于[a,+∞)(a>0)，且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤p x1, x ∈[a,+∞), 且p>1时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛；(2)当|f(x)|≥p x1, x ∈[a,+∞), 且p ≤1时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于[a,+∞)，在任何[a,u]上可积，且∞x lim +→x p |f(x)|=λ.则有：(1)当p>1, 0≤λ<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≤1, 0<λ≤+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.注：推论2、3又称为柯西判别法.例2：讨论下列无穷限积分的收敛性： (1)⎰+∞1x-ae x dx ；(2)⎰++∞521x x dx.解：(1)∵对任意实数a ，有-xa 2∞x e x x lim⋅+→=x 2a ∞x e x lim ++→=0， 由推论3(p=2, λ=0)可知， 对任何实数a, ⎰+∞1x -a e x dx 收敛.(2)∵有1x x x lim5221∞x ++→=1，由推论3(p=21, λ=1)可知，⎰++∞0521x x dx 发散.三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理：(狄利克雷判别法)若F(u)=⎰ua f(x )dx 在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x →+∞时单调趋于0，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：由条件设|⎰ua f(x )dx |≤M, u ∈[a,+∞), 任给ε>0，∵∞x lim +→g(x)=0,∴存在G ≥a, 当x>G 时，有|g(x)|<M4ε. 又g 为单调函数， 利用积分第二中值定理，对任何u 2>u 1>G, 存在ξ∈[u 1,u 2], 使得⎰21u u f(x)g(x)dx=g(u 1)⎰ξu 1f(x)dx+g(u 2)⎰2u ξf(x)dx. 于是有|⎰21u u f(x)g(x)dx |≤|g(u 1)|·|⎰ξu 1f(x)dx|+|g(u 2)|·|⎰2u ξf(x)dx|=|g(u 1)|·|⎰ξa f(x )dx-⎰1u af(x )dx|+|g(u 2)|·|⎰2u af(x )dx -⎰ξaf(x )dx|=M 4ε·2M+M4ε·2M=ε. 由柯西准则可知：⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.定理：(阿贝尔(Abel)判别法)若⎰+∞a f(x )dx 收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：记F(u)=⎰ua f(x )dx, ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴⎰+→ua∞u f(x )lim dx 存在，记为J ， 取ε=1，存在A ，当n>A 时，有|F(u)-J|<1，∴|F(u)|<|J|+1. 又F(u)在[a,+∞)上连续，从而有界.又g(x)在[a,+∞)上单调有界，∴∞x lim +→g(x)存在，记为B ，令g 1(x)=g(x)-B ，则有∞x lim +→g 1(x)= ∞x lim +→g(x)-B=0，∴g 1(x)单调趋于0，由狄利克雷判别法知：⎰+∞a 1(x )f(x )g dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx 收敛. ∴⎰+∞a f(x )g(x )dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx+B ⎰+∞a f(x )dx 收敛.例3：讨论⎰+∞1p x sinxdx 与⎰+∞1p xcosx dx (p>0)的收敛性. 解：当p>1时，p x sinx ≤p x 1, x ∈[1,+∞)，而⎰+∞1p xdx 当p>1时收敛，由比较法则推知：⎰+∞1p x sinxdx 收敛，即⎰+∞1p xsinx dx 绝对收敛. 同理，可证当p>1时，⎰+∞1p xcosxdx 绝对收敛. 当0<p ≤1时，对任意u ≥1, 有|⎰u1px sinxdx|=|cos1-cosu|<2, 当p>0时，p ∞x x 1lim+→=0，且p x1在[1,+∞)单调减， 根据狄利克雷判别法知：⎰+∞1p xsinxdx (p>0)收敛. 又由p x sinx≥x x sin 2=2x 1-2xcos2x , x ∈[1,+∞)，其中⎰+∞12x cos2x dx =⎰+∞1tcost 21dt 满足狄利克雷判别条件而收敛， 而⎰+∞12x dx发散，∴当0<p ≤1时，⎰+∞1px cosx dx 条件收敛. 同理，可证当0<p ≤1时，⎰+∞1p xcosxdx 条件收敛.例4：证明下列无穷积分都是条件收敛的：⎰+∞12x sin dx; ⎰+∞12cosx dx; ⎰+∞14x cosx dx.证：⎰+∞12x sin dx=⎰+∞1t2t sin dt; ⎰+∞12cosx dx=⎰+∞1t2cost dt;由例3可知⎰+∞12x sin dx 和⎰+∞12cosx dx 都是条件收敛.又⎰+∞14x cosx dx=⎰+∞12cost 21dt ，∴⎰+∞14x cosx dx 条件收敛.习题1、设f 与g 是定义在[a,+∞)上的函数，对任何u>a ，它们在[a,u]上都可积. 证明：若⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，则⎰+∞a )x (f(x )g dx与⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx 也都收敛证：∵⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，∴)]x (g )x ([f 2∞a 2+⎰+dx 也收敛. 又|2f(x)g(x)|≤f 2(x)+g 2(x)，由比较法则知2⎰+∞a |)x (f(x )g |dx 也收敛. ∴⎰+∞a )x (f(x )g dx 收敛.∴⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx=⎰+∞a 2)x (f dx+2⎰+∞a )x (f(x )g dx+⎰+∞a 2)x (g dx ，也收敛.2、设f,g,h 是定义在[a,+∞)上的三个连续函数，且有h(x)≤f(x)≤g(x).证明：(1)若⎰+∞a )x (h dx 与⎰+∞a )x (g dx 都收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛； (2)又若⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A ，则⎰+∞a f(x )dx=A. 证：(1)若0≤f(x)≤g(x)，∵⎰+∞a )x (g dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a f(x )dx 也收敛.若h(x)≤f(x)≤0，则|f(x)|≤-h(x)，∵⎰+∞a )x (h -dx=-⎰+∞a )x (h dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛，∴⎰+∞a f(x )dx 也收敛.(2)由⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A 得，⎰+→u a ∞u )x (h limdx=⎰+→ua ∞u )x (g lim dx=A. 又h(x)≤f(x)≤g(x)，由极限的夹逼定理得：⎰+→ua ∞u )x (f limdx=A ， ∴⎰+∞a f(x )dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞+0341x dx ；(2)⎰∞+1x e -1xdx ；(3)⎰+∞+0x1dx ；(4)⎰+∞+13x 1xarctanxdx ；(5)⎰+∞+1nxx)ln(1dx ；(6)⎰+∞+0n mx 1x dx (n,m ≥0). 解：(1)∵3434∞x 1x 1x lim +⋅+→=1，p>1，0<λ<+∞，∴⎰+∞+0341x dx 收敛.(2)∵x 2∞x e-1xx lim ⋅+→=0，p=2，λ=0，∴⎰∞+1x e -1x dx 收敛.(3)∵x11x lim∞x +⋅+→=1，p=21，λ=1，∴⎰+∞+0x 1dx dx 发散.(4)∵arctanx x 1xarctanxlim 3∞x ++→=0，且⎰∞+1arctanx dx=2π-arctan1收敛，∴⎰+∞+13x1xarctanxdx 收敛. (5)当n>1时，取p ∈(1,n)，∵n p ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=0，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 收敛.当n ≤1时，∵n n ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=+∞，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 发散. (6)∵n mm-n ∞x x1x x lim +⋅+→=1， ∴当n-m>1时，⎰+∞+0n mx 1x dx 收敛; 当n-m ≤1时，⎰+∞+0nmx 1x dx 发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： (1)⎰∞+1x xsin dx ；(2)⎰+∞+02x 1sgn(sinx)dx ；(3)⎰+∞+0x 100cosx x dx ；(4)x sin nx1ln(lnx)∞+e⎰dx. 解：(1)⎰∞+1x x sin dx=2⎰∞+1t sint dt ，∵t1单调趋于0(t →+∞)，|⎰u 1sint dt|<2 (u>1); 由狄利克雷判别法知：⎰∞+1xxsin dx 收敛. 又t sint≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t t ∈[1,+∞)，其中⎰∞+12t cos2tdt 收敛，而⎰∞+12tdt 发散，∴⎰∞+1x x sin dx ，即原积分条件收敛.(2)∵⎰+∞+02x 1sgn(sinx )dx =⎰+∞+02x11dx=2π，∴原积分绝对收敛. (3)∵x100x+在[0,+∞)上单调且调趋于0(x →+∞)，|⎰u 0cosx dx|≤1， 由狄利克雷判别法知：⎰+∞+0x100cosxx dx 收敛. 又x100cosxx +≥x 100x cos x 2+=x 2200x ++x 2200x 2cos x +，其中⎰+∞+0x 2200x 2cos x dx 收敛，⎰+∞+0x2200x dx 发散，∴⎰+∞+0x100cosxx dx 发散，即原积分条件收敛.(4)x sin nx 1ln(lnx)∞+e ⎰dx=x sin nx1ln(lnx)e e 0⎰dx +x sin nx 1ln(lnx)∞+e e ⎰dx ， ∵|⎰∞+e ex sin dx|<2 (u>e e)，且在[e e,+∞)上，'⎪⎭⎫ ⎝⎛nx 1ln(lnx)=2nx )1(x ln(lnx )-1+<0， ∴nx1ln(lnx)在[e e ,+∞)上单调减，且nx 1ln(lnx)lim ∞x +→=nx 11lim ∞x +→=0， 由狄利克雷判别法知，x sin nx1ln(lnx)∞+e e⎰dx 收敛，∴原积分收敛. 又x sin nx 1ln(lnx )≥x sin nx 1ln(lnx)2=nx 21ln(lnx)-x 2cos nx21ln(lnx)， 其中⎰∞+eenx 21ln(lnx)dx 发散，⎰∞+e ex 2cos nx21ln(lnx)dx 收敛，∴⎰∞+e ex sin nx1ln(lnx )dx 发散，即原积分条件收敛.5、举例说明：⎰+∞a f(x )dx 收敛时，⎰+∞a 2)x (f dx 不一定收敛；⎰+∞af(x )dx 绝对收敛时，⎰+∞a2)x (f dx 也不一定收敛.解：令f(x) =xsinx，由狄利克雷判别法知⎰+∞1f(x )dx 收敛，但⎰+∞12)x (f dx=⎰+∞12x xsin dx=⎰+∞1dx 2x 1+⎰+∞1dx 2xcos2x ，发散. 又令f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+<≤++<≤1n x n 1n 0 n 1n x n n 33，，，则⎰+∞1|f(x )|dx=∑∞=1i 2n 1收敛， 但⎰+∞12)x (f dx=∑∞=1i n1发散.6、证明：若⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，且f(x)lim ∞x +→=0，则⎰+∞a 2)x (f dx 必收敛.证法1：∵f(x)lim ∞x +→=0，∴对ε=1，有M ，当x>M 时，|f(x)|<1.⎰+∞af(x )dx=⎰+1M af(x )dx+⎰++∞1M f(x )dx ，∵⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，∴⎰++∞1M f(x )dx 绝对收敛.又当x ∈[M+1,+∞)时，|f(x)|<1，∴|f 2(x)|<|f(x)|，∴⎰++∞1M 2(x )f dx 收敛.∴⎰+∞a 2)x (f dx=⎰+1M a 2(x )f dx+⎰++∞1M 2(x )f dx ，收敛.证法2：∵f(x )(x )f lim 2∞x +→=f(x)lim ∞x +→=0，又⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛所以收敛， ∴⎰+∞a 2)x (f dx 收敛.7、证明：若f 是[a,+∞)上的单调函数，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0，且f(x)=o (x1), x →+∞.证：不妨设f(x)单调减，若存在x 1∈[a,+∞)，使f(x 1)<0， 则当x>x 1时，有f(x)<f(x 1) <0，即-f(x)>|f(x 1)|. 又⎰+∞a 1|)f(x |dx 发散，∴⎰+∞a f(x )dx 发散，矛盾. ∴f(x 1)≤0. ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴任给ε>0，存在M ≥a ，只要x>M ，就有 |⎰2xx f(t)dt |<ε, 即⎰2xx f(t)dt<ε. 当x>2M 时，0≤xf(x)=2⎰x2x f(x)dt ≤2⎰x2x f(t)dt<2ε. ∴xf(x)lim ∞x +→=0, 即有f(x)=o (x1), x →+∞，从而f(x)lim ∞x +→=0.若f(x)单调增，则取g(x)=-f(x)单调减，同理有g(x)=-f(x)= o (x1), x →+∞，从而g(x)lim ∞x +→=-f(x)lim ∞x +→=0. 结论仍成立.8、证明：若f 在[a,+∞)上一致连续，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0.证：∵f 在[a,+∞)上一致连续，∴任给ε>0，存在δ>0， 当x 1,x 2∈[a,+∞)，|x 1-x 2|<δ时，有|f(x 1)-f(x 2)|< ε. 又⎰+∞af(x )dx 收敛，∴对ε1=εδ，存在M>a ，当x>M 时，有|⎰+δx xf(t)dt|<εδ.对⎰+δx x f(t)dt ，∵x<t<x+δ，即|x-t|<δ，∴|f(x)-f(t)|< ε，即f(t)- ε<f(x)<f(t)+ε.从而⎰+δx x f(t)dt -εδ<⎰+δx x f(x )dt<⎰+δx x f(t)dt +εδ，即|⎰+δx x f(x )dt -⎰+δx x f(t)dt |<εδ. ∴当x>M 时，|f(x)|= δ1|⎰+δx x f(x )dt |≤δ1(|⎰+δx x f(x )dt-⎰+δx x f(t)dt|+|⎰+δx x f(t)dt|)<2ε. ∴f(x)lim ∞x +→=0.。
数学无穷级数收敛性判定方法
数学无穷级数收敛性判定方法无穷级数是数学中一种重要的数列求和方式，它由无穷个数相加而成。
在数学中，我们常常需要判断一个无穷级数是否收敛，即这个无穷级数是否有一个有限的和。
为了解决这个问题，数学家们提出了多种收敛性判定方法。
一、级数概念回顾在进一步介绍判定方法之前，我们先回顾一下级数的概念。
一个无穷级数可以写成下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是级数的项，S是级数的和。
我们主要关注的是这个无穷序列的和是否存在，即级数是否收敛。
二、判定方法1. 比较判定法比较判定法是最常用的判定方法之一。
它基本思想是将待判定的级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较。
根据比较的结果，可以判断原级数的收敛性。
（1）比较判定法之比较判定法若级数∑aₙ 和级数∑bₙ 满足0 ≤ aₙ ≤ bₙ，且级数∑bₙ 收敛，则级数∑aₙ 也收敛。
若级数∑aₙ 和级数∑bₙ 满足0 ≤ bₙ ≤ aₙ，且级数∑bₙ 发散，则级数∑aₙ 也发散。
比较判定法中的比较判定法既适用于正项级数，也适用于正项级数与部分满足从某一项开始所有项都大于零的一般项级数之间的比较。
（2）比较判定法之极限判定法设级数∑aₙ 和级数∑bₙ 满足 0 < aₙ/bₙ < c ，其中 c 为常数，当级数∑bₙ 收敛时，级数∑aₙ 也收敛；当级数∑bₙ 发散时，级数∑aₙ 也发散。
2. 比值判定法比值判定法也是判定级数收敛性常用的方法之一。
其思想是通过比较相邻两项的比值的极限值来判断级数的收敛性。
设级数∑aₙ，若存在正数 q < 1，使得当 n 足够大时，|aₙ₊₁/aₙ| < q，成立，则级数∑aₙ 绝对收敛；若不存在这样的正数 q，则级数∑aₙ 发散。
3. 根值判定法根值判定法也是一种常用的判定级数收敛性的方法。
它通过比较级数的项与 n 次方根的关系来判断级数的收敛性。
设级数∑aₙ，若存在正数 p < 1，使得当 n 足够大时，|aₙ|^(1/n) < p，成立，则级数∑aₙ 绝对收敛；若不存在这样的正数 p，则级数∑aₙ 发散。
积分收敛判别法
积分收敛判别法以积分收敛判别法为标题，本文将介绍积分收敛判别法的基本概念、使用方法和常见的收敛判别法。
积分收敛判别法是数学中一个重要的概念，用于判断一个积分是否收敛或发散。
通过学习积分收敛判别法，我们能够更好地理解积分的性质和应用。
一、积分收敛和发散的概念在介绍积分收敛判别法之前，我们先来回顾一下积分收敛和发散的概念。
对于一个函数f(x)，如果它在某个区间[a,b]上的积分存在有限的极限，即lim┬(n→∞)〖∫_a^bf(x)dx=L〗，则称该积分收敛，L为该积分的值。
反之，如果该积分的极限不存在或为无穷大，即lim┬(n→∞)〖∫_a^bf(x)dx=±∞〗，则称该积分发散。
积分收敛判别法是通过对函数f(x)在某个区间[a,b]上的性质进行分析，来判断该积分是否收敛或发散的方法。
它基于一些重要的数学定理和性质，如比较判别法、绝对收敛判别法、积分中值定理等。
三、比较判别法比较判别法是积分收敛判别法中常用的一种方法。
它的基本思想是通过将要判断的积分函数与一个已知的收敛或发散的函数进行比较，来判断该积分的收敛性。
1. 比较判别法之比较定理比较定理是比较判别法的重要定理之一。
它给出了两个函数f(x)和g(x)的关系，当满足条件时，可以通过比较函数f(x)和g(x)的积分来判断积分的收敛性。
比较定理有两种形式：比较定理之一和比较定理之二。
比较定理之一：如果对于区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，当0≤f(x)≤g(x)时，若∫_a^bg(x)dx收敛，则∫_a^bf(x)dx也收敛；若∫_a^bf(x)dx发散，则∫_a^bg(x)dx也发散。
比较定理之二：如果对于区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，当0≤g(x)≤f(x)时，若∫_a^bg(x)dx发散，则∫_a^bf(x)dx也发散；若∫_a^bf(x)dx收敛，则∫_a^bg(x)dx也收敛。
2. 比较判别法之极限定理极限定理是比较判别法的另一种形式。
微积分学广义积分敛散性判别
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
a 1 p
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
证
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
B B
A c
若
c
f (x)d x 与
f (x) d x 同时收敛，则称
f
(x)d x
收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:
高等数学第11章第2节无穷积分的性质与收敛判别
§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区间) , [∞+a 上可积, 且⎰+∞=ak dx x kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=±ag f )(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )定理： 无穷 积分⎰+∞adx x f )(收敛 εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不真. 绝对型积分与非绝对型积分 .二 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判别法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+； ⎰+∞af=∞+, ⇒ ⎰+∞ag =∞+. ( 证 )例4 判断积分 ⎰+∞++0225)1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gfx =+∞→lim . 则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与 ⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag = ∞+时, ⎰+∞af=∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1p xdx为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x1且p 1>, ⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥p x1且p 1≤, ⇒⎰+∞af=∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且λ=+∞→)(lim x f x p x . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af=∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx e xxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分 ⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界 ，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx xxp 与⎰+∞1cos dx x x p ) 0 (>p 的敛散性.例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sin dx x , ⎰+∞12cos dx x , ⎰+∞14sin dx x x .例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果, 积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 .但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sin dx x x却发散.( 参阅例6 )作业：P275 2， 3， 4(3)(4)(5)(6), 5(1)(4)。
无穷级数微积分知识分享
正项级数及其审敛法
正项级数：级数 an，an 0
n 1
部分和数列 {S n }单调上升，若数列 {S n }有界，
则
lim
n
S
n
存在，级数
an收敛。
n 1
正项级数收敛的充要条 件是：
部分和数列 {S n }有界。
比较审敛法
设 a n， b n 是正项级数，
n 1 n 1
若 a n bn , n 1,2, , 则
0, 若 bn收敛，则
n 1
a n也收敛；
n 1
（3）lim n
an bn
，若
b n 发散，则
n 1
a n也发散。
n 1
可用于比较的级数
（1）几何级数
n 1
ar
n
收敛
发散
,| ,|
r r
| |
1时 ; 1时 .
（ 2） p级数
n 1
1 np
收敛 , p
发散
,
p
1时 ; 1时 .
i1
un (x)是x的函数。
例： sinn x sin x sin2 x sin3 x sinn x n1
收敛点
例 : sin n x sin x sin 2 x sin 3 x sin n x
n 1
x 时， 6
sin n sin sin 2 sin 3 sin n
ex
2：
n 1
sin 2 n2
n
ex 3： P 级数
, 1,
1,
n1 n p
1
ex 4 : sin
n 1
n
交错级数
(1)n1an a1 a2 a3 a4 (1)n1an
无穷级数的概念和性质
无穷级数的概念和性质无穷级数是数学中一个非常重要且有趣的概念。
在本文中，我们将介绍无穷级数的定义、收敛性、发散性以及一些相关的性质。
一、无穷级数的定义无穷级数是由无限个数相加（或相减）得到的一种数列。
一般的无穷级数可以写成以下的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是数列的项。
二、收敛性和发散性无穷级数可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列有极限L，即当n趋向于无穷时，Sₙ（前n项的和）趋向于L，则称该无穷级数收敛，记作S = L。
2. 发散：如果无穷级数不收敛，则称该无穷级数发散。
三、收敛级数的性质1. 加法性：如果两个收敛级数S₁和S₂都收敛，并且它们的和数列分别为S₁₀和S₂₀，则它们的和级数S = S₁ + S₂也收敛，且其和数列为S₁₀ + S₂₀。
2. 数乘性：对于一个收敛级数S，如果乘以一个常数c，则所得到的级数cS也收敛，并且其和数列为cS₀，其中S₀是级数S的和数列。
3. 子序列收敛性：如果一个级数S收敛，则它的任意子序列也收敛，且收敛于相同的极限。
四、底达到性底达到性是指对于一个收敛级数S，无论收敛级数前面有多少项被去掉，剩下的级数仍然收敛，并且收敛于相同的极限。
五、绝对收敛和条件收敛1. 绝对收敛：如果级数的所有项的绝对值的和收敛，那么该级数称为绝对收敛。
2. 条件收敛：如果级数本身是收敛的，但是它的绝对值级数却是发散的，那么这个级数称为条件收敛。
六、收敛判定方法1. 正项级数判别法：如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，那么该级数收敛当且仅当它的部分和数列有界。
2. 比值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的比值aₙ₊₁/aₙ的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，比值判别法失效。
3. 根值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的n次方根∛ₙ(aₙ)的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，根值判别法失效。
无穷级数积分判别法
无穷级数积分判别法无穷级数积分判别法是数学中用来判断无穷级数收敛或发散的方法之一。
在数学中，无穷级数是指由无穷多个数相加或相减而得到的数列，它是数学分析中的重要概念之一。
对于一个无穷级数，我们可以使用积分判别法来判断其是否收敛。
积分判别法是基于函数的连续性和单调性来进行判断的。
我们需要将无穷级数的通项表示为一个函数。
然后，我们对该函数进行积分，得到一个新的函数。
接下来，我们观察这个新函数的性质，判断它是否收敛。
如果新函数收敛，则原无穷级数也收敛；如果新函数发散，则原无穷级数也发散。
具体来说，我们可以使用以下三个常用的无穷级数积分判别法：1. 柯西收敛判别法：柯西收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足a(n+1) / a(n) <= 1，则该级数收敛；如果 a(n+1) / a(n) >= 1，则该级数发散。
2. 比值收敛判别法：比值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) a(n+1) / a(n) < 1，则该级数收敛；如果 lim(n->∞) a(n+1) / a(n) > 1，则该级数发散。
3. 根值收敛判别法：根值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) √(a(n)) < 1，则该级数收敛；如果lim(n->∞) √(a(n)) > 1，则该级数发散。
这些判别法的基本思想都是通过比较级数通项的性质来判断级数的收敛性。
需要注意的是，这些判别法只能判断正项级数的收敛性，对于一般的级数，我们需要将其拆分为正项级数和负项级数分别判断。
还有一些特殊的级数，如幂级数、调和级数等，它们有自己特定的判别法。
幂级数的判别法涉及到收敛半径和收敛区间的计算，而调和级数的判别法则需要使用积分来进行推导。
总结起来，无穷级数积分判别法是一种重要的数学工具，它能够帮助我们判断无穷级数的收敛性。
通过对级数通项进行积分，并观察积分函数的性质，我们可以得出级数的收敛或发散的结论。
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（ⅱ）当c=0时，由 收敛可推知 也收敛；
（ⅲ）当c=+∞时，由 发散可推知 也发散。
证明(i) 对 当 时, 即
从而由比较法则结合性质2知, 与 同敛态.
(ii) 由 对 当 时, 从而
从而由比较法则结合性质2知, 由 收敛可推知 也收敛.
(iii) 由 对 当 时, 从而
，（2）
其中右边第一项是定积分。
证明:由于 收敛 存在.
又 =
= ,其中右边第一项是定积分。
所以 与 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
.□
说明: (1)性质2相当于定积分的积分区间可加性;
(2)由性质2及无穷积分的收敛定义可推出 收敛的另一充要条件:任给 ＞0，存在G≥a，当u＞G时，总有
。
事实上， 收敛 J= 存在
当 收敛时，称 为绝对收敛, 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。
性质3指出：绝对收敛 收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p≤1时 条件收敛)。
二 比较判别法
这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。
由于 关于上限u是单调递增的，因此 收敛的充要条件是 存在上界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：
定理（比较法则）设定义在[a，+∞]上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间[a，u]
可积，且满足
，
则当 收敛时 必收敛（或者，当 发散时，
发散）。
证明法一[ 根据P55习题2结论:设f为定义在 上的增(减)函数. 则
存在的充要条件为f在 上有上(下)界 ].
当 收敛时, 存在. 又G(u)单增, 从而存在M>0, 使得 F(u)= 即F(u)有上界M. 又显然F(u)单增. 故 存在, 从而 必收敛.
（ⅰ）当p＞1时 绝对收敛。这是因为 ，
而 当p＞1时收敛，故由比较法则推知 收敛。
（ⅱ）当0＜p≤1时 条件收敛。这是因为对任意u≥1，有 ，而 当p＞0时单调趋于0（x→+∞），故由狄利克雷判别法推知 当p＞0时总是收敛的。
另一方面，由于 ，其中 满足狄利克雷判别条件，是收敛的，
而 是发散的，因此当0＜p≤1时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。 □
课后作业题：3，4（2）、（4），5（2）、（4）
法二由于 收敛,根据柯西准则（必要性）,对任意 存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有
又 因此有
根据柯西准则（充分性）, 收敛. □
例1讨论 的收敛性。
解由于 ≤ ，x∈ ，以及 为收敛（§1例4），根据比较法则， 为绝对收敛。 □
上述比较法极限形式如下：
推论1若f和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0, 且 ，则有
=1，
因此根据上述推论3（P= ， =1），推知2）是发散的。
对 的比较判别亦可类似地进行。
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。
定理（狄利克雷判别法）若F（u）= 在 上有界，g（x）在 上当x→+∞时单调趋于0，则 收敛。
证明由条件设 ≤M，u∈ 。任给 ＞0，由于 =0，因此存在G≥a，当x＞G时，有 。又因g为单调函数，利用积分第二中值定理（定理的推论），对于任何u2＞u1＞G，存在 ∈[u1，u2]，使得
从而由比较法则结合性质2知, 由 发散可推知 也发散. □
当选用 作为比较对象 时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判别法）。
推论2设f定义于 (a＞0)，且在任何有限区间[a，u]上可积，则有：
（ⅰ）当 ，x∈ ，且p＞1时 收敛；
（ⅱ）当 ，x∈ ，且p≤1时 发散。
推论3设f定义于 ，在任何有限区间[a，u]上可积，且
本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法
一 无穷积分的性质
由定义知道，无穷积分 收敛与否，取决于函数F（u）= 在u→+∞时是否存在极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ＞0，存在G≥a，只要u1、u2＞G，便有
。
证明:由于 = 所以
。
于是有
=
＜ .
根据柯西准则，证得 收敛。□
定理（阿贝尔（Abel）判别法）若 收敛，g（x）在上单调有界，则 收敛。
这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题10）。
例3讨论 与 （p＞0）的收敛性。
解这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论：
,
则有：
（ⅰ）当p＞1，0≤ ＜+∞时， 收敛；
（ⅱ）当p≤1，0＜ ≤+∞时， 发散。
例2讨论下列无穷限积分的收敛性：
1） ； 2） .
解本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。
1）由于对任何实数 都有
.
因此根据上述推论3（P=2， =0），推知1）对任何实数 都是收敛的。
2）由于
当 时,
当 时,
当 时,
性质3若f在任何有限区间[a，u]上可积，且有 收敛，则 亦必收敛，并有
≤ 。（3）
证明:由 收敛，根据柯西准则（必要性），任给 ＞0，存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有
利用定积分的绝对值不等式，又有
.
再由柯西准则（充分性），证得 收敛
又因 ，令u→+∞取极限，立刻得到不等式(3).□
收敛 存在 ≥a，只要u1、u2＞G，便有
此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1 (线性性质)若 与 都收敛，k1、k2为任意常数，则
也收敛，且
= 。（1）
证明:记 , ,
则 =
=
=
= = □
性质2若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，则 与 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
例4证明下列无穷积分都是条件收敛的：
， ， 。
证前两个无穷积分经换元t=x2得到 = ， = .
由例3已知它们是条件收敛的。
对于第三个无穷积分，经换元t=x2而得 = ，它也是条件收敛的。
从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x→+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛(P269exe 4)。
无穷积分的性质与收敛判别法
§2 无穷积分的性质与收敛判别法
教学目的与要求：
掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点：
无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法Biblioteka 狄利克雷判别法等。教学内容：