(完整版)信号的频域分析

2.4 信号的频域分析 计算：
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于是有：
x(t)
A 2
4A
2
(cos0t
1 9
cos 30t
1 25
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cos 50t
...)
频谱图
2.4信号的频域分析
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方波频谱
三角波频谱
三角波信号频谱比方波信号的频谱衰减快
得多,说明前者频率结构主要由低频成份组成,
而方波高频成份比较大。反映到时域波形上，
第二章、信号分析基础
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2.4 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t) 变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度 来了解信号的特征。
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
1)上式实际描述了周期信号x(t)的频率结构。幅 值-频率构成幅值频谱图，简称频谱图；相位-频 率构成相位频谱图，简称相位图。
2)具体来说，周期信号的频谱是离散的，即各
次谐波频率都是基频 0 的整数倍 n0
举例->
2.4 信号的频域分析
频谱图的概念
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工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以 fn (ω 0)为横坐标，bn 、an为纵坐标画图，称为 实频－虚频谱图。
T /2 x(t) sin n0tdt;
An an2 bn2 ;
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x(t)
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t) (n 1,2,,3,...)
n1
x(t)
a0 2
( an2 bn2 (
n1
an an2 bn2
cos n0t
bn an2 bn2
arctg
bn an
(n 1,2,,3,...) 具体过程->
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式中:
T /2
a0
1 T
x(t)dt;
T /2
T――周期， T=2π/ω0； ω0――基波圆频率；
f0= ω 0 /2π
T /2
an
2 T
T /2 x(t) cos n0tdt;
T /2
bn
2 T
0
f
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时域分析与频域分析的关系
1)时域描述、频域描述是同
一信号的不同描述，并没有
改变信号本身的特性，只表
幅值
征了信号的不同特征。
2)信号频谱X(f)代表了信号
在不同频率分量成分的大小，
能够提供比时域信号波形更
直观，丰富的信息。
时域分析
频域分析
2.4信号的频域分析
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3)傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...)
n
由欧拉公式： cost 1 (e- jt e jt )
2
sin t j 1 (e- jt e jt )
2
代入傅里叶级数一般形式：
x(t) a0 [ an (e- jn0t e jn0t ) bn j(e- jn0t e jn0t )]
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频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
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2 周期信号的频谱分析
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信 号，满足条件：
x ( t ) = x ( t + nT )
任何周期函数，都可以展开成正交函数线性 组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数:
2 n1 2
2
2.4 信号的频域分析
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进一步得到：
x(t)
a0 2
n1
[
1 2
(an
jbn )e- jn0t
1 2
(an
jbn )e jn0t )]
令：
Cn
1 2 (an
jbn )Cn
1 2 (an
x(t) 0t 0及t t / 2
A T t T
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t)
(n 1,2,,3,...) 分析
1)奇函数，则
a0 0
an 0
0 2 / T 2)其余参数代
入公式计算
2.4信号的频域分析 计算：
该周期方波可写成：
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频谱图
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求图2所示三角波的频谱：
A (2A / T )tT / 2 t 0
x(t)
A
(2
A
/
T
)t
0
t
T
/
2
x(t)
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t) (n 1,2,,3,...)
n1
分析
1)偶函数,因为
x(t) x(t) bn 0
2)其余参数代 入公式计算
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时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
2.4信号的频域分析
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大型空气压缩机传动装置故障诊断
2.4信号的频域分析 1 时域和频域的对应关系
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
含高频成份多的时域波形变化比高频成份少的
三角波要剧烈得多。可根据时域波形变化的剧
烈程度，判断其频谱成份。
2.4 信号的频域分析 周期信号频谱相关结论：
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1）周期信号的频谱是离散的； 2）周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的 整数倍频率处； 3）周期信号的频谱线是收敛的。
2.4 信号的频域分析
图例
2.4 信号的频域分析
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以fn为横坐标，An、 n 为纵坐标画图，则称为
幅值－相位谱；
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以fn为横坐标， An2 为纵坐标画图，则称为 功率谱。
2.4 信号的频域分析 求图1所示周期方波x(t)的频谱：
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A0 t T / 2
sin
n0t)
a0 2
An[cosn cos n0t sinn sin n0t]
n1
a0 2
An cos(n0t n)
n1
物理意义->
式中：An
an2
bn2为谐波分量的幅值，n
arctg
bn an
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x(t)
a0 2
An cos(n0t n )
n1
由上式可以看出：
{cos n0t, sin n0t}
2.4信号的频域分析
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1)傅里叶级数的一般表达形式：
x(t)
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t) (n 1,2,,3,...)
n1
各变量含义->
2)傅里叶级数的变形形式:
x(t)
a0 2
An cos(n0t n )
n1
其中，n