矩形、正方形和菱形的判定方法
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F
C D 一、考点分析:
矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形,是考试中重要的考点。
二、教学目标:
1. 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法
三、教学内容
正方形巩固练习
例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD 上一动点.(1)AF 与FC 相等吗?试说明理由.(2)设折线EFC 的长为y ,试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置.
【解】(1)AF 与FC 相等,其理由如下:
可证:△ABF ≌△CBF ,∴AF=CF
(2)连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,
13=.
例题2 如图,正方形ABCD 中,P 是对角线AC 上一动点,PE ⊥AB ,PF ⊥BC ,垂足分别为E 、F 小红同学发现:PD ⊥EF ,且PD=EF ,且矩形PEBF 的周长不
变.不知小红的发现是否正确,请说说你的看法.
【解】小红的发现是正确,其理由如下:
连接BP,延长DP 交EF 于Q.
(1)∵四边形ABCD 是正方形
∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45°
∴△BCP ≌△DCP ,∴PD=PB
又∵PE ⊥AB ,PF ⊥BC , ∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°,∴四边形BEPF 是矩形
∴PB=EF,∴PD=EF
(2)∵PE ⊥AB ,PF ⊥BC ,∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形
∴AE=PE,CF=PF
∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB (为定值)
(3)∵PF ∥CD ,∴∠FPQ=∠PDC
∵△BCP ≌△DCP ,∴∠PDC=∠PBF A B C D 第28题图 F
E
∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF
∴∠PEF=∠FPQ
又∵∠PEF+∠PFE=90°,∴∠FPQ+∠PFE=90°
∴∠PQF=90°,∴PD ⊥EF.
【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形
∴可证△PEF ≌△RDF
∴∠PEF=∠PDR
又∵∠DPR=∠EPQ
而∠PDR+∠DPR=90°,∴∠PEF+∠EPQ=90°
∴∠EQP=90°,∴PD ⊥EF.
课堂练习1 如图1,在边长为5的正方形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点,且AE EF ⊥,2BE =
(1)如图2,延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点,试判断AE EP 与的大小关系,并说明理由;
(2)在图2的AB 边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
梯形
回顾梯形性质及判断定理 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. (1)一些基本概念(如图):底、腰、高.
底:平行的一组对边叫做梯形的底.(较短的底叫做上底,较长的底叫做下 底)
腰:不平行的一组对边叫做梯形的腰.
高:两底间的距离叫做梯形的高.
直角梯形:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形. (3)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
结论:
①等腰梯形是轴对称图形,上下底的中点连线是对称轴.
②等腰梯形同一底上的两个角相等.
③等腰梯形的两条对角线相等.
解决梯形问题常用的方法:
图1
A D C
B E 图2 B
C E
D A F P F
(1)“平移腰”:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形;
(2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中
(3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中
(4)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形
(5)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形(图5).
图1 图2 图3 图4 图5 综上所述:解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.
例1.如图,梯形ABC D中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,AD=6cm,BC=15cm.求CD的长.
分析:设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中,便可以解决问题.其方法是:平移一腰,过点A作AE∥DC交BC于E,因此四边形AECD是平行四边形,由已知又可以得到△ABE是等腰三角形(EA=EB),因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm.
解(略).
例2 (补充)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,∠CAB =∠ABC, BE⊥AC于E.求证:BE=C D.
分析:要证BE=CD,需添加适当的辅助线,构造全等三角形,其方法是:平移一腰,过点D作DF∥AB交BC于F,因此四边形ABFD是平行四边形,则
DF=AB,由已知可导出∠DFC=∠BAE,因此Rt△ABE≌Rt△FDC(AAS),故可得出BE=CD.证明(略)
另证:如图,根据题意可构造等腰梯形ABFD,证明△ABE≌△FDC即可.
例3:如图 4.9-4,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,AD=6cm,BC=15cm,求CD的长.
练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm,求它的
腰长.
练习2 已知:如图4.9-5,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,DE⊥
CE,求证:AD+BC=DC.
练习3:
1、填空
(1)在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC= .
(2)直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是和 .
(3)等腰梯形 ABCD中,AB∥DC,A C平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为8cm,则AD= .
4,(1)求梯形2、如图4.9-6,等腰梯形ABCD中,AB=2CD,AC平分∠DAB,A B=3
的各角.(2)求梯形的面积.
3、(1)在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC= .
(2)直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是和.(3)等腰梯形ABCD中,AB∥DC,A C平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为8cm,则AD= .
4.已知:如图,在等腰梯形ABCD中,A B∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形周长是20cm,求梯形的各边的长.(AD=DC=BC=4,AB=8)
课堂小结
1、梯形的定义及分类
2、等腰梯形的性质:
(1)具有一般梯形的性质:AD∥BC.
(2)两腰相等:AB=CD.
(3)两底角相等:∠B=∠C,∠A=∠D.
(4)是轴对称图形,对称轴是通过上、下底中点的直线.
(5)两条对角线相等:AC=BD.
两条对角线的交点在对称轴上.
两腰延长线的交点在对称轴上.
等腰梯形的判断
例2(补充)证明:对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知:如图,梯形ABCD中,对角线AC=BD.求证:梯形ABCD是等腰梯形.分析:证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.在ΔABC和ΔDCB中,已有两边对应相等,要能证∠1=∠2,就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC.
证明:过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,
又AD∥BC,∴四边形ACED为平行四边形,∴
DE=AC .
∵ AC=BD ,∴ DE=BD ∴∠1=∠E
∵∠2=∠E ,∴∠1=∠2
又 AC=DB,BC=CE,∴ΔABC≌ΔDCB.∴ AB=CD.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
说明:如果AC、BD交于点O,那么由∠1=∠2可得OB=OC,OA=OD ,即等腰梯形对角线相交,可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形,这个结论虽不能直接引用,但可以为以后解题提供思路.
问:能否有其他证法,引导学生作出常见辅助线,如图,作AE⊥BC,DF⊥BC,可证
RtΔABC≌RtΔCAE,得∠1=∠2.
例3(补充)已知:如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,CF⊥BE交BD 于G,F是垂足.求证:四边形ABGE是等腰梯形.
分析:先证明OE=OG,从而说明∠OEG=45°,得出EG∥AB,由AE,BG延长交于O,显然EG≠AB.得出四边形ABGE是梯形,再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形.
例4 (补充)画一等腰梯形,使它上、下底长分别4cm、12cm,高为
3cm,并计算这个等腰梯形的周长和面积.
分析:梯形的画图题常常通过分析,找出需添加的辅助线,归结为三角形或平行四边形的作图,然后,再根据它们之间的联系,画出所要求的梯形.
如图,先算出AB长,可画等腰三角形ABE,然后完成AECD的画图.
画法:①画ΔABE,使BE=12—4=8cm.
.
②延长BE到C使EC=4cm.
③分别过A、C作AD∥BC ,CD∥AE,AD、CD交于点D.
四边形ABCD就是所求的等腰梯形.
解:梯形ABCD周长=4+12+5×2=26cm .
cm.
答:梯形周长为26cm,面积为242
例5:.如图4.9-4,已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm,上、下底长分别是6cm和12cm,求梯形的面积. (方法一,过点C作CE∥AD,再作等腰三角形BCE的高CF,可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解;方法二,过点C和D分
别作高CF、DG,可知,从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. )
课后练习
1、填空
(1)在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC= .
(2)直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是和 .
(3)等腰梯形 ABCD中,AB∥DC,A C平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为8cm,则AD= .
4,(1)求梯形2、如图4.9-6,等腰梯形ABCD中,AB=2CD,AC平分∠DAB,A B=3
的各角.(2)求梯形的面积.
3、(1)在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC= .
(2)直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是和.(3)等腰梯形ABCD中,AB∥DC,A C平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为8cm,则AD= .
4.已知:如图,在等腰梯形ABCD中,A B∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形周长是20cm,求梯形的各边的长.(AD=DC=BC=4,AB=8)。