最小二乘法在误差分析中的应用

误差理论综述与最小二乘法讨论

摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。

1.误差的有关概念

对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具

测量基本概念

一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。

直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。

间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。

组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。

误差基本概念

误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。

随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。

系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。

粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。

等精度测量的随机误差

当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量

值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律。

正态分布

通过对大量的测量数据的观察，人们发现测量列的随机误差有以下几个特征：

（1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性；

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性；（3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性；

（4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。

正态分布曲线如下图1-1所示。正态分布时区间(μ-σ，μ+σ)的面积占总面积的%; (μσ，μ+σ)的面积占总面积的95%;区间(μσ，μ+σ)的面积占总面积的99%。

图1-1.正态分布曲线

1.3.2t分布

t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。t分布适用于当总体标准差σ未知时用实验标准差s代替总体标准差σ，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。关于t分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉·西利·戈塞特 (wiliamsealy Gosset)在 1900年进行的。

系统误差

系统误差是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的，这些误差因素可能是由于：

（1）测量装置的原因：仪器设计上的缺欠，仪器零件制造和安装的不正确，仪器附件的制造偏差。

（2）测量环境的原因：测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。

（3）测量方法的原因：采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。

（4）测量人员的原因：由于测量人的个人特点导致的测量误差。

系统误差具有确定的规律性，这与随机误差有根本区别。

对于测量中存在的较为显著的系统误差，可以通过一些检验方法和手段发现。如：1. 通过实验对比检验系统误差；2.通过理论分析判断系统误差；3. 对测量数据进行直接判断；4. 用统计方法进行检验。

粗大误差

测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的，只要测量误差在一定的范围内，测量结果就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值，错误纪录测量值，错误操作以及使用有缺欠的计量器具时，会出现粗大误差，此数据的误差分量明显偏大，即明显歪曲测量结果。

对于粗大误差，有以下几种判别方法： （1）莱依特准则(3σ准则)：

若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值123,,......n x x x x ，如果某测得值的残差大于3倍的标准差，即|v|>3σ，该数据为异常数据，应剔除。莱依特准则的合理性是显然的，对服从正态分布的随机误差，其残差落在（-3σ，3σ）以外的概率仅为%，当在有限次测量中发生的可能性很小，认为是不可能发生的。

（2）肖维勒准则：

若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值123,,......n x x x x ，若认为j x 为可疑数据，若此数据的残差|v|>Zσ，则此数据为异常数，应剔除。实用中Z<3，这在一定程度上弥补了3σ准则的不足。Z 是与测量次数n 有关的系数。

（3）t 检验准则(罗曼诺夫斯基准则)：

罗曼诺夫斯基准则又称t 检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t 分布检验被剔除的测量值是否为异常值。

（4）格罗布斯准则。

（5）狄克逊准则。

2.测量的不确定度

测量数据或经数据处理给出的最终结果都不可能是客观真值，只是被测量的

近似值(或估计量)。因此，只给出被测量的估计值是不够的，还必须对估计值做出精度估计。测量或结果的精度估计用“不确定度”这一参数表征。它表征被测量的真值所处的量值散布范围的评定，反映了由于误差存在而对被测量值不能确定的程度。测量不确定度涉及到测量误差的性质、分布及测量方法等。不确定度的表述是数据处理的基本要求。

不确定度的定义与分类

测量不确定度是指测量结果的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。这种测量不确定度的定义表明，一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两个部分。如被测量Y的测量结果为y士U，其中y是被测量的估计，它具有的测量不确定度为U。

不确定度从评定方法上可分为两类:A类分量和B类分量。

用统计分析法来评定的不确定度称为A类不确定度评定，当测量误差服从正态分布时，以标准差表示称为标准不确定度，用符号u表示，u=s。不能由统计分析法评定的不确定度称为B类不确定度评定，A类以外的不确定度均属于B类不确定度。

测量误差和测量不确定度是误差理论中两个重要的概念，它们具有相同点，都是评价测量结果质量好坏的重要指标，但它们又有明显的区别。

提高测量精度的途径

在拟定或设计测量方法时，需要确定测量的不确定度。测量的总不确定度应根据被测量的精度要求恰当的给以规定。反过来，要想提高测量的精度，就应尽可能的减小最后结果的总不确定度。根据不确定度的合成关系，可从下面几方面着手。

（1）控制测量的误差因素；

（2）选择有利的测量方案；

（3）控制误差的最大分盘。

3.测量数据的处理

无论哪个学科，在做实验的过程中，测得实验数据之后，都必须对数据进行一系列的加工和运算，这就是数据处理过程。因此，针对数据处理，这里介绍作图法、逐差法、最小二乘法和回归分析方法。

用作图法处理数据

作图法处理数据是指在实验中，进行测量以后，把相关数据做成曲线图，然