安徽工业大学2014大一期末考试高等数学试题

一、

填空题（每小题3分，本题满分15分）

1．设3sin ,0(),0

x x

x f x x a x -⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩，则当a = 时，()f x 在0x =处连续.

2．设2sin y x =，则y 关于x 的8阶导数在0x =处的值(8)(0)y = .

3．设

3

()x

f t dt x x =+⎰

，则1

1

()sin f x xdx -=⎰ .

4．设参数方程33

2cos 2sin x y θθ

⎧=⎨=⎩，[0,2]θπ∈，则由参数方程确定的函数()y y x =的曲线在3π

θ=时的切线方程为 .

5．设函数322,3y x x R =∈，则当自变量x 从0到1，曲线3

22

3

y x =上对应弧段的弧长等于 .

二、

选择题（每小题3分，本题满分15分）

1．设()()(),,y x u x v g x ϕψ===均在(),-∞+∞上可导，()y f x =是()()(),,y u u v v g x ϕψ===复合而成的，dy 是函数()y f x =的微分，则下列表示不正确．．．的是（ ） (A) ()dy u du ϕ'= (B) ()()dy u v dv ϕψ''=

(C) ()()dy u v dx ϕψ''= (D) ((()))(())()dy g x g x g x dx ϕψψ'''=

2．设(),()f x g x 在(),-∞+∞上可导，对任意的x ，()()f x g x ≥0,(,)x ∈-∞+∞，x 是自变量x 在点0x 处的增量，则下列关系正确．．的是（ ）. (A)

000

()()x x

x x

x x f x dx g x dx ++≥⎰

⎰

(B)

00()()x x x x

x x

f x dx

g x dx --≤⎰

⎰

(C) ''()()f x g x ≥,(,)x ∈-∞+∞ (D) 000

lim ()lim ()x x f x x g x x →→+≥+

3．用“A B →”表示概念A 可以推导出概念B ，函数()y f x =的可导、可微、连续、可积在某闭区间上的推导关系正确．．的是（ ）. (A) 可导→可微→连续→可积 (B) 连续→可导→可微→可积 (C) 可积→连续→可导→可微 (D) 可积→可微→可导→连续 4．下列命题表述正确．．

的是（ ）. (A) 设()f x 在(,)a b 上连续，则()f x 在(,)a b 内存在最值 (B) 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f x 在(,)a b 内部取得最值，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=

(C) 设()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅≤，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ= (D) 设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()()f x f x -=-，则

()0f x dx +∞

-∞

=⎰

5．设函数(),y f x x R =∈，对应曲线为C ，对于0x R ∈相应的点00(,())x f x 在曲线C 上，下列命题正．确．

的是（ ）. (A) 若0x 是函数()y f x =的极值点，则00(,())x f x 一定也是曲线C 的拐点 (B) 若00(,())x f x 是曲线C 的拐点，则0x 一定也是函数()y f x =的极值点

(C) 若()f x 在0x 处二阶可导，则当0x 是函数()y f x =的极值点时，00(,())x f x 一定也是曲线C 的拐点

(D) 若()f x 在0x 处二阶可导，则当0x 是函数()y f x =的极值点时，00(,())x f x 一定不是曲线C 的拐点

三、 解答题（每小题5分，本题满分30分）

1．求20tan sin lim (sin )cos x x x x x x

→-. 2．计算4

41sin dx I x π

π-=-⎰. 3．求2

2212lim()11211

n n

n n n n →∞+++++++++. 4．已知函数()y y x =由方程22

1ln()arctan 2y x y x +=确定，求dy dx ，

22

.d y dx 5．设ln tan cos 2sin t x t

y t

⎧

=+⎪⎨⎪=⎩，求dy dx ，22.d y dx 6．求22arcsin .1x dx x x -⎰ 四、（本题满分11分）对函数21

x y x

+=填写下表：

单调减少区间 凹区间 单调增加区间 凸区间 极值点 拐点 极值

渐近线方程

五、（本题满分8分）证明不等式：sin tan 2,0.2

x x x x π

+><<

六、（本题满分9分）曲线(1)(2)y x x =--与x 轴围成一平面图形，求:

(1) 此平面图形的面积；

(2) 此图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积1V ； (3) 此图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积2V .

七、（本题满分6分）设()f x 在[,]a b 上连续，对任意[,]x a b ∈，记()()x

a

x f t dt Φ=

⎰

，证明：()x Φ在

[,]a b 上可导，且()().x f x 'Φ=

八、（本题满分6分）设函数()f x 在R 上二阶导数连续，满足

2()3(())1x xf x x f x e -'''+=-，且0()0,f x '=0x R ∈．

试讨论0()f x 是否是()f x 的极值？如果0()f x 是()f x 的极值，那么是极大值还是极小值？说明理由．