高等数学：第七讲 幂级数的和函数

n0
幂级数的和函数的求法
问题1：如何求幂级数 an xn 的和函数？ n0 方法：第一步、求收敛域 D 及部分和Sn(x) ，
Sn (x) u1(x) u2(x) un(x)
第二步、求极限
S
(
x)
lim
n
Sn
(
x)
xD
例题1：
求幂级数 xn1的和函数S (x) . n1
解 an 1, 所以，收敛半径R 1，收敛域为(1,1)
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念
xD
S
un(x) S x
n1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
幂级数的和 函数
目录
01 幂级数的和函数的概念 02 幂级数和函数的求法
幂级数的和函数的概念
定义1 给定函数项级数:
其中 D 为收
un (x) u1(x) u2(x) un (x) x D 敛域
n1
x0 D
un (x0 ) S0
n1
x1 D
un (x1) S1
n1
… … x2 D
性质1 幂级数anxn 的和函数s(x)在其收敛区间 n0
R, R 上可积, 并有
x
S(t)dt
0
x
(
0
ant n )dt
n0
n0
x 0
ant ndt
n0
an x n1 n 1
xR, R
幂级数的和函数的求法
性质2 幂级数 anxn 的和函数s(x)在其收敛区间 n0
R, R 上可导, 并有
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
n
Sn x xi1 1 x x2
i1
S
(
x)
lim
n
Sn
(
x)
lim1 xn n 1 x
1
xn1 1 xn 1 x
幂级数的和函数的求法
问题2：如果幂级数 n0
an
xn
的部分和
Sn
(
来自百度文库
x)
求不出来？
例如： 、
nxn1
n1
1 xn n1 n
关键：消去 an ！
幂级数的和函数的求法
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
x 0
1
1
t
dt
ln
1
x
x (1,1)
例题3：
求幂级数nxn1 的和函数 S ( x) . n1
解 an n, 所以，收敛半径 R 1 收敛区间 (1,1) 由性质1得