高数第十二章 无穷级数 (1)

n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (1 1) (1 1) 0 , 但
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第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
济南大学数学科学学院
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第十二章
无穷级数
一. 级数的历史
u1 u2 u3 un
18世纪，牛顿等人已经广泛使用级数。 但不讨论收敛性。 欧拉认为
1 1 1 1 1 2
19世纪初，高斯开始讨论级数的收敛性， 1821年，柯西利用极限给出了级数收敛 的定义。
不趋于0, 因此这个级数发散.
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注意:
n
lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2n 2
发散.
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性质5 级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: u n S n S n 1 则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
矛盾! 所以假设不真 .
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2 1 例4 判定级数 n 的收敛性. 2 n1 n
解
1 2 因为 发散， 所以 发散， n1 n n1 n

1 而 n收敛， 原级数发散. n1 2

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un i i 1

5
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例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
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1 1 , n1
1 lim sn lim(1 ) 1, n n n1
级数收敛, 和为1.
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三、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数 收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1 2 3 n
n 1

是发散的.
证明
n( n 1) sn 1 2 3 n , 2
lim sn ,
n
所以级数 n发散.
n 0

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例3
判定级数
1 1 1 1 1 2 2 3 n ( n 1) n1 n( n 1)
n

所得新级数
n uk l S k n S k
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
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说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
发散
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
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例 2 证明级数
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作业：
P258
2，3(2，5)
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n 1

但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 u n (1) 2 n , vn (1) 2 n 1 ,
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性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
n 1
un 的前 k 项去掉,
如果sn 没有极限,则称无穷级数


u
n 1

n 发散.
4
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即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
n 1
也收敛 , 其和为 c S .
n
证: 令 S n
k 1
u k , 则 n c u k c S n ,
k 1
n
lim n

n
cS
这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
S
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1

n 1
un ,

n 1
vn

证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
的百度文库敛性.
解

1 1 1 un , n( n 1) n n 1
1 1 1 sn 1 2 2 3 n ( n 1)
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n1
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2
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二. 常数项级数的定义:
un u1 u2 u3 un n 1
级数的部分和 部分和数列

一般项 (常数项)无穷级数
sn u1 u2 un ui
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
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无穷级数
当 n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1

数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
un 收敛 , 这时极限 s 叫做级数 un 的和 . 并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
n
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n
无穷级数
a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
n lim q lim sn 当q 1时, n n