高数第十二章 无穷级数 (1)
高等数学-第十二章-无穷级数
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1 2 3 234
(1)n1 n n1
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
高等数学无穷级数
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 ( un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n ( uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
D12无穷级数
例4.
判断级数
n1
1 n(n
1)
的敛散性.
若收敛,求其和s.
解： un
1 n(n 1)
1 n
1， n1
sn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(
1 n
n
1
) 1
1
1， n1
lnim sn
lim(1 n
1 )
n1
微积分虽然是研究函数的有力工具, 但也有其局 限性, 即一般要求问题本身具有有限形式.如:有限个 无穷小的和仍是无穷小; 有限个函数和的导数等于 导数的和. 有些函数的原函数不是初等函数, 不具有 有限形式. 本章将借助于新的工具来研究函数, 这个 工具就是无穷级数.
本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如
n1
例如
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 S ( n 1 , 2 , n
)的一个子序列, 因此必有
s
逆否命题: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(1 1) (1 1) 0 , 但
发散.
17
例5.证明调和级数 解: 考虑加括号后的级数
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
12
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 s , 即 s u , 则各项 n
高数第十二章 无穷级数 (1)
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (1 1) (1 1) 0 , 但
总界面 上页
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
12
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第十二章
无穷级数
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
的收敛性.
解
1 1 1 un , n( n 1) n n 1
1 1 1 sn 1 2 2 3 n ( n 1)
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n1
9
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第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束lim存在不存在余项第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束aqaqaqaqaqaq第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束lim收敛发散级数变为不存在lim发散综上第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束是发散的
第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
矛盾! 所以假设不真 .
17
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第十二章
无穷级数
2 1 例4 判定级数 n 的收敛性. 2 n1 n
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
12.【高数】第十二章：无穷级数
若 un， vn一收敛一发散, 则 (un vn )发散 若 un， vn均发散, 则 (un vn )敛散性不确定
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本节 知识
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
数项级数的基本性质
n 1
1） [齐次性] 若 un收敛于S，则 kun收敛于kS (k不为0）
n 1 n 1 n 1
2） [可加性] 若 un收敛于S1， vn收敛于S 2, 则 (un vn )收敛于S1 S 2 若 un， vn均收敛, 则 (un vn )收敛
定理：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界
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本节 内容
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本节 知识
n 1
绝对收敛与条件收敛
对于任意级数 u n
n 1 n 1 n 1
1）若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n 1 n 1
2）若 un 发散，但 u n 收敛则称 u n条件收敛
定理：绝对收敛必收敛，收敛不一定绝对收敛！
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优高等数学第12章 无穷级数
++++123n123n s s s s u u u u ,第十二章无穷级数无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具, 本章先讨论常数项级数,介绍无穷级数的一些基本内容,然后再讨论函数项级数,着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题, 第一节常数项级数的概念和性质 一,常数项级数的概念 引子人们认识事物在数量方面的特性,往往由近似到精确,在这过程中,会遇到 由有限个数量相加到无限个数量相加的问题,?你在说什么?例如计算半径为R 的圆面积A, 具体做法如下:作圆的内接正六边形,算出这六边形的面积1a , 它是圆面积A 的一个粗糙的近似值, ||为了比较准确地计算出A 的值, 我们以这个正六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形(图12-1), 算出这六个等腰三角形的面积之和2a . 那么12a a +就是内接正十二边形的面积 就是A 的一个较好的近似值, ||同样地,在这正十二边形的每一边上,分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a , 那么123a a a ++就是内接正二十四边形的面积 就是A 的一个更好的近似值, ||如此继续下去,内接正n 32⨯边形的面积就逐步逼近圆面积:1A a ,≈ 12A a a ,≈+ I 23A a a a ,≈++12n A a a a .≈+++如果内接正多边形的边数无限增多,即n 无限增大, 则和12n a a a +++的极限就是所要求的圆面积A.定义 无穷级数 一般项 这时和式中的项数无限增多,于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子, 一般的,如果给定一个数列123n u ,u ,u ,,u ,则由这数列构成的表达式I 23n u u u u +++++(1)叫做(常数项)无穷级数,,简称(常数项)级数,记为n n 1u ,∞=∑∞==+++++∑n123n n 1uu u u u ,其中第n 项n u 叫做级数的一般项,定义 部分和 收敛 发散 上述级数的定义只是一个形式上的定义, 怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面关于计算圆面积的例子, 我们可以从有限项的和出发, 观察它们的变化趋势,由此来理解无穷多个数量相加的含义, ||作(常数项)级数(1)的前n 项的和nn 12n i i 1s u u u u ,==+++=∑(2)n s 称为级数(1)的部分和, 当n 依次取1,2,3,…时, 它们构成一个新的数列11s u ,= 212s u u ,=+=++3123s u u u ,,=+++n 12n s u u u ,||根据这个数列有没有极限,我们引进无穷级数(1)的收敛与发散的概念,++++123n123n s s s s u u u u ,定义级数是+++++123n u u u u如果级数n n 1u ∞=∑的部分和数列n {s }有极限s, 数列n {s }就是⋅⋅⋅⋅⋅⋅123n s ,s ,s ,s , 即∞→∞==+++++=1n 2n n 3s u u u u lims s,则称无穷级数n n 1u ∞=∑收敛,这时极限s 叫做这级数的和, 并写成I 2n s u u u =++++⋅||如果n {s }没有极限,则称无穷级数n n 1u ∞=∑发散,定义 级数的余项 误差 显然,当级数收敛时,其部分和s n 是级数的和s 的近似值, 它们之间的差值n n n 1n 2r s s u u ++=-=++叫做级数的余项,用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值,即误差是n |r |. ||从上述定义可知,级数与数列极限有着紧密的联系, 给定级数++++12n u u u ,就有部分和数列 1u , +12u u , ++123u u u ,, +++12n u u u ,反之,给定数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n s ,s ,s ,,就有以⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n s ,s ,s ,为部分和数列的级数++++12n u u u n n 1u ∞==∑121n n 1s (s s )(s s )-+-++-+∞-=+-∑1n n 1n=2s (s s )其中=11u s ,n n n 1u s s -=-(n 2).≥ 按定义,级数++++12n u u u 与数列n {s }同时收敛或同时发散,∵++++12n u u u 收敛,就是++++12n u u u 趋于常数++++12n u u u =∞s ,就是∞s 趋于常数∴数列∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n s ,s ,s ,s 就趋于常数例1无穷级数∞=+++++∑n 012n n=0aq aq aq aq aq (3)叫做等比级数(又称为几何级数),其中a 0,≠q 叫做级数的公比, 试讨论级数(3)的收敛性, 解当|≠q |1,则部分和-=+++n n 1a aq aqs n a aq 1q-=-=---n a aq 1q 1q 当<|q |1时,因为nn limq 0,→∞=从而→∞→∞--==-=---n n n n a alim lim 0a aq s 1q 1q ,1q 1q 是常数,因此收敛,当|q |1>时,因为nn limq ,→∞=∞从而→∞→∞--==-∞--n n n n a a alim lim ,1q s q q11q 因此发散,如果|q |1,=当q=1时, =+++n 个n a a a s =na,→∞=∞n n lims , 因此发散;当q=-1时,=-+-+⋅⋅⋅n a a a a a s 因此发散,n s 随着n 为奇数等于a 随着n 为偶数等于0从而n s 的极限不存在,综合上述结果, 我们得到:等比级数(3)的公比为q 如果|q |1,<则级数收敛; 如果≥|q |1,则级数发散, 例2证明级数1+2+3+…+n +…是发散的, 证这级数的部分和为n n(n 1)s 123n 2+=++++=显然,n n lims ,→∞=∞因此所给级数是发散的, 例3 判定无穷级数1111223n(n 1)++++⋅⋅+的收敛性,解 因为n 111u ,n(n 1)n n 1==-++因此=+++n 123n s u u u u=++-+---+111123111(1)()()(n 24n 3)111.n 1=-+ 从而n n n 1lims lim(1)1,n 1→∞→∞=-=+所以这级数收敛, 二、收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散以及和的概念, 可以得出收敛级数的几个基本性质, 性质1 乘c 后 收敛性不变如果级数n n=1u ∞∑收敛于和s,则级数n n=1ku ∞∑也收敛,且其和为ks.证设级数n n 1u ∞=∑的部分和为n snn 1ku∞=∑的部分和为n σ,n s =+++12n u u u , 则n 12n n σku ku ku ks ,=+++=于是n n n n n n lim σlimks k lims ks.→∞→∞→∞=== 这就表明级数n n 1ku ∞=∑收敛,且和为ks.||由关系式n n σks =知道, 如果n {s }没有极限且k 0,≠那么{}σ也不可能有极限, 因此我们得到如下结论:级数的每一项同乘一个不为0的常数后, 它的收敛性不变, 性质2如果级数∞=∑n n 1u 收敛于和s,∞=∑nn 1v收敛于和σ,那么级数n n n 1(u v )∞=±∑也收敛,且其和为s σ,± 证设级数n n n 1n 1u ,v ∞∞==∑∑的部分和分别为n n s ,σ,则级数n n n 1(u v )∞=±∑的部分和n 1122n n τ(u v )(u v )(u v )=±+±++±12n 12n (u u u )(v v v )=+++±+++n τn n s σ,=±于是n n n n n lim τlim(s σ)s σ.→∞→∞=±=±这就表明级数n n n 1(u v )∞=±∑收敛,且其和为s σ.±性质2也说成:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减, 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛牲, 证我们只需证明“在级数前部去掉或加上有限项,不会改变级数的收敛性”, 因为其他情形“在级数中间任意去掉、加上或改变有限项的情形 ” 都可以看成在级数前部先去掉有限项,然后再加上有限项的结果, ||设原级数12k k 1k n u u u u u +++++++++ 去掉前k 项,新级数+++++++k 1k 2k n u u u于是新级数的部分和为++++=+++=-n k 1k 2k n k n k σu u u 原级数s 原级数s ,因为k s 是常数,所以当n →∞时n σ与k n s +同时具有极限,或者同时没有极限, ||类似地,可以证明在级数的前面加上有限项, 不会改变级数的收敛性, 性质4如果级数n n 1u ∞=∑收敛,则对这级数的项 任意加括号后 所成的级数112k 1k 1n n 1n n 1n (u u )(u u )(u u )(4)-++++++++++++仍收敛,且其和不变,加括号后 还是原级数嘛证设级数n n=1u ∞∑(相应于前n 项)的部分和为n s ,加括号后所成的级数(4)(相应于前k 项)的部分和为k A ,1111n n A u u s ,=++= 112221n n 1n n A (u u )(u u )s +=+++++= ………….112k 1k k k 1n n 1n n 1n n A (u u )(u u )(u u )s -++=+++++++++=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅n123n s u u u u…………. ||可见,数列A 1, A 2,… A k ,…就是数列12k n n n s ,s ,...s ,...数列A 1, A 2,… A k ,…就是数列12k 12n n n s ,s ,...s ,...s ,...s ,...的一个子数列, ∵数列收敛,子数列也收敛 数列n {s }收敛 ∴数列k {A }必定收敛,且有k n k n limA lims ,→∞→∞=即加括号后所成的级数收敛,且其和不变,||注意:如果加括号后的级数收敛,原级数未必收敛, 例如,级数(1-1)+(1-1)+…收敛于0, 但级数1-1+1-1+…却是发散的, 推论如果加括号后的级数发散,则原级数也发散, 反证法假设加括号后的级数发散,原级数收敛 根据性质4,原级数收敛,加括号后的级数收敛, 与假设条件矛盾,∴加括号后的级数发散,原级数必发散性质5 级数收敛−−−−→必发生过n u 趋于0如果级数n n 1u ∞=∑收敛,则它的一般项n u 趋于0,即n n limu 0.→∞=证设级数n n 1u ∞=∑的部分和为n s ,且当∞→∞→→n n n ,s s ,也就是s s则n n limu →∞n n 1n lim(s s )-→∞=-n n 1n n lims lims -→∞→∞=-=∞∞-=-=s s s s 0.由性质5可知,如果级数的一般项不趋于0, 则该级数必定发散, 例如, 级数n 1123n(1),234n 1--+-+-++它的一般项n 1n nu (1)n 1-=-+ 当n →∞时不趋于0, 因此该级数是发散的,||注意级数的一般项趋于0并不是级数收敛的充分条件, 有些级数的一般项趋于0,但仍然是发散的, 例如,调和级数1111,23n +++++(5) 虽然它的一般项如下!;n 1u 0(n ),n =→→∞但是它是发散的,||现在我们用反证法证明如下: 假若级数(5)收敛,设它的部分和为n s ,且n s s(n ).→→∞ 第二个部分和为2n s ,也有2n s s(n ).→→∞ 于是2n n s s s s 0(n ).-→-=→∞ ||但2n n s s -111n 1n 22n =+++++n 项111...2n 2n 2n >+++1,2= 2n n s s 0(n ).-→∞½||与-→-=→∞2n n s s s s 0(n )收敛矛盾, 这矛盾说明级数(5)必定发散, 第二节常数项级数的审敛法 一,正项级数及其审敛法 定义 正项级数 一般的常数项级数,它的各项可以是正数、负数或者0. ||现在我们先讨论各项都是正数或0的级数, 这种级数称为正项级数, 这种级数特别重要,以后将看到许多级数的收敛性问题可归结为正项级数的收敛性问题, ||设级数12n u u u ++++(1)是一个正项级数n (u 0)≥,它的部分和为n s .显然,数列n {s }是单调增加的,12n s s s ≤≤≤≤如果数列n {s }有界,即n s 总不大于某一常数M, 根据单调有界的数列必有极限的准则, 级数(1)必收敛于和s,且n s s M .≤≤ 反之,如果正项级数(1)收敛于和s, 就是++++→12n u u u s就是∞→s s∴∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n s ,s ,s ,s 有界 ∴数列n {s }有界,因此,我们得到如下重要的结论, 定理1 收敛的充要条件 ++++12n u u u 收敛就是∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n s ,s ,s ,s 有界正项级数n n 1u ∞=∑收敛的充分必要条件是:它的部分和数列n {s }有界||由定理1可知, 如果正项级数n n 1u ∞=∑发散,∞→∞s∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n s ,s ,s ,s 无界 就是发散 ||根据定理1,可得关于正项级数的一个基本的审敛法, 定理2 比较审敛法设∞=∑n n 1u 和∞=∑n n 1v 都是正项级数,且n n u v ≤(n=1,2,…).若级数∞∑n n=1v 收敛,则级数∞=∑n n 1u 收敛;若级数∞=∑n n 1u 发散,则级数∞=∑n n 1v 发散,||求证:∞∑n n=1v 收敛,∞=∑nn 1u收敛证:设级数n n=1v ∞∑收敛于和σ,则级数n n 1u ∞=∑的部分和n 12n s u u u =+++12n v v v σ≤+++≤(n=1,2,…),∴n n=1u ∞∑收敛,||求证n n 1u ∞=∑发散,则n n 1v ∞=∑必发散,证明:使用反证法:设n n 1u ∞=∑发散, 会引发n n 1v ∞=∑收敛,但n n 1v ∞=∑收敛, 会引发n n 1u ∞=∑收敛看n n 1u ∞=∑发散与n n 1u ∞=∑收敛矛盾,∴n n 1u ∞=∑发散,则n n 1v ∞=∑必发散注意到级数的每项同乘不为0的常数k和去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性, 我们可得如下推论: 推论设n n 1u ∞=∑和n n 1v ∞=∑都是正项级数, N 是正整数,k>0如果级数n n 1v ∞=∑收敛,那么n n 1kv ∞=∑收敛,如果当n N ≥时,n n u kv ≤,那么级数N n n=u ∞∑收敛,那么1n n=u ∞∑收敛如果级数n n lv ∞-∑发散,那么n n 1kv ∞=∑发散,如果当n N ≥时,n n u kv ≥,那么级数N n n=u ∞∑发散,那么1n n=u ∞∑发散,例1 讨论p 级数++++++p p p pp111111234n (2)的收敛性,其中常数p>0.解 ||设p 1.≤≥p 11nn , 但调和级数发散,所以p 级数(2)发散, ||设p>1.不会当k 1x k -≤≤时,-≤≤p p p (k 1)(x)(k), 有≥≥-p p p 111(k 1)(x)(k), ≥pp 11(x)(k), p p11,k x ≤--≤⎰⎰k kp p k 1k 111dx dx k x (k=2,3,…),从而级数(2)的部分和nn k n p p k 1k 2k 211s 1+1dx k x -===≤+∑∑⎰11p 1<+-(n=2,3,…), n p 111dx x =+⎰p 1111(1)p 1n -=+--所以n s 11p 1<+-(这是个常数) 这表明数列n {s }有界, 因此级数(2)收敛, 综合上述结果, p 级数++++++p p p p p111111234n当p 1≤时发散, 当p>1时收敛; 例2证明级数∞,证∞=++⋅⋅+⋅⋅⋅因为2n(n 1)(n 1),+<+所以1.n 1>+ 而级数n=11111n 123n 1∞=++++++∑是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的,定理3 比较审敛法的极限形式 设n n 1u ∞=∑和n n=1v ∞∑都是正项级数,(1)如果nn n u lim l(0l ),v →∞=≤<+∞且级数n n 1v ∞=∑收敛,则级数n n 1u ∞=∑收敛 l 就是极限常数(2)如果nn nu lim l(0l ),v →∞=<≤+∞且级数n n=1v ∞∑发散,则级数n n 1u ∞=∑发散, l 就是极限常数证 (1) 当n>N 时,-<nnu l 1,v 那么n n u (l 1)v <+, 因为级数∞-∑n n lv 收敛 所以n n llv ∞-∑收敛, 所以∞-+∑n n l(l 1)v 收敛.因为n n u (l 1)v <+ 所以级数n n 1u ∞=∑收敛,(2) n n n u liml(0l ),v →∞=<≤+∞就是n n nvlim l(0l ),u→∞=≤<+∞因为n v n (l 1)u <+nn 1v∞=∑发散所以n n 1u ∞=∑发散比较审敛法的极限形式的特殊情况:一般项均趋于0, 在两个正项级数的一般项均趋于0的情况下, 其实是比较它们的一般项作为无穷小量的阶, 定理表明, 当n →∞时,(1)如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小,而级数n n 1v ∞=∑收敛,则级数n n 1u ∞=∑收敛; 旁解:n u 与n v 同阶就是=nnu limc v n u 比n v 高阶就是=nnu lim0v (2)如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小,而级数n n 1v ∞=∑发散,则级数n n=1u ∞∑发散 旁解:n u 与n v 同阶就是=nnv limc u n u 比n v 低阶就是=nnv lim0u 证 (1)n u 与n v 高阶就是=nnu lim 0v ∴-<n n u 01v <n nu1v <n n u v ∵n v 收敛 ∴u n 收敛.n u 与n v 同阶就是=nnu lim c v ∴-<n n u c 1v <+n n u1c v <+n n n u v cv ∵n v 收敛 c n v 收敛 ∴n v +c n v 收敛 ∴u n 收敛.n u 与n v 同阶就是=nnv lim c u ∴-<n n v c 1u ,<+n nv1c u ,<+n n v (1c)u ,<+n n v u 1c ,>+n n v u 1c∴>+nn v u 1c∵n v 发散 ∴+nv 1c发散 ∴u n 发散.(2)例3判定级数n 11sin n ∞=∑的收敛性,解∵n 1sinn lim10,1n →∞=>∴n 11limsin ,n n→∞= ∵级数n 11n ∞=∑发散, ∴n 11sin n ∞=∑发散用比较审敛法审敛时,需要选取已知收敛性的级数n n 1v ∞=∑作比较,最常选取的是等比级数和p 级数,将目标正项级数与等比级数比较, 旁解:等比级数∞=+++++∑n 012n n=0aq aq aq aq aq我们能得到很方便的比值审敛法和根值审敛法, 定理4 比值审敛法 感觉过关了 设n n 1u ∞-∑为正项级数,如果n 1n nu limρ,u+→∞=则当ρ1<时级数收敛; 旁解:后面的数比前面的数小 就收敛当ρ1>时级数发散; 旁解:后面的数比前面的数大 就发散 当ρ1=时级数可能收敛也可能发散,证根据极限的定义 n 1n nu limρ,u+→∞=等价于当n m ≥时,+n 1n u u -ε<ρ<+n 1nuu +ε (i)当ρ 1.< 当n m ≥时+n 1nu u -ε<ρ<1 取一个适当的ε +n 1nu u <ρ+ε<1 +n 1nu u <r<1 因此m 1m u ru ,+<2m 2m 1m u ru r u ,++<< ,k m k m u r u ,+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<而级数k m k 1r u ∞=∑收敛(公比r<1), 旁解:动用到等比级数了所以级数n n m 1u ∞=+∑收敛,所以级数n n 1u ∞=∑收敛,(ii)当ρ 1.> 1<ρ<+n 1nu u +ε 取一个适当小的正数ε, 使得 1<ρ-ε<+n 1nu u n u 比n v 低阶就是=nnv lim 0u ∴-<n n v 01u ,<n nv1u ,<n n v u ,>n n u v ∵n v 发散, ∴u n 发散n n 1u u +< 所以当n m ≥时,级数的一般项n u 是逐渐增大的,从而n n limu 0.→∞≠那么级数n n 1u ∞=∑发散;?类似地,可以证明ρ的特殊情况,当n 1n nu lim u +→∞=∞时,级数n n u ∞→∞∑发散(iii)当ρ1=时级数可能收敛也可能发散,解决例如p 级数++++++p p p pp111111234n (2)pn 1n n nP 1u (n 1)limlim1un +→∞→∞+= Ppn n lim(n 1)→∞=+ pn n =lim()n 1→∞+ pn n 11=lim()n 1→∞+-+ pn 1=lim(1)=1n 1→∞-+所以(2)式不论p 为何值,本身都有n 1n nu lim ρ1u+→∞==但我们知道, 当p>1时级数收敛, 当p 1≤时级数发散,因此只根据ρ1=不能判定级数的收敛性, 例4 证明级数11111112123(n 1)!++++++⋅⋅⋅-是收敛的,并估计以级数的部分和n s 近似代替和s 所产生的误差, 解 因为n 1n n n nu (n 1)!1limlim lim 01,u n!n +→∞→∞→∞-===<根据比值审敛法可知所给级数收敛,||以这级数的部分和n s 近似代替和s 所产生的误差为·n 111r n!(n 1)!(n 2)!=++++++0111(10)n!n 1(n 1)(n 2)=+++++++2111(10)n!n n<++++111n!1n <-1.(n 1)(n 1)!<-- 所以n r 1.(n 1)(n 1)!<--例5 判定级数23n112123n!10101010⋅⋅⋅+++++的收敛性,解n n 1n 1n 1n n(n 1)!u (n 1)!10n 110,n!u n!101010++++++==⋅=n 1n n nu n 1lim lim u 10+→∞→∞+==∞ 后面的数比前面的数大 所以发散根据比值审敛法可知所给级数发散, 定理5* 根值审敛法 设n n 1u ∞=∑为正项级数,如果n ρ,=则当ρ1<时级数收敛,1,<当ρ1>时级数发散,当ρ1=时级数可能收敛也可能发散,定理5的证明与定理4相仿,这里从略, 例6判定级数nnn 12(1)2∞=+-∑的收敛性,证nn =n =n 1ln[2(1)]nn 1lim e ,2+-→∞= 因n ln [2(1)]+-有界,所以n n 1lim ln[2(1))0,n→∞+-=从而n 1.2=因此,根据根值审敛法知所给级数收敛,将所给正项级数12n u u u ++++与p 级数++++++p p p pp111111234n 作比较,可得在实用上较方便的极限审敛法, 定理6 特殊的比较审敛法的极限形式 设n n 1u ∞=∑为正项级数,(1)如果p n n limn u l (0l ),→∞=≤<+∞则级数n n 1u ∞=∑收敛, p>1(2)如果→∞=n n limnu l <≤+∞(0l ),则级数n n 1u ∞=∑发散;?证(1)在极限形式的比较审敛法中,p nn n n pu limn u liml (0l ),1n →∞→∞==≤<+∞当p>1时,p 级数p n 11n ∞=∑收敛,所以级数n n 1u ∞=∑收敛(2)在极限形式的比较审敛法中,nn n n u limnu liml 1n→∞→∞==<≤+∞(0l ), 取n 1v ,n=由调和级数n 11n∞=∑发散,,知结论成立,?n 11n ∞=∑它不是收敛吗例7判定级数2n=11ln(1)n ∞+∑的收敛性, 解∵当n →∞时,2211ln(1)~,n n+∴p n n limn u →∞22n 1limn ln(1)n →∞=+22n 1limn n→∞=⋅2n 21n lim 1n →∞=1,= p>1根据极限审敛法,知所给级数收敛, 例8没看判定级数n 1πcos )n ∞=-的收敛性,解因为32n n limn u →∞n πcos )n→∞=-2n 1πlimn ()2n→∞= 21π,2=根据极限审敛法,知所给级数收敛, 二、交错级数及其审敛法 交错级数是级数各项正负交错,1234u u u u ,-+-+(3) 1234u u u u ,-+-+-(4)其中12u ,u ,都是正数,我们按级数(3)的形式来证明关于交错级数的一个审敛法 定理7 级数审敛法如果交错级数1234u u u u ,-+-+满足条件:n n 1(1)u u (n 1,2,3,);+≥= 后面的数小于前面的数n n (2)limu 0,→∞= 后面的数趋于0则级数收敛,且其和1s u ,≤其余项n r 的绝对值n n 1|r |u .+≤ 旁解:n n n 1n 2n 3n 1|r ||s s ||u u u |u .++++=-=-+⋅⋅⋅≤ 证先证明前2n 项的和2n s 的极限存在, 为此把2n s 写成两种形式:2n 12342n 12n s (u u )(u u )(u u )-=-+-++-及2n 123452n 22n 12n s u (u u )(u u )(u u )u .--=--------因为后面的数小于前面的数 所以括号中的差都是非负的,由第一种形式可见数列2n {s }单调增加的, 由第二种形式可见2n 1s u .<有界于是,根据单调有界数列必有极限的准则知道, 当n 无限增大时,2n s 趋于一个极限s,并且s 不大于1u :2n 1n lims s u .→∞=≤再证明前2n+1项的和2n 1s +的极限也是s. 证:2n 12n 2n 1s s u .++=+2n 12n 2n 1n n lims lim(s u )++→∞→∞=+ 旁解:由条件(2)知2n 1n limu 0,+→∞= 由上面可知2n n lims s →∞=2n 2n 1n n lims limu +→∞→∞=+s 0=+ =s所以前2n+1项的和2n 1s +的极限也是s因为级数的前偶数项的和与前奇数项的和趋于同一极限s, 所以当n →∞时n s → s.这就证明了级数n 1n n 1(1)u ∞-=-∑收敛于和s,且1s u .≤最后,当级数为 12n n 1n 2u u u u u ,---+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅时 r=n 1n 2u u ---+⋅⋅⋅ 当级数为 12n n 1n 2u u u u u ,---+⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅时 r=n 1n 2u u ---⋅⋅⋅ 当级数为12n n 1n 2u u u u u ,---+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅时 r=n 1n 2u u ---+⋅⋅⋅ 当级数为12n n 1n 2u u u u u ,---+-⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅时 r=n 1n 2u u ---⋅⋅⋅ 余项n r 可以写成n n l n 2r (u u ),++=±-+其绝对值n n 1n 2|r |u u ,++=-+也是一个交错级数,它也满足收敛的两个条件,所以其和小于级数的第一项, n n 1|r |u .+≤ 证明完毕, 例如,交错级数n 111111(1)234n --+-++-+满足条件 n n 111(1)u u n n 1+=>=+(n=1,2,…)n n n 1(2)limu lim 0,n→∞→∞==所以它是收敛的,且其和s<1. 如果取前n 项的和n 1n 111s 1(1)23n -=-+-+-作为s 的近似值,所产生的误差n n 11|r |(u ).n 1+≤=+ 三、绝对收敛与条件收敛 现在我们讨论一般的级数12n u u u ,++++它的各项为任意实数,如果级数n n 1u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数n n 1|u |∞=∑收敛,则称级数n n=1u ∞∑绝对收敛;? 如果级数n n 1u ∞=∑收敛,而级数n n 1|u |∞=∑发散,则称级数n n=1u ∞∑条件收敛,?容易知道,原级数222211111234-+-+⋅⋅⋅ ,绝对值级数22221111||||||||1234+-++-+⋅⋅⋅收敛 所以原级数是绝对收敛原级数11111234-+-+⋅⋅⋅ 收敛,绝对值级数1111||||||||1234+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅发散,所以原级数是条件收敛,?级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系: 定理8 绝对值级数收敛 对应原级数收敛 如果级数n n 1u ∞=∑绝对收敛,则级数n n 1u ∞=∑必定收敛,证级数n n 1u ∞=∑绝对收敛,就是n n 1|u |∞=∑收敛.令n nn 1v (u |u |)2=+ 旁解:n v 要么是0,要么是正的n u 所以n v 0≥且n n v |u |≤ 因为级数n n 1|u |∞=∑收敛,所以级数n n 1v ∞=∑收敛,所以级数n n 12v ∞=∑收敛,n nn 1v (u |u |)2=+ 所以n n n 2v u |u |=+,所以n n n 2v |u |u -= n n n u 2v |u |,=- nnnn 1n 1n 1u 2v |u|∞∞∞====-∑∑∑因为级数n n 12v ∞=∑收敛,级数n n 1|u |∞=∑收敛,所以级数n n 1u ∞=∑收敛,定理证毕,上述证明中引入的级数n n 1v ∞=∑其一般项n n n 1v (u |u |)2=+=n n n u ,u 0,0,u 0,>⎧⎪⎨≤⎪⎩可见级数n n 1v ∞=∑是把级数n n 1u ∞=∑中的负项换成0而得的,它也就是级数n n 1u ∞=∑中的全体正项所构成的级数,类似可知,令n n n 1w (|u |u ),2=-则n n=1w ∞∑为级数n n 1u ∞=∑中全体负项的绝对值所构成的级数,n w 要么是0,要么是负的n u n u n w 0≤≤ 所以n n 0|w ||u |≤≤ 如果级数n n 1u ∞=∑绝对收敛,就是n n 1|u |∞=∑收敛那么n n=1|w |∞∑收敛那么n n=1w ∞-∑收敛那么n n=1w ∞∑收敛;如果级数条件收敛(n n=1u ∞∑收敛,而n n 1|u |∞=∑发散),则级数n n 1v ∞=∑与n n=1w ∞∑都发散,定理8说明,如果正项级数n n 1|u |∞=∑收敛,那么对应的一般级数n n 1u ∞=∑收敛所以以后可以通过正项级数收敛,来判定一般级数n n 1u ∞=∑收敛定理9 绝对值级数发散 对应原级数未必发散如果级数n n 1|u |∞=∑是在一般情况下发散, 那么级数n n 1u ∞=∑未必发散,如果级数n n 1|u |∞=∑是在特殊情况n 1n n u lim ||ρ1u +→∞=>或n ρ1=>发散,那么n n 1u ∞=∑必定发散这是因为从ρ1>可推知n |u |0(n ),→∞½从而n u 0(n ),→∞½ 因此级数n n 1u ∞=∑是发散的,例9 判定级数2n 1sinn αn ∞=∑的收敛性, 解 因为22sinn α1||,n n ≤而级数2n 11n ∞=∑收敛, 所以级数2n 1sinn αn ∞=∑也收敛, 由定理8知,级数2n 1sinn αn ∞=∑收敛, 倒10判定级数2nn nn 111(1)(1)n 2∞=-+∑的收敛性,解这是交错级数, 记2n n n11u (1),n 2=+当n 1e 1,2=>可知当n n n ,|u |0,u 0,→∞浇因此所给级数发散,第三节 幂级数 一 函数项级数的概念 定义 函数项级数如果有一函数列定义在区间I 上, 这函数列为123n u (x),u (x),u (x),,u (x),那么123n u (x)u (x)u (x)u (x)+++++(1)称为定义在区间I 上的函数项无穷级数,简称函数项级数,定义 收敛点与发散点 收敛域与发散域 如果属于I 的x 确定了,成为确定值0x那么函数项级数(1)就成为常数项级数102030n 0u (x )u (x )u (x )u (x )+++++(2)常数项级数102030n 0u (x )u (x )u (x )u (x )+++++可能收敛也可能发散,如果收敛,那么点0x 称为函数项级数(1)的收敛点; 如果发散,那么点0x 称为函数项级数(1)的发散点, 函数项级数(1)的收敛点的全体称为它的收敛域, 函数项级数(1)的发散点的全体称为它的发散域,定义 和函数s(x) 开始于2013年5月31日14:52:25 在函数项级数的收敛域内任意x 都可让函数项级数成为收敛常数项级数, 同时确定了一个和s. 这样,在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), s(x) 称为函数项级数的和函数,函数s(x)的定义域就是函数项级数的收敛域, 并写成123n s(x)u (x)u (x)u (x)u (x)=+++++把函数项级数(1)的前n 项的部分和记作n s (x) 旁解:n 123n s (x)u (x)u (x)u (x)u (x)=++++则在收敛域上有n n lims (x)s(x).→∞=把n s(x)s (x)-记为n r (x)n r (x)叫做函数项级数的余项(n r (x)只在收敛域才存在), 并有n n limr (x)0.→∞=二 幂级数及其收敛性 定义 幂级数当函数项级数中每项都是幂函数时,把这种函数项级数称为幂级数, 幂级数是特殊的函数项级数 它的形式是①nnn 0a x∞=∑012n 012n a x a x a x a x ,=+++++⋅⋅⋅(3)其中常数012n a ,a ,a ,,a ,叫做幂级数的系数,例如2n 1x x x ,+++++2n 111x x x 2!n!+++⋅⋅⋅++都是幂级数,现在我们来讨论:对于一个给定幂级数, 它的收敛域与发散域是怎样的？ 即x 取数轴上哪些点时幂级数收敛, 取哪些点时幂级数发散？ 这就是级数的收敛性问题,先看一个例子, 考察幂级数2n 1x x x +++++的收敛性,由第一节例1知逍,当|x |1<时,这级数收敛,且收敛于和1,1-x当|x |1≥时,这级数发散,因此,这幂级数的收敛域是开区间(-1,1), 并且2n 11x x x 1-x=+++++同时,这幂级数的发散域是(-oo,-1]及[1,),+∞ 在这个例子中我们看到, 这个幂级数的收敛域是一个区间事实上,这个结论?对于一般的幂级数是成立的,我们有如下定理, 定理1(阿贝尔定理)(1)如果级数n n n=0a x ∞∑当0x x =时收敛,那么当0|x ||x |<时,这幂级数绝对收敛, 0(x 0)≠(2)如果级数n n n=0a x ∞∑当0x x =时发散,那么当0|x ||x |>时,这幂级数发散求证(1)如果级数n n n=0a x ∞∑当0x x =时收敛,那么当0|x ||x |<时,这幂级数绝对收敛, 0(x 0)≠①幂级数的一般形式是2n 01020n 0a a (x x )a (x x )a (x x )+-+-++-+只要作代换t=0x x ,-就可以把它化成(3)的形式, 所以取(3)式来讨论,并不影响一般性,证 第1步设0x 是幂级数(3)012n 012n a x a x a x a x +++++⋅⋅⋅的收敛点,∴级数2n 01020n 0a a x a x a x +++++收敛,∴n n 0n lima x 0,→∞= ∴n n 0|a x |常数M ≤(n=0,1,2,…). 第2步幂级数(3)的一般项的绝对值nnnn n 0n 0x |a x ||a x |x =⋅n n n n 000x x |a x |||M ||x x =⋅≤ n n |a x |nx M ||x ≤ |因为当0|x ||x |<时, 公比ox||1x < 所以等比级数nn=0ox M ||x ∞∑收敛, 所以级数n n n=0|a x |∞∑收敛,也就是级数n n n=0a x ∞∑绝对收敛,求证(2)如果级数n n n=0a x ∞∑当0x x =时发散,那么当0|x ||x |>时,幂级数发散证明用反证法,设级数n n n=0a x ∞∑当0x x =时发散,有点1x ,10|x ||x |>,幂级数收敛,∵1|x |使幂级数收敛01|x |<|x | ∴0|x |使幂级数收能 ∴ 0x 使幂级数收敛 与条件当0x x =时发散矛盾. 定理得证,定理1的更具体说法,如果幂级数在0x x =处收敛,那么当x∈00(|x |,|x |)-时, 幂级数都收敛; 如果幂级数在0x x =处发散,那么当x∈00[|x |,|x |]-外时,幂级数都发散;设已给幂级数在数轴上既有收敛点也有发散点, 现在从原点起,沿数轴的右方走, 最初只遇到收敛点, 然后只遇到发散点,这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点, 从原点起,沿数轴的左方走也是如此, |两个界点P 与P '在原点的两侧,由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的(图12-13). 从上面的几何说明,得到下述重要推论: 推论如果幂级数n n n=0a x ∞∑不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,那么存在一个确定的正数R, 当|x|<R 时,幂级数绝对收敛; 当|x|>R 时,幂级数发散;当x=R 与x=-R 时,幂级数可能收敛也可能发散, |因此,正数R 叫做幂级数(3)的收敛半径, 开区间(-R,R)叫做幂级数(3)的收敛区间,再由幂级数在x R =±处的收敛性就可以决定它的收敛域是(-R,R)、[-R,R)、(-R,R]或[-R,R]这四个区间之一 |如果幂级数(3)只在x=0处收敛, 那么收敛域只有一点x=0; 规定收敛半径R=0;|如果幂级数(3)对所有的x 收敛, 那么收敛域是(-∞,+∞) 规定收敛半径R=+∞,这时. 这两种情形确实都是存在的, 见下面的例2及例3. 关于幂级数的收敛半径求法, 有下面的定理,定理2 收敛半径R 的求法如果n 1n n a lim ||ρ,a +→∞=其中n n 1a ,a +是幂级数n n n=0a x ∞∑的相邻两项的系数,那么这幂级数的收敛半径R=111ρ0时,,ρρρ11ρ0时,,ρ010ρ时,0,⎧≠=⎪⎪⎪+∞==+∞⎨⎪⎪=+∞=⎪+∞⎩ 证对幂级数(3)的各项取绝对值 得到新级数2n 012n |a ||a x ||a x ||a x |+++++(4)这级数相邻两项之比为n 1n 1n 1n 1n 1n n n n n |a x ||a ||x |a |x |.a |a x ||a ||x |+++++== (1)如果n 1n 1n n n |a x |limρ|x |(ρ0)|a x |++→∞=≠存在, 根据比值审敛法,当ρ|x |1<即1|x |ρ<时,那么级数(4)收敛, 所以级数(3)绝对收敛; 当ρ|x |1>即1|x |ρ>时,那么级数(4)发散,并且从某一个n 开始n 1n n 1n |a x ||a x |++>?为什么?因此一般项n n |a x |不能趋于零, 所以一般项n n a x 也不能趋于零, 所以级数(3)发散,综上所述1|x |ρ<时,幂级数n n n=0a x ∞∑收敛 1|x |ρ>时,幂级数n n n=0a x ∞∑发散于是1R ρ=(2)如果n 1n 1n n n |a x |limρ|x ||a x |++→∞=,ρ0,=x 0,≠ 那么ρ|x |=01<那么级数(4)收敛,所以级数(3)绝对收敛, 旁解:非零x 都可以使级数(3)绝对收敛 于是R =+∞(3)如果n 1n 1n n n |a x |limρ|x ||a x |++→∞=ρ,=+∞ 当x=0时,ρ|x |=01< 那么级数(4)收敛,所以级数(3)绝对收敛,当x 0≠时, 级数(3)必发散,否则由定理1知道将有点x 0≠使级数(4)收敛,? 于是R=0. 例1求幂级数23nn 1x x x x (1)23n--+-+-+的收敛半径与收敛域,解因为n 1n 1n 11n n n n n n n 1x x 1|(1)|||n n 1n 1n 1lim lim lim |x |lim |x ||x |,1n 1x x |(1)|||n n n+++-→∞→∞→∞→∞--+++====+- 当|x|<1时收敛当|x|>1时发散 所以R 1.=对于端点x=1,,级数成为交错级数n 11111(1),23n --+-+-+此级数收敛; 对于端点x=-1,级数成为调和级数1111,23n ------此级数发散,因此,收敛域是(-1,1]. 例2求幂级数2n111x x x 2!n!+++++的收敛域,解因为n 1naρlim ||a +=n 1n 1lim 1n→∞+=n 1lim0,n 1→∞==+ 所以收敛半径R ,=+∞ 所以收敛域是(,).-∞+∞ 例3求级数n n 1n!x ∞=∑的收敛半径(规定0!=1).解因为n 1na ρlim ||a +=n (n 1)!limn!→∞+==+∞ 所以收敛半径R=0,所以级数域是x=0, 例4 求幂级数2n2n=0(2n)!x (n!)∞∑的收敛半径 解级数缺少奇次幂的项,所以不能直接应用定理2, 我们根据比值审敛法来求收敛半径:2(n 1)2n 2n2[2(n 1)]!x[(n 1)!]lim (2n)!x (n!)+→∞++24|x |= 当24|x |1<即1|x |2<时级数收敛; 当24|x |1>即1|x |2>时级数发散,所以收敛半径1R .2=例5 求幂级数nnn=1(x 1)2n ∞-⋅∑的收敛域, 解 令t=x-1,上述级数变为nn n=1t 2n ∞⋅∑因为n 1n a ρlim ||a +=n n 1n 2n 1lim ,22(n 1)+→∞⋅==+ 所以收敛半径R=2. 收敛区间为|t|<2,即-1<x<3.当x=3时, 级数成为n 11,n ∞=∑ 这级数发散;当x=-1时,级数成为nn 1(1),n ∞=-∑这级数收敛,因此原级数的收敛域为[-1,3). 三、幂级数的运算 设幂级数2n 012n a a x a x a x +++++ 在区间(-R , R) 内收敛 及幂级数2n 012n b b x b x b x +++++在区间(R ,R )''-内收敛,对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法2n 012n (a a x a x a x )+++++2n 012n (b b x b x b x )++++++2n 001122n n (a b )(a b )x (a b )x (a b )x =+++++++++ 减法2n 012n (a a x a x a x )+++++2n 012n (b b x b x b x )-+++++2n 0o 1122n n (a b )(a b )x (a b )x (a b )x =-+-+-++-+根据收敛级数的基本性质2,上面两式在(-R,R)与(R ,R )''-中较小的区间内收敛, 乘法2n 012n (a a x a x a x )+++++2n 012n (b b x b x b x )⋅+++++20001100211200n 1n 1a b (a b a b )x (a b a b a b )x (a b a b -=++++++++n n 0a b )x ++这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明:上式在(-R,R)与(R ,R )''-中较小的区间内收敛, 收敛×收敛=收敛 收敛×发散=发散 除法2n 012n 2n 012n a a x a x a x b b x b x b x ++++++++++2n 012n c c x c x c x ,=+++++这里假设0b 0.≠为了决定系数012n c ,c ,c ,,c ,,⋅⋅⋅可以将级数nn n=0b x ∞∑与n n n 0c x ∞=∑相乘, 旁解:如果0b 0.≠到时不存在常数0a .并令乘积中各项的系数分别等于级数n n n 0a x ∞=∑中同次幂的系数,即得000a b c ,= 可求出0c 11001a b c b c ,=+ 可求出1c2201102a b c b c b c ,=++ 可求出2c ………………..由这些方程就可以顺序地求出012n c ,c ,c ,,c ,相除后所得的幂级数n n n 0c x ∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多①①例如2n 11x x x 1x=+++++-级数nnn n=0a x 10x 0x ∞=++++∑与n 2n n n 0b x 1x 0x 0x ∞==-++++∑在整个数轴上收敛,但级数nn n n 0n 0C x x ∞∞===∑∑仅在区间(-1,1)内收敛,幂级数的和函数s(x)性质 证明见本章第六节二 性质1连续幂级数n n n=0a x ∞∑的和函数s(x)在其收敛域I 上连续,性质2可积幂级数n n n=0a x ∞∑的和函数s(x)在其收敛域I 上可积,并有逐项积分公式xs(x)dx ⎰xn n 0n 0a x dx ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰x n n 0n 0a x dx ∞==∑⎰n 1n n 0a x (x I),n 1∞+==∈+∑(5)逐项积分后得到的新幂级数和原级数有相同的收敛半径, 性质3可导幂级数n n n 0a x ∞=∑的和函数s(x)在其收敛域(-R,R)内可导,并有逐项求导公式nn n 0s (x)(a x )∞=''=∑nn n 0(a x )∞='=∑n 1n n 1na x (|x |R),∞-==<∑(6)逐项求导后得到的新幂级数和原级数有相同的收敛半径, 反复应用性质3可得:幂级数n n n 0a x ∞=∑的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数,例6求幂级数nn 0x n 1∞=+∑的和函数,解先求收敛域, 由n 1n n na n 1limlim 1,a n 2+→∞→∞+==+得收敛半径R=1, 在端点x=-1处,幂级数成为交错级数nn (1),n 1∞→∞-+∑是收敛的;在端点x= 1处,幂级数成为调和级数n 1,n 1∞→∞+∑是发散的, 因此收敛域为I=[-1,1).[-1,1)每一点x →一个常数项级数→一个和s 所以s 与x 有函数关系 设和函数为s(x),即nn 0x s(x),n 1∞==+∑x ∈[-1,1). 于是n 1n 0x xs(x).n 1+∞==+∑ 利用性质3,逐项求导,[xs(x)]'n 1n=0x ()n 1+∞'=+∑ =n n 0x ∞=∑2n =1x x x (1x 1),+++++-<<11x=-.对[xs(x)]'从0到x 积分, 得到xs(x)x01dx 1x =-⎰ln (1x)=--(-1≤x<1).xs(x)ln (1x)=--(-1≤x<1) s(x)ln(1x)x--=(-1≤x<1) 当x 0≠时,1s(x)ln(1x).x=--当x=0时,0s(0)a 1==, 所以s(x)=1ln(1x),x [1,0)(0,1),x1,x 0.⎧--∈-⎪⎨⎪=⎩第四节 函数展开成幂级数 开始于2013年5月31日20:36:40 前面讨论幂级数的收敛域与和函数的性质, 现在我们要考虑下面的问题给定一个函数f(x),能否把它在某个区间内“展开成幂级数”, 如果能,那么我们就说在该区间内,函数f(x)能展开成幂级数, 在该区间内,幂级数也能表达函数f(x).假设在0U(x )内,函数f(x)能展开成幂级数, 就是2n 01020n 0f(x)a a (x x )a (x x )a (x x ),=+-+-++-+⋅⋅⋅0x U (x )∈(1)根据和函数的性质,f(x)在0U(x )内具有任意阶导数,。
高等数学 第十二章 无穷级数
n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
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综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
高等数学电子教案：第12章 无穷级数
,,n u 则式子1n u u ++叫做无穷级数,记前n 项和为12n u u u =+++，当，即lim n n SS →∞=则称无穷级数收敛，其极限值S 称为级数的和，并记为n u ++； 若n S 没有极限，就称无穷级数发散。
．无穷级数的基本性质n u 收敛于S ，则每一项乘以一个不为零的常数设有两个收敛级数：12n Su u u =++++，1n v v σ=+++()n n u v +±+收敛于和S σ±。
在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化。
收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S 。
常数项级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则当n 趋于无穷大时，它的一般项n u 必趋近|n p u ++<nn n n n a x a x ∞=++=∑这种级数称为幂级数，其中a n (n=0,1,2,…)均为常数。
时，它就变为一个常数项级数。
(x 0≠0)时收敛，则适合不等式|x|<|x 111n n n n n na xna x ∞--=++=∑求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：00)1xnn n n n a x dx a x dx n ∞∞====+∑∑⎰()(!n f x n +，称为拉格朗日余项。
阶泰勒公式中的余项趋于零。
此时函数展开式称为()(0)!n n f x n ++）的麦克劳林级数是x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，=0的某一临域内收敛，它不一定收敛于）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区）都需要进一步验证 1,!nx x n ++-∞<<+∞1211(1),(21)!n n x x n --+-+-∞<<+∞-的展开式2(1)(1)(1),2!!nm m m m m n x x n ---+++++）的展开式：,11n x x +++-<<一般情况下函数展开成幂级数采用间接展开法，即利用简单的函数的展开式、幂级数在收敛域内可逐项求导及可逐项求积分的性质以及变量代换等对复杂函数进行展开。
高数(同济第六版)下册 无穷级数习题精选
解
∞
n →∞
lim
( n +1)! 2n +1
n! 2n
n→∞
n =1
n! 2n
发散。
7. Σ sin n 2
n =1
解
∞
lim sin n 2 不存在，所以 Σ sin n 2 发散。
n →∞ n =1
n
∞
8. Σ ( ( −1n) + 1 ) n
∞
1 n n =1 2
为等比级数，且公比
1 2
< 1 ，所以 Σ
∞
1
n
n =1 2
收敛。因此由比
较判别法 Σ tan 21n 收敛。
n =1
∞
∞
7. 解
n =1 (ln n )
Σ
nln n
n
ln n ln 2 n
lim
n→∞ n→∞
∞
n
nln n (ln n )n n (ln n ) n
ln n
= lim
an +1 an
= 3⋅
tan
π 2 n +1 tan πn 2
，
lim n → ∞
a n +1 an
= 3 ⋅ lim n → ∞
tan
π
π
2n +1 tan πn 2
= 3 ⋅ lim n → ∞
2 n +1 π 2n
=3 >1。 2
π 故由正项级数的比值审敛法可知级数 ∑ 3n ⋅ tan 2 n 是发散的。 n =1
∞
n =1
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发散
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
7
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第十二章
无ห้องสมุดไป่ตู้级数
例 2 证明级数
n 1
也收敛 , 其和为 c S .
n
证: 令 S n
k 1
u k , 则 n c u k c S n ,
k 1
n
lim n
n
cS
这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
11
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n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (1 1) (1 1) 0 , 但
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第十二章
无穷级数
1 1 , n1
1 lim sn lim(1 ) 1, n n n1
级数收敛, 和为1.
10
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第十二章
无穷级数
三、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数 收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1 2 3 n
n 1
是发散的.
证明
n( n 1) sn 1 2 3 n , 2
lim sn ,
n
所以级数 n发散.
n 0
8
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第十二章
无穷级数
例3
判定级数
1 1 1 1 1 2 2 3 n ( n 1) n1 n( n 1)
第十二章
无穷级数
作业：
P258
2，3(2，5)
19
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un i i 1
5
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第十二章
无穷级数
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
3
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第十二章
无穷级数
当 n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
un 收敛 , 这时极限 s 叫做级数 un 的和 . 并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
n
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n
无穷级数
a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
n lim q lim sn 当q 1时, n n
n
所得新级数
n uk l S k n S k
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
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无穷级数
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
不趋于0, 因此这个级数发散.
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无穷级数
注意:
n
lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2n 2
第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
济南大学数学科学学院
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一. 级数的历史
u1 u2 u3 un
18世纪，牛顿等人已经广泛使用级数。 但不讨论收敛性。 欧拉认为
1 1 1 1 1 2
19世纪初，高斯开始讨论级数的收敛性， 1821年，柯西利用极限给出了级数收敛 的定义。
发散.
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性质5 级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: u n S n S n 1 则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
的收敛性.
解
1 1 1 un , n( n 1) n n 1
1 1 1 sn 1 2 2 3 n ( n 1)
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n1
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如果sn 没有极限,则称无穷级数
u
n 1
n 发散.
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即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
n 1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 u n (1) 2 n , vn (1) 2 n 1 ,
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无穷级数
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
n 1
un 的前 k 项去掉,
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二. 常数项级数的定义:
un u1 u2 u3 un n 1
级数的部分和 部分和数列
一般项 (常数项)无穷级数
sn u1 u2 un ui
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
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性质2. 设有两个收敛级数
S
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
n 1
un ,
n 1
vn
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
矛盾! 所以假设不真 .
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2 1 例4 判定级数 n 的收敛性. 2 n1 n
解
1 2 因为 发散， 所以 发散， n1 n n1 n
1 而 n收敛， 原级数发散. n1 2
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S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
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说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)