第12章结构动力学 ppt课件
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《结构动力学》PPT课件
0
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
结构动力学的刚度系数柔度系数通用课件
扭曲刚度系数计算
扭曲刚度系数定义
01
扭曲刚度系数是衡量结构在扭曲载荷下抵抗变形的能力的系数。
扭曲刚度系数的计算公式
02
扭曲刚度系数可以通过结构材料的弹性模量和截面极惯性矩计
算得出。
扭曲刚度系数的物理意义
03
扭曲刚度系数越大，表示结构在扭曲载荷下的变形越小，结构
的抗扭能力越强。
复合受力下的刚度系数计算
分析方法
通过对处理后的数据进行统计分析、曲线拟合、模式识别等，可以进一步分析结构的动力学特性，包括固有频率、 阻尼比等参数。此外，还可以通过对比不同结构的响应数据，评估不同结构的动力学性能。
实验结果及讨论
实验结果
实验测得了不同结构在不同激振条件下的响 应数据，包括加速度和位移。通过对数据进 行处理和分析，得到了不同结构的刚度系数 和柔度系数以及相关的动力学参数。
刚度系数和柔度系数是结构动力学中两个重要的概念，可以反映结构的刚度和柔度性质。
本文通过理论和实例分析，对结构动力学中的刚度系数和柔度系数进行了详细阐述，并介绍了它们在工 程实际中的应用和意义。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，结构动力学的研究领域将不断扩大，对刚度系数和柔度系数 的认识也将更加深入。
复合受力下的柔度系数的计算
复合受力下的柔度系数可以通过结构在复合力作用下的变形量进行计算。
03
复合受力下的柔度系数的影响因素
复合受力下的柔度系数受到材料性质、截面形状、边界条件等因素的影
响。
04
刚度系数与柔度系数的应用
在结构设计中的应用
刚度系数
在结构设计中，刚度系数是用来衡量结构抵抗变形的能力。通过计算和分析刚度 系数，可以确定结构的稳定性、承载能力和振动特性。
结构动力学课件(华中科技大学)
v02
2
y(t)
a
v0 a cos 初始相位角 tan1 y0
v0
T
自由振动总位移：
y0
0
t
a
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
由式: y(t) a sin(t ) 可知
时间经 T 2后 ，质量完成了一个振动周期。
用T 表示周期，周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
动力计算的内容：
1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型 2）荷载的变化规律及其动力反应 （自由振动）
（受迫振动）
13.1.2 动力荷载的分类
1）周期荷载
P(t ) 简谐荷载 t
2）冲击荷载
P(t)
P(t)
P
爆炸荷载1
P
P
一般周期荷载
t
P(t) 爆炸荷载2 P
突加荷载
tr
t
tr
t
t
P(t)
3）随机荷载
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
13.1.2 动力荷载的分类
本课程主要任务是：
求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出
结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依
据。
可靠性设计依据：
安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内 力，作为强度设计的依据；
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
(a)
(b)
(c)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
结构动力计算教学课件PPT_OK
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
4
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
2
2 1,2
1 2
k11 m1
k 22 m2
1
2
k11 m1
k 22 m2
k11k22 k12k21 m1m2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 第二圆频率-------
K1 F
n1 n2 nn
FMYY 0
K Fn自M由度Y体 系作K自由Y振动 的K 0 IM运动Y方程（K柔Y度法）0
将特解带入方
程整理后：
FM
1 2
IX
0
M Y
KY 0
FM
1 2
I
0
频率方程
19
FM
1
2 j
I j
0
j(1) 1
规准化主振型方程
一般的：
n个主振型向量彼此线性无关，
( j 1,2,, n)
n个自由 度体系的
依上式可求得与ωj 相对应 主振型，我们可唯一地确 振型方程
定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅。
N自由度体系有n个主振型，若体系为对称形式，则这些主振型
分为对称及反对称形式两类。
17
主振型的规准化：
为了使主振型的振幅也具有确定值，需另外补充条件， 由此得到的主振型叫规准化主振型。
则系数行列式为零：
K 2 M 0
n个自由度体系 的频率方程
n个频率（按数值大小从小到大排列）： ω1，ω2，---，ωn
令：Xj 表示与频率ωj相对应的主振型向量：
结构动力学-12
2 [k] = 3 2 1 1 8 [m = ] 9 1 0 6 4
4 3 5 6 4
−− 3 −− 5 −− 2 1 −− −− 4
[ X]0
1 0 0 1/ 8 0 1 0 0 0 0 = 1 0 1/1 0 0 0 1 1/ 6 0 0 0 1 0 0 0 1/ 4
§4.5
化广义特征问题为标准特征问题
[k]{X} =ω2[m{X} ]
一.分解质量矩阵
左三角矩阵
[m =[L][L]T ] [k]{X} =ω2[L][L]T {X} [k][L]−T [L]T {X} =ω2[L][L]T {X} {Z} =[L]T {X} [L]−1[k][L]−T {Z} =ω2{Z} [ A{Z} =ω2{Z} ] [A =[L]−1[k][L]−T =[AT ] ]
4.检验收敛条件，不满足从第二步进入下一论计算。 4.检验收敛条件，不满足从第二步进入下一论计算。 检验收敛条件
二.收敛条件
k k− 1 频率： 频率： ω −ω mx ≤ε1 i i a
(i =12 q , L)
一般 振型： 振型：
ε1 =1 −3 0
1 xk −xk− ij ij mx a
≤ε2
− 1 − 1 − 1 i= 1 i= 1 i= 1 n n
n
& & & {y} =[ f ]{P −∑ f ][c]{X}i D −∑ f ][m{X}i D } [ [ ] i i
i= 1
n
nБайду номын сангаас
n
i= 1
{y} =[ f ]{P −∑ }
4 3 5 6 4
−− 3 −− 5 −− 2 1 −− −− 4
[ X]0
1 0 0 1/ 8 0 1 0 0 0 0 = 1 0 1/1 0 0 0 1 1/ 6 0 0 0 1 0 0 0 1/ 4
§4.5
化广义特征问题为标准特征问题
[k]{X} =ω2[m{X} ]
一.分解质量矩阵
左三角矩阵
[m =[L][L]T ] [k]{X} =ω2[L][L]T {X} [k][L]−T [L]T {X} =ω2[L][L]T {X} {Z} =[L]T {X} [L]−1[k][L]−T {Z} =ω2{Z} [ A{Z} =ω2{Z} ] [A =[L]−1[k][L]−T =[AT ] ]
4.检验收敛条件，不满足从第二步进入下一论计算。 4.检验收敛条件，不满足从第二步进入下一论计算。 检验收敛条件
二.收敛条件
k k− 1 频率： 频率： ω −ω mx ≤ε1 i i a
(i =12 q , L)
一般 振型： 振型：
ε1 =1 −3 0
1 xk −xk− ij ij mx a
≤ε2
− 1 − 1 − 1 i= 1 i= 1 i= 1 n n
n
& & & {y} =[ f ]{P −∑ f ][c]{X}i D −∑ f ][m{X}i D } [ [ ] i i
i= 1
n
nБайду номын сангаас
n
i= 1
{y} =[ f ]{P −∑ }
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
结构力学——结构动力学PPT课件
由静止状态考虑一个瞬时冲量的影响。dS FE( )d
FE(t)
dS=FE()d
mdy
dy( ) FE ( )d
m
d
t
dy( ) FE ( ) (d )2
2m
0
瞬时激振作用效果就在于使质点在τ时
t
刻产生一个初速度，而初位移为零。质
点作以此初始条件引起的自由振动。
dy(t) dy0 sin(t )
y 0
2
A0
A1
A2
arctan
y0
y 0
A0 ——振幅（amplitude of vibration）
——初始相位角。
总动力位移
第4页/共65页
4 / 67
第三节 单自由体系自由振动
1、无阻尼的自由振动 ( ＝ 0 )
T
2
f1 T
称周期（振动一次所需的时间） 称工程频率（单位时间内振动次数）
23 / 67
第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法
y
Ae
y
t
s
i
n
(dt
)
发现
1/
衰减性振动；
Ae t
2/ 非周期性振动； 3/ 质点两次通过平衡位
o
t
置的时间间隔相等
2
Td d 准周期
第24页/共65页
24 / 67
第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法 ① 阻尼对自振频率的影响.
第31页/共65页
31 / 67
第四节 单自由体系受迫振动
1、单自由体系受迫振动的一般解
整个加载过程可以考虑成是由一系列瞬时冲量对同一时
结构动力学课件
矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量φi时, 它们的乘 积等于一个数:
Mi Mi
Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.
i Ki Ki
T
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自测题
一、判断题
1. 动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而 且使结构产生不容忽视的惯性力。（ √ ） 2. 动力位移总是要比静力位移大一些。（ ╳ ） 3. 多自由度体系， 刚度系数与柔度系数的关系是： kij=1/δij 。 （ ╳） 4. 图示体系作动力计算时，若不计轴向变形影响则为 m 单自由度体系。（ ╳ ）
F F
t 1
自测题
三、考研题选解
1. 在动力计算中，图a、b所示体系的动力自由度分 别为：（ A ）（4分）（西南交通大学1997年）
A. 1，4
(a)
B. 2，3
(b)
C. 2，2
(c)
D.3，4
(d) (d)
(a)
(b)
(c)
提示:用附加链杆法分析，附加链杆分别如图 c、d， 有几个附加链杆，就有几个自由度。
4. 建立运动方程的方法
基本方法是惯性力法，即在体系的各运动质点上加入惯性力并认 为各质点处于瞬时的平衡状态，采用静力学方法列出运动方程。 y ，速 注意，通常取静平衡位置为位移 y的坐标原点，位移 度 、加速度 y 的正方向取为一致。 y
（1）刚度法
FI (t ) Fc (t ) Fe (t ) Fp (t ) 0 (t ) cy (t ) k11 y(t ) Fp (t ) m y
X (1) X (2) X X (n)
1 X (2) X (1) X ( n ) X ( 1 )
《结构动力学与计算方法-王生》第12章结构振动实验基础(第12章)
一般应考虑的问题
c.下列情况可采用加速度测量： • 高频振动，因而加速度输出较大的场合。 • 在需要分析力、动载荷和应力的地方。因
为加速度是和动载荷有关的。 • 因为空间有限制，或结构本身的尺寸和重
量不大，需考虑采用质量较小的加速度计， 因而需按测量加速度的要求来考虑。
二、振动基本参数的测量
1.简谐振动频率的测量
首先，将结构物在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与振动响应并进行双通道快速傅里叶变换（FFT）分析，得到任意两点 之间的机械导纳函数（传递函数）。
两个频率相同的波形之间的相位差值。
• （3）模拟振动条件，对产品（结构与仪表）进行 首先明确所测参数的定义、测量要求、应测的量列清楚，弄清各量的关系，把分析计算公式事先写好； 耐振性能试验检测，为改进产品设计提供依据。 而支持这个过程的除了激振拾振装置、双通道FFT分析仪、台式或便携式计算机等硬件外，还要有一个完善的模态分析软件包。
模态分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。
• （4）标定试验，即对振动测试用的仪器进行各种 (5)确切弄清各仪器的灵敏系数，必要时应作系统标定。
试验结果可以用来检验理论模型的正确性，修正理论模型；
参数的标定，以确定仪器的使用范围及灵敏度参 振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
模型实验：模型设计 满足相似条件。
(1)利萨如图形法 测量简谐振动的频率。
测量的信号变为电压信号，输入到示波器 的y轴，再用信号发生器输入一个正弦电 压信号，输入到示波器x轴，当它与被测 信号频率相等时，示波器荧屏上即出现 一个椭圆（运动方向垂直的两个简谐振 动的合成运动的轨迹）。
• (2)电子计数电压信号 后输入电子计数器（数字频率计），可直 接读出其频率值。方法简便，具有较高的 精度、稳定性。不仅限与简单的谐波形的 测量。
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§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
§14-3 单自由度结构的自由振动
一、不考虑阻尼时的自由振动
1、振动微分方程的建立
图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重 物的静力平衡位置为计算位移y的原点，规 定位移y和质点所受的力都已向下为正。
(1) 列动力平衡方程（刚度法）
取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。
弹簧拉力(恢复力) Fe=－k11y
(3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动 力反应的前提和准备。
§14-1 概 述
动力荷载的种类
(1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载。
F(t)
o
F(t)=F0sint
t
(2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷。 F(t)
式(b)可写为 yasin t() (c)
简谐振动如图c
a
a —为振幅，表示质点的最大位移； —为初相角。
T 2 π —周期
2 π —角频率或频率 T
f1 T
—工程频率
讨论：结构振动主要由三个参数a、φ和ω 有关。a和φ与外因（初 位移、初速度）有关， ω只与结构特性有关，是结构固有特性，决 定了结构的动力特性，即两个结构只要ω相同，动力反应相同。
§14-3 单自由度结构的自由振动 yy0cots y0si nt
结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移y0引起的，为余弦规律； 一部分是初速度 y0引起的，为正弦规律。如图a、b。
§14-3 单自由度结构的自由振动
令
y0asi n ,
y0
acos
则有 a
y02
y02
2
,
tan
y0
y0 /
§14-3 单自由度结构的自由振动
o td
t
§14-1 概 述
(3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。
F(t)
o td
t
(4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。
§14-1 概 述
(5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。
§14-1 概 述
结构振动的形式
(1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。
梁在振动中的自由度=1
单自由度结构—具有一个自由度的结构。 多自由度结构—自由度大于1的结构。
§14-2 结构振动的自由度
图a所示结构有三个集中质点。 自由度=1
图b所示简支梁上有三个集中质量。 自由度=3
图c所示刚架有一个集中质点。 自由度=2
自由度的数目不完全取决于质点的数目
§14-2 结构振动的自由度
图a所示机器的块式基础，当机 器运转时，若只考虑基础的垂直振 动，可用弹簧表示地基的弹性，用 一个集中质量代表基础的质量。使 结构转化为图示的单自由度结构。
图b所示的水塔，顶部水池较重， 塔身重量较轻，略去次要因素后， 可简化为图示的直立悬臂梁在顶端 支承集中质量的单自由度结构。
实际结构针对具体问题可以进行简化
如图所示在跨中支承集中质量的 简支梁，把质点m拉离原有的弹性平 衡位置，然后突然放松，则质点将在 原有平衡位置附近往复振动。在振动 过程中不受外来干扰，这时的振动即 是自由振动。
(2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。
§14-2 结构振动的自由度
结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独 立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个重量较 大的物体，如果梁本身的自重较小可 略去，把重物简化为一个集中质点， 得到图b所示的计算简图。
惯性力
FI my
质点处于动力平衡状态 FI Fe 0
可得
m yk11 y0
§14-3 单自由度结构的自由振动
命 2 k11
m
则有 y2y0 (a)
上式即为单自由度结构自由振动微分方程
(2) 列位移方程（柔度法）如图c。
质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷 载作用在体系上，则质点处的位移为
yF I1 1 m y 11
对单自由度结构有
k11
1 11
可得与(1)相同的结果 m yk11 y0
或为 y2y0 (a)
§14-3 单自由度结构的自由振动
建立振动微分方程的例：
A
B EI=∞ k
C m
2l
l
§14-3 单自由度结构的自由振动
建立图示体系的振动微分方程：
F(t) m
EI
l
2l
§14-3 单自由度结构的自由振动