【精选】高一数学下学期第三次月考试题
湖北省武汉市江夏区第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
=
2
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般
好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，
已知函数 y = f ( x) 的部分图象如图所示.则 y = f ( x) 的解析式可能是（ ）
( ) A．
f
(x)
=
sin (p x)
2 3x + 3- x
( ) B．
f
(x)
=
cos(p x)
2 3x - 3-x
( ) C． f ( x) =
3x + 3-x sin (p x)
2
( ) D． f ( x) =
3x - 3-x cos (p x)
2
试卷第11 页，共33 页
5．如图所示，在 VABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的
16．已知向量
ar
，
r b
的夹角为
60o
，且
ar
=
(1,
0)
.
（1）若
r b
r = 2 ，求 b
的坐标；
( ) ( ) （2）若
ar
+
r b
^
ar
-
r b
，
l
Î
R
，求
ar
+
r lb
的最小值.
17．设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c ，设S 为△ ABC 的面积，满足
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
成都高2023级高一（下期）学科素养检测数学试题（答案在最后）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列各式中，值为12的是（）A.22cos 151︒- B.2sin75cos75︒︒C.cos18cos42sin18sin42︒︒+︒︒ D.tan30tan151tan30tan15︒+︒-︒︒【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【详解】22cos 151cos302︒-=︒=，故A 错误；12sin75cos75sin150sin302︒︒=︒=︒=，故B 正确；()()1cos18cos42sin18sin42cos 1842cos 242︒︒+︒︒=︒-︒=-︒≠，故C 错误；()tan30tan15tan 301511tan30tan15︒+︒=︒+︒=-︒︒，故D 错误，故选:B.2.已知向量(2,1)a =- ，(,3)b m = ，且//a b，那么a b - 等于（）A.(8,2)--B.7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.(4,2)- D.1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求a b -的坐标.【详解】由题设321m =-，故6m =-，则(2,1)(6,3)(4,2)a b -=---=-.故选：C3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.已知函数()()πsin R,0,02f x A x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则正数A 值为（）A.B.2C.D.32【答案】B 【解析】【分析】根据图像可得函数的周期，从而可求ω，再根据对称轴可求ϕ，结合图像过()0,1可求A .【详解】由图像可得11π5π2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故2π2πω==，而16π2π1223x ==时，函数取最小值，故2π3π22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，故π2π,Z 6k k ϕ=+∈，而π02ϕ<<，故6πϕ=，因为图像过()0,1，故16πsin A =，故2A =，故选：B.5.函数cos |tan |y x x =⋅（3π02x ≤<且π2x ≠）的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可将函数化简为πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，从而可求解.【详解】由题意cos ·tan y x x =，3π02x ≤<，化简得πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，根据函数sin y x =的图象和性质，可得cos ·tan y x x =在π02x ≤<内为增函数且y 为正值，在ππ2x <<内为增函数且y 为负值，在3ππ2x ≤<内为减函数且y 为负值，故C 正确.故选：C.6.在ABC 中，π1,4,3AB AC BAC ==∠=，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC ⋅ 的值为（）A.163-B.163C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】利用AB 、AC表示向量AD 、BC ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅ 的值.【详解】如下图所示：()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，由平面向量数量积的定义可得π1cos 14232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯=，因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- ()22116422133=⨯+-⨯=.故选：B.7.已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+ 在向量a上的投影向量为2a，则λ=（）A.2-B.2C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】a b λ+ 在向量a 上的投影向量为()22a b a a a a λ+⋅=⇒()22a b a aλ+⋅= .⇒()2o 1cos1201222a b a a a b λλλλ+⋅=+⋅=-=⇒=-.故选：A8.已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()π2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为（）A.443 B.563C.463D.203【答案】A 【解析】【分析】由已知条件得出周期的范围，即得ω的范围，由()()2πf x f x -=-得函数图象的一个对称中心是π(,0)4，则44,Z 3k k ω=-∈，结合ω的范围可得答案.【详解】函数的最小正周期为2πT ω=，则2πT ω=，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，π3ππ66-=，所以262π3T T ≤<，即ππ3π6ωω≤<，解得618ω≤<，因为()()2πf x f x -=-，所以)πππ()[()]π2(444f x f x f x +=--=--，所以点π(,0)4是函数图象的一个对称中心，则π()sin()0ππ443f ω=+=，得ππ,Z π43k k ω+=∈，即44,Z 3k k ω=-∈，因0ω>，则*N k ∈，且ω随k 的增大而增大，当4k =时，44183ω=<，当5k =时，18563ω=>，则ω的最大值为443.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a =，(cos ,sin )b αα= ，则下列结论正确的是（）A.若//a b，则tan α=B.若a b ⊥ ，则3tan 3α=-C.若a与b的夹角为π3，则||3a b -= D.若a与b 方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是13(,)22--【答案】ABD 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；利用垂直的坐标表示判断B ；利用数量积的运算律求解判断C ；求出投影向量的坐标判断D.【详解】向量a =，(cos ,sin )b αα= ，对于A ，由//a b，得sin αα=，因此tan α=，A 正确；对于B ，由a b ⊥cos 0αα+=，因此tan 3α=-，B 正确；对于C ，a 与b的夹角为π3，||2,||1a b == ，12112a b ⋅=⨯⨯= ，因此||a b -== ，C 错误；对于D ，a 与b 方向相反，则b 在a上的投影向量为211,||222a b a a a ⎛⎫⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD10.设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，若对任意的,64ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是（）A.136ω=B.116ω=C.54ω=D.34ω=【答案】ACD 【解析】【分析】利用换元思想转化为cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，则需满足79222ππωϕπ+< ，进而根据ϕ的取值范围得到ω的取值范围即可．【详解】解：设t x ωϕ=+，则2ϕπωϕ+ ，所以cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知79222ππωϕπ+< ，所以974242ϕϕωππ-<- ，又[,]64ππϕ∈，所以97644224ππωππ-<- ，即53817ω< ，满足的只有B ，故选：ACD ．11.下列结论正确的是（）A.2(sin2cos2)14sin4ααα-=-B.1sin347cos148sin77cos582+=C.1sin2cos2tan 1sin2cos2θθθθθ+-=++D.若3cos25θ=，则4417sin cos 25θθ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.【详解】222s (sin c 2cos2)1s sin 2co 2s in 2in 2os 24ααααααα==+---，故A 错误；()sin347cos148sin77cos58sin13cos32cos13sin 32sin 13322+=︒︒+︒︒=︒+︒= ，故B 错误；221sin2cos22sin 2sin cos tan 1sin2cos22cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ+-+==+++，故C 正确；若3cos25θ=，则()()2442222221117sin cos sin cos 2sin cos 1sin 211cos 22225θθθθθθθθ+=+-=-=--=，故D 正确；故选：CD12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B.若2OA OB == ，56AOB π∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C.若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D.若ABC 的垂心O 在ABC 内，AD ，BE ，CF 是ABC 的三条高，则0OD OE OF OA OB OC AD BE CF⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD 【解析】【分析】运用奔驰定理，结合三角形内心、垂心的性质可判断个选项的对错.【详解】对A ：由奔驰定理得，A 对；对B ：因为15π22sin 126C AOB S S ==⨯⨯⨯= ，且::2:3:4A B C S S S =，所以2391444A B C S S S ++=++=即94ABC S = ，故B 错误；对C ：设ABC 内切圆半径为r ，3450OA OB OC ++=⇒::3:4:5A B C S S S =，所以111·:·:·3:4:5222BC r AC r AB r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即::3:4:5a b c =，所以ABC 为直角三角形，且π2C ∠=，故C 对；对D ：因为O 为ABC 的垂心，且AD 为BC 边上的高，所以OBC A ABC ABC S S OD AD S S == ，同理B ABCS OEBE S = ，C ABCS OFCF S = ，所以OD OE OF OA OB OC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 0A B C ABCS OA S OB S OC S ⋅+⋅+⋅=，故D 对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：正确运用给出的奔驰定理，是解决该问题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为______.【答案】0x >且2x ≠【解析】【分析】根据已知可得0a b ⋅>，且,a b 不共线，求解即可.【详解】向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，由a b∥得，()1(4)0x x ⨯--⨯-=，所以2x =±.由已知得，π0,2a b << ，所以cos ,0a b a b a b ⋅=>，即0a b ⋅> ，且,a b 不共线.则()()1450a b x x x ⋅=⨯+-⋅-=>，所以0x >.又,a b不共线，则2x ≠±.所以x 的取值范围为0x >且2x ≠.故答案为：0x >且2x ≠.14.已知ππ,,42k k Z αβαβπ⎛⎫+=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则()()1tan 1tan αβ--=__________.【答案】2【解析】【分析】根据两角和的正切公式，化简得到tan tan tan tan 1αβαβ+=-，代入即可求解.【详解】因为π4αβ+=-，可得tan tan πtan()tan()11tan tan 4αβαβαβ++==-=--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-，由()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan 2αβαβαβ--=-++=.故答案为：2.15.设函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ∈R .若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 的增区间是__________.【答案】πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】先根据条件，求出函数的解析式，再求函数的增区间.【详解】由题意：π6f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值，所以π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62m ϕ⨯+=+，m ∈Z ⇒π2π6m ϕ=+，m ∈Z .由πππ2π22π2π262n x m n -+≤++≤+（,Z m n ∈）⇒()()πππ2π36n m x n m -+-≤≤+-（,Z m n ∈）.可记为πππ2π36k x k -+≤≤+，Z k ∈.故答案为：πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=-②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA =④当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为则上面叙述正确的是________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合条件可得,ωϕ的值，从而求得函数()f x 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，6R ==，120T =，所以2ππ60T ω==，又点(3,A -代入()f t 可得6sin ϕ-=，解得sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故①正确；因为()ππ6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈时，πππ2π,60333t ⎛⎤-=∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f t 先增后减，故②错误；当100t =时，ππ4π6033t -=，P 的纵坐标为y =-3x =-，所以336PA =--=，故③正确；当(]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故④错误；所以说法正确的是①③故答案为:①③四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，且2,BE EA AD =与CE 交于点O ，设AO AD λ= .（1）求λ的值；（2）当5,3AB AC ==时，求AO BC ⋅ 的值.【答案】（1）12λ=（2）4-【解析】【分析】（1）根据三点共线的知识求得λ.（2）根据向量数量积的运算求得AO BC ⋅.【小问1详解】依题意()1113122222AO AD AB AC AB AC AE AC λλλλλλ==⨯+=+=+ ，由于,,E O C 三点共线，所以31121,222λλλλ+===.【小问2详解】由（1）得12AO AD = ，所以()()111222AO BC AD BC AB AC AC AB ⋅=⋅=⋅⋅+⋅- ()()22221135444AC AB =-=-=- .18.已知在平面直角坐标系xOy 中，向量()3,4a =r ．（1）若向量b 满足10b = ，且b a ⊥r r ，求b 的坐标；（2）若向量c 满足c = ，且a 与c 的夹角为6π，求2a c - 与a 的夹角的余弦值．【答案】（1）()8,6b =- 或()8,6b =-r（2）13-【解析】【分析】(1)先假设b 的坐标，再根据条件列方程即可；(2)先假设c 的坐标列方程求出代数关系，再用数量积的方法求夹角.【小问1详解】设(),b m n = ，则有22100340m n m n ⎧+=⎨+=⎩解得86m n =±⎧⎨=⎩ ，即()8,6b =- 或()8,6b =-r ；【小问2详解】设(),c x y =，则有2212345cos 6x y x y π⎧+=⎪⎨+=⨯⎪⎩，得22123415x y x y ⎧+=⎨+=⎩…①()232,42a c x y -=-- ，设向量2a c - 与a 的夹角为θ，则有：()2cos 2a a c a a c θ--+--+==-将①代入上式得cos 13θ=-；综上，()8,6b =- 或()8,6b =-r ，2a c - 与a 夹角的余弦值为1313-.19.在条件：①()()2sin 2024πcos 2024παα-=+；②sin cos 5αα+=-；③4sin 25α=-中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知()0,πα∈，且满足条件___________.（1）求3sin 4cos cos sin αααα+-的值；（2）若,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，求αβ+的值.【答案】（1）53（2）7π4【解析】【分析】（1）根据条件，先求出tan α，再求齐次式的值.（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.【小问1详解】若选①，则原式可化为：2sin cos -=αα⇒1tan 2α=-.若选②，则22sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.若选③，则2242sin cos 5sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.所以总有1tan 2α=-.所以1343sin 4cos 3tan 4521cos sin 1tan 312αααααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭===--+.【小问2详解】由（1）可知，sin α，cos 5α=-，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，所以10sin 10β=，所以：()π,2παβ+∈，且()cos αβ+cos cos sin sin αβαβ=-25310510510510⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22=.所以7π4αβ+=.20.已知向量(cos ,sin )a x x =，,2cos )b x x x =- ，设函数()f x a b =⋅ .（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间[0,]π上的最大值为6，求实数a 的值.【答案】（1）π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）3-或【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求()f x 的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由已知可求()2sin 22(sin cos )g x x a x x =+-，利用换元πsin cos )4t x x x =-=-，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．【小问1详解】因为(cos ,sin )a x x = ，,2cos )b x x x =- ，所以22()2sin cos =sin22f x a b x x x x x x =⋅=+ π=2sin(2)3x +由ππ32π2π2π,Z 232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈【小问2详解】πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 2sin()2sin 22(sin cos )2x a x a x x a x x =+-+=+-，令πsin cos 4t x x x =-=-，因为[0,]x π∈，所以ππ[,]444x 3π-∈-，[t ∈-且2sin 21x t =-，所以2222(1)22()222a a y t at t =-+=--++，当2a >即a >t =时y 有最大值，此时26-+=，解得a =不合题意；当12a -≤≤即2a -≤≤，当2a t =时y 有最大值，此时2262a +=，解得a =当12a ->即2a <-，当1t =-时y 有最大值，此时26a -=，解得3a =-符合题意；综上，a 的值为3-或21.如图，扇形OPQ 的半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，点C 是圆弧PQ 上的动点（不与P Q 、点重合），现在以动点C 为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13，则称这两个四边形为“和谐四边形”.试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.【答案】截出的这两个四边形为“和谐四边形”，理由见解析【解析】【分析】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，用三角函数表示ABCD S AB BC =⋅四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由三角函数的性质即可求出ABCD S 四边形的最大值，方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，用三角函数表示出ΔΔ1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭四边形，由三角函数的性质即可求出OPCQ S 四边形的最大值，得出13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形即可得出结论.【详解】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则sin cos AD BC OB θθ===，，又tan 3AD OA π=，所以tan 3AD OA π==，cos AB OB OA θ∴=-=-，211cos2cos sin sin cos sin222ABCD S AB BC θθθθθθ-⎛∴=⋅=⋅=⋅= ⎝四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 6ABCD S ∴=四边形；方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，则sin CM θ=，sin 3CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ 四边形，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 12OPCQ S ∴=四边形；1326ABCD OPCQ S S --== 四边形四边形，而3110636--=<，即13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”.22.已知函数()sin cos f x x x =-．（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集；（2）设函数()()3ln 2F x f x x =+；（i ）证明：()y F x =有且只有一个零点；（ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211ln sin 2333x x -<+<．【答案】（1）π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）（i ）证明见详解（ii ）证明见详解【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可（2）（i ）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii ）然后利用换元法求值域即可证明.【小问1详解】22sin cos cos 2cos sin ααααα-==-所以(cos sin )(sin cos 1)0αααα-++=.所以cos sin 0αα-=或sin cos 1αα+=-当sin cos 0αα-=时,cos 0α≠，则tan 1α=，又[0,2π]x ∈，所以π5π,44x =当sin cos 1αα+=-，则π2sin 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又ππ9π[0,2π],,444x x ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦.所以π5π44x +=或7π4，所以3ππ,2x =所以方程()cos 2f αα=在[0,2π]上的解集为π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭【小问2详解】（i ）设3π3()sin cos ln ln ,(0,)242F x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈+∞ ⎪⎝⎭当3π0,4x 纟çÎúçú棼，则πππ,442x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，此时π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增3ln 2y x =在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦也单调递增，所以()F x 在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增π3ππππ3π3πln 0,ln 1ln 04242242222F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=-+=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()F x 在3π0,4x 纟çÎúçú棼时有唯一零点当3π5ππ3,0,ln 04442x x x ⎛⎫⎛⎫∈->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x >所以()F x 在3π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭没有零点当5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，5π53e 44>⨯>，所以33ln 22x >>()0F x >所以()F x 在5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭没有零点综上,3()sin cos ln 2F x x x x =-+在(0,)+∞有唯一零点0x （ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，所以0003sin cos ln 02x x x -+=，且0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0002ln cos sin 3x x x =-所以()()00000000012122ln sin 2cos sin sin 2cos sin sin cos 33333x x x x x x x x x +=-+=-+令000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(1,0)t ∈-又20012sin cos t x x =-，则2001sin cos 2t x x -=所以220012211221ln sin 2(1),33323333t x x t t -⎛⎫+=+⋅=--+∈- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究.。
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一(下)第三次月考数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一（下）第三次月考数学试卷1. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,−2)D. (4,2)2. 下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 3. sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘的值为( ) A. 12B. √32C. −12D. −√324. 将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(4x −7π12) B. y =sin(4x −5π12) C. y =sin(x +5π12) D. y =sin(x +π12)5. 下列命题正确的有( )A. ∃α，β使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立B. ∀α，β都有tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβC. 已知α，β为第一象限角，若α>β，则sinα>sinβD. 若sinα+cosα=√32，则角α是第一象限角6. 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体．通过大量的人体力学实验得知当“智慧立方系数“=12√2V−√3S+5aa∈[4,7]时尺寸最适合3−6岁的小朋友把玩，其中V 是正四面体的体积，S 是正四面体的表面积．则棱长a 尺寸最合适范围是( )A. [0.5,2]B. [0.5,1]C. [0.5,2.5]D. [1,2]7. 如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，AB =4，BC =3，∠ABC =60∘，则△ACD的面积为( )A. √36 B. √32C. 5√36 D.7√368. 在△ABC 中，AB =5，AC =4，∠BAC =60∘，D 为BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CE 与AD 交于点P ，则cos∠DPE =( )A. 45 B. √61122 C.√241482D. 24259. 已知复数z ，z 1，z 2，下列命题错误的有( ) A. 若z =z 1⋅z 2，则|z|=|z 1|⋅|z 2| B. 若z 1⋅z 2∈R ，那么z 1+z 2∈R C. 若z 1+z 2∈R ，那么z 1⋅z 2∈R D. 若|z 1⋅z 2|=1，那么z 1=1z 210. 函数f(x)=sin2x1+cos2x ，则( ) A. f(x)的值域为RB. f(x)在(π,2π)上单调递增C. f(x)有无数个零点D. f(x)在定义域内存在递减区间11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，CC 1，C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A. AC 1//MNB. 直线PQ//平面A 1BC 1C. 正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D. 点Q 的轨迹长度为2π12. 已知△ABC 中，AB =AC =√2,BC =2,D 是边BC 的中点，动点P 满足PD =1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x+y的值可以等于2B. x−y的值可以等于2C. 2x+y的值可以等于−1D. x+2y的值可以等于313. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=3sinC，则a+b=______，ccosA=______.14. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______ ；该圆锥的体积为______ .15. f(x)=sin(x+θ)⋅cosx为奇函数，那么θ的一个取值为______.16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1；点E，F分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD−A1B1C1D1外接球表面积为______；三棱锥的D1−BEF外接球的体积为______.17. 已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足a⃗=(1,−√3)，|b⃗ |=2，|c⃗|=1.(1)若a⃗与b⃗ 共线，求向量b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+c⃗ )⊥(a⃗−3c⃗ )，求向量a⃗，c⃗的夹角．18. 正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；(2)棱锥的表面积与体积．19. 已知函数f(x)=asin(π2x +φ)(a >0,0<φ<π)的图象如图，其中A ，B 分别为最高点和最低点．C ，D 为零点，M(0,√3),S △ABD =4. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)的值．20. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)设AA 1=AC =CB =2，AB =2√2，求几何体BDC −A 1B 1C 1的体积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作AB ⊥AD ，使得如图所示的四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3.(1)求B；(2)求BC的取值范围．22. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,1),n⃗=(√3cosx,−1).令函数f(x)=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ .2(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅰ)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=2+4ii =(2+4i)i−1=4−2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是(4,−2)，故选C.由题意可得z=2+4ii，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4−2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；对于C，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；对于D，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误．故选：C.棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误；棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，C正确．本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．结合诱导公式与两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘=cos13∘cos43∘+sin13∘sin43∘=cos(13∘−43∘)=cos(−30∘)=√32.故本题选B.4.【答案】B【解析】解：将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，可得y =sin(4x +π4)的图象；然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是y =sin(4x −4π6+π4)=sin(4x −5π12)， 故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：选项A ，当α=β=0时，sin(α+β)=0，sinα+sinβ=0，即选项A 正确； 选项B ，当α=β=π4时，等式两边均没有意义，即选项B 错误；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，满足α，β为第一象限角，且α>β，所以sinα=12，sinβ=√32，此时sinα<sinβ，即选项C 错误； 选项D ，若sinα+cosα=√32，即√2sin(α+π4)=√32，所以sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角，即选项D 错误． 故选：A.选项A ，取特殊值，α=β=0，代入运算，可判断； 选项B ，取特殊值，当α=β=π4时，等式两边均没有意义； 选项C ，取α=2π+π6，β=π3，代入运算，可判断；选项D ，由辅助角公式，可得sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角．本题考查三角函数中的综合问题，熟练掌握特殊角的三角函数值，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图正四面体ABCD 中，H 是△BCD 的中心，则AH 是高，AH ⊥DH ，正四面体棱长为a ，则S △BCD =√34a 2，DH =23×√32a =√33a,AH =a −(√33a)=√63a ， V =13×√34a 2×√63a =√212a 3,S =4S △BCD =√3a 2，所以12√2V−√3S+5a a=12√2×√212a 3−√3×√3a 2+5aa =2a 2−3a +5，由4≤2a 2−3a +5≤7，又a >12，因此解得1≤a ≤2. 故选：D.求出正四面体的体积和表面积，计算出12√2V−√3S+5aa，然后解相应不等式可得． 本题考查了正四面体的体积和表面积，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∵AB =4，BC =3，∠ABC =60∘， ∴由余弦定理得AC =√42+32−2×4×3×12=√13， 由正弦定理，得BD =ACsin∠ABC=√13sin60∘=2√393， 在Rt △ABD 和Rt △BCD 中，AD =√BD 2−AB 2=√523−16=2√33， CD =√BD 2−BC 2=√523−9=5√33， ∵∠ADC =180∘−∠ABC =120∘，∴△ACD 的面积为S =12×2√33×5√33×√32=5√36. 故选：C.先在△ABC 中利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD ，CD ，再利用三角形的面积公式进行求解．本题考查三角形的面积的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵D 为BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )， ∵点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −b ⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=14(25+2×5×4×12+16)=614，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(45a ⃗ −b ⃗ )2=1625a ⃗ 2−2×45a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−16+16=16， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )⋅(45a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ 2−110a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=1， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴cos∠DPE =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612⋅4=√61122. 故选：B.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，利用向量法可求cos∠DPE. 本题考查向量法在解三角形的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，由复数模的运算性质可知，|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|，即|z|=|z 1|⋅|z 2|，故选项A 正确；对于B ，由复数的定义可得当z 1⋅z 2∈R 时，z 1+z 2不一定属于R ，如z 1=i ，z 2=i ，z 1⋅z 2=−1∈R ，z 1+z 2=2i ∉R ，故选项B 错误；对于C ，若z 1+z 2∈R ，可举例z 1=i ，z 2=−i ，则z 1+z 2=0∈R ，但z 1⋅z 2∉R ，故选项C 错误； 对于D ，若|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|=1，可举例z 1=−i ，z 2=−i ，但z 1=z 2≠1z 2，故选项D 错误． 故选：BCD.利用复数模的运算性质判断选项A ，由复数的定义可判断B ，由特殊例子判断选项C ，D. 本题考查了复数的综合应用，涉及了复数模的运算性质、虚数的定义、复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin2x1+cos2x =2sinxcosx2cos 2x =tanx ，(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，其值域为R ，故A 正确； 在(π,2π)上，f(3π2)不存在，B 错误；显然f(kπ)=0，k ∈Z ，零点为x =kπ，k ∈Z 有无数个，C 正确；在定义域内每一个区间(kπ−π2,kπ+π2)，k ∈Z 上，函数都是增函数，无减区间，D 错误． 故选：AC.利用二倍角公式，同角关系化简函数式，再根据正切函数性质即可判断得解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简中的应用，考查了正切函数性质，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：连接AC1，BC1，取BC1中点H，连接MH，易得AC1//MH，则AC1MN不平行，A错误；如图，取棱D1A1，A1A，BC的中点E，F，G，易得MF//NP，M∈平面MNP，则MF⊂面MNP，同理可得EF，EP，GM，GN⊂平面MNP，即正六边形EFMGNP为正方体被平面MNP截得的截面，C正确；由C选项知：平面MNP即平面EFMGNP，易得FM//A1B，又FM⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，则FM//平面A1BC1，同理可得NG//平面A1BC1，又NG//PM，则PM//平面A1BC1，PM∩FM=M，则平面EFMGNP//平面A1BC1，又PQ⊂平面EFMGNP，则直线PQ//平面A1BC1，B正确；连接DB1，易得DB1与平面EFMGNP交于正方体的体心O，连接DB，易得DB⊥MG，又B1B⊥平面ABCD，MG⊂平面ABCD，则B1B⊥MG，又DB，BB1⊂平面DBB1，DB∩BB1=B，则MG⊥平面DBB1，DB1⊂平面DBB1，则MG⊥DB1，同理可得GN⊥DB1，又MG，GN⊂平面MNP，MG∩GN=G，则DB1⊥平面MNP，OQ⊂平面MNP，则DB1⊥OQ，又DO=12DB1=12×√4+4+4=√3，则OQ=√DQ2−DO2=1，即点Q的轨迹为以O为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确． 故选：BCD.取BC 1中点H ，由AC 1//MH 即可判断A 选项；取棱D 1A 1，A 1A ，BC 的中点E ，F ，G ，由EF ，EP ，GM ，GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP//平面A 1BC 1，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接DB 1，先判断DB 1⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项．本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连接AD ，∵AB =AC ，D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BC ， 以D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =1，∴A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)， ∵PD =1，∴点P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆， ∴设点P 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈R)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(cosθ,sinθ−1)=x(−1,−1)+y(1,−1)， ∴{cosθ=−x +y sinθ−1=−x −y ， ∴{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2， A .x +y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ2=1−sinθ∵−1≤sinθ≤1，∴0≤1−sinθ≤2，即0≤x +y ≤2，故A 正确； B .x −y =1−sinθ−cosθ2−1−sinθ+cosθ2=−cosθ，∵−1≤cosθ≤1，∴−1≤−cosθ≤1，即−1≤x −y ≤1，即−1≤x −y ≤1， ∴x −y 的值不可以为2， 故B 错误C .2x +y =1−sinθ−cosθ+1−sinθ+cosθ2=32−32sinθ−12cosθ=32−√102sin(θ+φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，32−√102≤32−√102sin(θ+φ)≤32+√102，即32−√102≤2x +y ≤32+√102， ∵32−√102+1=5−√102>0，3105−V10∴32−√102>−1，∴2x +y 的值不可以等于−1， 故C 错误， D .x +2y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ=32−32sinθ+12cosθ=32−√102sin(θ−φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ−φ)≤1， ∴32−√102≤32−√102sin(θ−φ)≤32+√102，即32−√102≤x +2y ≤32+√102，∵32−√102<3<32+√102，∴x +2y 的值可以等于3，故D 正确， 故选：AD.以点D 为原点、边BC 为x 轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cosθ,sinθ)，利用平面向量的坐标运算得到{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2，再结合角的范围逐一验证各选项． 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．13.【答案】616【解析】解：由正弦定理及sinA =sinB =3sinC ，得a =b =3c ，所以a+bc =6， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=9c 2+c 2−9c 22⋅3c⋅c=16.故答案为：6；16.利用正弦定理化角为边，可得a=b=3c，从而知a+bc的值，再利用余弦定理，可得cosA的值．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，解得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为l=2r=2，圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π.故答案为：2，√3π3.根据圆锥的结构特征，求出底面圆半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】0(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)为奇函数，则f(0)=sinθ=0，θ=kπ，k∈Z，当θ=kπ，k∈Z时，k为偶数时，f(x)=sinxcosx=12sin2x，是奇函数k为奇数时，f(x)=−sinxcosx=−12sin2x，是奇函数，所以θ的一个值为0.故答案为：0(答案不唯一).由奇函数的性质f(0)=0，求出θ，代入检验后可得结论．本题主要考查函数奇偶性的性质，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】6π11√11π6【解析】解：长方体对角线长为l=√22+12+12=√6，所以长方体外接球半径为R=l2=√62，表面积为S=4π×(√622)=6π；如图，G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，则GHIJ是矩形，平面GHIJ//平面CDD1C1，E，F分别是AB，CD中点，则EF//AD，而AD⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面GHIJ，而EF⊂平面D1EF，EF⊂平面BEF，所以平面D1EF⊥平面GHIJ，平面BEF⊥平面GHIJ，由EF⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，得EF⊥D1F，而EF⊥EB，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，则N，M，Q分别是D1E，BF，EF的中点，所以N，M分别是ΔD1EF和△EFB的外心，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，由EF⊥平面CDD1C1，得EF⊥PNEF⊥PM，而NQ∩EF=Q，NQ，EF⊂平面D1EF，所以PN⊥平面D1EF，同理PM⊥平面BEF，所以P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，四边形PMQN是圆内接四边形，由长方体性质知∠NQH=∠D1FD=π4，所以∠NQM=3π4,NQ=12D1F=√22,MQ=12，MN=√1 2+14−2×√22×12×cos3π4=√52，由PM⊥平面BEF，BM⊂平面BEF，得PM⊥BM，PQ=MNsin∠NQM =√52sin3π4=√102,PM=√PQ2−QM2=32，BM=12BF=√22，所以PB=√PM2+BM2=√112，所以三棱锥的D1−BEF外接球的体积为V=4π3×(√1132)=11√116π.故答案为：6π;11√116π.求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，可证明EF⊥平面GHIJ，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，证得P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，在四边形PMQN中求得四边形外接圆直径，然后求出PN，再求出三棱锥的D1−BEF 外接球的半径后可计算体积．本题考查了长方体外接球的表面积和三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)设b⃗ =(x,y)， 由题意得−√3x −y =0，x 2+y 2=4， 解得x =12，y =−√32或x =−12，y =√32，所以b ⃗ =(12,−√32)或(−12,√32)；(2)若(2a ⃗ +c ⃗ )⊥(a ⃗ −3c ⃗ )，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ −3c ⃗ )=2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3c ⃗ 2=0， 所以8−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3=0， 所以a ⃗ ⋅c ⃗ =1， 设向量a ⃗ ，c ⃗ 的夹角θ， 所以cosθ=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ ||c ⃗ |=12×1=12，由θ∈[0,π]，得θ=π3.【解析】(1)由已知结合向量共线定理的坐标表示可求； (2)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设SO 为正四棱锥S −ABCD 的高，则SO =1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连结OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC =4，BM =2，则OM =2,OB =2√2， 在Rt △SOD 中，SB =√SO 2+OB 2=√1+8=3， 在Rt △SOM 中，SM =√5， ∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为√5.(2)棱锥的表面积：S =S 正方形ABCD +4S △SBC =4×4+4×(12×4×√5)=16+8√5 几何体的体积为：13×4×4×1=163 【解析】(1)直接利用公式计算； (2)直接利用公式计算；本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(π2x +φ)，∴周期T =2ππ2=4，∴CD =T 2=2，∴S△ABD=12×CD×(y A−y B)=12×2×2a=4，∴a=2，∴f(x)=2sin(π2x+φ)，又M(0,√3)，∴f(0)=2sinφ=√3，∴sinφ=√32，又M为上升点，且0<φ<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π2x+π3)；(2)由(1)知f(x)的周期为4，又2023=4×505+3，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]×505+f(0)+f(1)+f(2)=(√3+1−√3−1)×505+(√3+1−√3)=1.【解析】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图形与性质，由三角函数的周期性求和，考查了方程思想与化归转化思想，属于中档题．(1)根据三角函数的周期，振幅，三角形面积，y轴交点建立方程即可求解；(2)通过函数的周期性即可求解．20.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于E，连接ED，如图，则E是AC1中点，又D是AB中点，所以ED//BC1，又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；解：(2)因为AC =BC =2,AB =2√2，所以AC ⊥BC ， 所以S △ABC =12×2×2=2,S △ACD =12S △ABC =1， V BCD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD =2×2−13×1×2=103. 【解析】(1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接ED ，证明ED//BC 1后得证线面平行； (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A 1−ACD 的体积可得． 本题考查了线面平行的证明和几何体的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12acsinB =−√3accosB ， 即sinB =−√3cosB ，可得tanB =−√3， 因为B ∈(0,π)，所以B =2π3.(2)设∠BAC =θ，则∠CAD =π2−θ，∠CDA =θ+π6， 在△ACD 中，由正弦定理得ACsin∠ADC =ADsin∠ACD ， 可得AC =ADsin∠ADCsin∠ACD=√3⋅sin(θ+π6)sin π3=2sin(θ+π6)，在△ABC 中，由正弦定理得ACsinB =BCsinθ，∴BC =√3+π6)sinθ=√3(√32sin 2θ+12sinθcosθ)=√3−√3cos2θ)+1 =2√33sin(2θ−π3)+1，因为0<θ<π3，可得−π3<2θ−π3<π3，当2θ−π3=π3时，即θ=π3，可得2√33sin π3+1=2， 当2θ−π3=−π3时，即θ=0，可得2√33sin(−π3)+1=0， 所以BC 的取值范围是(0,2).【解析】(1)利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．(2)利用正弦定理，三角恒等变换得到BC =2√33sin(2θ−π3)+1，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵m →=(sinx,1),n →=(√3cosx,−12)，∴m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(sinx +√3cosx,12)，∴f(x)=sinx(sinx+√3cosx)+1 2=sin2x+√3sinxcosx+1 2=1−cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最大值为2；(Ⅰ)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得f(C)=sin(2C−π6)+1=2，即sin(2C−π6)=1，∵0<C<π，解得C=π3，则CD=f(C)=2，在△ACD中，由CDsinA =ADsin12C，可得AD=1sinA，在△BCD中，由CDsinB =BDsin12C，可得BD=1sinB，∴c=1sinA +1sinB，在△ABC中，asinA =bsinB=csinC=1sinA+1sinB√32=2√33(1sinA+1sinB)，则可得a=2√33(1+sinAsinB),b=2√33(sinBsinA+1)，则3a+b=2√3(1+sinAsinB )+2√33(sinBsinA+1)=2√3⋅sinAsinB+2√33⋅sinBsinA+8√33，∵sinA>0，sinB>0，∴3a+b≥22√3⋅sinAsinB ⋅2√33⋅sinBsinA+8√33=4+8√33，当且仅当√3sinA=sinB等号成立，故3a+b的最小值为4+8√33.【解析】(Ⅰ)根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简f(x)，根据正弦函数的值域可得结果；(Ⅰ)根据条件求得c，C，由正弦定理表示a，b，利用基本不等式求解．本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．。
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
湖北省普通高中高一下学期三月份月考数学试题含答案
湖北省普通高中高一下学期三月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对 2.已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88 D.0.953.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解 4.已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定5.已知数列1234,,,,2345，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.237.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则 sin α＝( )．A.3365B.6365 C ．－3365D.－63658.函数2sin()cos()()36y x x x ππ=--+∈R 的最小值等于( )A.3-B.2-C.5-D.1- 9.化简cos 20cos351sin 20=-( )A.1B.2C.2D.310.在数列{}n a 中，()()111,1223nn n a a a n -==-≥，则5a 等于（ ）A. 163-B. 163C. 83-D. 83二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11. 已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 。
山东省枣庄高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量D ABC ∆AB BC a =BA c = CD =A ．B ．12a c -- 12a c - C ．D ．12a c -+ 12a c + 【答案】C【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C ．1122CD BD BC BA BC a c =-=-=-+【解析】向量减法的几何意义． 2．计算（ ）1tan151tan15-︒=+︒A ．BC ．D【答案】D【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案. tan 451︒=【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒故选：D3．已知是边长为2的等边三角形，则（ ）ABC CA AB ⋅=A ．B ．C ．D ．2--2【答案】A【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，CD AB = ,CA AB 2π32CA AB == 则. 2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A4．已知，求与的夹角（ ）4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= a bθ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.(23)(2)13a b a b -⋅+=6a b ⋅= 【详解】，22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= 则，又，则. 61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅[]0,πθ∈θπ3=故选：C5．已知，则（ ）π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB ．C ．D ．297929-【答案】C 【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；π6t x =-π6x t =+1sin 3t =【详解】令，则，，所以π6t x =-π6x t =+1sin 3t =πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎪⎝⎭故选：C.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） ,,a b c 2,2,3a b c === 2a b c ++=A ．B ．C ．5或2D ．10或4210【答案】D【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即,,a b c0︒120︒可得解.【详解】2a b c ==+=+因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，， 0︒222610a b c ++=++= 当夹角为时，， 120︒4a b =++ 所以或. 210a b c ++=4故选：D ．7．已知的外接圆圆心为O ，且，则向量在向量上的投影向ABC 2,AO AB AC OA AB =+= CA BC 量为（ ）A ．B ．C ．D ．14BC34BC u uu r 14BC -34BC -【答案】D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可ABO 【详解】2AO AB AC =+所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， ABC O BC BC 如图：又，所以为等边三角形，||||AB AO =ABO，， 30ACB ∴∠=︒||||cos30|CA BC BC ∴=︒=向量在向量上的投影为：．CABC 3||cos30|||4CA BC BC -︒=-故投影向量为.34BC -故选：D ．8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩AOB 2π4PQRS 形面积的最大值为()AB ．1-2CD【答案】B【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. POA α∠=α【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是PO POA α∠=2sin 2cos PS QR,OS αα===OQR 等腰直角三角形，即， 2sin QR OR α==所以，()2cos sin RS OS OR αα=-=-故矩形的面积为：QRSP ()()π4sin cos sin 2sin2cos22224PS RS αααααα⎛⎫⋅=⋅-=+-=+-⎪⎝⎭显然当时，取得最大值，π8=α2-故选:B二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．对任一非零向量，是一个单位向量 a ||a aB ．对任意向量，恒成立,a b||||||||a b a b -≤- C ．若且，则a b = c b =a c = D ．在中，C 为边AB 上一点，且，则 OAB :3:2AC CB =3255OC OA OB =+【分析】A 选项，计算的模可判断选项正误； ||a a B 选项，通过比较，大小可判断选项正误；2||a b - 2||||||a b - C 选项，由等式的传递性可判断选项正误； D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.【详解】A，则是一个单位向量，故A 正确； 1||a a B 选项，，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-设向量夹角为，则，当且仅当反向时取等号，则,a b θ()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ,a b ，故B 错误；22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-C 选项，由等式性质可知C 正确；D 选项，如图，因，则 :3:2AC CB =()3322AC CB OC OA OB OC =⇒-=-，故D 错误.53322255OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+故选：AC10．已知，，点P 在直线AB 上，且，求点P 的坐标（ ）()2,3A ()4,3B -2AP PB =A ．B ．()6,9-10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()8,15-()5,6-【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P 在直线AB 上，故由可得以下两(),P x y ()2,3A ()4,3B -2AP PB =种情况：，此时有，解得；2AP PB = ()()23243x ,y x,y --=---1013x ,y ==-或，此时有，解得；2AP PB =-()()23243x ,y x,y --=----6,9x y ==-11．已知函数，则（ ） 2()2sin 21f x x x =-++A ．在内有2个零点()f x [0,]πB ．在上单调递增()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ()f x 2sin 2y x =π6D ．在上的最大值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1【答案】ABD【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B ，求函数的单调递增()f x ()f x 区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由得出整体角的取值范π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围，再得到的最大值.()f x【详解】.2π()2sin 21cos 222sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭对于A ，令，则.π2π,6x k k Z +=∈ππ122k x =-+当时，；当时，满足题意，故A 正确；1k =5π12x =2k =11π12x =对于B ，令，则 .πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ36k x k -+≤≤+当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B 正确；0k =()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，由的图象向左平移个单位长度得到，故C 错2sin 2y x =π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；对于D ，若，则，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝-⎭所以在上的最大值为，故D 正确.()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1故选：ABD.12．已知函数为函数的一条对称轴，且若()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=3()8πf =在上单调，则的取值可以是（ ） ()f x 3(,π)84π--ωA ．B ．C ．D ．4383163203【答案】AD【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出π2x =3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ωω【详解】为对称轴，； π2x =πππ22k ωϕ⇒+=+Z k∈或，；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭2ππ32m +m Z ∈联立解之得:或，，；()4823k m ω=-+()4823k m ω=--Z k ∈m Z ∈又在上单调，3ππ,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以 π3πππ4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩08ω<≤或 43ω∴=203故选：AD.三、填空题13．若与共线，则_______ ()2,3a =()2,6b x =- x =【答案】2-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线， ()2,3a =()2,6b x =- 则，解得. 2(6)320x ⨯--⨯=2x =-故答案为：.2-14．已知函数的部分图象如图所示，点，，π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><3(0,)2-π(,0)3在图象上，求_______ 7π(,0)3(π)f =【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点12ω=π(,0)3π6ϕ=-3(0,)2-求出，得到函数解析式进而求解即可. A 【详解】由函数图像可知.2A =设函数的最小正周期为，则， ()f x T 7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为，由，解得， 0ω>2π4πT ω==12ω=又由图可知函数经过点，则，()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以，解得，1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈π2π,Z 6k k ϕ=-∈又因为，所以当时，， π2ϕ<0k =π6ϕ=-所以，1()sin()26f x A x π=-又函数图象过点，所以，解得，3(0,)2-π3sin(62A -=-3A =所以，故，1()3sin(26f x x π=-1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭15．求_______()sin160350=【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.【详解】 ())sin50tan5020sin16035os500c ⎫=+⎭=⎪()202cos 503020cos50-=⋅====16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC H ABC 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+= _________ 【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴，H ABC ()212HB HC HD AD AB AC +===+,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知，且向量与不共线.||1,||1a b ==a b (1)若与的夹角为，求； a b120︒()()3a b a b -⋅+ (2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k 的取值范围. a b 60︒-a kb 2ka b - 【答案】(1)1(2)(3.⋃+【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；a b ⋅ (2)()a b a b -⋅+a b ⋅（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k 即可.ka b + ka b -()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 【详解】（1）与的夹角为，a b120︒，11cos1201122a b a b ⎛⎫∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪.()()22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫=+⨯⎭-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ （2）与的夹角为，a b60︒，11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=向量与的夹角为锐角，- a kb 2ka b - ，且不能同向共线，()()20a kb ka b ∴-⋅->，，()()()22222222302k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ()2(0)a kb ka b λλ-≠-> 解得且33k<<k ≠即3k<<3k <<实数k 的取值范围是∴(3.⋃+18．已知函数的最小正周期为；()3π112πsin sin +226f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω2π(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调递增区间.()f x 【答案】(1)()5π412f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将，后由周期计算公式可得()f x 15π212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间可得答案.sin y x =【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为，1ππ15π242126x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωωπ2所以.所以； 2ππ822=⇒=ωω()5π412f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由，得，则单调递增区间π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -+≤+≤+∈π11πππ,Z 248248k k x k -≤≤+∈()f x 为. π11πππ,,Z k k k ⎡⎤-+∈19．已知函数在区间上的最大值为5， ()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == ()1f x a b m =+- π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(1)求常数的值；m (2)当时，求使成立的x 的取值集合.x ∈R ()4f x ≥【答案】(1)3m =(2) π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求()f x ；m （2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.()f x 【详解】（1）()1f x a b m =+-2()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m =++-=++， π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，，，()f x 2m +25m ∴+=3m =（2）由（1）得， π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由得，∴ ()4f x ≥π1sin(262x +≥()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈解得：. πππ3k x k ≤≤+()k ∈Z 成立的x 的取值集合是． ()4f x ≥π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭20．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系 ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来()()sin f x A x ωϕ=-()f x π30的得到函数，画出在上的图象 14()g x ()g x []0,π【答案】(1)； ππ4sin(t )2156d =-+(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系,,A K ωϕ式；（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【详解】（1）由题意， max min 42,242d d =+=-=-所以，， max min 6(2)422d d A ---===max min 62222d d K +-===因为逆时针方向每分转2圈，所以, 22ππ6015ω⨯==因为时，，所以，即， 0=t 0d =04sin 2ϕ=+1sin 2ϕ=-又，所以 ππ22ϕ-<<，所以； π=6ϕ-ππ4sin(t )2156d =-+（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来ππ()4sin 156f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π30的得到函数， 14π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭列表如下 π26x +π6 π2 π 3π2 2π 13π6x 0 π6 5π122π3 11π12 π ()f x 12 1 0 1-012描点连线，图象如图.21．在中，，，QA 与PB 相交于点C ，设， OPQ △12OA OP = 14OB OQ = OP a = .OQ b =(1)用，表示；a b OC (2)过C 点作直线分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设，，求的最l OM OQ λ= ON OP μ= 3μλ+小值.【答案】(1) .371=+7OC a b →→ (2). 127【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P ，C ，B ,,A C Q k AC k AQ = (1)+2k OC kb a -= 三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； t 1+4()t OC ta b -= k t （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平,,N C M x (1)OC xOM x ON =+- 771=+3OC a b →→面向量基本定理即可求出，再求得结果． 1+=7317μλ【详解】（1），C ，Q 三点共线，设， A =AC k AQ 即，， ()OC OA k OQ OA -=- 11=22OA OP a = .OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得： ，其中， (1)=+(1)=+4t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ,k t R ∈根据平面向量基本定理知：，解得，. 1214k t t k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩71=k 7=3t .371=+7OC a b →→∴ （2）由三点共线，,,N C M(1)OC xOM x ON =+-(1).x b x a λμ=+- 又由知， (1)771=+3OC a b →→ 所以 ()17317x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ，当且仅当 ()166123+=+777777379μλλμμλλμ⎛⎫++≥+=⎪⎝⎭26,77λμ==故的最小值为. 3μλ+12722．已知函数； π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)当时，求函数的值域；1m =()f x(2)当时恒成立，求的取值范围； ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x ≥m 【答案】(1) 1314⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(2)4m ≤【分析】（1）把三角函数化简，设，表示，利用二次函数求值域； ()f x sin cos t x x =+sin cos x x （2）由恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.()0f x ≥【详解】（1）当时，， 1m =π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭设， πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则， 21sin cos 2t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-当时，，时，. 12t =-min 134y =-t =max 1y =的值域为. ∴()f x 1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝⎭，， ()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令， πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()()()()2224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，当且仅当， ()()32442t t -+-≥-322t t-=-2t ⎡=⎣故.4m ≤-。
太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷(含答案)
太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知i 为虚数单位,则z =A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知()1,2a =,()2,2b =-,(),1c λ=-,()//2c a b +,则 λ等于( )A.2-B.1-C.- 3．在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列结论不正确的是( ) A.2222cos a b c bc A =+- B.sin sin a B b A = C.cos cos a b C c B =+D.cos cos sin a B b A C +=4．在平行四边形ABCD 中,14AE AC =,设AB a =,BC b =,则向量DE =( )34b - 14b - 13b - 23b - 5．下列命题正确的是( )A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台C.圆柱,圆锥,圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径6．在ABC △中,a x =,2b =,45B =︒.若利用正弦定理解ABC △有两解,则x 的取值范围是( )A.2x <<x <<x >x <<D ,测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30BDC ∠=︒,30BDC ∠=︒,60DCA ∠=︒,45ACB ∠=︒.如图所示,则蓝方这两支精锐部队的距离为( ).A.a 48．如图,在ABC △中,AB a =,AC b =,D ,F 分别为BC ,AC 的中点,P 为AD 与BF 的交点,且2AE EB =.若BP xa yb =+,则x y +=________;若3AB =,4AC =,π3BAC ∠=,则BP ED ⋅=________.则求解正确的是( )A. 二、多项选择题9．下列说法正确的有( ) A.任意两个复数都不能比大小B.若()i ,z a b a b =+∈∈R R ,则当且仅当0a b ==时,0z =C.若12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z ===+10．下列结论不正确的是( ) A.单位向量都相等 B.对于任意a ,b ,必有b a b+≤+C.若//a b ,则一定存在实数λ,使a b λ= D.若0a b ⋅=,则0a =或0b =11．设P 为ABC △所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若0PA PB PC ++=,则点P 是ABC △的重心B.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点P 是ABC △的垂心C.若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭,,[)0λ∈+∞,则点P 是ABC △的内心 D.若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=,则点P 是ABC △的外心 三、填空题12．若向量(cos ,sin )m αα=,(cos ,sin )n ββ=,m 与n 的夹角为3,则cos()αβ-=_____. 13．已知向量a ,b 满足3a =,2b =且()()25a b a b -⋅+=,则a 在b 方向上的投影向量为_____.14．已知三角形ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,有以下三角形一定存在;②以2a ,2,b cb -+c -+1a -+为边长的三角形一定存在,其中正确的命题有________(填写所有正确命题的序号). 四、解答题15．已知向量a 与b 的夹角4θ=,且3a =,22b =. （1）求a b ⋅,()(2)a b a b +⋅-,b+;（2）a 与a b +的夹角的余弦值.16．已知函数()f x a b =⋅,其中()2cos ,2a x x =,(cos ,1)b x =,x ∈R . （1）求函数()y f x =的单调递减区间.（2）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()1f A =-,a =(3,sin )m B =共线,求边长b 和c 的值.17．已知向量a 与向量b 的夹角为452a =,1b =.2b +的值;（2）若向量2a b λ-与3a b λ-的夹角是锐角,求实数 λ的取值范围.2b a c=-;1tan B +=③设ABC △的面积为S ,且()22233b a c +-=.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上.并加以解答.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且________. （1）求角B 的大小;（2）若b =B <<ABC 的周长的取值范围. 19．已知O 为坐标原点,对于函数()sin cos f x a x b x =+,称向量(,)OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量,同时称函数()f x 为向量OM 的相伴函数.（1）设函数5π3π()sin sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,试求()g x 的相伴特征向量OM ;（2）记向量(1,ON =的相伴函数为()f x ,求当()f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,sin x 的值;（3）已知(2,3)A -,(2,6)B ,(OT =-为π()sin 6h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量,π()23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ,使得AP BP ⊥.若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：B 解析：i i(12i)2i 12i (12i)(12i)5z +-+===--+ 故z 在复平面内对应的点位于第二象限,故选:B 2．答案：A解析：(1,2)a =,(2,2)b =-,22(1,2)(2,2)(4,2)a b ∴+=+-=, (,1)c λ=-,//(2)c a b +,(,1)(4,2)λ∴-=,24λ∴=-,解得2λ=-, 故选:A. 3．答案：D解析：由在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,知: 在A 中,由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,故A 正确;=sin sin a B b A ∴=,故B 正确; 在C 中,cos cos a b C c B =+,∴由余弦定理得:2222a b c a b c ab +-=⨯+整理,得2222a a =,故C 正确; 在D 中,由余弦定理得:222222222222cos cos sin 2222a c b b c a a c b b c a a B b A a b c C ac bc c c+-+-+-+-+=⨯+⨯=+=≠,故D 错误. 故选:D. 4．答案：A 解析： 5．答案：A解析：A 中,“以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥”正确; 以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台,故B 错误;圆锥只有一个底面,故C 错误;圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长;故选:A 6．答案：B解析：如图,45B =︒,CD AB ⊥,则sin45sin45sin45CD BC a x ︒︒=⋅==︒,以C 为圆心,2CA b ==为半径画圆弧,要使ABC △有两个解,则圆弧和BA 边应该有两个交点,故CA CD >且CA CB <,即sin 452x x ︒<<,解得2x <<7．答案：B解析：由题意知60ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒,又因为60ACD ∠=︒,所以60DAC ∠=︒.所以2AD CD AC a ===.在BCD △中,1803010545DBC ∠=︒-︒-︒=︒,由正弦定理得sin BD BCD =∠sin 3sin 24BCD CD a a DBC ∠===∠,在ADB △中,由余弦定理得222223332cos 24428AB AD BD AD BD ADB a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以AB =. 8．答案：C解析：由题意可知点P 为三角形ABC 的重心.因为12BF AF AB a b =-=-+,所以2212133233BP BF a b a b ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭,所以x =y =x y +=因为3AB =,4AC =,π3BAC ∠=,所以π1cos 34632a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=.又2AE EB =, 所以1111()3262ED EB BD a b a a b =+=+-=-+,所以2221111171179166336296189618BP ED a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+-⋅=⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．答案：BD解析：对于A 选项,当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以A 不正确; 对于B 选项,复数的实部与虚部都是0时,复数是0,所以B 正确;对于C 选项,当121,i z z ==,满足22120z z +=,但120z z ==,所以C 不正确;=+义,是单位圆上的点到()0,2-的距离,它的最大值为3,所以D 正确; 故选:BD. 10．答案：ACD解析：对于A,单位向量的模长相等,方向不一定相同,不一定是相等的向量,A 错误; 对于B,任意a ,b 根据向量加法的几何意义知b a b+≤+,当且仅当a ,b 共线同向时取“=”,B 正确;对于C,若//a b ,不一定存在实数λ,使a b λ=,如0a ≠且0b =时,命题不成立,C 错误; 对于D,若cos 0a b a b θ⋅==,则0a =或0b =或a b ⊥,∴D 错误.故选:ACD 11．答案：ABD解析：对于A:若0PA PB PC ++=,则PA PB PC +=-.以PA ,PB 为邻边作平行四边形P ADB ,M 为PD 的中点,则PA PB PD +=,所以PD PC =-,又2PD PM =,所以||2||PC PM =,故P 为ABC △的重心.所以A 正确;对于B:若PA PB PB PC ⋅=⋅,则0PA PB PB PC ⋅-⋅=, 即()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥. 同理PA PB PA PC ⋅=⋅,则PA BC ⊥,故P 为ABC △的垂心. 故B 正确;对于C:在边AB ,AC 上分别取点E ,F ,使AB AE AB=,AC AF AC=,则1AE AF ==,以AE ,AF为邻边作平行四边形AEGF ,则四边形AEGF 为菱形.连接AG ,则AG 为的角平分线,由AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭,所以点P 在角平分线AG 上,故点P 的轨迹一定通过ABC △的内心. 所以C 错误;对于D:若22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-=,则PA PB =,同理有PB PC =,PC PA =,故P 为ABC △的外心.所以D 正确. 故选:ABD222cos sin 1,cos sin 1m n ααβ=+==+=()cos cos sin sin cos m n αβαβαβ⋅=+=-,又因为π1cos 1132m n m n ⋅=⨯⨯=⨯⨯=)αβ-=13．答案：b - 解析：14．答案：①③④解析：不妨设0a b c ≥≥>,b c a +>.0≥>,0=>,①真;②若4a =,3b =,2c =则222b c a +<,②假;022c a b c ++≥≥>,0222c a b c a bc +++⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭,③真;1b -+>1c -+>10a -+>,(1)(1)(1)(1)(1)(1)10a b b c c a a b b c a c -++-+--+=-++-+--+=>, (1)(1)(1)(1)(1)(1)2()10b c c a a b b c a c a b b c -++-+--+=-++-+--+=-+>,(1)+(1)(1)(1)(1)(1)2()10c a a b b c a c a b b c a b -+-+--+=-++-+--+=-+>.④真.15．答案：（1）6-,-解析：（1）已知向量a 与b 的夹角θ=3a =,22b =,则3πcos 364a b a b ⎛⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭, 所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-;()222292a b a b a a b b +=+=+⋅+=+=（2）a 与a b +的夹角的余弦值为()296cos ,35a a baa ba ab a a ba a b⋅++⋅-+====⨯⋅+⋅+ 16．答案：（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）2c =,3b =解析：（1）2()2cos 2f x a b x x =⋅=cos 221x x =+ π2cos 213x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由题意有()π2π2π2π3k x k k ≤+≤+∈Z ,解得ππ6π3πk x k -+≤≤+()k ∈Z 所以单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）π()2cos 2113f A A ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭,πcos 213A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,0πA <<,ππ233A ∴<+<ππ3A +=,A ∴=(3,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线,3sin 2sin C B ∴=,32c b ∴=,32b c =,2222π772cos 34a b c bc c==+-=,2c ∴=,3b =. （2）1λ<<6λ<<.解析：（1）cos 45112b a b a ⋅=︒=⨯=222224cos 45224a b a b a a b b +=+=+︒+=+=（2）2a b λ-与3a b λ-的夹角是锐角 ()()230a b a b λλ∴-⋅->,且2a b λ-与3a b λ-不能同向共线 2760λλ∴-+<且()23a b k ab λλ-≠-,0k >1λ∴<<6λ<< 18．答案：（1）π3B =（2）(+ 2b a c ==-整理得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-,即()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,0πB <<,π3B ∴=. 选②,()sin 11cos cos cos sin cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B A BB AC A B A B A B A B A B +++=+===, sin sin sin C A B ∴=sin 0C ≠,sin B ∴=π0B <<,B ∴=选③,()2224333Sb ac +-=,()222sin 3B a c b∴=+-,3B=3cos B B =,. tanB ∴=,0πB <<,B ∴=（2）0B <<B =4sin sin sin sin 3a c b AC B =====, 24sin ,4sin 4sin 3a A c C A π⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭, ABC ∴△的周长2π14sin4sin4sin4sin32l a b c A A A A A⎫⎛⎫=++=+-+=+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1πcos26A A A⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭钝角ABC△2ππ3A<-<,又π2A<<,0A∴<<ππ66A∴<+<π1sin62A⎛⎛⎫+∈⎪⎝⎭⎝⎭(π3A⎛⎫∴+++⎪⎝⎭.ABC∴△的周长的取值范围是(+19．答案：（1）322OM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭（2）sin x=（3）见解析解析：（1）5π3π5π5π()sin sin sin cos cos sin cos6266g x x x x x x⎛⎫⎛⎫=+--=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()cos2g x x x∴=+()gx∴的相伴特征向量32OM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.（2）向量(1,ON=的相伴函数为()sinf x xx=+,()sin2sin3f x x x xπ⎛⎫==+=⎪⎝⎭πsin3x⎛⎫∴+=⎪⎝⎭.ππ,36x⎛⎫∈-⎪⎝⎭,ππ0,32x⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,πcos3x⎛⎫∴+=⎪⎝⎭ππ1ππsin sin sin33233x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由(OT =-为π1()sin sin cos 62h x m x m x m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量知:2m =-.所以ππππ()2sin 2sin 2323622x x x x h ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,3)A -,(2,6)B ,12,2cos 32AP x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭,12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,又AP BP ⊥, 0AP BP ∴⋅=,11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221144cos 18cos 18022x x x -+-+=, 2219252cos (*)224x x ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭122cos 22x -≤≤,13192cos 222x ∴-≤-≤225192cos 422x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭又2254x -≤当且仅当 0x =时,192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 这时(*)式成立.∴在()y h x =图像上存在点(0,2)P ,使得AP BP ⊥。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
高2023级高一下期数学3月月考（答案在最后）一、单选题（共8题，每题5分）1.75cos 75的值是（）A.2B.12C.34D.【答案】A 【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：175cos 7522===．故选：A ．2.下列说法错误的是（）A.CD DC=B.1e ，2e 是单位向量，则12e e =C.若AB CD > ，则AB CD>D.任一非零向量都可以平行移动【答案】C 【解析】【分析】利用向量的有关概念即可.【详解】对于A 项，因为CD DC =-，所以||||CD DC = ，故A 项正确；对于B 项，由单位向量的定义知，121e e ==，故B 项正确；对于C 项，两个向量不能比较大小，故C 项错误；对于D 项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D 项正确．故选：C ．3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.若函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。
确定函数的解析式.【详解】如图：易知：2A =，2πππ4362T =-=⇒2πT =，即2π2πω=⇒1ω=.由π2sin 26ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭⇒π2π3k ϕ=+，Z k ∈，0k =时，π3ϕ=.所以：()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C5.已知sin 0αα-=，则cos 2=α（）A.13-B.0C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】由弦切互化可得tan α=，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由sin 0αα-=可得tan α=，故222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin 1tan 123ααααααα---====-+++，故选：A6.已知α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.45-C.45D.45±【答案】C 【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式把5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭用πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭来表示即可得到答案.【详解】因为α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π6α+也是锐角，所以π4sin 65α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.5πππ4sin sin πsin 6665ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即5π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.函数()cos 26cos 1f x x x =-+的值域为（）A.9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.9,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[4,8]- D.9,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于cos x 的二次函数，结合二次函数性质可得值域．【详解】2239()2cos 6cos 2(cos 22f x x x x =-=--，因为1cos 1x -≤≤，所以4()8f x -≤≤．即值域为[4,8]-，故选：C ．8.设函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若2π3πT <<，且对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则ω=（）A.23B.34C.45D.56【答案】B 【解析】【分析】由2π3πT <<可得213ω<<，由对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，可得()min π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，计算即可得.【详解】由()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，且()[]1,1f x ∈-，故π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即有()πππ2π342k k ω⋅+=+∈Z ，解得()364k k ω=+∈Z ，又2π3πT <<，0ω>，故2π2π3πω<<，即213ω<<，综上，34ω=.故选：B.二、多选题（共3题，每题6分﹔选错0分，若答案有三个.每个选项2分.若答案为两个，每个选项3分）9.下列各式中，值为12的是（）A.5sin6π B.2sin15cos15︒︒ C.22cos 151︒- D.tan2102︒【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D.【详解】对于A ：51sinsin(-sin 6662ππππ===，所以A 正确;对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确;对于C ：22cos 151cos302-==，所以C 不正确;对于D ：1tan210tan(180********))=+=⨯== ，所以D 正确，故选：ABD.10.已知函数()π3cos 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C.将函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数D.函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A 项，运用代入检验法将π22x +看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B 项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C 项，将π26x +看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D 项，【详解】对于A 项，函数()f x 的最小正周期为2π2ππ||2Tω===，故A 项正确；对于B 项，当π3x =-时，ππ262x +=-，而πcos 02⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，即B 项正确；对于C 项，函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，得到()πππcos 2cos 2sin 2662222g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于()()()33sin 2sin 22sin 222g x g x x x x ⎡⎛--=--+--+= ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭不恒为零，故该函数不是偶函数，即C 项错误；对于D 项，当π,06x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，πππ2,666z x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，函数cos y z =在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有单调性，故D 项错误.故选：AB .11.函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则（）A.π()3sin(26f x x =+B.()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()f x 的图象关于点4π(,0)3-对称D.若方程3()2f x =在()0,m 上有且只有6个根，则10π(3π,3m ∈【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，3A =，3(0)3sin 2f ϕ==，而π||2ϕ<，则π6ϕ=，π()3sin()6f x x ω=+，由()f x 的图象过点5π(,0)12，得()5πππ2πZ 126k k ω+=+∈，解得()242Z 5k k ω=+∈，而()f x 的周期T 有5212T π>，即25212ππω>，解得1205ω<<，因此2ω=，π()3sin(2)6f x x =+，A 正确；函数()f x 的图象向右平移23π个单位长度后得到的新函数是2π(3y f x =-4ππ7π3sin(2)3sin(2)366x x =-+=-，非奇非偶函数，B 错误；4π5π()3sin()332f -=-=-，C 错误；显然π4π7π10π3(0)()(π)((2π)()(3π)()33332f f f f f f f f ========，若方程3()2f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则10π(3π,]3m ∈，D 正确.故选：AD三、填空题（共3题，每题5分）12.若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+=_____．【答案】1385【解析】【分析】通过平方关系求出cos α和sin β的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，所以154cos ,sin 175αβ==，所以1538413cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=．故答案为：1385.13.sin47sin17cos30cos17︒︒︒︒-=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】注意所求式中角的关系，对47 进行拆角为3017+ ，利用和角公式化简即得.【详解】由sin 47sin17cos30cos17- sin(3017)sin17cos30cos17+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17+-= sin 30cos171sin 30.cos172===故答案为：1.214.关于函数()cos 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎝⎭⎝⎭有下列三个结论，①2π是函数()f x 的周期；②函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为1312π；③函数()f x 的值域[1,1]-；其中所有正确结论的编号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．【详解】对①，因为函数cos 2sin 222323f x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∣cos 2sin 2()33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2π是函数()f x 的周期，①正确;对②，令()0f x =，则tan 213x π⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，解得234x k πππ-=±+，即1242x k ππ=+或71242x k ππ=+，Z k ∈，而[0,]x π∈，所以24x π=，724π，1324π，1924π，故函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为53π，②错误；对③，设cos 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2212cos 2sin 21|sin 41333y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∣，所以11y -≤≤，③正确．故答案为：①③【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．四、解答题（15题13分，16和17题15分，18和19题17分）15.已知1 tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求tanα的值；（2）求2sin2cos1cos2ααα-+的值.【答案】（1）1 3-（2）5 6-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的正切和角公式求解即可.（2）结合二倍角公式进行化简，再结合弦切互化即可求值.【小问1详解】因为1tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1tan1tan41tan2πααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan3α=-.【小问2详解】因为222sin2cos2sin cos cos2sin cos15tan1cos22cos2cos26ααααααααααα---===-=-+所以2sin2cos1cos2ααα-+的值为56-.16.化简求值（1）已知π1πcos,0,232x x⎛⎫⎛⎫+=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan2x的值（2）已知ππ0,,,022αβ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3cos(),sin510αββ-==-．求α【答案】（1）7；（2）π4.【解析】【分析】（1）先求得tan x =，再由倍角公式求tan 2x 的值；（2）先求得sin(),cos αββ-的值，再求得()sin sin ααββ=-+的值，从而可求得α的值.【小问1详解】由π1cos 23x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得1sin 3x =，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3x =，tan x =，故22tan tan 211tan 718x x x ===--.【小问2详解】因为ππ0,,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0,παβ-∈，所以472sin()510αββ-==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-43(5105102=+-=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4α=.17.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P 在风车的最低点，求：（1）点P 离地面距离h （米)与时间t （分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点P 离地面的高度超过14米？【答案】（1）()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）48t <<．【解析】【分析】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式()14h t >可得．【详解】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意得：8A =，12T =，10b =；则26T ππω==，当0=t 时，2h =，即sin 1ϕ=-；因此，2πϕ=-；因此，()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）由题意：()14h t >，即：8sin(101462t ππ-+>；则：1cos 62t π<-；又因为012t ，所以48t <<．18.已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；（3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++ ，试求n 与m 的值.【答案】（1）()2sin 2f x x=（2）[-（3）205,3n m π==【解析】【分析】（1）先整理化简得()2sin f x x ω=，利用周期求得2ω=，即可得到()2sin 2f x x =；（2）利用图像变换得到()sin()243g x x π=-，用换元法求出函数()g x 的值域；（3）由方程4()3g x =，得到2sin(433x π-=，借助于正弦函数sin y x =的图象，求出n 与m 的值.【小问1详解】由题意，函数21())2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦)cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=.故()2sin 2f x x=【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象.再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(43y g x x π==-的图象.当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x ，故函数()g x 的值域⎡-⎣.【小问3详解】由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(433x π-=，因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y x =的图象，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++= .综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；19.已知函数ππ()4sin cos 11212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0ω>．（1）若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，求()f x 的对称中心；（2）若24ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有8个零点，求n m -的最小值；（3）已知函数π()cos 22(0)6h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，在第（2）问条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（2）10π9（3）[)2,0-【解析】【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得ω，整体代入法求()f x 的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数()g x ，结合π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭和24ω<<，得3ω=，根据()g x 的零点个数可得35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，由此求n m -的最小值；（3）根据已知，在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()h x 的值域是()g x 值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.【小问1详解】函数πππ()4sin cos 12sin 2112126f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，则1x 与2x 是相邻的最小值点和最大值点，()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，由2ππ2ω=，解得1ω=，得π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()π2πZ 6x k k +=∈，解得()ππZ 122k x k =-+∈，此时()1f x =，所以()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,.【小问2详解】()πππ122sin 212sin 2π16666g x f x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π2π12ππ2sin π12sin 1033636g ωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()ππ7π2πZ 366k k ω+=+∈或()ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈，又24ω<<，得3ω=，所以()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数最小正周期3π2π6T ==，令()0g x =，即51sin 6π62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得()11ππZ 93k x k =+∈或()22πZ 3k x k =∈，若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，则35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，n m -的最小值为ππ10π3399⨯+=.【小问3详解】由（2）知，()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设()h x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ，()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为B ，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，则A B ⊆，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5π5π2π6,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]5πsin 61,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则[]1,3B =-，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1cos 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则3,2A a a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，由A B ⊆可得1332a a -≥-⎧⎪⎨-≤⎪⎩，又a<0，解得20a -≤<，所以实数a 的取值范围为[)2,0-.【点睛】方法点睛：1.若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，要使n m -最小，则需要,m n 恰好为()g x 的零点；2.1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =，则在定义区间内()h x 的值域是()g x 值域的子集.。
2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________.（用角度制表示）2023︒【答案】223︒【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.【详解】由，20233605223=⨯+︒︒︒得与角终边相同的最小正角为.2023︒223︒故答案为：.223︒2．半径为7的扇形弧长为，则扇形所对圆心角的弧度数为__________.π【答案】##π71π7【分析】由题意可得弧长,则由弧长公式即可得.π,7l R ==l R α=【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，由题意，αR l π,7l R ==由弧长公式得，所以.π7α=π7α=故答案为：.π73．设向量，且，则实数的值是__________.()(),1,4,2a n b ==-- a b ⊥ n 【答案】##12-0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，，()(),1,4,2a n b ==--a b ⊥ 得，解得.420a b n ⋅=--=12n =-故答案为：.12-4．若角的终边过点，则__________.α()1,2-πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.cos α【详解】角的终边过点，α(1,2)-由三角函数的定义得cos α==由诱导公式得ππsin sin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.,a b θπ2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦a b +【答案】⎡⎣【分析】根据.a +【详解】a b +=== 因为，所以，所以，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]22cos 1,3θ+∈所以.a b ⎡+∈⎣故答案为：.⎡⎣6．方程在区间上的解集为__________.sin 1cos2x x =-[]0,2π【答案】或或或或{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以2cos212sin αα=-sin 1cos2x x =-22sin sin 0x x -=，，又，从而求出结果.sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈【详解】由，得到，即，sin 1cos2x x =-2sin 1(12sin )x x =--22sin sin 0x x -=解得或，又，,sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈当时，或或，sin 0x =0x =πx =2πx =当时，或，所以或或或或，1sin 2x =π6x =5π6x =0x =π6x =5π6x =πx =2πx =故答案为：或或或或.{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =7．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.60,5,B AC BC a =︒==ABC a【答案】(]0,5⋃【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.a A =ABC 【详解】由，得，sin sin BC AC A B=sin sin AC A a AB ⋅==又，所以，π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则当时，三角形只有一个解，ππ0,32A ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭此时，{}sin 1A ⎛∈⋃ ⎝所以.(]0,5a ∈⋃故答案为：.(]0,5⋃8．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．a b 3a = 6b = 2a b - a 【答案】3【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.26a b -= 1cos 2,2a b a -=【详解】因为向量与的夹角为60°，，，a b 3a = 6b = 所以1cos 603692a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=26a === ，()2222991cos 2,6318182a b aa b a a b a -⋅-⋅⨯--====⨯则在方向上的数量投影为.2a b -a 12cos 2,632ab a b a -⨯-=⨯= 故答案为：3.9．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()()1122,,,A x y B x y αβ､1221x y x y =的最大值为__________.121222x x y y -+-【答案】【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ1221x y x y =πβα-=化简，即可求解.1212π22in(4x x y y α-+-+=【详解】令，且，且，[)11cos (0,2πsin x y ααα=⎧∈⎨=⎩[)22cos (0,2πsin x y βββ=⎧∈⎨=⎩βα>所以，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ因为，可得，可得，1221x y x y =cos sin cos sin αββα=sin()0βα-=又因为，所以，即αβ≠πβα-=πβα=+所以12122cos cos 22sin sin 2x x y y αβαβ=-+--+-，π2cos cos 2sin sin 3cos 3sin 4ααααααα=+++=+=+所以的最大值为121222x xy y -+-故答案为：10．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，ABCD 2,60AB ABC ︒=∠=AC BD ，O E AC 若，则的最小值为___________72AB BO ⋅=- BE DE ⋅ 【答案】194-【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用3BA BC ⋅= 3BC = (),01AE t AC t =≤≤ 向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次,BA BC ,BE DE 2773BE DE t t ⋅=--01t ≤≤函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由，知，即，72AB BO ⋅=- 72BA BO ⋅= ()1722BA BA BC ⋅+=所以，得，则，即.27BA BA BC +⋅= 3BA BC ⋅= cos 603BA BC ⋅︒= 3BC = 设，则，得，(),01AE t AC t =≤≤ ()BE BA t BC BA -=- ()1BE t BA tBC=-+ ，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC=-=-+-+=-+- ()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭01t ≤≤12t =BE DE ⋅ 值为.194-故答案为：.194-【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函,BA BC,BE DE 数的最值问题，突破难点.11．已知函数，若存在实数满足[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩k ()()f a f b ==互不相等，则的取值范围是__________.()()(,,f c f d k a b c d==,)+++a b c d 【答案】{}15(7,)62⋃【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.()()f a f b ==()()f c f d k==【详解】函数的图象如下图所示：[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩存在实数满足互不相等，不妨设，则由[0,1)k ∈()()f a f b ==()()(,,f c f d k a b c d==,)a b c d <<<图可知关于对称，所以；,a b 12x =1a b +=当时，，，则，此时；0k =2c =3d =5c d +=6a b c d +++=当时，因为解得或，故而，，且由图可得01k <<2log (2)1x -=52x =4x =532c <<34d <<，即，可得，22log (2)log (2)c d --=-122d c =--122d c =+-所以122c d c c +=++-1242c c =-++-设，则，在上单调递减，所以，所以2t c =-1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14c d t t +=++1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13(6,2c d +∈，综上所述；15(7,)2a b c d +++∈{}15(7,)62a b c d +++∈⋃故答案为：.{}15(7,)62a b c d +++∈⋃12．为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问2222cos a ab C b c -+=题：若三个正实数，满足，，，则,,x y z 2225x xy y ++=2236y yz z ++=2249z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC A B C a b c ABC O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐOA x =OB y =OC z =ABC 由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ABC AOBBOCAOCS SSS=++△△△△xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC A B C a b c 在内取点，使得，ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 25c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=5c ∴=，∴，222222cos 36a y z yz BOC y yz z =+-∠=++=6a =，∴，222222cos 49b z x zx AOC z zx x =+-∠=++=7b =则，2225cos 27a b c ACB ab +-∠==则，所以π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭sin ACB ∠==由，ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 得，112π12π12πsin sin sin sin2232323ab ACB xy yz zx ∠=++即，所以.)xy yz xz =++xy yz xz ++=故答案为：【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键.ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ二、单选题13．在中， “”是“”的 ABC A B <sinA sinB <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则ABC A B < a b <由正弦定理可得，，2sin a R A =2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，充分性成立sinA sinB ∴<，sinA sinB < 由正弦定理可得，2asinA R =2b sinB R =，则22a b R R ∴<a b<三角形中大边对大角，则，必要性也成立A B <故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．已知，下列命題中错误的是（ ）()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于直线对称；()y f x =π3x =-B ．函数在上为严格增函数；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数的图象关于点对称；()y f x =5π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数在上的值域是.()y f x =4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A ，因为为最小值，πsin 312πf -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图象关于直线对称，故A 正确；()y f x =π3x =-对于B ，因为，所以，ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ,23212x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以函数在上为严格增函数，故B 正确；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦对于C ，因为，5ππsin 132f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以点不是函数的对称中心，故C 错误；5π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1πππ,236x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，故D 正确.()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：C.15．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则的2(0,0)OA mOB nOC m n =+>> 21m n +最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．4【答案】C【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.21m n +=【详解】因为A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，2(0,0)OA mOB nOC m n =+>>所以21m n +=21214(2)448n m m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立．4=n m m n 11,24m n ==故选：C【点睛】（1）A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则有；OA OB OC λμ=+=1λμ+（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β使得，则的最小值为（ ）()()0f f αβ+=m A ．B ．C ．D ．3π25π6π7π6【答案】D【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，ππ5,62ε⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()[f α∈π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β使得，又由，得到，即可求解.()f β∈π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ6m -≥【详解】由函数，因为，可得，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ5,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π,6ππ3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦-所以函数，即，()[f x ∈()[f α∈又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β()()0f f αβ+=即在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β()f β∈因为，则，π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πππ,636m β⎛⎤-∈- ⎝⎦结合三角函数的性质，可得，解得，ππ6m -≥7π6m ≥所以实数的最小值为.m 7π6故选：D.三、解答题17．已知锐角内角的对应边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos220A A +=(1)求的值；A ∠(2)若，求面积的最大值.a =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.12bc ≤【详解】（1）因为，所以，cos 220A A +=22sin 30A A -+=解得，sin A =sin A =又为锐角三角形，所以.ABC π3A =（2）在中，由余弦定理可得，即，ABC 2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-（当且仅当时取等号），，22122bc b c bc ∴+=+≥b c =12bc ∴≤的面积为ABC 11sin 1222bc A ≤⨯=，故当为等边三角形时，有最大面积为π3A =ABC 18．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n==-=⋅ (1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦x【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 13π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x =()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为；()f x 2ππ2T ==由，解得：，，π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为.π2π4x +=3π8x =()f x 119．已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，π3记，矩形的面积为.COB θ∠=ABCD S(1)当时，求矩形的面积的值.π6θ=ABCD S (2)求关于角的解析式，并求的最大值.S θS【答案】(1)S =(2)；时，ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6θ=max S =【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，sin BC α=cosAB αα=S θ代入求值；π6θ=（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.S 【详解】（1）在中，，，在中，Rt OBC △cos OB θ=sin BC θ=Rt OAD △tan 60DAOA =︒=∴，∴，OA BC θ===cos AB OB OA θθ=-=∴2cos sin sin cos AB BC Sθθθθθθ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭=1sin 2cos2)2θθ=-1sin 222θθ=.12cos 22θθ⎫=+⎪⎪⎭ππ2063θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，π6θ=ππ266S ⎛⎫=+ ⎪⨯⎝⎭（2）由（1）知ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由得，所以当，即时，.π03θ<<ππ5π2666θ<+<ππ262θ+=π6θ=max S ==20．已知函数，且.()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；a ()y f x =(2)若，求的值域；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x =(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若n ()y f x =[]0,πn n 不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为9a =-()f x πT =(2)1,1316⎡--⎢⎣(3)存在正整数，理由见解析506n =【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a sin cos sin 2x x x、、π故得函数的最小正周期；()f x（2）根据，得到，设，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++πsin cos 4x x x t⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，转化为二次函数求解；t ⎡∈⎣（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y f x =得解.【详解】（1）函数，()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++∵，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，πππsin cos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-所以，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++因为的周期是都，sin cos sin 2x x x、、π又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.()f x πT =（2）若，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，则，πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣则，2sin22sin cos 1x x x t ==-所以，()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣所以其值域为；1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．506n =()0f x =[]0,πn 当时，．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则，2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+令，得或，24950t t -+=1t =54t ⎡=∈⎣此时，或或，其中π0,2x =00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭0π2x x =-0πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当时，．π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++设，则，(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+令，249130t t --+=解得或，1t =(134t =-∉故在没有实根．()f x π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上，在上有4个零点，()0f x =[)0,π又的最小正周期为，而，()f x πT =202545061=⨯+所以函数在有2025个零点．[]0,506π21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x(1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞(3)存在，.2,Z m k m T π=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数.()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即，2T π=()y f x =[)0,∞+()()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则，3[,2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pf x P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则，3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，……，22[,2)y P P ∈当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n ny P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nPP P P P P P -≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥所以当时，，且.[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2x f x kx=⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos T kx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有，cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21TT ⋅=±当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21TT ⋅=12T T =2xy =1y x =12T T =此时恒成立，则，即，()cos cos kx kT kx+=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m T π=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21TT ⋅=-12T T =-2xy =1y x =-12TT =-所以存在，符合题意，其中满足.2,Z m k m T π=∈T 21TT ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
河南省南阳市邓州市第一高级中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
河南省南阳市邓州市第一高级中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设a r ，b r是非零向量，“a a bb =r r r r ”是“a b =r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点ππsin ,cos 66P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πsi n 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-BC ．D ．123．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知πcos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A B 3C ．D ．5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．ππ4sin 2206d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππ4sin 2206d t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．ππ4sin 2106d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．ππ4sin 2106d t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭6．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图，BC x ⊥轴，DE x⊥轴，四边形BCDE 的面积为4,CD = ）A ．ππ2,,23A ωϕ===B ．ππ2,,26A ωϕ===C ．π,4A ωϕ===D ．π,4A ωϕ== 7．设函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0)ω>．若()f x 在区间[12π-，]3π上具有单调性，且5()()()326f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为( )A ．2πB ．34π C ．πD ．2π8．已知函数()cos cos f x x x =-，则下列结论中正确的个数为（ ）①()f x 为偶函数；②()f x 的一个周期为π；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 的值域为[2,0]- A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列四个函数中，以π为周期，且在区间(,)42ππ上单调递增的是（ ）A ．|sin |y x =B ．cos 2y x =C ．tan y x =D ．sin |2|y x =10．下列命题中错误的有（ ）A ．a b =r r的充要条件是||||a b =r r 且//a b r r B ．若//,//a b b c r r r r ，则//a c r rC ．若//a b r r ，则存在实数λ，使得a b λ=r rD ．若AB u u u r与AC u u u r 是共线向量，则,,A B C 三点共线11．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．若π,02⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则()f x 的值域为⎡-⎢⎣⎦D ．()f x 的图象可以由cos2y x =的图象向右平移π12个单位长度得到 12．下列说法正确的是（ ）A ．函数()πtan (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则1ω=B ．已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>，且函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，若函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数π12m =C ．已知函数()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3三、填空题13．若21,e e u r u u r 为平面内所有向量的一组基，且1234a e e =-r u r u u r ，126b e ke =+r u r u u r 不能作为一组基，则k 的值为.14．已知函数()f x 对任意的实数x 都满足()()()422f x f x f ++=，且函数()2y f x =-的图象关于点()2,0对称，若()()122f f -+-=，则()2021f =．15．若函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2π上恰好有4个零点和4个最值点，则ω的取值范围是．16．将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到()g x 的图象，记()f x 与()g x 的图象在y 轴的右侧的所有公共点为()()*,i i x y i ∈N ，则i x 的最小值为.四、解答题 17．解答下列问题：(1)计算11π13π8π11πsin tan cos sin 64369π13π7πtan cos tan 434⎛⎫-- ⎪⎝⎭-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值；(2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，求()()()3πsin πsin 2sin π2cos 2παααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-+-的值．18．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中A >0，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象．求函数()([2,1])y g x x =∈-的值域．19．如图，已知OAB V 中，点B 关于点A 的对称点为,C D 在线段OB 上，且2,OD DB DC =和OA 相交于点E ．设,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ．(1)用a b rr ､表示向量OC DC u u u r u u u r ､．(2)若OE OA λ=u u u r u u u r，求实数λ的值．20．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数()f x 的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出()f x 在一个周期内的图象； (3)求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．21．平行四边形ABCD 中，点M 在AB 上，且2AM MB =u u u u r u u u r ，点N 在BD 上，且3BN ND =u u u r u u u r ，记AB a =u u u rr ，AD b =u u u rr(1)以a r ，b r为基底表示MN u u u u r ；(2)求证：M 、N 、C 三点共线.22．如图，已知函数()()()cos 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图象与x 轴相交于点1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，图象的一个最高点为5,16B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()()114y g x x =--的所有零点之和．。
2022-2023学年安徽省阜阳市高一年级下册学期第三次月考数学【含答案】
2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（）A.M N⋃ B.M N ⋂C.()()U U M N D.()()U U M N 2.“=1x -”是“20x x +=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数()231i i +=A.2 B.－2 C.2i D.-2i4.如图所示，用符号语言可表达为（）A.m αβ= ，n ⊂α，m n A= B.m αβ= ，n α∈，m n A = C.m αβ= ，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D.m αβ= ，n α∈，A m ∈，A n∈5.已知向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=- ，则AC = （）A.5B.42C.6D.52 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是（）A.2B.22 C.3 D.337.在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为A.1B.2C.2D.38.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（） A.224+ B.3 C.34 D.34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22πR B.圆锥的侧面积为22πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:210.下列命题正确的是（）A 平面//α平面β，一条直线a 平行与平面α，则a 一定平行于平面βB.平面//α平面β，则面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线11.下列说法正确的序号是（）A.偶函数()f x 的定义域为[]21a a -，，则1=3a B.一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+C.奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D.若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积最大为23D.过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B⊥三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b + 与a 垂直，则m =________．14.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.15.下列说法中，所有正确说法的序号是______．①终边落在y 轴上的角的集合是π,2k k θθ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；②函数π2cos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；③函数sin y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度．16.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知z 为复数，2i z -和2iz +均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数12i z z m m =++对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19.已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，3PA =，∠ACB ＝90°．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知两个非零向量a 与b 不共线，（1）若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，求证：A ､B ､D 三点共线；（2）试确定实数k ，使得ka b + 与k +a b 共线；（3）若(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，求实数λ的值.21.如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．22.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上.（1）证明：//AP GH ；（2）若AB 的中点为N ，求证：//MN 平面APD .2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ABD三、填空题（本题共4小题，共20.0分）【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】2.【15题答案】【答案】②④【16题答案】【答案】4π四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）42iz =+（2）41m -<<【18题答案】【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）34【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1k =±（3）32λ=-【21题答案】【答案】(1)2；（2）4.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。
高一下学期第三次月考数学试卷(附含答案)
高一下学期第三次月考数学试卷（附含答案）试卷满分150分（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.四边形是平面图形D.经过两条相交直线有且只有一个平面2.在ABC △中，AC=1，AB =和BC=3，则ABC △的面积为（ ）D.3.设m ，n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面（ ） A.若m n ⊥ n α∥，则m α⊥B.若m β∥βα⊥，则m α⊥C.若m β⊥ n β⊥ n α⊥，则m α⊥D.若m n ⊥ n β⊥ βα⊥，则m α⊥4.在ABC △中4a = 3b = 2sin 3A =，则B =（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π5.如图 在长方体1111ABCD A B C D -中2AB = 11BC BB == P 是1A C 的中点，则直线BP 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.13C.36.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工 该工件底面半径15cm 高10cm 加工方法为在底面中心处打一个半径为cm r 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）cmC.4D.57.已知在ABC △中2B A C =+ 2b ac =，则ABC △的形状是（ ） A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）22C.D.二、多项选择题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.在每小题给出的四个选项中至少有两个是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡相应位置上）9.如图 已知正方体1111ABCD A B C D - M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）A.1C M AC ∥B.1BD AC ⊥C.1BC 与AC 所成的角为60°D.CD 与BN 为异面直线10.在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 下列关系式恒成立的是（ ） A.cos cos c a B b A =⋅+⋅B.22sin1cos 2A BC +=+ C.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅D.tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-11.如图 在正四棱锥S ABCD -中E M N 分别是 BC CD SC 的中点 动点P 在线段MN 上运动时 下列四个结论恒成立的是（ ）A.EP AC ⊥B.EP BD ∥C.EP ∥平面SBDD.EP ⊥平面SAC12.如图 在正方体1111ABCD A B C D -中M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.平面1D MN 与11B C 的交点是11B C 的中点B.平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三等分点C.平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D.平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积之比为1：1三、填空题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC △中若4AB = 7AC = BC 边的中线72AD =，则BC =______.14.已知圆锥的顶点为P 底面圆心为O 高为1 E 和F 是底面圆周上两点 PEF △面积的最大值为______.15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2 4 侧棱长为2，则其体积为______.16.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α 使α∥平面11A B CD 11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角为______.四、解答题（本大题共6小题 共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成 其尺寸如图所示. （1）求此几何体的表面积；（2）如图 点P Q 在几何体的轴截面上 P 为所在母线中点 Q 为母线与底面圆的交点 求在几何体侧面上 从P 点到Q 点的最短路径长.18.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c cos cos 3cos b A a B c A +=.（1）求cos A ；（2）若2a = 求ABC △面积的最大值.19.（本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中2AB = M 是11B C 的中点. （1）求证：1AC ∥平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点 当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时 求三棱锥1P A MB -的体积.20.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 已知cos cos b A a B b c -=-. （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上 且2CD BD = cos B =求tan BAD ∠. 21.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中90ABC ACD ∠=∠=︒ 30BCA CDA ∠=∠=︒ PA ⊥平面ABCD E F 分别为PD PC 的中点 2PA AB =. （1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ； （2）求二面角E AC B --的余弦值.22.（本题满分12分）如图 在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所 海岸线北侧有一个小岛 岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向处 另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向 且与点A 相距10km 研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站. （1）若4km CP = 求此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠的正切值； （2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大 问点P 应选址何处？参考答案17.（1）由题设 此几何体是一个圆锥加一个圆柱 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=.（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面 展开如图.则PQ ===∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为. 18.（1）因为cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A += ∴()sin 3sin cos A B C A +=∴sin 3sin cos C C A =.在ABC △中sin 0C ≠ ∴1cos 3A =；（2）由（1）知1cos 3A =由22sin cos 1A A += A 为锐角 得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-= 因为2a =∴2233122b c bc +-= ∴22212336bc b c bc +≥=+ 即3bc ≤ 当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△ ABC △. 19.（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N 连接MN因为四边形11AA B B 为平行四边形 11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点 因为M 为11B C 的中点，则1MN AC ∥∵1AC ⊂/平面1A MB MN ⊂平面1A MB 故1AC ∥平面1A MB . （2）因为1CC ⊥平面ABC ∴1AC 与平面ABC 所成的角为1CAC ∠因为ABC △是边长为2的等边三角形，则2AC =∵1CC ⊥平面ABC AC ⊂平面ABC ∴1CC AC ⊥，则11tan 2CC CAC AC ∠==所以 124CC AC ==∵1AC ∥平面1A MB 1P AC ∈ 所以点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433A P A MB C A MB B A C M C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△.20.（1）解：因为cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac +-+-⋅-⋅=-化简可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==因为0A π<< 所以 3A π=.（2）解：因为cos B =，则B 为锐角 所以 sin 3B ===因为A B C π++= 所以 23C B π=-所以22211sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B πππ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭设BAD θ∠=，则23CAD πθ∠=-在ABD △和ACD △中由正弦定理得sin sin BD AD B θ==sin sin 3CD AD C πθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为2CD BD =(3sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(1sin 3sin 22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以tan tan BAD θ∠===21.（1）由题意 设AB a =，则2PA AC a == 4AD a =CD =∴PD == 又PA ⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD∴PA AC ⊥，则在Rt PAC △中PC =在PCD △中222CD PC PD +=，则CD AC ⊥ 又CD ⊂面ABCD 有PA CD ⊥ 又AC PA A ⋂= 故有CD ⊥面P AC 又E F 分别为PD PC 的中点 即EF CD ∥ ∴EF ⊥面P AC 又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；（2）过E 作EH AD ⊥ 易知H 为AD 中点 若G 是AC 中点 连接EH HG EG∴GH AC ⊥ EH AC ⊥ GH EH H ⋂= 故AC ⊥面EHG 即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角∴由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠易知EH PA ∥，则EH ⊥面ABCD GH ⊂面ABCD 所以EH GH ⊥在Rt EHG △中EH a = GH =，则2GE a =∴cos 2EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为()cos 2EGH π-∠=-.22.（1）设APB θ∠= 由题意知AC CP ⊥ AC = 4km CP = 30yAB ∠=︒ 所以tanCAP ∠==即30CAP ∠=︒ 8km AP = 1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒ 在BAP △中10km AB =由正弦定理得 ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒- 即()108sin sin 60θθ=︒-化简得13sin θθ= 即tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠. （2）过点B 作BD CP ⊥于点D 设km CP x =由（1）得 当5x >时 点P 在点D 的右侧 ()5km PD x =-，则tan BD BPC PD ∠==当05x <<时 点P 在点D 的左侧 ()5km PD x =-，则tan 5BD BPC PD x ∠=-=-.又tan APC ∠=，则当0x > 且5x ≠时有())24tan tan 5108x BPC APC x x θ+=∠-∠==-+. 当5x =时 点P 与点D 重合tan tan CD CAD AC θ=∠== 满足上式所以)24tan 5108x x x θ+=-+.令4x t +=，则)tan 445410813t t t t t θ===>---++- ⎪⎝⎭因为14424t t +≥=，则0tan θ<≤= 当且仅当1444t t =>即12t = 8x =时取等号 此时tan θ。
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。
扬州中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
扬州中学2022-2023学年高一下学期月考数学试卷 2023.3第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a 、b 是非零向量，则“a 、b 共线”是“a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3EB DE =，若(),R AE AD AC λμλμ=+∈，则（ ）A ．12λμ=B ．2λμ=C ．3λμ=D ．13λμ=3. 已知单位向量a b ，满足14a b ⋅=，且2c a b =+，则sin ,a c <>=（ ）A ．8B ．8C ．38D ．84. 在ABC 中，若sin2sin2sin2B C A +=，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5. 已知()()11tan sin sin 34tan ααβαββ⎛⎫+=-==⎪⎭，，则（ ） A ． -2B ．12-C ． 2D ．126. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BCD △是等边三角形，2AD =，27BD =，23πBAD ∠=，则ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα<<，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）C.43 D.458. 已知函数()s i n 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3πsin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若当120x x t ≤<≤时，总有()()()()1212f x f x g x g x -<-，则正实数t 的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
广东省深圳市南山区为明学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
广东省深圳市南山区为明学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =I （ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}22．已知向量(2,(1,2),)a b x ==-r r ，若//a b r r ，则a b +=r r（ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-3．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，|BC|=1，则AB ⋅BC = A ．-3 B ．-2 C ．2D ．34．在ABC V中，若π1,cos 63a A C =∠==-，则c =（ ） AB ．23CD ．835．设ABC V 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，b 30A =︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．1或2D6．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-7．已知a =r 2a b ⋅=-r r ，则向量b r 在向量a r上的投影向量为（ ）A ．12a rB ．12b rC ．a -rD ．b -r8．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且对于()(R)y f x x =∈，当1x ，2(,0]x ∈-∞时，1212()()0f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(C ．⎡⎣D ．)+∞二、多选题9．已知3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．4sin(π)5α+=B ．π4cos 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．4tan(π)3α-=D ．3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭10．在ABC V 中，D 在AB 边上，2AD DB =u u u r u u u r，E 是CD 的中点，则（ ）A ．BC AB AC =-u u u r u u u r u u u rB ．2133CD CA CB =+u u u r u u u r u u u rC ．1132AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．23AC CB CD =-uu u r uu r uu u r11．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos sin a B b A c +=，222sin a a b c ab C =+-=，则（ ）A ．tan 2C =B ．π3A =C ．b =D ．ABC V 的面积为三、填空题12．已知向量(2,1)a =r ，(2,4)b =-r ，则||a b -=rr ．13．为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得建筑物顶A ､教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则计算圣索菲亚教堂的高度CD 为m ．14．设锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2C A =，则2c ba+的取值范围是．四、解答题15．已知向量 a r 和 b r ，则 2=r a ,2b =r , ,60a b 〈〉=︒rr 求：(1)a b ⋅r r 的值；(2)2a b +u u r r 的值； (3)2a b +r r 与 b r的夹角θ的余弦值．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222s in s i n s i n s i n s i n B C A B C+-=.(1)求角A ；(2)若6a =，2b c =，求ABC V 的面积.17．已知函数()222cos 1f x x x =+-. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)若π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，60ADC ∠=︒，2AD =．(1)若45ACD ∠=︒，求三角形手巾的面积； (2)当ACAB取最小值时，请帮设计师计算BD 的长． 19．已知函数()221x f x a =-+为定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 的值；(2)（i ）证明：()f x 为单调递增函数； （ii ）()0,x ∀∈+∞，若不等式()2221log log 1011m f x x x x x +⋅-+>++恒成立，求非零实数m 的取值范围.。
河南省开封市杞县高中2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题
河南省开封市杞县高中2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg ）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．这2000头生猪体重的众数为160kgB ．这2000头生猪中体重不低于200kg 的有80头C ．这2000头生猪体重的中位数落在区间[)140,160内D ．这2000头生猪体重的平均数为152.8kg10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且为_________.四、解答题17．已知在OAB V 中，点D 在线段OB 上，且2OD DB =，延长BA 到C ，使BA AC=.设OA a =uuu r r ，OB b=uuur r .(1)用a r 、b r 表示向量OC uuu r 、DC uuu r ；(2)若向量OC uuu r 与OA k DC +u u r u u u r 共线，求k 的值.18．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020éë，，=，故当时，，此时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．（II）设小艇与轮船在B处相遇，则，故，，，即，解得，又时，，故时，t取最小值，且最小值等于，此时，在中，有，故可设计方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.。
湖北省武昌2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷含答案
湖北省武昌高一年级三月月考数学试卷（答案在最后）命题教师：高一数学组考试时间：2024年3月25日下午15：00—17：00一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin1,cos1,tan1,1的大小关系是（）A.tan11cos1sin1>>>B.tan11sin1cos1>>>C.1tan1sin1cos1>>>D.1sin1cos1tan1>>>【答案】B 【解析】【分析】先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定tan1、cos1、sin1的取值范围，即可比较大小.【详解】因为1801571845π︒'=≈︒>︒，所以1弧度为第一象限角，在第一象限，tan y x =单调递增，所以tan1tan 451>︒=；在第一象限，cos y x =单调递减，所以cos1cos 452<︒=，在第一象限，sin y x =单调递增，所以1sin 90sin1sin 452=︒>>︒=；综上所述，有tan11sin1cos1>>>.故选：B2.若向量a b ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+ ，若()a ta b ⊥+ ，则实数t =（）A.12-B.12C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+ 两边平方得22b a b =⋅ ，结合条件可得b a = ，又由()a ta b ⊥+，可得20t a a b ⋅+⋅=，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ .即22b a b =⋅ ，也即22cos 3b a b π= ，所以b a = .又由()a ta b ⊥+ ，得()0a ta b ⋅+=，即20t a a b ⋅+⋅= .所以2221122ba b t ab⋅=-=-=- 故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.3.已知向量()2,0a = ，3sin ,2b α⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若b 在a 上的投影向量1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则向量a 与b 的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量求出13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，再求向量a 与b 的夹角.【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，与a同向的单位向量为e ，∵b 在a上的投影向量为1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,0a = ，∴()()2sin cos sin 12,0,0240,a b a b e a aαθα⋅⋅=⋅===⎛⎫⎪⎝⎭，∴1sin 2α=，∴1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1cos 2a b a b θ⋅==，∵[]0,πθ∈，∴π3θ=，∴a 与b的夹角为π3，故选：C.4.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为（）A.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B.ππ2sin 1303h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D.ππ2sin 1606h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为()πsin (00)2h A t B A ωϕωϕ=++>><，，由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A B =⎧⎨=⎩，由2π60T ω==，可得π30ω=由t =0时h =0，可得2sin 10ϕ+=，则1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，则π6ϕ=-则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：A5.如图，在ABC 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ==== ，则BE =（）A.1181515a b - B.28315a b -C.1181515a b -+D.28315a b -+【答案】C 【解析】【分析】结合图形由向量的线性运算可得.【详解】因为,2BC AC AB b a BD DC =-=-=，所以()2233BD BC b a ==- ，()221333AD AB BD a b a b a =+=+-=+，又因为4AE ED = ，所以11212155331515DE DA b a b a ⎛⎫==-+=--⎪⎝⎭，所以()221118315151515BE BD DE b a b a a b =+=---=-+，故选：C.6.已知A 为锐角，cos tan22sin A A A =-，()215tan 15A B -=，则tan B =（）A.17-B.17C.17-D.17【答案】A 【解析】【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简cos tan22sin AA A=-，求sin A ，再求tan A ，再由两角差的正切公式求tan B .【详解】因为cos tan22sin A A A =-，所以sin2cos cos 22sin A AA A=-，所以22sin cos cos 12sin 2sin A A AA A=--，又A 为锐角，cos 0A >，所以()22sin 2sin 12sin A A A -=-，解得1sin 4A =，因为A为锐角，所以cos 4A =，tan 15A =又215tan 15A B -=（）所以()()()tan tan tan tan 1tan tan 171515A AB B A A B A A B --⎡⎤=--==-⎣⎦+-.故选：A.7.已知函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，且在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（）A.(0,1]B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.[1,)+∞ D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，确定ϕ的取值，解得()()2sin f x x ω=-，令t x ω=，结合已知条件根据2sin y t =-的单调区间，取值情况得到关于ω的不等式，求解即可.【详解】因为函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，所以ππ2k ϕ=+()Z k ∈，又因为0πϕ<<，所以π2ϕ=，所以()π()2cos()2cos(2sin 2f x x x x ωϕωω=+=+=-；令t x ω=，因为π2π23x -≤≤，则π2π23x ωωω-≤≤，即π2π23t ωω-≤≤，2sin y t =-的减区间为ππ2π2π22k t k -+≤≤+()Z k ∈，又()f x 在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以π2π,23ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈的子集，因为0ω>，所以π02ω-<，2π03ω>，只有0k =时区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈是由负到正，所以有：ππ222ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，134ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得34ω≤；因为函数()f x 在[0,]π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，相当于2sin y t =-，在[]0,πω上只有一个最小值，所以有：ππ25ππ<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，125<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1522ω≤<；综上取交集有：341522ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，解得1324ω≤≤.故选：D8.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为A.12+B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B ++，然后利用辅助角公式以及二倍角公式sin sin A B C +的最大值；解法2sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值.【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C=++)sin sin cos C C B C B =++≤2=≤=，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B ；法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤+=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个等式中正确的是（）A.tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=+B.14sin10cos10-=︒︒C.已知函数()sin f x x x =+，则()f x 的最小正周期是2πD.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin sin sin αβαβ+=，则()()cos sin sin sin cos cos αβαβαβαβ+++1【答案】AB 【解析】【分析】根据()tan 60tan 2535︒=︒+︒展开化简得到A 正确，利用三角恒等变换得到B 正确，计算()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得到C 错误，均值不等式等号成立条件不成立，D 错误，得到答案.【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒即tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=A正确；()2cos 10601cos10cos 70441sin10cos10sin10cos10sin 20sin 202︒+︒︒︒︒-===⋅=︒︒︒︒︒︒，B正确；()πππsin cos 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+≠ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；()2sin 2sin cos 2cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+=，即2tan 2tan tan tan αβαβ+=，()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-++=+1111tan tan tan tan 1211tan tan tan tan 2αβαβαβαβ=-++=-≥=，当且仅当11tan tan tan tan 2αβαβ=时等号成立，即tan tan αβ=，2tan tan 2αβ+=，方程无解，故D 错误.故选：AB.10.已知,(0,)αβπ∈，5sin 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 435πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()αβ-=（）A.3365-B.6365-C.3365D.6365【答案】CD 【解析】【分析】先计算得到cos 32611πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3sin 35πβ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，再利用()sin αβ-=sin 632πππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开得到答案.【详解】(),0,αβπ∈，7,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，51sin ,(,),cos 61326162213ππππααπα⎛⎫⎛⎫+=<+∈∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2,333πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，3cos sin 55433ππββ⎛⎫⎛⎫-=∴-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；sin()sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦[cos cos sin sin ]6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1245333sin()(13513565αβ-=--⨯+⨯=，当3sin 35πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1245363sin()[(13513565αβ-=--⨯+⨯-=，故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换sin()sin 632πππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是解题的关键.11.对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（）A.对任意的k ，()f x 的最大值为1B.当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素C.当3k =时，()f x 在()0,2p 内只有一个零点D.当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】【分析】取1k =利用辅助角公式以及正弦函数的性质得出max ()1f x =>，从而判断A ；由平方关系判断B ；由33sin cos 0x x +=得出sin cos x x =-，结合函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 图象的交点个数判断C ；根据二倍角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出值域判断D.【详解】对于A 项，当1k =时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，max ()1f x =>，故A 错误；对于B 项，22()sin cos 1f x x x =+=，即()f x 的值域为{}1，故B 正确；对于C 项，由33sin cos 0x x +=，解得sin cos x x =-，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 的图象如下图所示由图可知，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 内有两个交点，即()f x 在()0,2p 内有2个零点，故C 错误；对于D 项，()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+=--，因为[]2sin 20,1x ∈，所以max min 111()101,()11222f x f x =-⨯==-⨯=，即()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题在解决C 项时，关键是将函数()f x 的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，从而得出零点个数.三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分．12.已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+=______.【答案】133【解析】【分析】利用2(),()αβαβαβαβα+=++=+-将条件整理可得3sin()sin 13cos()cos .αβααβα+=+从而可得解.【详解】2(),()αβαβαβαβα+=++=+- ，8cos(2)5cos αββ∴++8[cos()cos sin()sin ]5[cos()cos sin()sin ]αβααβααβααβα=+-+⋅++++)cos 13sin()si s n 3co (0βααβαα-+==+，3sin()sin 13cos()cos .αβααβα∴+=+13tan()tan .3αβα∴+=【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“2(),()αβαβαβαβα+=++=+-”，属于难题.13.若2π5sin cos 2)31010ααβα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭，且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是_________．【答案】7π4【解析】【分析】先由降幂公式得到sin 25α=，再由同角三角函数关系得到cos 25α=-和()cos 10βα-=-，然后经过拆角和余弦展开式化简得到结果.【详解】2π1cos 2π1115sin cos 2cos 222sin 2323222210ααααααα--⎛⎫⎛⎫++=++=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 25α=，因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 25α==-，因为3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π24βα≤-≤，又sin()10βα-=，所以()cos 10βα-==-，所以()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα⎛⎡⎤+=+-=---= ⎣⎦ ⎝⎭因为5π2π4αβ≤+≤，所以7π4αβ+=，故答案为：7π4.14.已知函数()=sin()f x A x ωϕ+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且2π9MN =，则(π)f 的值为_________【答案】【解析】【分析】由图像确定A ，设出()()1122,,,M x y N x y ，结合2π9MN =确定ω，再代入4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭得到ϕ，最后代入求值即可.【详解】由图像可知2A =，设()()1122,,,M x y N x y ，由2π9MN =可得212π9x x -=，令()2sin 1x ωϕ+=-，可得125ππ,66x x ωϕωϕ+=-+=-，则()212π2π2π3393x x ωωω-=⇒⨯=⇒=，把4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 结合五点法可得4ππ2sin 033ϕϕ⎛⎫-+=⇒= ⎪⎝⎭，所以()π4ππ2sin 3π+2sin 33f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：四、解答题、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知(1,a = ，4b = ，且()()2315a b a b -⋅+=-．当k 为何值时，（1）向量2a kb +与ka b -互相垂直；（2）向量- a kb 与2ka b - 平行.【答案】（1）1k =或2k =-.（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出a b ⋅，根据向量垂直列式求解；（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小问1详解】∵(1,a = ，∴3a ==，∵()()2315a b a b -⋅+=- ，∴2235215a a b b -⋅-=- ，∴223352415a b ⨯-⋅-⨯=- ，∴2a b ×= ，若向量2a kb + 与ka b - 互相垂直，则()()20a kb ka b +⋅-= ，∴()222220ka kb k a b -+-⋅= ，∴()222234220k k k ⨯-⨯+-=，∴220k k +-=，解得1k =或2k =-.【小问2详解】因为cos ,2a b a b a b ⋅== ，即34cos ,2a b ⨯=，则1cos ,16a b =≠± ，所以,a b不共线，若向量- a kb 与2ka b - 平行，则存在实数λ使得()22a kb ka b ka b λλλ-=-=- 成立，所以1k λ=且2k λ-=-，解得k =.16.已知函数()22sin cos f x x x x =+-．()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2-【解析】【分析】()1利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递减区间；()2利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，由,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得274,336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的单调性，求得()g x 的值域．【详解】()1函数()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，∴当3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，可得2sin 233y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()22sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，274,336x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，()21sin 4,1,32x y g x π⎛⎫⎛⎤∴+∈-∴= ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的值域为(]1,2-．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.17.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）m =（2）764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +===∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴312741273477mm m m≤<≤<≠∴727637{84m m m ≤<≤<≠∴764m ≤<.18.某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y （单位：3/m h ）关于时间t （单位：h ）的关系均近似地满足函数sin()(0,0,0)y A t b A ωϕωϕπ=++>><<，其图象如图所示：（1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产(0)t t >时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过310/m h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【答案】(1)2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭;(2)8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)至少需推迟2小时投产.【解析】【分析】(1)由图可得:,A b ,利用周期公式可求出ω,(3,2)代入求出ϕ,即可得函数解析式;(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 833W t t ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简即可得出8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产,据题意得，2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得1cos cos sin sin 13333m t t m ππππ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭,1化简即可得出,1cos32m π≤-,借助图象性质即可得解．【详解】由图可得:2,4A b ==2632sin 43y t ππωωπϕ=∴=⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭由过点(3,2)可得:sin 1ϕ=所求函数的解析式为2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为2cos (1)4,3t π⎛⎫++⎪⎝⎭乙车间为2cos 43t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,根据题意可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 8332coscos 2sin sin 2cos 8333333cos 833836W t t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8,(0)36W t t ππ⎛⎫∴=++≥ ⎪⎝⎭(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产，根据题意可得:2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭coscos sin sin cos 1333331cos cos sin sin 133331122cos 1cos 332t m t m m t t m m m πππππππππππ∴-+≤⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭+≤∴≤-由函数周期性知(0,6)m ∈,可得:24333m πππ≤≤24m ∴≤≤所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产.【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,及()sin y A x ωϕ=+的图象性质在实际问题中的应用,难度较难.19.已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．（1）若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；（2）若m ＝1，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若1m 、2R m ∈，且1π,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2π()cos 04f x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．【答案】（1）()2,0（2）是（3）(]1,8【解析】【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；(2)1m =时,判断是否存在k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.【小问1详解】根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,【小问2详解】若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时π2π3k n =±,Z n ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.【小问3详解】假设存在实数()0m k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()(),m f x f x k f x k ⋅=++-成立则()()()()22211cos coscos 1cos21cos222m x x k x k x k x k ⎡⎤⎡⎤=++-=++++-⎣⎦⎣⎦()()()1111cos21cos21cos2222m x x k x k ⎡⎤⎡⎤∴+=++++-⎣⎦⎣⎦cos21cos2cos2sin2sin21cos2cos2sin2sin2m m x x k x k x k x k ∴+=+-+++()1cos222cos2cos2,m x x k ∴+=+12ππ,,24m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 均为函数2()cos 04f x x x π⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，()()12π1cos222cos2cosπ22cos2,1cos222cos2cos 2,2m x x x m x x ∴+=+=-+=+=ππ0020cos2142x x x <≤∴<≤∴<≤ ()222122222212sin 22cos22sin 212tan ,1cos212cos 1cos 1cos2cos x x x m x m x x x x x ---∴=====++-+()2244124411π4tan ,4tan ,(0)cos cos 4m m x h x x x x x ∴+=+=+<≤设，函数单调递增，()()π0,4h h x h ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭即()221218h x m m <≤∴+的取范围为(]1,8。
广东省深圳市龙华区深圳市致理中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
广东省深圳市龙华区深圳市致理中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i2．给出下列命题，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．已知,λμ为实数，若a b λμ=r r，则a r 与b r 共线C ．a b =r r 的充要条件是||||a b =r r 且//a br r D ．若,,,A B C D 是不共线的四点，且AB DC =u u u r u u u r，则四边形ABCD 为平行四边形3．已知向量(1,3)a =-r，(,1)b m =r ，若()a b b -⊥r r r ，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．2-或1D ．1-或24．在ABC V 中，2,3,60AB AC B ===︒，则cos C 等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为,AB CD 的中点，则EF AB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．10B ．12C ．14D ．166．已知ABC V 中，D 为BC 的中点，,P Q 分别为,AB AC 上的点，14AP AB =u u u r u u u r ，AQ xAC =u u u r u u u r，PQ 交AD 于点O ，若13AO AD =u u u r u u u r，则x 的值为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,3,2,2,a b c a b C B ABC ===△的面积为（ ）A B C D 8．在ABC V 中，A 1203AB AC ∠=︒⋅=-u u u r u u u r，，点G 是ABC V 的重心，则AG u u u r 的最小值是A ．23B C 3D ．53二、多选题9．设21,e e u r u u r 是平面内两个不共线的向量，则以下,a b r r 可作为该平面内一组基底的是（ ） A ．121,e a e b e =+=ur u u r u r r rB ．1212112,42a b e e e e =+=+u r u u r u r u u r r rC ．1212,a b e e e e =-+=-u r u u r u r u u r r rD ．12122,4e a e b e e =-=-+ur u u r u r u u r r r10．对于ABC V ，下列说法正确的有（ ）A ．若81060a cB ===o ，，，则符合条件的ABC V 有两个 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D ．若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰三角形11．已知ABC V 是边长为2的等边三角形，向量,a b r r满足2,2AB a AC a b ==+u u u r r u u u r r r ，下列结论中正确的有（ ）A ．a r是单位向量B ．BC u u u r ∥b r C ．1a b ⋅=r rD ．(4)BC a b ⊥+u u u r r r三、填空题12．设向量a r ，b r 满足2a =r ，1b =r ，a r 与b r的夹角为60︒，则2a b +=r r ． 13．定义运算a c ad bcb d=-，复数z 满足i 1i 1 iz =+，则z =.14．如图，某山的高度BC ＝300m ，一架无人机在Q 处观测到山顶C 的仰角为15°，地面上A 处的俯角为45°，若∠BAC ＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ 为m ．四、解答题15．（1）化简：23491i i i i i ++++++L ；（2）方程()20x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值.16．已知向量a r ，b r满足1a =r ，2b =r ，且()()235a b a b -⋅+=-r r r r ．(1)若()()a kb ka b -⊥+r u u r r r，求实数k 的值；(2)求a r与2a b +r r 的夹角．17．在ABC V 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+ (1)求B 的大小；(2)若4a =，S =b 的值.18．在直角梯形ABCD 中，ππ24DAB ABC AB ∠∠==，，//,||3||2DC AB DC ==u u u r u u u r，.(1)求AC BD ⋅u u u r u u u r；(2)若k AB AD -u u u r u u u r与AC u u u r 共线，求k 的值；(3)若P 为BC 边上的动点（不包括端点），求()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值.19．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，60ADC ∠=︒，2AD =．(1)若45ACD ∠=︒，求三角形手巾的面积； (2)当ACAB取最小值时，请帮设计师计算BD 的长．。
2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一(下)第三次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a，，复数满足，则()A. B. C. D.2.设D为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是()A. B.C. D.3.设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是()①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则A.①②B.②③C.③④D.①④4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A.9：4B.4：3C.3：1D.3：25.如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若，则四边形ABCD周长为()A.B.4C.D.86.已知a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，且满足，则的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形7.在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段含端点上运动，点P是圆Q 上及其内部的动点，则的取值范围是()A. B. C. D.8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知i是虚数单位，以下四个说法中正确的是()A.B.复数的虚部为iC.若复数，满足，则D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆10.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是()A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为11.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P，使得直线PM与直线为异面直线B.存在点P，使得C.若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D.过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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河南省太康县2016-2017学年高一数学下学期第三次月考试题
考试时间：120分钟
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知变量x，y线性负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．y = 0.4x + 2.4 B．y = 2x + 2.4 C．y = ﹣2x + 9.5 D．y =﹣0.2x + 4.4 2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
3.我校15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按
随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（）.
4.已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
5.从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取三个数字，其中：①至少有一个偶数与都是偶数；
②至少有一个偶数与都是奇数；③至少有一个偶数与至少有一个奇数；④恰有一个偶数与恰有两个偶数．上述事件中，是互斥但不对立的事件是（）
A．①B．② C．③D．④
6.设ω＞0，函数的图象向左平移
个单位后与原图象重合，则ω的最
小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
7.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 0
8.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
9.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）
A． B．
B．C． D．
10.已知向量与不共线，且向量=+m， =n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）
A．mn = 1 B．mn = ﹣1 C m+n = 1 D．m+n =﹣1
11.计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：
例如用16进制表示D+E＝1B，则A×B=( )
（A） 6E (B) 7C (C)5F (D) B0
12.已知的最小正周期是，将图象向左平移
个单位长度后所得的函数图象过点，则（）
（A）在区间上单调递减（B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减（D）在区间上单调递增二．填空题（共20分）
13.已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），
则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为．
14. 已知= （1，—2）， = （1，λ），且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围
．
15.已知向量，的夹角为，且|=1，， |=．
16.若单位向量满足，则在方向上投影为．
三、解答题（本题共6道小题，70分）
17.（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？
18.（12分）甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）
（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．
19.（12分）已知函数f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13．
（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），
骰子向上的数字依次记为a，b，求方程f（x）=0有两个不等正根的概率；
（2）如果a∈[2，6]，求函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率．
20.（12分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如表：
且已知产量x与成本y具有线性相关关系（a，b用小数表示，结果精确到0.01）．
（1）求出y关于x的线性回归方程（给出数据x i y i=1481）；
（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？
（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？
21.（12分）
设f（α）=
（1）化简f（α），并求f（﹣）；
（2）若f（α）=，求cosα．
22.（12分）已知函数的图象过点，且图象
上与P点最近的一个最高点坐标为.
⑴求函数的解析式；⑵指出函数的增区间；
⑶若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到
的图象，求在上的值域.
高一数学答案及解析 2017-5-11
1-12 CABBD DBDBA AB
13. 914.(﹣∞，—2) U（—2，） 15.316. ﹣1
17.(10分) 解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；……2分
（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；
第二组的频率为0.0004×500=0.2；
第三组的频率为0.0005×500=0.25；
∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．
∴中位数为2400（元）
由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，
样本数据的平均数为2400（元）；……6分
（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），
∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，
∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．……10分
18 (12分) 解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用（x，y）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A，
从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，有（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，9）、（6，6）、（6，7）、（6，8）、（6，9）、（9，6）、（9，7）、（9，8）、（9，9）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共16个基本事件；
则A包含（9，6）、（9，7）、（9，8）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），
共7个基本事件；
P（A）=；……6分
（2）甲成绩的平均数为==7.5
乙成绩的平均数为==7.5，
甲成绩的方差S12==4.25，
乙成绩的方差S22==1.25，
比较可得， =，而S12＞S22，即乙的成绩比较稳定；
选派乙参加决赛比较合适．……12分
19. (12分) 解：（1）如果先后抛掷的一枚均匀的骰子所得的向上的点数记为（a，b），则基本事件总数n=6×6=36，
设事件A表示“f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13=0有两个不等正根“，
则事件A满足：，
满足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4个，
∴方程f（x）=0有两个不等正根的概率p（A）=……6分
（2）设事件B表示“函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数”，
∵a∈[2，6]，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13的对称轴为x=a﹣2∈[0，4]，
区间长为4，
f（x）在区间[2，3]上为增函数时，只要对称轴不在[2，3]上即可，
∴对称轴不在[2，3]的区间长为3，
根据几何概型定义得函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率P（B）=……12分20. (12分) 解：解：（1）==3.5， ==71．
=22+32+42+32+42+52=79， =1481，
∴b==≈﹣1.82．
A==71+1.82×3.5=77.37．
∴y关于x的线性回归方程是=﹣1.82x+77.37．……6分
（2）∵b=﹣1.82＜0，产量x的单位为千件，
∴产量每增加1000件时，单位成本平均减少1.82元．……9分
（3）当x=6时， =﹣1.82×6+77.37=66.45．
∴当产量为6000件时，单位成本大约为66.45元．……12分
21. (12分) 解：（1）f（α）===﹣tanα，
可得：f（﹣）=﹣tan（﹣）=tan=．……5分
（2）∵f（α）=﹣tanα=，可求：tanα=﹣，
∴cos2α=
∵tanα=﹣∴α为第二或第四象限角
当α为第二象限角时： cosα = -
当α为第四象限角时：cosα = ……12分
22. (12分)⑴由已知可得
由得
……4分
⑵由
增区间是……6分
⑶……8分
的值域为……12分。