典型锐角三角函数练习题(用)
锐角三角函数练习卷(含答案)
锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。
- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。
- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。
答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。
答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。
答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。
答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。
证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。
锐角三角变换经典练习题附带答案
锐角三角变换经典练习题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念，是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程，提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题，附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sin(90° - x) = \cos x$。
2. 计算 $\cos(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\cos(90° - x) = \sin x$。
3. 计算 $\tan(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\tan(90° - x) = \cot x$。
4. 计算 $\cot(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\cot(90° - x) = \tan x$。
5. 计算 $\sec(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sec(90° - x) = \csc x$。
6. 计算 $\csc(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\csc(90° - x) = \sec x$。
以上是锐角三角变换的经典练题及答案。
通过这些练，可以更好地理解锐角三角变换的概念，并熟练运用余角公式进行计算。
锐角三角变换在解决三角函数计算问题中起到了重要的作用，值得深入研究和掌握。
注意：以上答案中的角度单位均为度。
锐角三角变换经典练题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念，是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程，提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题，附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sin(90° - x) = \cos x$。
锐角三角函数专项练习题
锐角三角函数专项练习题一. 选择题1. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C 等于：a) 30°b) 60°c) 90°d) 120°2. 在锐角三角形ABC中，已知a=3，b=4，则∠C等于：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°3. 已知在锐角三角形ABC中，a=5，c=13，则∠C等于：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°4. 在锐角三角形ABC中，已知a=8，b=15，则sinC等于：a) 8/17b) 15/17c) 17/8d) 17/155. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，b=24，则cosC等于：a) 7/24b) 24/7c) 7/25d) 24/25二. 填空题1. 在锐角三角形ABC中，已知a=4，b=5，则c=____。
2. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，c=10，则b=____。
3. 在锐角三角形ABC中，已知b=9，c=15，则a=____。
4. 已知sinA=3/5，∠A为锐角，则cosA=____。
5. 已知cosA=4/5，∠A为锐角，则sinA=____。
三. 计算题1. 在锐角三角形ABC中，已知a=6，b=8，求c。
解：利用勾股定理，c=sqrt(a^2+b^2)c=sqrt(6^2+8^2)=sqrt(36+64)=sqrt(100)=102. 在锐角三角形ABC中，已知a=5，c=13，求∠A。
解：利用余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)cosA=(5^2+13^2-5^2)/(2*5*13)= (25+169-25)/(130)=169/130然后，∠A=arccos(169/130)=22.62°3. 在锐角三角形ABC中，已知b=7，c=10，求∠B。
锐角三角函数练习题
锐角三角函数练习题(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1．已知cos α＜，锐角α的取值范围是（）A ．60°＜a ＜90B ．0°＜a ＜60°C ．30°＜a ＜90°D0°＜a ＜30°2．2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）A 、 3 33.B C D ．0 3．等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32B C D ．l4．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90°，则a 3 cosA+b 3 cosB 等于（ ） A ．abc B ．（a+b ）c 3 C ．c 3 D ().abc a b c+ 5．点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ）1111.(3,); 3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----6．在△ABC 中，∠C ＝90 °，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c2－4ac+4a 2= 0，则sinA+cosA 的值为（ ） 131223. 2 B C D +++7．在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）3sin(90°－B ）3，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形8．sin35°·cos55°十cos35°·sin55°＝_______ 9. 已知0°＜a ＜4512sin cos =__αα-10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，斜边上的高是 3 ，则a=____, b=______，c ＝______． 11 .在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos ∠OAB 等于__________12.计算|2|4sin 6012--+1||245(20041)2O O -+- ×(－12 )-3+(4)tan 60πO O -+1301()16(2)(2004)36033π-O +÷-+- )()013222sin 60-︒+-（结果保留根号．．．．．．）2(tan301)____-=1360|2|2-+-+ sin 30(1tan 60)tan 45sin 60---13 已知：如图 l －1－2，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°， 求BC 边上的高AD.14如图1－l －3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°，AD=l ，求BD 、DC 的长．15 如图1－1－4所示，四边形ABCD 中，BC=CD=BD ，∠ADB=90°，cos ∠ABD=45 ，求S ΔABD ：S ΔBCD16 如图1－l －6，在四边形ABCD 中．∠B ＝∠D ＝90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求 BCCD 的值。
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ， 在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米． 故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -， 解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。
锐角三角函数练习题(含答案)
锐角三角函数练习题一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D）A.30米B.10米C. 米D. 米2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A）Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C）Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3（第2题）（第3题）（第4题）5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A）A. B. C. D.7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B）A．150 B．C．9 D．78．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A）A．B．3 C．D．9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ）A. (m2)B. (m2)C.1600sinα(m2)D.1600cosα(m2)10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C）A.1B.C.D.（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。
12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。
魏老师初三锐角三角函数典型例题
魏老师初三锐角三角函数典型例题(共13页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______， )(tan 的对边B B ∠=＝______． 第1题图例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．典型例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值对应训练：3．在Rt△ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、 cos B 、 tan B ．3.（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．4.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．6. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．457. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．228. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．A D ECBF DABC对应训练1．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是3 cm 23 cm 23 cm 2cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12 D. 2CBA AB O特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 4．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算：tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 锐角 30° 45° 60° sin cos tan例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAC解直角三角形：类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ； (2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ； (4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米 B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例5．如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ．10米B ． 10米C ． 20米D ．米A BCE例6．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，3≈，60千米/小时≈米/秒）类型四. 坡度与坡角例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少( 精确到海里，732.13 )2．（2012•恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=6 3．(1) 求BD的长；(2) 求AD的长．18．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．三角函数与圆：1．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45CAy11CB A（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
锐角三角函数的经典测试题含答案
CE平行于AB，BC的坡度为i 1: 0.75，坡长0.64，cos40BC 140米，则AB的长为( )(精确0.77，tan40 0.84 )A．78.6米【答案】CB．78.7 米C．78.8 米D．78.9 米锐角三角函数的经典测试题含答案一、选择题1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高解析】【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atan α，BD＝atan β，得出CD＝BC+BD＝atan α +atan即β可．【详解】∴BC＝atan α，BD＝atan β，∴CD＝BC+BD＝atan α+atan β，故选C．点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD 是解题的关键．2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40 ，若DE 55米，DE CE，CE 36米，acos α +acos βC．atan α +atan βaD．tanatan在Rt△ABD 和Rt△ABC中，AB＝ a ，BC BDtan α＝，tan β＝AB ABB．答案】CA．533B．C．222D．【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG 求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC 的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF 为0.75xm ∵BC=140m∴在Rt△BCF中，x20.75x 21402，解得：x=112 ∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ ADG 是直角三角形∵ DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m 设AB=ym ∵∠ DAB=40°DG 167 ∴tan40 °= 0.84AG y 120 解得：y=78.8 故选： C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值3．如图，在等腰直角△ABC中，∠ C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠ BED的值是（）35解析】分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ，设CD 1，CF x，则CA CB 2 ，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△ DEF是△AEF翻折而成，∴△ DEF≌△ AEF，∠ A＝∠ EDF，∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ EDF＝45°，由三角形外角性质得∠ CDF+45°＝∠ BED+45°，∴∠ BED＝∠ CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，∴DF＝FA＝2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+1＝（2﹣x）2，3解得：x 3，4CFsin BED sin CDFDF故选：B．点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将VABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（）71 C．D．7 3 24 3 【答案】 C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，25 25 7解得x= 25，故CE=8-25 = ，4 4 4CE 7∴tan ∠CBE= .CB 24故选 C. 考点：锐角三角函数.5．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P的仰角是45 ，向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60 和30°，则该电线杆PQ 的高度（）A．24B．7A．6 2 3 B．6 3 C．10 3 D．8 3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x 表示出AE和BE，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．【详解】解：延长PQ 交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，∠ A=45°，AE=PE=x；∵∠ PBE=60°∴∠ BPE=30°在直角△BPE中，BE= 3 PE= 3 x，33∵AB=AE-BE=6米，则x- x=6，3解得：x=9+3 3．则BE=3 3 +3 ．在直角△BEQ中，QE= 3 BE= 3（3 3 +3）=3+ 3．33∴PQ=PE-QE=9+3 3-（3+ 3 ）=6+2 3．答：电线杆PQ的高度是（6+2 3 ）米．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题6．如图，在x轴的上方，直角∠ BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠ BOA的两边分别与12函数y 、y 的图象交于B、A 两点，则∠ OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D 【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE ；1设 B 为（a，）， A 为OF AF a2 1 2（b，），得到OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，进而得到a2b22 ，此为解决问题的关 b a b2键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠ OAB= 2为定值，即可解决问题．2【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△ OFA，∴BE OE∴OF AF ，12设点 B 为（a，），A 为（b，2），a b12则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= 2，a b2可代入比例式求得 a 2b 2 2 ，即 a 2 2 ， b 2该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．7．如图，要测量小河两岸相对的两点 P ，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一解析】 分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度． 【详解】∵PA ⊥ PB ，PC=100米，∠ PCA=35°，根据勾股定理可得： OB= OE 2EB 2a 212，OA= OF 2 AF 2∴tan ∠OAB=OBOA1 b 22 2 (b 2 b 2) = 2 b b2 b 42 = 22∴∠ OAB 大小是一个定值，因此∠ 故选 DOAB 的大小保持不变 .D ． 100tan55 米°a 2a 122 b2b b 42 b 2 b 42点睛】PA 等于（ ）C ． 100tan35米°∴小河宽PA=PCtan∠ PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．② 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠ D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1 米，参考数据：tan36 °≈0，.7c3os36 °≈0，.8s1in36 °≈）0.59A．5.6 B． 6.9 C．11.4 D．13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE 的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解:如图,延长DC、AB 交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝xm，CE＝2xm．在Rt △BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12 ）2，解得x＝12，BE＝12m，CE＝24m ，DE ＝DC+CE ＝8+24＝32m ， 由 tan36 °≈ 0.，73得＝0.73，解得 AB ＝0.73 ×3＝2 23.36m ． 由线段的和差，得AB ＝AE ﹣BE ＝23.36﹣12＝ 11.36 ≈ 11m.4， 故选： C ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 切函数，线段的和差．9．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A ′处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )1BE= AB ，A ′B=AB=，4∠BA ′M=∠A=90°，∠ ABM=∠MBA ′，可得∠2EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ E BA ′=60 °，进而可得∠ ABM=30°，在Rt △ABM中，利用∠ ABM 的余弦求出 BM 的长即可 .【详解】 ∵对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合， AB=4，1∴BE= AB=2，∠ BEF=90°，2∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A '处，并使折痕经过点 B ， ∴A ′B=AB=4，∠ BA ′M= ∠ A=90°，∠ ABM=∠ MBA ′， ∴∠ EA ′B=30°， ∴∠ EBA ′=60°， ∴∠ ABM=3°0 ，∴在 Rt △ABM 中， AB=BM cos ∠ ABM ，即 4=BM cos30 °，CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正A ． 8 33【答案】 A 【解析】 【分析】B ． 4 33C ．8D ． 8 3根据折叠性质可得解得： BM= 8 3 ，3故选 A.【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .故选 B ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质， 线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图 1，在△ABC 中，∠ B ＝90°，∠ C ＝ 30°，动点 P 从点 B 开始沿边 BA 、AC 向点 C 以 恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时到达点 C ，设△BPQ 的面积为 y （cm 2）．运动时间为 x （ s ）， y 与 x 之间关系如图 2所示，当点 P 恰好为 AC 的中点时， PQ 的长为（ ）10． 如图，菱形 ABCD 中， AC 交 BD 于点 O ，DE ⊥BC 于点 E ，连接 OE ，∠ DOE ＝120°，DE A ． 33【答案】 B 【解析】 【分析】证明 △OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OD=OB ，CD=BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠ DEB=90°，∴OE=OD=OB ． ∵∠ DOE=120°，∴∠ BOE=60°，∴△ OBE是等边三角形，∴∠ ∵∠ DEB=90°，∴ BD= DE 2 3 ．sin60 3B ．23 3D ． 3 3DBC=60°直角三角形斜边的中3，解：设 AB ＝a ，∠ C ＝ 30°，则 AC ＝2a ，BC ＝ 3 a ， 设 P 、 Q 同时到达的时间为 T ，则点 P 的速度为 3a ，点 Q 的速度为 3a ，故点 P 、 Q 的速度比为 3： 3， TT 故设点 P 、 Q 的速度分别为： 3v 、 3 v ，由图 2 知，当 x ＝2 时，y ＝6 3，此时点 P 到达点 A 的位置，即 AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝ 2×3 v ＝ 2 3 v ，11y ＝AB ×BQ ＝6v ×2 3 v ＝ 6 3 ，解得： v ＝1，22故点 P 、Q 的速度分别为： 3， 3，AB ＝6v ＝6＝a ， 则 AC ＝12，BC ＝6 3 ，如图当点 P 在 AC 的中点时， PC ＝6，此时点 P 运动的距离为 AB+AP ＝12，需要的时间为 12÷3＝4， 则 BQ ＝3 x ＝4 3 ， CQ ＝ BC﹣ BQ ＝6 3 ﹣4 3 ＝2 3 ， 过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，PC ＝ 6，则 PH ＝ PCsinC ＝ 6×1 ＝3，同理 CH ＝3 3 ，则 HQ ＝ CH ﹣ CQ ＝ 3 3 ﹣2 3 ＝2PQ ＝ PH 2 HQ 2 ＝ 3 9 ＝2 3，D ． 4 3【答案】【解析】【分析】 点 P 、 Q 的速度比为【详解】3： 3 ，根据 x ＝2，y ＝6 3 ，确定 P 、Q 运动的速度，即可求解．C故选： C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关 系，进而求解．12．一艘轮船从港口 O 出发，以 15海里 /时的速度沿北偏东 60°的方向航行 4小时后到达 A 处，此时观测到其正西方向 50 海里处有一座小岛 B ．若以港口 O 为坐标原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向， 1 海里为 1 个单位长度建立平面直角坐标系（如解析】分析】 【详解】解： OA=15×4=60海里，∵∠ AOC=60°，∴∠ CAO=30°，∵sin30°= OCAO 2∴CO=30 海里， ∴AC=30 3 海里， ∴BC=（30 3 －50）海里， ∴B （ 30 3 －50， 30） 故选 A点睛】 本题考查掌握锐角三角函数的应用．13．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测 角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD .如图，嘉淇与假山的水平距离 BD 为 6m ，他的D ．（30，30 3 ）C ．（30 3 ，30）眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE经过量角器的60 刻度线，则假山的高度CD 为（）A．2 3 1.6 m B．2 2 1.6 m C．4 3 1.6 m D．2 3m【答案】A【解析】【分析】CK CK根据已知得出AK=BD=6m，再利用tan30 °= ，进而得出CD 的长．AK 6【详解】解：如图，过点 A 作AK CD 于点K∵BD=6 米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠ AOE=6°0 ，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠ CAK=30°，CK CK∴tan30 °= ，AK 6解得：CK=2 3即CD=CK+DK=2 3 +1.6=（ 2 3 +1.6）m ．故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.14．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosA （）答案】 B 【解析】【分析】构造全等三角形，证明 △ABD 是等腰直角三角形，进行作答【详解】过 A 作 AE ⊥ BE ，连接 BD ，过 D 作 DF ⊥BF 于 F. ∵AE=BF ，∠ AEB=∠ DFB ，BE=DF ，∴△ AEB ≌△ BFD ，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ ABD 是等腰直角三角形，∴cos ∠ DAB= 22 答案选 B.【点睛】 本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题 解题关键 .15． 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，AB ：BC ＝2：1，且 BE ∥ AC ， CE ∥答案】 B解析】分析】DC 交线段 DC 延长线于点 F ，连接 OE 交BC 于点 G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形 OBEC 是菱形，则 OE 与 BC 垂直平分，易得 EF=1 x ， 2 1 A ． 2B ． 2 2C ． 3 2D ． 55C ． 62 3D ． 10过点 E 作 EF ⊥直线 B ． A ．4CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点 E 作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝1 AD＝1 x，OE∥ AB，22∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，1∴CF＝OE＝x．2本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．16．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m 千米∴tan ∠EDC＝EFDF2x xA．m cotcot千米B．cot cot千米C．tan tan千米D．tan tan故选：B．点睛】m m m【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cotBO=PO cot m，又AB=m=AO-BO= PO cot - PO cot = . 所以答案选 A. cot cot【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键17．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠ DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是解析】分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ ADC=12°0 ，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ ADC=18°0 -60°=120 °，∵DF是菱形的高，∴DF⊥ AB，∴DF=AD?sin60 °=834 3，2∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积- 扇形DEFG的面积=8 4 3120 (4 3)32 3 16．360故选： C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．DF 为半径C．32 3 16 D．18 3 答案】C18．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 nmile 的小岛 A 出发， 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔小岛 A 的距离是 ( AB 的长．【详解】 CDcos ∠ ACD= ，AC∴CD=AC?cos ∠ACD=6×0 3 30 3 ．2在 Rt △DCB 中，∵∠ BCD=∠ B=45°，∴CD=BD=30 3 ，∴AB=AD+BD=30+30 3 ．答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是( 30+30 3 )nmile ．故选 D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用 -方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与A ． 30 3 n mile 【答案】 D【解析】【分析】过点 C 作 CD ⊥AB ， B ． 60 n mile C ．120 nmile D ． (30 30 3) n mile则在 Rt △ACD 中易得A D 的长，再在直角 △BCD 中求出 BD ，相加可得 在 Rt △ACD中， AC=60．为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 45°方向，且其到 A 观测点正北风向的距离 BM 的长 为 10 2 km ，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC 方向航行 4 7 km 到达 C 处，测得 C 处 位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离 【答案】 A【解析】【分析】【详解】解：∵∠ MAB=4°5 ， BM=10 2 ，∴AB= BM 2 MA 2 = (10 2)2 (10 2)2 =20km ， 过点 B 作 BD ⊥AC ，交 AC 的延长线于 D ， 在 Rt △ADB 中，∠ BAD=∠MAC ﹣∠ MAB=7°5 ﹣45°=30°， BDtan ∠ BAD=AD∴AD= 3 BD ， BD 2 +AD 2 =AB 2，即BD 2+( 3 BD )2=202，∴ BD=10，∴ AD=10 3 ，在 Rt △BCD 中， BD 2+CD 2=BC 2， BC=4 3 ，∴ CD=2 3 ， ∴AC=AD ﹣ CD=10 3 ﹣ 2 3 =8 3 km ，答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为 8 3 km ． 故选 A ．【考点】解直角三角形的应用 -方向角问题．AC 的长为（ ）B ． 9 3C ． 6 3D ． 7 320．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮 船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮船 所在位置 B 与灯塔 P 之间的距离为 （ ）【答案】 D【解析】 【分析】 根据题意得出：∠ B=30°，AP=30 海里，∠ 案．【详解】 解：由题意可得：∠ B=30°， AP=30海里，∠ APB=90°， 故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为： BP= AB 2 AP 2 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． B ． 45 海里 C ．20 3 海里 D ．30 3 海里APB=90°，再利用勾股定理得出 BP 的长，求出答 30 3 （海里）。
锐角三角函数同步练习(应用题)
第28章锐角三角函数练习题 姓名：________1.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取23=1. 732，结果保留两位小数）2.(2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)3．（2009年黄石市）三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区．它的主峰海拔约为600米，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，现在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中35tan tan 58αβ==，，求发射架高BC ．4．(2009年云南省)如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C 处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20米.请5.（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.CB AP600米山顶 发射架 45° AB C D 60°（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ . 6．（2009年山东青岛市）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）7．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）8.（2009年福州）如，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； （2）线段CD 的长为 ；（3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的 锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． （4） 若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 .9．（2009年日照）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．10．（2009贺州）如图，︒=∠25MON ，矩形ABCD 的对角线ON AC ⊥，边BC 在OM 上，当AC=3时，AD11.（2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离． A CD EFBCG E DB A F ACD AO25°CBM NDC A12. （ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．13. （2009年泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF⊥BC， 交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 14.（2009呼和浩特）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足5075α°≤≤°．如图，现有一个长6m 的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m ．（1）求梯子顶端B 距离墙角C（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子． （3 1.732≈，2 1.414≈）15.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2316.（2009年常德市）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．17.（2009年包头）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米．（1）求乙建筑物的高DC ； （2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC（参考数据：2 1.4143 1.732≈，≈）18．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．19.（2009年台州市）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． （1）求坡高CD ; （2）求斜坡新起点A 与原起点B 的20．（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，B D CA O1 1yx图11 BC A 墙地面 C BA5°D乙C B A甲EC∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积.21.（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）22. (2009年金华市) 如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离ABADCD24.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．第28章锐角三角函数练习题参考答案1. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米2.解：如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt △ABD 中，BD=AB 又在Rt △ABC 中，∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ，即BC=3AB ∵BC=CD+BD ，∴3AB=CD+AB 即（3-1）AB=60A BCD图1 图2DABCEF∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米. 3. 解：在Rt PAB △中，∵tan AB PA α=， ∴6001000m 3tan 5AB PA α===．在Rt PAC △中， ∵tan ACPAβ=， ∴5tan 1000625m 8AC PA β===． ∴62560025m BC =-=． 答：发射架高为25m ．4. 解：过点A 作AE ∥BD 交DC 的延长线于点E ， 则∠AEC =∠BDC =90°．∵45EAC ∠=，20AE BD ==， ∴20EC =．∵tan tan ABADB EAD BD∠=∠=， ∴20tan 60203AB =⋅=2032014.6CD ED EC AB EC =-=-=≈（米）．答：树高约为14.6米．5. 解:（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-. ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-.∴ 1.618.617CE x x =-+=+. ∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =. ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m .(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度. 6. 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥，45°AB ED60°C∴90CEF ∠=°，设CE x =， 在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=， 则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°；∵EF FG EG =+， ∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）． 答：古塔的高度约是39米．7. （1）解：∵DC CE ⊥，∴90BCD ∠=°． 又∵10DBC ∠=°， ∴80BDC ∠=°， ∵85ADF ∠=°，∴360809085105ADB ∠=---=°°°°°． （2）过点D 作DG AB ⊥于点G ．在Rt GDB △中，401030GBD ∠=-=°°°， ∴903060BDG ∠=-=︒°° 又∵100BD =， ∴111005022GD BD ==⨯=． 3cos301005032GB BD ==⨯=°． A CDEFBG在Rt ADG △中，1056045GDA ∠=-=︒°° ∴50GD GA ==，∴50503AB AG GB =+=+（米） 答：索道长50503+米． 8. （1）如图 （2）5;（3）∠CAD ，55(或∠ADC ，552); （4）21. 9. 延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ． 在Rt △AEC 中，AC ＝10，由坡比为1: 3可知：∠CAE ＝30°， ∴ CE ＝AC·sin30°＝10×21＝5， AE ＝AC·cos30°＝10×23＝53 ． 在Rt △ABE 中，BE ＝22AE AB -＝()223514-=11．∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）． 答：旗杆的高度为6米． 10. 解：延长AC 交 ON 于点E ， ∵AC ⊥ON ， ∠OEC=90°，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°，A D=BC ， 又∵∠OCE=∠ACB ， ∴∠BAC=∠O=25°， 在Rt △ABC 中，AC=3， ∴BC=AC· ∴ADABCED A25°CBMDECAD11. 如图，过C 点作CD 垂直于AB 交BA 的延长线于点D .在Rt CDA △中，3018018012060AC CAD CAB =∠=-∠=︒-︒=︒，°.∴•=AC CD 31560sin 30sin =︒•=∠CAD ，︒•=∠•=60cos 30cos CAD AC AD =15.又在Rt CDB△中，22270BC BD BC CD ==，-，()227015365BD ∴=-=.651550AB BD AD ∴=-=-=，答：A B ，两个凉亭之间的距离为50m.12. （1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y （2）5(0)4C -，，5(0)3D ，． 在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ， ∴OCD ∠tan 34==OC OD ．（3）取点A 关于原点的对称点(21)E ，， 则问题转化为求证︒=∠45BOE ． 由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴︒=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．BD CAO 1 1yE13.14. 解：（1）在Rt ACB △中， （2）在Rt ACB △中，31cos 62AC AB α=== ∴可以安全使用.15.. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米16. 设山高BC =x ，则AB =12x ， 由tan 3012002BC x BDx==+，得1)400x=，解得1)16211x ==≈米17.解：（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，根据题意，得6030DBC DAE αβ∠=∠=∠=∠=°，°，36AE BC EC AB ===，米，设DE x =，则36DC DE EC x =+=+， 在Rt AED △中，tan tan 30DEDAE AE∠==°， AE BC AE ∴=∴==，，在Rt DCB △中，tan tan 60DC DBC BC ∠===°，3361854x x x DC ∴=+=∴=，，（米）． （2）BC AE ==，18x =，1818 1.73231.18BC ∴==⨯≈（米）．18. 解：如图，过B 点作BD⊥AC 于DD乙CBA 甲 E∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45° 设BD ＝x,在Rt△ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝33x 在Rt△BDC 中,BD ＝DC ＝x BC ＝2x又AD ＝5×2＝10 ∴3103x x +=得5(31)x =- ∴25(31)5(62)BC =⋅-=-（海里）答：灯塔B 距C 处5(62)-海里19. 解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈（米）； 在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 20解：连接BD ，过C 作CE BD ⊥于E ，10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=，°， 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°，°．553CE BE ∴=∴=，．452103A AB BD BE ∠=∴===°，．.21. 解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点 在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF =3x在Rt △ADF 中，tan 50°=303xx+30+x=3∴DF =3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的 方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的22. 解：由题意可知：AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中, sin ∠ACB =AB AC ∴AC = ABsin ∠ACB = = ∴CD = AC +AD23. （1）证明：在矩形ABCD 中，ABE DFA ∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA △≌△ 在直角ADF △中，在直角DFE △中，10sin 210EF EDF DE ∴∠===。
锐角三角函数及其应用(共60题)(学生版)
锐角三角函数及其应用(60题)一、解答题1(2023·河南·统考中考真题)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF= 11m，BH=20cm．求树EG的高度(结果精确到0.1m)．2(2023·四川宜宾·统考中考真题)渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD=200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的长度．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)3(2023·辽宁·统考中考真题)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)(1)求登山缆车上升的高度DE；(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min)(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)4(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园--“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°、∠BAD=53°，AB=18m．求“龙”字雕塑CD的高度．(B，C，D三点共线，BD⊥AB．结果精确到0.1m)(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)5(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B 处距离灯塔P有多远(结果取整数)？(参考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84．)6(2023·湖北·统考中考真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)7(2023·湖南张家界·统考中考真题)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P 点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)8(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE,BC ⊥BE,CD∥BE，AC=10.4m,BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？(结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)9(2023·广东·统考中考真题)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC= 10m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)10(2023·湖南·统考中考真题)我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图(九)，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°．9s，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°．求火箭从P 到Q处的平均速度(结果精确到1m/s)．(参考数据：sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42)11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC=32°．(1)求∠GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)12(2023·浙江台州·统考中考真题)教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°．黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB 与AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长．(结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)13(2023·湖南怀化·统考中考真题)为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB=35m，测角仪的高度是1.5m(A、B、C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．(3≈1.732，结果保留一位小数)14(2023·新疆·统考中考真题)烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1)．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．(参数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)15(2023·四川遂宁·统考中考真题)某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容 测量湖边A、B两处的距离成员 组长：××× 组员：××××××××××××测量工具 测角仪，皮尺等测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．测量数据角的度数∠A=30°∠B=45°∠C=105°边的长度BC=40.0米AC=56.4米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°．．(从记录表中再选一个条件填入横线)求：线段AB的长．(为减小结果的误差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45进行计算，最后结果保留整数．)16(2023·四川成都·统考中考真题)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)17(2023·贵州·统考中考真题)贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．(图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1m)；(2)求水平距离AF的长(结果精确到1m)．(参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，2≈1.41)18(2023·湖北鄂州·统考中考真题)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=43；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．(图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB)．(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)19(2023·山东东营·统考中考真题)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为多少km？20(2023·四川凉山·统考中考真题)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD=EF=7m,CE=895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m)；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据：2≈1.4,3≈1.7)21(2023·内蒙古·统考中考真题)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．22(2023·湖南常德·统考中考真题)今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图(图2)．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数)．(参考数据：sin65.8°=0.91，cos65.8°=0.41，tan65.8°=2.23)23(2023·山东·统考中考真题)无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)24(2023·重庆·统考中考真题)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米．(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)25(2023·山东聊城·统考中考真题)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1m)．(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)26(2023·四川·统考中考真题)“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时，在与塔底D 水平距离为60米的E 处，测得塔顶部O 的仰角∠OED =45°，风叶OA 的视角∠OEA =30°．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：cos α+β =cos αcos β-sin αsin β，请利用公式计算cos75°；(2)求风叶OA 的长度．27(2023·湖北宜昌·统考中考真题)2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km 的圆形轨道上，当运行到地球表面P 点的正上方F 点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q ．在Rt △OQF 中，OP =OQ ≈6400km ．(参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14)(1)求cos α的值(精确到0.01)；(2)在⊙O 中，求PQ的长(结果取整数)．28(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值)．29(2023·山西·统考中考真题)2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡)．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC 和AB 的长度(结果精确到0.1m ．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A ，B ，C ，D ，E 在同一竖直平面内，AE 与CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE 于点A ，∠BCD =135°，∠EDC =60°，ED =6m ，AE =1.5m ，CD =3.5m计算结果交流展示30(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知∠POQ=30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．(1)求∠COD的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD=12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)31(2023·四川内江·统考中考真题)某中学依山而建，校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E 处测得C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长(结果保留根号)．32(2023·湖北随州·统考中考真题)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB．33(2023·天津·统考中考真题)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求DE的长；(2)设塔AB的高度为h(单位：m)．①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)；②求塔AB的高度(tan27°取0.5，3取1.7，结果取整数)．34(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625;sin58°≈0.848,cos58°≈0.530，tan58°≈1.6)35(2023·湖南永州·统考中考真题)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米(如图1所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)36(2023·重庆·统考中考真题)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A-D-C-B；②A-E-B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B 的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41,3≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？37(2023·江苏苏州·统考中考真题)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度)．已知AD=BC,DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8,cos54°≈0.6)38(2023·湖南·统考中考真题)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．39(2023·山东烟台·统考中考真题)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325)40(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离(图1)．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)41(2023·四川达州·统考中考真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)42(2023·江西·统考中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB=AC=AD，测得∠B=55°，BC=1.8m，DE=2m．(结果保小数点后一位)(1)连接CD，求证：DC⊥BC；(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)43(2023·浙江宁波·统考中考真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A离地面的高度AD．(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)44(2023·江苏连云港·统考中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到0.1m)(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)45(2023·四川广安·统考中考真题)为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC 边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(1)求步道DE的长度．(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位)(参考数据：sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,3≈1.73)46(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．(精确到0.1cm，参考数据sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)47(2023·安徽·统考中考真题)如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75．48(2023·浙江·统考中考真题)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A -D -C ，已知DC ⊥BC ，AB ⊥BC ,∠A =60°,AB =11m ,CD =4m ，求管道A -D -C的总长．49(2023·浙江温州·统考中考真题)根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN (如图1)．他们通过自制的测倾仪(如图2)在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN．任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．50(2023·四川自贡·统考中考真题)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3)，量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．(2≈1.41，结果精确到1米)(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．(结果用不含β1，β2的字母表示)。
《锐角三角函数》习题（含答案）
《锐⾓三⾓函数》习题（含答案）《锐⾓三⾓函数》⼀、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐⾓,且，则为 ( )933425543A B C D ．．．．2．在Rt△ABC 中，∠C = 90°，下列式⼦不⼀定成⽴的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90°3．直⾓三⾓形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．C ．10或D ．⽆法确定4．在Rt△ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A ．c =B ．c =C ．c = a·tanAD ．c = sin a A cos a A tan a A 5、的值等于（）o o 45cos 45sin +A. B. C. D. 12213+36．在Rt△ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S△ABC 等于( )A. 3B. 300C.D. 155037．当锐⾓α>30°时，则cosα的值是（）A ．⼤于B ．⼩于CD 12128．⼩明沿着坡⾓为30°的坡⾯向下⾛了2⽶，那么他下降（）A ．1⽶B ⽶C ．9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）（D10．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC 等于（）43 A ．6 B ． C ．10 D ．12323⼆、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．12．若sin28°=cosα，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡⾯的坡度为1，则坡⾓是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝，则BC 的长为_______cm .5416.如图，在⾼楼前点测得楼顶的仰⾓为，向⾼楼前进60⽶到点，⼜测得仰⾓为，则该⾼楼的D 30?C 45?⾼度⼤约为A.82⽶B.163⽶C.52⽶D.70⽶17．如图，⼩鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的⾼度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰⾓＝60°，则旗杆AB 的⾼度为．（计算结果保留根号）α（16题)三、解答题18．由下列条件解直⾓三⾓形：在Rt△ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 2sin60°·tan45°；（2）+ sin45°22cos 30cos 60tan 60tan 30?+四、解下列各题20．如图所⽰，平地上⼀棵树⾼为5⽶，两次观察地⾯上的影⼦，第⼀次是当阳光与地⾯成45°时，第⼆次是阳光与地⾯成30°时，第⼆次观察到的影⼦⽐第⼀次长多少⽶？（第21．如图，AB 是江北岸滨江路⼀段，长为3千⽶，C 为南岸⼀渡⼝，为了解决两岸交通困难，拟在渡⼝C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°⽅向，B 在C 的东北⽅向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A 是⼀个半径为300⽶的圆形森林公园的中⼼，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修⼀条长为1000⽶的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进⾏说明。
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（ ）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（ ）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。
锐角三角函数练习题.
图5
图6
图2
A D
E
C
B
F
一、选择题
1为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据(单位:米,则该坡道倾斜角α的正切值是(
2先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为( A. αcos 5 B. αcos 5
C. αsin 5
ห้องสมุดไป่ตู้D.
3
5
,则坡面AC的长度为m . 5某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个坡面的坡度为_________.
6如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔402海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为_____________海里(结果保留根号.
α
sin 5
3如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离,在A点测得30BAD ∠=°,在C点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B到公路l的距离为(米.
A .25
B .253
C .1003
3
D .25253+二、填空题
4如图,市政府准备修建一座高AB =6m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为
锐角三角函数练习题
1.如图,沿AE折叠矩形纸片ABCD ,使点D落在BC边的点F处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为( A.34 B.4
3
C.
3
5
D.
45
2如图2,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在
1
锐角三角函数(全)
锐角三角函数 （ 1）一．问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬 水站，对坡面的绿地进行喷灌 .现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 ，为使出水口的高度为 35m ， 求需要准备多长的水管？探究：如图， Rt ABC 与 Rt ABC 中， C C 90 ， A A ， 探究 BC 与 BC 的关系AB A B结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的对边 与斜边的比是一个固定值 .※在 Rt ABC 中， C 90 ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦 . 记作 sin ABC 如图， sinA A 的对边a A 的斜边 c AB 二．例题与练习： 1. 例题：如图，在 Rt ABC 中, C 90 ，求 sin A 和 sinB的值 . 同理： sinB B 的对边B 的斜边 2. 练习： 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 3． 4 C ． 3 ． C ． 35 Rt ABC 中, C 90 ，若 AB 5 ， C ．3 4 A ． 42. 如图，在 A ．3 5 B ．45 3. 在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 2 ， 4 3 AB 是⊙ O 的直径，点 ； sin ADC = 5．在 Rt ABC 中， ACB 90 ， A ． 13 B 4．如图，已知 则 sin BAC = sin ACD 的值为（ ） A ． 5B ． 2 33D D ，则边 AC 的长是 （ ） ．5 且 AB 5 ， BC 3 ． 则 sinA 的值是（ 4 3 b c sin 的值是﹙ ．4 5 AC 4， ACABsin A 23 C 、 D 在⊙ O 上， CD AB 于点 D . 已知 AC 5 ， BC 2 ， ．5三．在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的邻边与 斜边的比是一个固定值，∠ A 的对边与邻边的比是一个固定值，※在 Rt ABC 中， C 90 ，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦.记作 cosAA 的邻边 b ACB 的邻边 a BC 如图， cosA 同理： cosB A 的斜边 c AB B 的斜边 c AB ※在 Rt ABC 中， C 90 ，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切.记作 tanABC AC 如图， tanA A A 的的邻对边边 a b 四．例题与练习： 同理： tanB B B 的的对邻边边b a AC BC 例题：如图，在 Rt ABC 中， 3 C 90 ， BC 6 ，sin A ，求 cos A ， tanB 的值 . 5练习： 1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值 2. 如图，在 Rt ABC 中， 五．课后作业：1. 在 Rt ABC 中， A ． b a tan A2. 在 Rt ABC中， C 90 ， AC 8 ， 3 tan A 4 求 sin A 、 cosB 的值C 90 ， a ， b ， c 分别是 A 、 B 、 C 的对边，则有（ B ． b c sinA C ． a c cosBD C 90 ，如果 cosA 4，那么 tan B 的值为 5 c a sinA A ． 3 5 3．如图： 4. 分别求出图中 A 、 B 的正弦值、余弦值和正切值 5 C ． 3 44 P 是 的边 OA 上一点，且 4 3 P 点的坐标为（ 3， 4），则 cos = （B 层）在 ABC 中， AB a ， AC b ， A ，求 ABC 的面积（用含有字母示）a ，b ， 的式子表三 角 函 数（2）．探究： 如图，在 Rt ABC 中， C 90 .⑴如图 1， A 30 ，求 sin A 、⑵如图 1， B 60 ，求sinB 、⑶如图 2， A 45 ，求 sin A 、⑶ A 的正切值随着 A 的角度的增大而三．例题与练习：例题 1：求下列各式的值：例题 2：⑴如图 1, 在 Rt ABC 中， C 90 , AB 6 ， BC 3 ，求 A 的度数 . ⑵如图 2，已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 3倍, 求 .⑵ 3 tan 30 tan45 2 sin 60 ⑶ cos60 1二．结论： 1. 完成表格：2. ⑴ A 的正弦值随着 A 的角 度的增大而 .⑵ A 的余弦值随着 A 的角度 的增大而 .cosA 、 tanA 的值； cosB 、 tanB 的值； cosA 、 tan A 的值； ⑴ cos 260 sin 260cos45 sin45tan45 练习： 1. 求下列各式的值： ⑴ 1 2 sin 301 sin60 tan30 四．课堂检测：计算：cos260 cos245 2sin30 sin 451.将21 cosB 23 sin B改写成下列形式的式子，其中错误的是（）A. sin30 cosB cos30 sinBB. sin30 cosB sin60 sinBC. cos60 cosB cos30 sinBD. cos60 cosB sin30 sinB2. 在 Rt ABC中， C 90 , a:b 3，则 sin A的值是（）1A. 1B.2 22C. 32D.333. 在 ABC 中，A、 B 都是锐角，且sin A 1，，cosB 3，则 ABC 的形状为（）2 2A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定4. 化简tan30 12的结果为（）3A.1B. 3 1C. 3 1D. 133 35. 已知2sin 3 0 ，则锐角的度数为 . B16.已知 B 是锐角，若sin B 1，则 tan B的值为.2237.在 Rt ABC中， C 90 ,sinB ，则 cos A的值为.238.已知 sin90 23，则锐角的度数为 .9.求下列各式的值：3⑴tan230 2 sin 60 tan45 tan60 cos230 ⑵ cos60 sin 245 tan230 cos 230 sin30410.在Rt ABC中， C 90 , tanA 3 ，且 AB 10cm ，求 AC 、BC的长.11.如图，一块为 ABC 的空地， AC 10m ， BC 30m ， C 150 ，现在这块空地上种植每平方米 a 元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？（B层）12.如图， A ，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经 C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶. 已知 AC 10km， A 30 ， B 45 ，求开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）锐角三角函数 （ 3）二．课堂检测：1. 求下列锐角三角函数值（精确到 0.0001）：⑴ sin25 30 = ； ⑵ cos62 18 =一．例题与练习：例题 1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到 0.0001） ⑴ sin 20 ⑵ cos70 ⑶ sin15 32 ⑷ cos74 28 ⑸tan3 8⑹ tan80 25 43由⑴→⑷你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到 0.0001）⑸ tan36 20 ⑹ tan75 17例题 2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角 ⑴ sinA 0.6275 ⑵ cosA 0.6252 ⑶ tanA 4.8425 练习：⑴ sin A 0.0547⑵ cosA 0.1659 ⑶ tanA 0.8816⑷ sinA 0.9816 ⑸ cosA 0.8607 ⑹ tanA 0.1890例题 3：如图，要焊接一个高 3.5m ，底角为 32 的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点 后两位）练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边 AD 、 BC 的长分别为 62.31cm 和 35.24cm ，它们之间的 夹角 B 为 35 40 ，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）tan26 50 = .⑴ sinA 0.4723，A= ；⑵ cos A A= ；⑶ tanA 15.94 ， A三．课后练1．计算 2sin 60 3 tan 30 的值）A ．3B ． 2 3C ．3 3D ．432．在 Rt ABC 各边的长度都扩 4 倍，那么 B 的正切值（）A ．扩大 4 倍B ．扩大 2倍C ．保持不变D ．缩小4倍3．已知为锐角，tan 3 ，则c os 等于（）A ．1B ．2C ．3 D． 3 2 2 2 34．如果等腰三角形的底角为 30 ，腰长为 6cm ，那么这个三角形的面积为（）A ．4. 5cm2B ．9 3 cm2C ．18 3cm2D ．36cm25Rt ABC C 90 ， b a 则 cosB 等（）5 ．5．12 12A B cm C D ．cm12 ．12 ．13 136已知 cos 则的度数为（）A40 B ．41 C ．42 D ．437.已知 cosA 0.5761，则 A ；若tanA 15.21，则 A ；若sin A 0.3562 ，则 A8. 某人沿倾斜角为 25 的斜坡前行了 100m ，则他上升的最大高度为（精确到 0.01 m ）9．计算：⑴ 2cos60 6 sin 45 sin 60 ⑵ cos45 sin 301cos60 tan45210. 已知：如图，在 Rt ABC中， C 90 ，CD 是高，BC 10cm， B 53 6 ，?求CD 、 AC 、AB ．（精确到 1cm）（B层）1.要求 tan30 的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt ABC ，使 C 90 ，斜边AB 2 ，直角边 AC 1，那么BC 3 ， ABC 30 ，tan30 AC 1 3，在此图的基础上，BC 3 3 通过添加适当的辅助线，可求出 tan15 的值，请简要写出你添加的辅助线和求出 tan15 的值．2 如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，y 轴上，连接 OB ，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点--6--锐角三角函数 （ 4）一．问题： 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 满足 50 75 ，现有一个长 6m 的梯子，问： ⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ ⑵当梯子底端距离墙面 2.4m 时，这个人是否能够安全使用这个梯子？ B 得 AC BC．解直角三角形：在 Rt ABC 中， C 90 ，AC ABB得 A 或由BCA AB三．例题与练习：例题 1：如图， Rt ABC 中， C 90 ， AC 2 ， BC 6 ，解这个直角三角形练习：如上图， Rt ABC 中， C 90 ， BC 30 ， AC 20 ，解这个直角三角形 .例题 2：如图，在 Rt ABC 中， C 90 ， B 35 ， AC 20 ，解这个直角三角形（结果保留小数点 后一位） 练习：如上图，在 Rt ABC 中， C 90 ， A 72 ， 后一位） . AB 14 ，解这个直角三角形（结果保留小数点四．课堂检测：在 Rt ABC中， C 90 ， A 、 B 、 C 的对边分别为 解这个直角三角形 a 、b 和c ，若c 20，b 102 ，五．课后作业：1．在 Rt ABC 中， C 90 ， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 和 c ，根据下列条件解直角三角形2．在 ABC 中， AD BC 于点 D ，且 B 30 ， C 45 ⑴若 AD 5 ，求 BC 的长 ⑵若 BC =15，求 AD 的长3．为了测量塔高，小龙在距塔的中心点 B 50 米的C 处，用测角器量得仰角为 40 ，已知测角器的高度为 1.52 米，求塔高 AB 的长 .（精确到 0.1 米）4. 如图所示，在离铁塔 150米的 A 处用测角仪测得塔顶仰角 求铁塔高 BE . （精确到 0.1 米）5．如图所示，从某海岛上的观察所 A 测得海上某船只 B 的俯角为 8 18 ，若观察所 A 与海面的垂⑴ a 3 3 ， c 6 ⑵ a 36 ， B 30 ⑶ c 10 ， b 6BAC 26 12 ，已知仪器高 AD 1.5 米，直高度 AC 50 米，求船只 B 到观察所的水平距离。
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典型锐角三角函数题一、选择题1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．452．一人乘雪橇沿如图2所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．123米Ｄ．6米3．下列计算错误的是（ ）A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒= C ．sin 60cos60cos60︒︒=︒ D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4．如图3，在ABC ∆中30A ∠=︒,3tan 2B =, 23AC =, 则AB 的长是( )A ．33+B ．223+C ．5D ．925．如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．456．如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A落在1A 处，已知3OA =，1AB =，则点1A 的坐标是（ ）Ａ．3322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， Ｂ．332⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，Ｃ．3322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，Ｄ．1322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，7．已知正三角形ABC ，一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为( )A ． 23aB ．233a C ．3a D ． 33a图3α 图1图2 A D EC B F 图4图58． 点()sin60,cos60M -︒︒关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ． 31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9．在ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且1sin 2A =，3cos 2B =，则ABC ∆的形状是 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定10．如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22（中考深圳市 11 ，3分）、小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）A. ()+63米B. 12米 C ()+423米 D. 10米二、填空题11．如图7，在坡度为1﹕2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米， 斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．12．如图8，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==,15A ∠=︒ ，则BC 边的长为 ．13．如图9，在ABC ∆中，90C ∠=,2BC =,1sin 3A =， 则AB =______．． 14．如图10，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，图7图9 图8图6图3 30°21图3-1若4tan 3AEH ∠=，四边形EFGH 的周长为40，则矩形ABCD 的面积为______．15．如图11所示，在高2米、坡角为30︒的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需______米．（3 1.732≈,精确到0.1米）16．如图12所示，ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥于D ，6BC =，12DC AD =， 则cos C =____．17．某山路的路面坡度1i =︰399，沿此山路向上前进了200m ，升高了______m ． 18．等腰三角形的顶角是120︒，底边上的高为30，则三角形的周长是______． 19．某人沿着山脚到山顶共走了1000m ，他上升的高度为500m ，这个山坡的坡度i 为____． 20.（中考福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号）三、解答题 21．计算：（1）22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒ （2）22sin 45cos30tan 45+- (3) 3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° (4)30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+． 22已知，如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B 处测得岛A 在北偏西︒60，航行24海里后到C 处，测得岛A 在北偏西︒30.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？图10图11 图12A 30600024．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度． （参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21） ．25．在一次公路改造的工作中，工程计划由A 点出发沿正西方向进行，在A 点的南偏西60︒ 方向上有一所学校B ，如图14 ，占地是以 B 为中心方圆100m 的圆形，当工程进行了200m 后到达C 处，此时B 在C 南偏西30︒的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．（2）如图17，是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡角是45︒，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30︒，若新坡角需留3米的人行道，问：离原坡底A 处11米的建筑物是否需要拆除？（2 1.414,3 1.732≈≈）图13（第22题图）A PC B36.9°67.5°28(中考山西9分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A ．B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°，然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米，在点D 测得端点B 的俯角为45°，求岛屿两端A ．B 的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）（中考山东东营，22，9分）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）29.(中考江苏苏州，26，6分)如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE 的长最多为 11.0 米； （2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？30.（中考，黔东南州，22）如图，一艘货轮在A 处发现其北偏东45º方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60º方向的C 处。
（1）求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离。
（2）若货轮以45海里/时的速度向A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截：问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）32.（中考·湖南省张家界市·21题·8分））黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=23千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈1.414 73.13≈45.26≈）（2） 求∠ACD 的余弦值.33.（中考四川内江，18，9分）水务部门为加强防汛工作，决定对水库大坝进行加固，大坝横截面是梯形ABCD ．如图所示，已知迎水坡面AB 长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．（1）若加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．DACB34.（中考湖南益阳，17，8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米／小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3 1.732≈，60千米／小时≈16.7米／秒）35.（中考四川省资阳市，20，8分）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．37.（中考河南，20，9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°，已知点C到大厦的距离BC=7米，90ABD∠=︒,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据：tan310.6,sin310.52,cos310.86︒≈︒≈︒≈）（第20题MPDCBA20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°．(1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)21公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠=︒QPN 30，点A 处有一所中学，AP=160m ，一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？NP A Q13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。