最新第九章：数学建模--数学物理定解问题

第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答

9.1长为l 的均匀细弦，两端固定于0,x x l ==，弦中的张力为

0T . 在x h =点处，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.

【答案 00000(), [0,]|(), [,]t F l h x x h T l u F h l x x h l T l =-⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩】

9.2 长为l 的均匀杆两端受拉力

0F 作用而作纵振动，写出边界条件.

【答案 000|, |x x x x l YSu F YSu F ====】 9.3 长为L 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为

0q ，写出这个热传导问题的边界条件.

【答案 000|,|x x x x L ku q ku q ==-==】

9.4 一根长为L 的均匀细弦，两端固定于0,x x L ==，用手将弦于x l =处朝横向拉开距离h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.

【答案

20;(0,)0(,);(,0)0,

(0)(,0)() ()tt xx t u a u u t L t u x h x x l l u x H L x l x L L l -====⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩】 9.5有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力

0()sin F t F t ω=作用，试写出其纵振动

方程与定解条件. 【答案

20sin 0;(0,)0,(,);(,0)0,(,0)0tt xx x t t u a u u t u l t F u x u x Ys ω-=====】 9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.

【答案 20;(0,)0(,);(,0),(,0)0tt xx x t u a u u t u l t u x x u x l ε

-=====】

9.7 长为l 的理想传输线，一端0x =接于交流电源，其电动势为

0sin E t ω，另一端x l =开路。试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.

【答案 22i 0010,(),|,|0t tt xx x x l a a E e i LC ω==-====v v v 】

9.8 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为0T ，杆上温度梯度

均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.

【答案 2200,(/);(0,)0,(,)0;(,0)/,(0,)t xx x u a u a k c u t u l t u x T x l x l ρ-=====∈】

9.9试推导均匀弦的微小横振动方程.

【答案 具有类型：2tt xx u a u f -=，详细自行讨论】

9.10 试推导出一维和三维热传导方程.

【答案 具有类型：22;()t xx t xx yy zz u a u f u a u u u f -=-++=，详细自行讨论】

9.11 试推导静电场的电势方程.

【答案 具有类型：xx yy u u f +=，详细自行讨论】

9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h .

【提示：取x 沿槽的长度方向，取u 为水的质点的x 方向位移】

【答案 取x 沿槽的长度方向，u 为水的质点的x 方向位移，则tt xx u ghu =】

9.11. 有一长为l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置的外力,外力线密度已知,开始时.弦12

处受到冲量I 作用,试写出其定解问题. 答 ()()()()()()()[]22222,0,,0,0.,00,00,00,2t u u a f x t x l t t x u l t u t hu l t t x u x I l u x x x l δρ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪=+=≥⎪∂⎨⎪=⎪⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩

9.14由一长为l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.

(答()()()()()()[]222,,0,,0,0,0,0,0,0,u u a f x t x l t t x u l t u t t x u x x x l ϕ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪==≥⎨∂⎪=∈⎪⎪⎩

) 9.15 设有高为h 半径为R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.

答 ()[)[)()2222222011,, 0,,0,2,0,, 0z z h r R u u u u f r z r R z h r r r r z u A u B u

r θθπθ===⎧∂∂∂∂+++=∈∈∈⎪∂∂∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩

9.16 设有定解问题

()()22222200

0,0,0;00,0,0,,,,0,0x x a y y b t t t u u u x a y b t t x y u u u u t u x y u x y x a y b ϕψ======⎧∂∂∂=+<<<<>⎪∂∂∂⎪⎪==⎪⎨==≥⎪⎪=⎪⎪=<<<<⎩

给出与其对应的物理模型.

答 边界固定的矩形膜的自由振动,其初始位移于初始速度已知

本章计算机仿真编程实践

9.18 试求泊松方程2223y xy x u ++=∆的一般解，并尝试用计算机仿真的方法求解。

【答案 ()()()4341i i 612

u f x y g x y x x y y =++-+

++】 【解】计算机仿真图形程序

% 可将通解写为：f(x+iy)+g(x-iy)+x^4/12+y^4/12+x^3*y/2 这里的f,g 可以取为相应自变量的任意函数

% 不妨取为 f=1;g=1

% 而且解的区域取为 园域： 'circ')

ezsurf('1+1+x^4/12+y^4/12+x^3*y/2','circ');

shading flat;view([-18,28]) 仿真图形