最新第九章：数学建模--数学物理定解问题
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
数学物理方程_定解问题
根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
时
4、定解问题是一个整体
达朗贝尔公式的求解过程，与大家熟知的常 微分方程的求结果成完全类似。
但遗憾的是，绝大多数偏微分方程很难求出 通解；即是求出通解，用定解条件确定其中待 定函数往往更为困难。这说明，达朗贝尔公式 不适用于普遍的数学物理定解问题的求解？
（7.1.8）
称式（7.1.8）为弦的自由振动方程。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为
(7.1.9)
式中
称为力密度，为 时刻作用于
处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使 它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使 它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵 振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是纵波.
泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数 , 即为第一类边界条件．
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数 的数值
u n
x0 , y0 ,z0
f (x0, y0, z0,t)
（7.2.3）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在 边界上的数值
（7.2.4）
其中 是时间 的已知函数， 为常系数．
7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件
数学建模在物理研究中的应用
数学建模在物理研究中的应用数学建模是一种将实际问题抽象化为数学模型的方法，通过数学模型的分析和求解，可以得到对实际问题的深入理解和解决方案。
在物理研究中，数学建模发挥着重要的作用，可以帮助科学家们更好地理解和解释物理现象，推动科学的发展和进步。
一、微分方程在物理研究中的应用微分方程是数学建模中最常用的工具之一，它描述了物理现象中的变化规律。
在物理研究中，很多问题都可以通过微分方程来建模和求解。
以牛顿第二定律为例，它描述了物体的加速度与作用力之间的关系。
通过建立物体的运动微分方程，可以求解出物体的运动轨迹和速度变化。
这对于研究物体的运动规律、预测物体的行为具有重要意义。
另外，微分方程还可以用于描述热传导、扩散、振动等物理现象。
通过建立相应的微分方程模型，可以研究这些现象的规律和特性，为实际问题的解决提供理论依据。
二、概率论在物理研究中的应用概率论是研究随机现象的数学理论，它在物理研究中也有广泛的应用。
在物理实验中，往往存在着一定的随机性，通过概率论的方法可以对这些随机现象进行建模和分析。
例如，在粒子物理研究中，粒子的衰变过程往往是一个随机事件。
通过概率论的方法，可以建立粒子衰变的概率模型，预测粒子衰变的规律和特性。
这对于研究基本粒子的性质和相互作用具有重要意义。
另外，概率论还可以应用于统计物理学中。
统计物理学研究的是大系统中的微观粒子运动和宏观物理量之间的关系。
通过概率论的方法，可以建立系统的统计模型，研究系统的平衡态和非平衡态，揭示物质的宏观性质和相变规律。
三、优化理论在物理研究中的应用优化理论是研究如何找到最优解的数学理论，它在物理研究中也有广泛的应用。
在物理实验和工程设计中，往往需要找到最佳的方案或参数配置，通过优化理论的方法可以实现这一目标。
例如，在光学设计中，如何设计出具有最佳光学性能的透镜系统是一个重要问题。
通过建立光学系统的数学模型，并运用优化理论的方法，可以求解出最佳的透镜参数配置，实现光学系统的高性能。
第九章：数学建模--数学物理定解问题
常见问题第九章 数学建模--数学物理定解问题 问题一； 设一长为l 的杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，写出此定解问题.【解】 (1)泛定方程：因杆作自由纵振动，自由即无外力作用，所以泛定方程为20tt xx u a u -= (2)边界条件：原来杆受压，放手后作自由振动，即这时两端无外力作用，这意味着杆的两端自由.“自由”表示在两端点处张应力为零．如果杆的材料的杨氏模量是Y ，根据胡克定律，而张应力等于杨氏模量Y 与相对伸长x u 的乘积，故 0|0, |0x x x x l Yu Yu ====即 0|0, |0x x x x l u u ====(3)初始条件：杆由长l 压缩为(12)l ε-，共缩短了2l ε，压缩率为22l l εε=，又杆的中点2l 压缩前后不变，即位移2|0l x u ==，以中点2l 为标准，左边位移为正，右边位移为负.根据上述分析，初始时刻0t =时的位移为2(,0)()2l l u x x l ε=-，初始速度为零，即(,0)0t u x =.综上所述：定解问题为20 (0,0) (0,)0,0 (0)(,0)2(),(,0)0 ( 2,)tt xx x x t u a u x l t u t u t l u x t x u x l ε-=<<>==≥=-= (0)x l ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎩问题二； 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v ，近端短路，试写出其定解问题.【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.20xx a -=tt v v（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==，根据(9.1.13)公式得到 0i L Ri x t ∂∂++=∂∂v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L xt ∂∂=-∂∂v ，代入条件|0x l i ==有 (,)||0x x l x l i i l t L L t t ==∂∂=-=-=∂∂v而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0|(0,)0x t ===v v （3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时的电流0|0t i ==，根据(9.1.14)公式， 0i C G x t ∂∂++=∂∂v v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i tC x ∂∂=-⋅∂∂v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==∂∂∂=-⋅=-⋅=∂∂∂v 综上所述，故其定解问题为200000 (0,0)|0,0 (0) |,0 (0) xx x x x l t t t a x l t t x l ====⎧-=<<>⎪=≥⎨⎪=≤≤⎩tt v v v v |=v v v |=。
数学建模论文(最新9篇)
数学建模论文（最新9篇）大学数学具有高度抽象性和概括性等特点，知识本身难度大再加上学时少、内容多等教学现状常常造成学生的学习积极性不高、知识掌握不够透彻、遇到实际问题时束手无策，而数学建模思想能激发学生的学习兴趣，培养学生应用数学的意识，提高其解决实际问题的能力。
数学建模活动为学生构建了一个由数学知识通向实际问题的桥梁，是学生的数学知识和应用能力共同提高的最佳结合方式。
因此在大学数学教育中应加强数学建模教育和活动，让学生积极主动学习建模思想，认真体验和感知建模过程，以此启迪创新意识和创新思维，提高其素质和创新能力，实现向素质教育的转化和深入。
一、数学建模的含义及特点数学建模即抓住问题的本质，抽取影响研究对象的主因素，将其转化为数学问题，利用数学思维、数学逻辑进行分析，借助于数学方法及相关工具进行计算，最后将所得的答案回归实际问题，即模型的检验，这就是数学建模的全过程。
一般来说"，数学建模"包含五个阶段。
1、准备阶段主要分析问题背景，已知条件，建模目的等问题。
2、假设阶段做出科学合理的假设，既能简化问题，又能抓住问题的本质。
3、建立阶段从众多影响研究对象的因素中适当地取舍，抽取主因素予以考虑，建立能刻画实际问题本质的数学模型。
4、求解阶段对已建立的数学模型，运用数学方法、数学软件及相关的工具进行求解。
5、验证阶段用实际数据检验模型，如果偏差较大，就要分析假设中一些因素的合理性，修改模型，直至吻合或接近现实。
如果建立的模型经得起实践的检验，那么此模型就是符合实际规律的，能解决实际问题或有效预测未来的，这样的建模就是成功的，得到的模型必被推广应用。
二、加强数学建模教育的作用和意义（一）加强数学建模教育有助于激发学生学习数学的兴趣，提高数学修养和素质数学修养和素质自然而然得以培养并提高。
（二）加强数学建模教育有助于提高学生的分析解决问题能力、综合应用能力因此通过数学建模活动学生的视野将会得以拓宽，应用意识、解决复杂问题的能力也会得到增强和提高。
数学建模国赛物理题
数学建模国赛物理题题目：水滴在竖直电场中的运动轨迹背景描述：在实验室中，研究人员将一块亲水性材料悬挂在竖直电场中，并在材料上滴下水滴，观察水滴的运动轨迹。
通过研究水滴在电场中的运动，可以了解电场对水滴的运动轨迹产生的影响，进而应用于液滴操控、液滴传感等领域。
问题陈述：已知在竖直电场中，一个水滴从某固定高度自由下落。
假设电场以垂直向上的方向施加竖直电场力。
我们需要对水滴的运动轨迹进行建模，并分析不同参数对运动轨迹的影响。
问题分析：1. 水滴：将水滴视为一个质点，忽略其形状和内部力。
2. 电场力：竖直电场力大小为 F = qE，其中 q 为水滴的电荷量，E 为电场强度。
3. 空气阻力：假设水滴在空气中运动，考虑由于空气阻力产生的影响。
4. 运动轨迹：水滴的运动轨迹可表示为函数 y(x)，描述水滴的垂直运动。
5. 初始条件：已知水滴自由落体的初始速度和初始高度。
模型假设：1. 忽略水滴的蒸发和凝结；2. 忽略水滴之间的相互作用。
模型建立：对于水滴的竖直运动，可以利用牛顿第二定律对其运动进行描述。
在竖直方向上，模型可表示为以下方程：m(d2y/dt2) = mg - Fd - bv - fas其中：m 为水滴的质量；g 为重力加速度；F 为电场力大小；d 为水滴的直径；b 为空气阻力系数；v 为水滴的速度；fas 为电场力和空气阻力的合力。
由于水滴在竖直电场中运动，考虑竖直方向上的运动轨迹，模型可简化为二阶常微分方程：d2y/dt2 = g - (qE + bv)/m模型求解：利用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）对二阶常微分方程进行数值求解，可以得到水滴的运动轨迹 y(x)。
模型分析：根据上述模型，可以进行以下分析：1. 不同初始条件下，水滴的运动轨迹如何变化？2. 水滴电荷量 q 对轨迹的影响如何？3. 电场强度 E 对轨迹的影响如何？4. 空气阻力系数 b 对轨迹的影响如何？通过对以上问题的研究和分析，可以对水滴在竖直电场中的运动轨迹有更深入的理解，并为相关领域的设计和应用提供参考。
数学建模--数学物理定解问题
第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答 长为l 的均匀细弦，两端固定于0,x x l ==，弦中的张力为. 在点处，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.【答案 00000(), [0,]|(), [,]t F l h x x h T l u F h l x x h l T l =-⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩】长为l 的均匀杆两端受拉力作用而作纵振动，写出边界条件.【答案000|, |x x x x l YSu F YSu F ====】 长为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件.【答案 000|,|x x x x L ku q ku q ==-==】一根长为的均匀细弦，两端固定于0,x x L ==，用手将弦于处朝横向拉开距离h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.【答案 20;(0,)0(,);(,0)0,(0)(,0)() ()tt xx t u a u u t L t u x h x x l l u x H L x l x L L l -====⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩】有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力0()sin F t F t ω=作用，试写出其纵振动方程与定解条件.【答案 20sin 0;(0,)0,(,);(,0)0,(,0)0tt xx x t t u a u u t u l t F u x u x Ys ω-=====】有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.【答案 20;(0,)0(,);(,0),(,0)0tt xx x t u a u u t u l t u x x u x l ε-=====】长为l 的理想传输线，一端接于交流电源，其电动势为0sin E t ω，另一端开路。
试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.【答案22i 0010,(),|,|0t tt xx x x l a a E e i LC ω==-====v v v 】研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.【答案 2200,(/);(0,)0,(,)0;(,0)/,(0,)t xx x u a u a k c u t u l t u x T x l x l ρ-=====∈】9.9试推导均匀弦的微小横振动方程.【答案 具有类型：2tt xx u a u f -=，详细自行讨论】9.10 试推导出一维和三维热传导方程.【答案 具有类型：22;()t xx t xx yy zz u a u f u a u u u f -=-++=，详细自行讨论】9.11 试推导静电场的电势方程.【答案 具有类型：xx yy u u f +=，详细自行讨论】9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h .【提示：取x 沿槽的长度方向，取u 为水的质点的x 方向位移】【答案 取x 沿槽的长度方向，u 为水的质点的x 方向位移，则tt xx u ghu =】9.11. 有一长为l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置的外力,外力线密度已知,开始时.弦12处受到冲量I 作用,试写出其定解问题. 答 ()()()()()()()[]22222,0,,0,0.,00,00,00,2t u u a f x t x l t t x u l t u t hu l t t x u x I l u x x x l δρ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪=+=≥⎪∂⎨⎪=⎪⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩9.14由一长为l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.(答()()()()()()[]222,,0,,0,0,0,0,0,0,u u a f x t x l t t x u l t u t t x u x x x l ϕ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪==≥⎨∂⎪=∈⎪⎪⎩) 9.15 设有高为h 半径为R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.答 ()[)[)()2222222011,, 0,,0,2,0,, 0z z h r R u u u u f r z r R z h r r r r z u A u B ur θθπθ===⎧∂∂∂∂+++=∈∈∈⎪∂∂∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩9.16 设有定解问题()()222222000,0,0;00,0,0,,,,0,0x x a y y b t t t u u u x a y b t t x y u u u u t u x y u x y x a y b ϕψ======⎧∂∂∂=+<<<<>⎪∂∂∂⎪⎪==⎪⎨==≥⎪⎪=⎪⎪=<<<<⎩给出与其对应的物理模型.答 边界固定的矩形膜的自由振动,其初始位移于初始速度已知本章计算机仿真编程实践9.18 试求泊松方程2223y xy x u ++=∆的一般解，并尝试用计算机仿真的方法求解。
定解问题和本征值问题课件
04
定解问题实例分析
一维波动方程的定解问题
总结词
描述一维波动现象，如声波、地震波等。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，如声波在空气中传播、地震波 在地壳中传播等。通过求解一维波动方程，可以得到波的传播规律、波动速度 、波动强度等参数。
热传导方程的定解问题
总结词
描述热量在物体中的传递过程。
02
本征值问题概述
本征值问题的定义
本征值问题是指在某个特定算子或矩 阵的作用下，求解特定方程以得到一 组解的问题。这些解被称为本征值和 本征向量。
本征值问题在物理、工程、化学等领 域有着广泛的应用，如量子力学、振 动分析、信号处理等。
本征值问题的分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为离散型和连续型两 类。离散型本征值问题通常涉及到矩阵，而连续型本征值问 题则涉及到微分方程或积分方程。
02
热传导方程
热传导方程也是定解问题的一个例子，它描述了热量在物体中的传递和
分布。同时，热传导方程的本征值问题也具有实际应用，例如在热传导
模式的稳定性分析中。
03
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是描述物理中静电场、稳态热流等问题的定解问题。同时
，它也是一些本征值问题的形式，例如在量子力学中的粒子在势阱中的
运动。
微分算子的本征值问题
总结词
微分算子的本征值问题是一个经典的数学问题，它涉及到微分方程的解和函数的本征值，对于理解函 数的性质和解决实际问题具有重要意义。
详细描述
微分算子的本征值问题主要研究微分方程的解和函数的本征值，即找到一个函数使得该函数是这个微 分方程的解，并且这个函数是这个微分算子的一个特定的值。在解决实际问题时，微分算子的本征值 问题常常用于求解波动方程、热传导方程、薛定谔方程等领域。
数学物理方程定解问题共64页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
数学物理方程定解问题
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数学建模在物理学中的应用
数学建模在物理学中的应用物理学是自然科学的一个重要分支，主要研究物体运动、物体的相互作用、能量传递等现象及规律。
在物理学研究过程中，数学建模作为一种重要的研究方法，在发现自然规律、解决实际问题方面，具有举足轻重的作用。
本文将从力学、电磁学、量子力学这三个方面来具体分析数学建模在物理学中的应用。
一、数学建模在力学领域的应用力学研究的是物体在受力作用下的运动规律，它的研究对象可以是宏观物体，也可以是微观颗粒。
在力学中，数学模型常用于描述物体的运动规律、力的作用以及力对物体的影响等问题。
在机械振动问题中，数学建模把物体的振动状态表示成复数方程或偏微分方程，通过求解方程，来研究物体的振动频率、共振等问题。
在天体力学中，数学建模被广泛应用。
人们通过建立恒星的结构模型和演化模型，来研究恒星的形成和演化，如何测量恒星的质量、温度和密度等问题。
同时，人们建立了行星和卫星的运动轨迹模型，解决在天体运动中遇到的许多问题，如寻找沿特定轨道运动的天然卫星、天体的引力相互作用等。
二、数学建模在电磁学领域的应用电磁学是研究电和磁的性质和相互关系的一门学科。
电磁学的研究对象包括电场、磁场、电荷与电流等。
在电磁学中，数学建模可以用于描述电荷、电流间的相互作用方式和规律。
例如，通过建立电动力学模型，研究电磁波的传播，解决了许多关于无线电、雷达等无线通信技术的问题。
数学建模也被用于描述天体电磁学现象，如建立行星和恒星的磁场模型，研究它们的对流和大气运动等问题。
三、数学建模在量子力学领域的应用量子力学是研究微观颗粒的运动规律和相互作用的一门学科，它的研究对象包括波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠等。
在量子力学中，数学建模被应用于描述微观粒子的运动规律。
通过建立量子力学模型，可以解释许多关于量子粒子行为的奇特现象，如量子隧道效应、超导现象和量子计算等。
结语总体而言，数学建模在物理学中的应用非常广泛，流行的数学方法包括微积分、偏微分方程、概率统计等。
《数学物理方法》第九章 定解问题
(10 . 1 . 6 )
2 2 2 2 1 u 1 u 1 u 2 u ( 2 2 2) 2 ( 2 a )0 2 4 x a t 4a t x
1 1 1 1 ( ) ( )u 2 x a t 2 x a t
接利用行波法的结论．
2
§10.1 无界弦的自由振动达朗贝 尔公式及其推广
本节用行波法讨论无界弦的自由 振动，得到达朗贝尔公式，然后 利用延拓法将达朗贝尔公式推广 到半无界弦的自由振动问题．
§10.1.1 无界弦的自由振动
所谓“无界弦”并不是无限长的弦，只是我
们所关心的那一段弦远离两端，在我们讨论
可见j(x)及y(x)均应为x的偶函数(注意函数与 它的一阶导数奇偶性相反).
20
现在将j(x)和y(x)从半无界区偶延拓到整 个无界区域，令
定解问题变为
21
由达朗贝尔解得
(10.1.27)
由上两例可见，对于第一类边界条件，应作 奇延拓；而对第二类边界条件，应作偶延拓。 读者可与11.3节的例题比较
在上式两端对r求导,并在左端利用
积分后，将SrM变回为SrM 随后再除以r2，可得
由 u的定义有
28
上式两边乘以r, 由于r与t为独立变量, 故上式 左边的r可移入求导符号内 上式右边利用常偏导数公式
便可证明 ru 遵守一维齐次波动方程
29
§10.2.3 由u(0,t)得u(M,t)的通解公式
22
§10.2 三维无界空间的自由振动 泊松公式
本节用平均值法讨论三维无界空 间的自由振动，得到泊松公式
§10.2.1 平均值法的基本思想
数学物理方程的定解问题
无源静电场满足
0 u 0
也可用静电场的微分形式来推证：
高斯定理的微分形式 E 1 x, y,z
0
E
静电场是无旋场 E 0，必定有
q
E V x, y,z
then, we lead to Poisson equation
u 浓度, D 系数, f 与源有关的函数（已知 量）
泊松方程
u 稳定物理量 , f 与源有关的已知量
u f x, y, z
2、数学物理方法研究问题的步骤
写出定解问题
定解问题
泛定方程 定解条件
共性，一般规律 初始，边界
把物理问题转化为数学语言(建模)
V
利用热量守恒定律 ，得到
t2
kgradu
dsdt
c
u
x,
y,
z,
t2
u
x,
y,
z,
t1
dV
t1
s
V
利用奥——高公式将左面的曲面积分化成体积分
kgradu ds kdiv gradudV k2udV
s
V
V
同时，右边的体积分写成
u
x
是小量，
u
2 x
0
sin ' tg ' tg ' u(x dx,t) ,
1 tg '
x
ds dx2 du2 1 u 2 dx dx
小弧段的加速度 2u
x
t 2
由牛顿第二定律得
T
sin
T'
数学物理方程_定解问题
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
7.2.6 数学物理定解问题的求解方法
1.行波法； 2.分离变量法； 3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法； 8.计算机仿真解法； 9.数值计算法
典型综合实例
例
长为
的弦在
自由，且在初始时刻
根据牛顿第二定律 F ma
u 在横向的运动方程可以描述为
T2 sin2 T1 sin 1 gds (ds)utt （7.1.1）
作用于小段ABC 的纵向合力应该为零：
T2 cos2 T1 cos1 0
(7.1.2)
仅考虑微小的横振动，夹角 1, 2 为很小的量，忽略
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
u
h
o
b
图 7.5
x l
初始位移如图所示
2.边界条件
常见的线性边界条件分为三类：
第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u(x, y, z, t) |x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（7.2.2）
称这个方程为拉普拉斯方程.
(7.１.１8)
2. 稳定温度分布
导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导 方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
(7.1.19)
(7.1.20)
7.２ 数学物理定解条件
7.２.１ 波动方程的定解条件 定解条件：初始条件和边界条件
根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
定解问题讲解
Mathematical Methods for Physics第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。
－牛顿中心：将物理问题翻译成数学语言 目的:1、如何用数理方程研究物理问题2、如何导出方程3、能正确写出定解问题§ 6.1 引言Introduction第六章 定解问题Mathematical Problem1、数学物理方程概念：数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。
数学物理方程 ♣ 线性方程♦♥ 非线性方程一、数理方程简介：§ 6.1 引言一、数理方程简介§ 6.1 引言ttu =a2⊗u +fut=D⊗u +f2、数理方程的产生和发展：(1)十八世纪初期(2)十九世纪中期三类数学物理方程：波动方程u -波动，a-波速，f-与源有关的函数输运方程u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量泊松方程h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量+fxx2Taylor ：utt=a u⊗u =-h一、数理方程简介：§ 6.1 引言a u2、数理方程的产生和发展：(3)十九世纪末到二十世纪初高阶方程（梁的横振动）：utt= 2xxxxf ( x, t )非线性方程KdV：ut+σuux+uxxx= 0∂ψh2schro&-dinger：i h∂t=-Δψ2μ+U(r)ψ+1、写出定解问题♣ 泛定方程：数理方程(一般规律)♦♥ 定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)如：y '(t) - 4 y = 0♣y ' -4y = 0 －泛定方程♠y(0) = 0 ↔ y = C e 2t+ C e -2t♦ ← －定解条件 12－通解♠♥y '( 0) = 4↑♦1、写出定解问题2、求解：求解方法: 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 ♣ 物理意义3、分析解答：♠♠ ♣存在 ♠♥ 适定性 ♦唯一♠♥稳定数学物理方法物理（内容）桥梁数学（成果）、数理方法的特点三 § 6.1 引言。
学习物理学中的数学建模和解析
通过数学建模和 解析，我们可以 预测和验证实验 结果
数学建模和解析 可以提高科学研 究的效率，减少 实验次数和成本
数学建模和解析 可以帮助我们更 好地解决实际问 题，提高科学研 究的实用性和价 值
培养科学思维和创新能力
数学建模和解析可以帮助我们更好地理解物理现象和规律 通过数学建模和解析，我们可以发现新的物理规律和现象 数学建模和解析可以提高我们的逻辑思维能力和问题解决能力 数学建模和解析可以激发我们的创新思维和创造力
物理学中的数学建模和 解析
汇报人：XX
目录
数学建模在物理学中的应 用
01
解析方法在物理学中的应 用
02
数学建模和解析在物理学 中的重要性
03
如何学习和掌握数学建模 和解析方法
04
数学建模和解析在物理学 中的未来发展
05
数学建模在物理 学中的应用
描述物理现象和规律
电磁学：描述电场和磁场的 相互作用
研究等
验证物理模型
数学建模：建立物理模型的数 学表达式
求解模型：通过数学方法求解 模型，得到结果
验证结果：将计算结果与实际 观测值进行比较，验证模型的 准确性
模型改进：根据验证结果对模 型进行改进，提高模型的准确 性和适用范围
解析方法在物理 学中的应用
微积分解析
微积分的基本概念：极限、导数、 积分等
物理模型的局限性：只能描述部分 物理现象，不能完全替代实验和观 察
求解物理模型
物理模型的建 立：根据物理 现象和规律， 建立数学模型
求解方法：使 用数学方法， 如微分方程、 积分方程等，
求解模型
模型验证：通 过实验或观察， 验证模型的准 确性和可靠性
模型应用：将 模型应用于实 际问题，如工 程设计、科学
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第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答
9.1长为l 的均匀细弦，两端固定于0,x x l ==，弦中的张力为
0T . 在x h =点处，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.
【答案 00000(), [0,]|(), [,]t F l h x x h T l u F h l x x h l T l =-⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩】
9.2 长为l 的均匀杆两端受拉力
0F 作用而作纵振动，写出边界条件.
【答案 000|, |x x x x l YSu F YSu F ====】 9.3 长为L 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为
0q ，写出这个热传导问题的边界条件.
【答案 000|,|x x x x L ku q ku q ==-==】
9.4 一根长为L 的均匀细弦，两端固定于0,x x L ==，用手将弦于x l =处朝横向拉开距离h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.
【答案
20;(0,)0(,);(,0)0,
(0)(,0)() ()tt xx t u a u u t L t u x h x x l l u x H L x l x L L l -====⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩】 9.5有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力
0()sin F t F t ω=作用，试写出其纵振动
方程与定解条件. 【答案
20sin 0;(0,)0,(,);(,0)0,(,0)0tt xx x t t u a u u t u l t F u x u x Ys ω-=====】 9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.
【答案 20;(0,)0(,);(,0),(,0)0tt xx x t u a u u t u l t u x x u x l ε
-=====】
9.7 长为l 的理想传输线，一端0x =接于交流电源，其电动势为
0sin E t ω，另一端x l =开路。
试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.
【答案 22i 0010,(),|,|0t tt xx x x l a a E e i LC ω==-====v v v 】
9.8 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为0T ，杆上温度梯度
均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.
【答案 2200,(/);(0,)0,(,)0;(,0)/,(0,)t xx x u a u a k c u t u l t u x T x l x l ρ-=====∈】
9.9试推导均匀弦的微小横振动方程.
【答案 具有类型：2tt xx u a u f -=，详细自行讨论】
9.10 试推导出一维和三维热传导方程.
【答案 具有类型：22;()t xx t xx yy zz u a u f u a u u u f -=-++=，详细自行讨论】
9.11 试推导静电场的电势方程.
【答案 具有类型：xx yy u u f +=，详细自行讨论】
9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h .
【提示：取x 沿槽的长度方向，取u 为水的质点的x 方向位移】
【答案 取x 沿槽的长度方向，u 为水的质点的x 方向位移，则tt xx u ghu =】
9.11. 有一长为l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置的外力,外力线密度已知,开始时.弦12
处受到冲量I 作用,试写出其定解问题. 答 ()()()()()()()[]22222,0,,0,0.,00,00,00,2t u u a f x t x l t t x u l t u t hu l t t x u x I l u x x x l δρ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪=+=≥⎪∂⎨⎪=⎪⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
9.14由一长为l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.
(答()()()()()()[]222,,0,,0,0,0,0,0,0,u u a f x t x l t t x u l t u t t x u x x x l ϕ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪==≥⎨∂⎪=∈⎪⎪⎩
) 9.15 设有高为h 半径为R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.
答 ()[)[)()2222222011,, 0,,0,2,0,, 0z z h r R u u u u f r z r R z h r r r r z u A u B u
r θθπθ===⎧∂∂∂∂+++=∈∈∈⎪∂∂∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩
9.16 设有定解问题
()()22222200
0,0,0;00,0,0,,,,0,0x x a y y b t t t u u u x a y b t t x y u u u u t u x y u x y x a y b ϕψ======⎧∂∂∂=+<<<<>⎪∂∂∂⎪⎪==⎪⎨==≥⎪⎪=⎪⎪=<<<<⎩
给出与其对应的物理模型.
答 边界固定的矩形膜的自由振动,其初始位移于初始速度已知
本章计算机仿真编程实践
9.18 试求泊松方程2223y xy x u ++=∆的一般解，并尝试用计算机仿真的方法求解。
【答案 ()()()4341i i 612
u f x y g x y x x y y =++-+
++】 【解】计算机仿真图形程序
% 可将通解写为：f(x+iy)+g(x-iy)+x^4/12+y^4/12+x^3*y/2 这里的f,g 可以取为相应自变量的任意函数
% 不妨取为 f=1;g=1
% 而且解的区域取为 园域： 'circ')
ezsurf('1+1+x^4/12+y^4/12+x^3*y/2','circ');
shading flat;view([-18,28]) 仿真图形。