粒子群优化算法车辆路径问题

粒子群优化算法 计算车辆路径问题摘要粒子群优化算法中,粒子群由多个粒子组成,每个粒子的位置代表优化问题在D 维搜索空间中潜在的解。

根据各自的位置,每个粒子用一个速度来决定其飞行的方向和距离,然后通过优化函数计算出一个适应度函数值(fitness)。

粒子是根据如下三条原则来更新自身的状态:(1)在飞行过程中始终保持自身的惯性;(2)按自身的最优位置来改变状态;(3)按群体的最优位置来改变状态。

本文主要运用运筹学中粒子群优化算法解决车辆路径问题。

车辆路径问题 由Dan tzig 和Ram ser 于1959年首次提出的, 它是指对一系列发货点(或收货点) , 组成适当的行车路径, 使车辆有序地通过它们, 在满足一定约束条件的情况下, 达到一定的目标(诸如路程最短、费用最小, 耗费时间尽量少等) , 属于完全N P 问题, 在运筹、计算机、物流、管理等学科均有重要意义。

粒子群算法是最近出现的一种模拟鸟群飞行的仿生算法, 有着个体数目少、计算简单、鲁棒性好等优点, 在各类多维连续空间优化问题上均取得非常好的效果。

本文将PSO 应用于车辆路径问题求解中, 取得了很好的效果。

针对本题，一个中心仓库、7个需求点、中心有3辆车，容量均为1，由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。

1233,1,7.k q q q l =====货物需求量12345670.89,0.14,0.28,0.33,0.21,0.41,0.57g g g g g g g =======，且max max i k g q ≤。

利用matlab 编程，求出需求点和中心仓库、需求点之间的各个距离，用ij c 表示。

求满足需求的最小的车辆行驶路径，就是求min ij ijk ijkZ c x =∑∑∑。

经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个体最优解，并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。

重复以上步骤，直到满足终止条件。

本题的最短路径由计算可知为217.81。

关键字：粒子群算法、车辆路径、速度一、问题的重述一个中心仓库序号为0，7个需求点序号为1~7，其位置坐标见表1，中心有3辆车，容量均为1，由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。

求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。

表1 仓库中心坐标和需求点坐标及需求量二、问题假设1．现实生活中中心仓库以及各个需求点之间军事直线连接，两点之间距离即为坐标系中两点坐标间距离。

2．不因天气及失火等原因车辆停止运输。

3．每个需求点由一辆车供应货物。

三、符号说明四、 问题分析4.1算法分析车辆路径问题（VRP ）可以描述为有一个中心仓库，拥有K 辆车，容量分别为),,2,1(K k q k =，负责向L 个需求点配送货物，货物需求量为),,2,1(L i g i =，且k i q g max max ≤；ij c 表示从点i 到j 的距离。

求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。

将中心仓库编号为0，需求点编号为1，2，…，L 。

数学模型为:min ij ijk ijkZ c x =∑∑∑s.t.k q y g ik ki i ∀≤∑,L i ykki,,2,1,1 ==∑ k L j y xkj iijk∀==∑;,,1,0,k L i y xki jijk∀==∑;,,1,0,S x X ijk ∈=)( k L j i x ijk ∀==;,,1,0,,10 或k L i y ki ∀==;,,1,0,10 或 其中，⎩⎨⎧=否则车配送由需求点01k i y ki ，⎩⎨⎧=否则行驶驶从车1j i k x ijk 在本题中，1233,1,7.k q q q l =====货物需求量12345670.89,0.14,0.28,0.33,0.21,0.41,0.57g g g g g g g =======，利用粒子群优化算法，经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个体最优解，并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。

重复以上步骤，直到满足终止条件。

4.2举例具体演算分析例如, 设VRP 问题中发货点任务数为7, 车辆数为3, 若某粒子的位置向量X 为:发货点任务号: 1 2 3 4 5 6 7 X v : 1 2 2 2 2 3 3 X r : 1 4 3 1 2 2 1 则该粒子对应解路径为: 车1: 0 → 1 → 0车2: 0 → 4 →5 → 3→ 2→ 0 车3: 0 → 7→ 6→ 0粒子速度向量V 与之对应表示为V v 和V r该表示方法的最大优点是使每个发货点都得到车辆的配送服务, 并限制每个发货点的需求仅能由某一车辆来完成, 使解的可行化过程计算大大减少Z 虽然该表示方法的维数较高, 但由于PSO 算法在多维寻优问题有着非常好的特性, 维数的增加并未增加计算的复杂性, 这一点在实验结果中可以看到五、 模型的建立与求解在本题中，需要分别计算以下几个内容，计算需求点与中心仓库及各需求点间距离，利用粒子群优化算法，求出函数的全局最优位置和最后得到的优化极值。

5.1需求点与中心仓库及各需求点间距离利用直角三角形勾股定理，求斜边长度。

1122(,)(,)A x y B x y ，，直角坐标系中求A,B 两点之间距离AB =5.2粒子群优化算法 5.2.1算法实现过程 步骤1 初始化粒子群① 粒子群划分成若干个两两相互重叠的相邻子群;② 每个粒子位置向量X v 的每一维随机取1～ K (车辆数) 之间的整数, X r 的每一维随机取1～L (发货点任务数) 之间的实数;③ 每个速度向量V v 的每一维随机取- (K - 1)～ (K - 1) (车辆数) 之间的整数,V r 的每一维随机取- (L - 1)～ (L - 1) 之间的实数; ④ 用评价函数Eval 评价所有粒子;⑤ 将初始评价值作为个体历史最优解P i , 并寻找各子群内的最优解P l 和总群体内最优解P g步骤2重复执行以下步骤, 直到满足终止条件或达到最大迭代次数①对每一个粒子, 计算V v、V r; 计算X v、X r, 其中X v 向上取整; 当V 、X 超过其范围时按边界取值②用评价函数E va l 评价所有粒子;③若某个粒子的当前评价值优于其历史最优评价值, 则记当前评价值为该历史最优评价值, 同时将当前位置向量记为该粒子历史最优位置P i;④寻找当前各相邻子群内最优和总群体内最优解, 若优于历史最优解则更新P l、P g5.2.2针对本题0表示中心仓库, 设车辆容量皆为q= 1. 0, 由3辆车完成所有任务，初始化群体个数n= 40; 惯性权重w = 0. 729;学习因子c1= c2= 1. 49445; 最大代数D=MaxDT=；搜索空间维数（未知数个数）7;50算法得到的最优值的代数及所得到的最优解，预计迭代次数50，共进行20次运算从实验结果分析，15次达到已知最优解，得到的最优总路径为：→→→→→→→→→→0760*******对应的行车路线为：车辆一：0760→→→车辆二：010→→车辆三:023450→→→→→行车总距离217.81粒子群优化算法达到最优路径50次的代数六、模型的评价粒子群优化算法结果分析分析PSO 方法, 可以看出它与GA 等其他演化算法的最大不同在于1) 迭代运算中只涉及到初等运算, 且运算量非常少;2) 每个粒子能直接获取群体历史经验和个体历史经验, 比在其他方法中使用精英集(elit ism ) 的方法更有效;3) 整个粒子群被划分为几个的子群, 且子群之间有一定重叠, 从而使收敛于局部最优解的几率大大减少L正因为如此, 本文将PSO 应用于带时间窗车辆路径问题求解中, 取得了很好的效果, 有着运算速度快、解的质量与个体数目相关性小、所获得的解质量高等诸多优点七、模型的改进和推广7.1模型的改进针对粒子群优化算法存在的问题，提出了一种新的改进算法—基于粒子进化的多粒子群优化算法。

该算法采用局部版的粒子群优化方法，从“粒子进化”和“多种群”两个方面对标准粒子群算法进行改进。

多个粒子群彼此独立地搜索解空间，保持了粒子种群的多样性，从而增强了全局搜索能力而适当的“粒子进化”可以使陷入局部最优的粒子迅速跳出，有效的避免了算法“早熟”，提高了算法的稳定性。

将基于粒子进化的多粒子群优化算法用于求解非线性方程组。

该算法求解精度高、收敛速度快，而且克服了一些算法对初值的敏感和需要函数可导的困难，能较快地求出复杂非线性方程组的最优解。

数值仿真结果显示了该算法的有效性和可行性，为求解非线性方程组提供了一种实用的方法。

7.2模型的推广作为物流系统优化中的重要一环，合理安排车辆路径、进行物流车辆优化调度可以提高物流经济效益、实现物流科学化。

粒子群算法在多维寻优中有着非常好的特性，加入“邻居算子”的粒子群算法能使算法更好的全局寻优。

本文的研究表明，改进局部办粒子群算法，能过有效地解决车辆路径问题。

八、参考文献[1] 李军, 郭耀煌. 物流配送车辆优化调度理论与方法[M ]. 北京: 中国物资出版社, 2001.[2] 马炫，彭芃，刘庆. 求解带时间窗车辆路径问题的改进粒子群算法.计算机工程与应用，2009，45（27）：200-202[3]姜启源，《数学建模》，高教出版社，2000年附录需求点与中心仓库及各需求点间距离c=[];zuobiao=[18 5422 6058 6971 7183 4691 3824 4218 40];for i=1:8for j=1:8c(i,j)=sqrt((zuobiao(j,2)-zuobiao(i,2))^2+(zuobiao(j,1)-zuobiao(i,1)) ^2);endendc粒子群优化算法求解主算法clear all;clc;format long;%------给定初始化条件----------------------------------------------c1=1.4962; %学习因子1c2=1.4962; %学习因子2w=0.7298; %惯性权重MaxDT=50; %最大迭代次数D=7; %搜索空间维数（未知数个数）N=40; %初始化群体个体数目%------初始化种群的个体(可以在这里限定位置和速度的范围)------------for i=1:Nfor j=1:Dx1(i,j)=ceil(3*rand()); %随机初始化位置ceil 是向离它最近的大整数圆整 x2(i,j)=ceil(7*rand());v1(i,j)=2*(2*rand()-1); %随机初始化速度%v2(i,j)=6*(2*rand()-1);endend%------先计算各个粒子的适应度，并初始化Pbest和gbest---------------------- for i=1:Ny1(i,:)=x1(i,:);y2(i,:)=x2(i,:);pbest(i)=fitness(y1(i,:),y2(i,:),D);endpg1=x1(1,:); %Pg为全局最优pg2=x2(1,:);for i=2:Nif fitness(x1(i,:),x2(i,:),D)<fitness(pg1,pg2,D)pg1=x1(i,:);pg2=x2(i,:);gbest=fitness(pg1,pg2,D);endend%------进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求------------for t=1:MaxDTfor i=1:Nv1(i,:)=w*v1(i,:)+c1*rand*(y1(i,:)-x1(i,:))+c2*rand*(pg1-x1(i,:));x1(i,:)=x1(i,:)+v1(i,:);x1(i,:)=ceil(x1(i,:));for j=1:Dif x1(i,j)<1x1(i,j)=1;endif x1(i,j)>3x1(i,j)=3;endendfor j=1:Dx2(i,j)=ceil(7*rand());endif fitness(x1(i,:),x2(i,:),D)<pbest(i)y1(i,:)=x1(i,:);y2(i,:)=x2(i,:);pbest(i)=fitness(y1(i,:),y2(i,:),D);endif pbest(i)<fitness(pg1,pg2,D)pg1=x1(i,:);pg2=x2(i,:);endendend%------最后给出计算结果disp('*************************************************************') disp('函数的全局最优位置为：')Solution1=pg1Solution2=pg2disp('最后得到的优化极值为：')Result=fitness(pg1,pg2,D)disp('*************************************************************') 辅助算法一function result=fitness(x1,x2,D);aa=[inf inf inf inf inf inf inf];bb=[inf inf inf inf inf inf inf];cc=[inf inf inf inf inf inf inf];for i=1:Dif x1(i)==1aa(i)=x2(i);else if x1(i)==2bb(i)=x2(i);elsecc(i)=x2(i);endendendresult=f(cc)+f(bb)+f(aa);辅助算法二function ff=f(x);load c.matsum=0;[y ind]=sort(x);for i=1:7if y(i)==infj=i-1;break;elsej=7;endendif j<1sum=inf;else if j==1sum=sum+2*c(1,ind(j)+1);elsesum=sum+c(1,ind(j)+1)+c(1,ind(1)+1); for i=1:j-1sum=sum+c(ind(i)+1,ind(i+1)+1); endendendff=sum;。