(完整版)二,等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点
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（A） （B） （C） （D）
12、下列命题中是真命题的是()
A．数列 是等差数列的充要条件是 ( )
B．已知一个数列 的前 项和为 ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C．数列 是等比数列的充要条件
D．如果一个数列 的前 项和 ,则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列 ，公比 ,成等差数列，则公比 =
2°.若 是公差为q的等比数列， 组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若 是等比数列，
则顺次n项的乘积： 组成公比这 的等比数列.
⑥若 是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则 而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
，求项数n.
[解析]设公比为
（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
求数列
[解析]
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
∵等差数列 的各项为正，∴ ∴ ∴
22（I）：
是以 为首项，2为公比的等比数列。
即
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得
即
是等差数列。
,得 =2，∴d2=1或d2= ,由题意，d= ,a1=- 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6)bn=a1dn-1=- ·( )n-1
19.设这四个数为
则 由①，得a3=216,a=6③
③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，18
20.解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2==,a4=a3q=2q
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或 ，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“ ”④四数成等比数列，可设四数为“ ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.
（A） （B） （C） （D）
6、已知 ，则（）
（A） 成等差数列（B） 成等比数列（C） 成等差数列（D） 成等比数列
7、数列 的前 项和 ，则关于数列 的下列说法中，正确的个数有（）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列
二、等差等比数列练习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）
（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在
2.、在等差数列 中， ,且 , , 成等比数列，则 的通项公式为（）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
3、已知 成等比数列，且 分别为 与 、 与 的等差中项，则 的值为（）
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知 为等比数列， ，求 的通项式。
21、数列 的前 项和记为
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求
22、已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
14、已知等差数列 ，公差 , 成等比数列，则 =
15、已知数列 满足 ,则 =
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
二、解答题
17、已知数列 是公差 不为零的等差数列，数列 是公比为 的等比数列， ，求公比 及 。
18、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且都等于 , ， , ,求 。
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列 称等差数列；
2°.通项公式：
3°.前n项和公式：公式：
②等比数列：1°.定义若数列 （常数），则 称等比数列；2°.通项公式： 3°.前n项和公式： 当q=1时
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列
1°.若 是等差数列，则
（A） （B） （C） （D）不确定
4、互不相等的三个正数 成等差数列， 是a,b的等比中项， 是b,c的等比中项，那么 ， ， 三个数（）
（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列 的前 项和为 , ,则此数列的通项公式为（）
∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
18.∴a3=3b3, a1+2d=3a1d2, a1(1-3d2)=-2d①
a5=5b5, a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②
2°.若 是等比数列，则
②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且
2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
③设p、q、r、s为正整数，且
1°.若 是等差数列，则
2°.若 是等比数列，则
④顺次n项和性质：
1°.若 是公差为d的等差数列， 组成公差为n2d的等差数列；
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知 成等差数列，求证：
（1） 成等差数列；
（2） 成等比数列.
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为 ,
解得 所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
（II）若数列 满足 ，证明： 是等差数列；
数列综合题
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
wenku.baidu.com10
11
12
答案
B
D
C
A
A
A
C
A
D
D
D
D
二、填空题
13. 14. 15. 16. 6
三、解答题
17.a =a1,a =a10=a1+9d,a =a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
所以+ 2q=,解得q1=,q2= 3,
当q1=,a1=18.所以an=18×()n－1== 2×33－n.
当q=3时,a1=,所以an=×3n－1=2×3n－3.
21.解：(I)由 可得 ，两式相减得
又 ∴
故 是首项为 ，公比为 得等比数列
∴
（Ⅱ）设 的公差为
由 得，可得 ，可得
故可设 又
由题意可得 解得
（A）4（B）3（C）2（D）1
8、数列1 ,前n项和为（）
（A） （B） （C） （D）
9、若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且满足 ，则 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
10、已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前10项和为（）
（A）56（B）58（C）62（D）60
11、已知数列 的通项公式 为,从 中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）
12、下列命题中是真命题的是()
A．数列 是等差数列的充要条件是 ( )
B．已知一个数列 的前 项和为 ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C．数列 是等比数列的充要条件
D．如果一个数列 的前 项和 ,则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列 ，公比 ,成等差数列，则公比 =
2°.若 是公差为q的等比数列， 组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若 是等比数列，
则顺次n项的乘积： 组成公比这 的等比数列.
⑥若 是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则 而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
，求项数n.
[解析]设公比为
（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
求数列
[解析]
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
∵等差数列 的各项为正，∴ ∴ ∴
22（I）：
是以 为首项，2为公比的等比数列。
即
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得
即
是等差数列。
,得 =2，∴d2=1或d2= ,由题意，d= ,a1=- 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6)bn=a1dn-1=- ·( )n-1
19.设这四个数为
则 由①，得a3=216,a=6③
③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，18
20.解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2==,a4=a3q=2q
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或 ，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“ ”④四数成等比数列，可设四数为“ ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.
（A） （B） （C） （D）
6、已知 ，则（）
（A） 成等差数列（B） 成等比数列（C） 成等差数列（D） 成等比数列
7、数列 的前 项和 ，则关于数列 的下列说法中，正确的个数有（）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列
二、等差等比数列练习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）
（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在
2.、在等差数列 中， ,且 , , 成等比数列，则 的通项公式为（）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
3、已知 成等比数列，且 分别为 与 、 与 的等差中项，则 的值为（）
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知 为等比数列， ，求 的通项式。
21、数列 的前 项和记为
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求
22、已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
14、已知等差数列 ，公差 , 成等比数列，则 =
15、已知数列 满足 ,则 =
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
二、解答题
17、已知数列 是公差 不为零的等差数列，数列 是公比为 的等比数列， ，求公比 及 。
18、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且都等于 , ， , ,求 。
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列 称等差数列；
2°.通项公式：
3°.前n项和公式：公式：
②等比数列：1°.定义若数列 （常数），则 称等比数列；2°.通项公式： 3°.前n项和公式： 当q=1时
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列
1°.若 是等差数列，则
（A） （B） （C） （D）不确定
4、互不相等的三个正数 成等差数列， 是a,b的等比中项， 是b,c的等比中项，那么 ， ， 三个数（）
（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列 的前 项和为 , ,则此数列的通项公式为（）
∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
18.∴a3=3b3, a1+2d=3a1d2, a1(1-3d2)=-2d①
a5=5b5, a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②
2°.若 是等比数列，则
②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且
2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
③设p、q、r、s为正整数，且
1°.若 是等差数列，则
2°.若 是等比数列，则
④顺次n项和性质：
1°.若 是公差为d的等差数列， 组成公差为n2d的等差数列；
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知 成等差数列，求证：
（1） 成等差数列；
（2） 成等比数列.
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为 ,
解得 所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
（II）若数列 满足 ，证明： 是等差数列；
数列综合题
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
答案
B
D
C
A
A
A
C
A
D
D
D
D
二、填空题
13. 14. 15. 16. 6
三、解答题
17.a =a1,a =a10=a1+9d,a =a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
所以+ 2q=,解得q1=,q2= 3,
当q1=,a1=18.所以an=18×()n－1== 2×33－n.
当q=3时,a1=,所以an=×3n－1=2×3n－3.
21.解：(I)由 可得 ，两式相减得
又 ∴
故 是首项为 ，公比为 得等比数列
∴
（Ⅱ）设 的公差为
由 得，可得 ，可得
故可设 又
由题意可得 解得
（A）4（B）3（C）2（D）1
8、数列1 ,前n项和为（）
（A） （B） （C） （D）
9、若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且满足 ，则 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
10、已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前10项和为（）
（A）56（B）58（C）62（D）60
11、已知数列 的通项公式 为,从 中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）