中世纪的中国数学概述
《数学史》宋元数学
贾宪数学思想的影响
贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质 ；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注 重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很 深的影响。
杨辉著《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九 章》各题重新纂类。
朱世杰著《四元玉鉴》也用到这些思想方法，成就了我过古代数 学史上的巅峰之作。
a3 x2
a4
，
其中系数 a0 , a1, a2 , a3 , a4 由下列增乘程序来确定：
即得到减根变换后的方程为
10 4 x24 12 10 4 x23 54 10 4 x22 108 10 4 x2 526336
④ 令 x2 10 1 x3 ，方程变换为
x34 120 x33 5400 x32 108000 x3 526336
3.3.2 中国剩余定理
秦九韶《数书九章》卷一“大衍总数术”，明确地、系统 地叙述了求解一次同余方程组的一般方法．所谓“大衍总数术 ”，可以用现代符号来解释如下：
设有一次同余组
N Ri (mod ai ), i 1,2, , n.
假如诸模数 ai两两互素，那么只要求出一组数 k，i 满足：
相当于一次同余方程组
x 0mod 300 180mod 240 60mod 180
其中180，60分别是乙，丙最后一日行路数 240 18 ,180 8
24
24
所求最小距离为 x 40500 168000 208500 3300 mod 3600
ki
M ai
1(mod ai ), i 1,2,
, n,
中世纪的中国数学概述
中世纪的中国数学概述
中世纪的中国数学在纵向上，主要表现为古代数学成就的继承与发展，尤其是魏晋以降的梁书经学家的贡献；从横向上，见证了明清以来数学研
究的进步，如曾文正、祝宗南、陈有光等的成就；从学科体系上看，中世
纪的中国数学基本上已经构建出完整的学科体系，主要涵盖量、形、算术、計算、微算、统计学等领域，其内容大体与古代数学相同，但思想更加科学，既有古代数学内容的继承和发展，也有新数学内容的产生。
以中世纪数学思想研究为例，中世纪的中国数学思想可以分为三个阶段，分别是李元维阶段、祝宗南阶段、陈有光阶段。
李元维阶段，即南北
朝时期的数学思想，继承了古代的数学思想，但也开始提出一些新的思想。
主要体现在李元维提出的“数学与自然学分析”理念，即用数学方法来解
释自然界的现象，并在此基础上提出了数学演绎法，将数学从使用数字计
算的角度，转向推理演绎证明的角度，从而逐渐形成了中国数学思想的新
结构。
祝宗南阶段，即明朝时期，数学思想开始取得实质性的发展。
中世纪的中国数学概述(精品文档)
中世纪的中国数学概述数学发展的历史流转到中世纪，古代希腊数学的“黄金时代”在几经兵火后停滞不前。
中国、印度与阿拉伯地区的数学发展缺逐渐活跃，发展迅猛，而中国又是其中繁荣时期延续最长的。
下面将通过这时期踊跃问世的一些主要数学著作来认识中世纪的中国数学发展历程。
《周髀算经》——中国最古老的天文学著作《周髀算经》作者不详，这部著作虽被定义为天文学著作，但实际上是从数学的角度讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。
主要成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。
《九章算术》——中国最古老的数学专著《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学专著。
《九章算术》内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，主要为以下几个方面的内容：算术方面，包括分数四则运算法则、比例算法和“盈不足”术。
代数方面，包括方程术、正负术和开方术。
其中，方程术即线性联立方程组的解法；正负术即正、负数的加减运算法则；开方术本质上是一种减根变换法。
特别地，在开方术中就已经指出了存在开不尽的情形。
几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章分别讨论了面积计算、体积计算和勾股定理的应用。
给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的，但因将圆周率错误地定为3，使得球体的体积计算误差过大。
《九章算术》具有几何问题算术化和代数化的重要特征。
其中几何部分主要是实用几何，只给出几何问题的算法却没有具体的推导证明。
《九章算术注》——在注释中成就不朽《九章算术注》是刘徽于公元3世纪撰写的，虽说是对《九章算术》的注解，却包含了刘徽本人许多创造，完全可以看成是独立的著作，也因此奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位。
刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。
《九章算术注》中最突出的成就是“割圆术”和体积理论。
“割圆术”的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，边数逐次加倍并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。
中世纪的东西方数学
中世纪的东西方数学中世纪的东西方数学从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。
中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。
1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成秦汉时期形成中国传统数学体系。
《算数书》：中国现存最早的数学专著。
《周髀算经》：编纂于西汉末年，天文学著作。
两项重要数学成就：勾股定理的普遍形式，数学在天文测量中的应用。
《九章算术》：中国传统数学最重要的著作，全书246个问题，分成九章。
它完整地叙述了当时已有的数学成就，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。
《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。
2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。
数学上以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现。
这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。
《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。
2.1 刘徽（公元3世纪）公元263年撰《九章算术注》，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。
刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”，求出圆周率为3927/1250（=3．1416），主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3．14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。
这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，享有国际声誉。
2.2 祖冲之（429－500年）著作《缀术》取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。
祖冲之算出圆周率在3．1415926与3．1415927之间，并以355/113（=3．1415929…）为密率，22/7（=3．1428…）为约率。
《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理。
中国数学史各阶段的特点
中国数学史各阶段的特点1.引言1.1 概述中国数学史是指中国数学发展的历史过程，经历了古代、中世纪和近代三个阶段。
每个阶段都具有自己独特的特点和贡献。
本文将详细探讨每个阶段的数学特点，并总结各个阶段的特点，同时对未来发展方向进行展望。
在古代数学阶段，中国数学的特点主要体现在其对整数、代数、几何和算法的研究上。
古代中国人培养了一种强大的计算能力，他们通过日常生活中的实际问题激发了数学研究的动力。
重要的数学著作如《九章算术》和《孙子算经》被广泛传播和使用，成为后来数学发展的基础。
古代数学家在几何学上取得了突破，发展了割圆术和尺规作图法等重要的几何方法。
此外，他们还在代数学方面引入了象数、算术和代数基本理论，使得数学在提升计算能力的同时也开始具备了抽象思维能力。
进入中世纪数学阶段，中国数学面临了一定的停滞和衰退。
这个时期受到了外来文化的影响，特别是印度和阿拉伯数学的传入。
因此，在一段时间内，中国数学的发展主要借鉴了这些外来数学的成就。
然而，尽管主要受外来文化的影响，中国数学家依然在算法、代数和几何等方面进行了创新。
值得一提的是，中世纪时期中国数学家发展了一种新的计算方法，即推算和筹算，这种方法将数学与实际问题相结合，为后来数学的应用奠定了坚实基础。
进入近代数学阶段，中国数学经历了现代科学的兴起和西方数学的传入。
这个时期，中国数学面临了重大的挑战和机遇。
中国数学家开始研究西方的数学方法和理论，并通过翻译和借鉴逐渐吸收了西方数学的成就。
这使得中国数学在代数、几何、数论和概率论等领域取得了突破性的进展。
同时，中国数学家也借鉴了现代科学研究的方法和理念，将实证主义和数学方法相结合，为中国数学的发展开辟了新的道路。
总结各个阶段的特点，古代数学以其强大的计算能力和几何研究的突破而闻名；中世纪数学虽然受到外来文化的影响，但仍然在算法和几何等方面有所创新；近代数学则面临着西方数学的传入和现代科学思想的冲击，为中国数学发展带来了宝贵的机遇和挑战。
167中世纪的中国数学
2.中算发展的第二次高峰 数学稳步发展
魏晋南北朝时期
中国传统数学稳步发展
魏晋南北朝是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活 跃的时期。学术界思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的 趋势。许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式 出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。 著名的当属
《周髀算经》
《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
数学内容主要有三方面：
复杂的分数乘除运算
勾股定理的普遍形式 （中国最早关于勾股定理的书面记载） 求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方除之， 得邪至日。
陈子测日法 相似形方法
《九章算术》
中国儒家的重要经典著作《周礼》中 记载“六艺”（礼、乐、射、御、书、数） 中有一门是“九数”。《九章算术》就是 由“九数”发展而来。
腊数学常常采取抽象的公理化的形式，而中国古典数学则 是以术文统率例题的形式。 其次是关于数学理论的研究。古希腊数学使用演绎推理，使 数学知识形成了严谨的公理化体系。
长于计算，以算法为中心，是中国古代数学的显著特点。古 希腊数学只考虑数和形的性质，而不考虑具体数值。
数学理论密切联系实际，是中国古代数学的又一显著特征。
➢ 赵爽注《周髀算经》 ➢ 刘徽和祖冲之父子注《九章算术》
《周髀算经注》
赵爽“勾股圆方图”(公元3世纪)
《九章算术注》
公元263年撰《九章算术 注》
阐述了中国传统数学的理 论体系与数学原理
中国传统数学最具代表性 的人物
刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002）
《九章算术注》
刘徽的割圆术 公元263年撰《九章算术注》。割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣。” ——体现了极限思想和无穷小分割法 计算圆内接正3072边形的面积 求出圆周率为3927/1250 即3.1416
中世纪的中国数学
代表人物
祖冲之
南北朝时期杰出的数学家，将圆周率精确计算到 小数点后七位，为当时世界之最。
秦九韶
南宋著名数学家，提出了“大衍求一术”和“正 负开方术”，对后世数学发展产生了深远影响。
李冶
金代数学家，对传统数学理论进行了系统总结和 提升，提出了“天元术”和“四元术”。
主要著作
《九章算术》
01
古代中国第一部数学专著，包含了丰富的数学知识和实际问题
重要贡献
1 2
算术与代数
中世纪中国数学在算术和代数方面取得了重要成 就，如高次方程的解法、开方运算等。
几何学
中国几何学的发展主要体现在对圆周率的研究上 ，如南北朝时期祖冲之的杰出贡献。
3
三角学
虽然三角学在中国的发展相对较晚，但明清时期 的三角学研究在天文、地理等领域得到了广泛应 用。
02
中世纪中国数学的代表人物与 著作
，对后世数学发展产生了重要影响。
《数书九章》
02
南宋数学家秦九韶的代表作，系统总结了当时的数学理论和实
用算法。
《四元玉鉴》
03
金代数学家李冶的代表作，对多元高次方程ห้องสมุดไป่ตู้解法进行了深入
研究。
贡献与影响
01
中世纪中国数学的发展，不仅丰富了当时的数学知 识体系，也为后世数学发展奠定了基础。
02
中国古代数学注重实用性和算法研究，对世界数学 的发展产生了重要影响。
数学教育活动
中世纪中国还举办了各种数学教育活动，如数学考试、数学 竞赛等，这些活动促进了数学知识的普及和交流。
社会影响
科技发展
中世纪中国数学的发展对于当时的科 技发展起到了重要的推动作用，如天 文、水利、建筑等领域都广泛应用了 数学知识。
数说中囯数学内容
数说中囯数学内容
中国是世界上数学发展最早、最悠久的国家之一。
从先秦时期的《周髀算经》到现代的高等数学、数学物理、概率论等研究，中国数学的发展历史可以概括为以下几个时期：
1. 先秦时期：《周髀算经》是中国数学史上最早的著作之一，内容包括算术、几何和代数等方面。
《九章算数》和《数书九章》也是此时期的代表作。
2. 汉唐时期：唐朝数学家《算经六书》、李冶《数书九章》、刘徽《九章算法》、杨辉《详解九章算法》和祖冲之《张丘建算经注》等著作，奠定了中国古代数学的基础。
3. 宋元明清时期：在这个时期，中国数学逐渐进入到了一个全面发展的时期。
数学家秦九韶和杨辉等人所著的《数书九章》、《详解九章算法》等著作深刻阐述了像平方差分公式、杨辉三角、数学归纳法等理论，开创了新的数学研究方法。
明代的数学家朱权则把中国数学理论推向了新的高峰。
他发明了中国古代数学中最重要的代数学会——方程方法。
4. 现代时期：进入现代以后，中国数学不仅在应用数学也在纯数学上都有很大的发展。
中国的高等数学、数学物理、几何学等领域的学术成果也逐渐受到国际学术界的认可。
总体来说，中国数学在古代经历了一个漫长而辉煌的过程，远远超越了许多西方国家。
现代数学的发展中，中国在一些领域取得了很大的成就，但仍需要不断地创新和进步。
中世纪中国数学
中世纪中国数学中世纪是中国历史上一个重要的时期，数学在这段时间中也经历了重要的发展。
在中世纪中国数学的发展过程中，受到了宗教、科学和社会等多种因素的影响，并产生了许多重要的数学成果。
本文将从中国中世纪数学的背景、主要数学家和数学成就三个方面来讨论中世纪中国数学的发展。
背景中世纪的中国社会经历了大规模的改革和革新，这对数学的发展产生了重要的影响。
其中最重要的因素之一是宗教的影响，特别是佛教的传播。
佛教信仰的传入，为数学提供了更广阔的发展空间。
例如，佛教寺庙中的钟楼和大钟是中国数学研究的重要对象之一。
此外，宗教活动的推动也促进了计算技术和测量技术的进步，为中国的数学家们提供了更多的研究对象和实践基础。
主要数学家在中世纪的中国，有许多杰出的数学家对数学的发展作出了重要的贡献。
其中最为著名的是《算经》的作者祖冲之。
祖冲之是中国古代数学的重要代表人物之一，他通过研究天文、日食和地球的测量等问题，提出了一系列有关三角学和几何学的理论。
他的贡献不仅对中国古代数学起到了重要的推动作用，而且对后世的数学发展产生了深远的影响。
除了祖冲之，中世纪的中国还涌现出许多其他重要的数学家。
例如，刘徽是中世纪中国数学的另一个重要代表人物，他是《九章算术》的作者，该书是中国古代数学的经典之作。
刘徽在代数学和几何学方面有深入的研究，他的成果对中国古代数学的发展产生了深远的影响。
数学成就在中世纪的中国，数学研究涉及到了很多领域，特别是代数学、几何学和计算技术。
其中最为突出的成就之一是将代数学引入到日常生活中。
中世纪的中国数学家们通过研究实际问题，提出了代数学的一系列理论，形成了代数学的基本体系。
这一成就不仅对中国数学的发展起到了重要的推动作用，而且对世界数学的发展也产生了重大影响。
此外，中世纪的中国数学家们还在几何学和计算技术方面取得了重要的成就。
他们通过研究几何学的基本理论和应用，提出了很多几何学定理和公式。
同时，他们还在计算技术上进行了许多研究，发明了一些计算工具和方法，为中国数学的发展打下了坚实的基础。
中世纪中国数学发
五、中国数学的衰落与日用数学的 发展
• 这一时期指十四世纪中叶明王朝建立到明末的 1582年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当 中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已 删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的 问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。 • 明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算 读本，及至程大位的《直指算法统宗》﹝1592﹞ 问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算 转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹， 建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学 出现长期停滞。
• 由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交 开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些 重要的数学成果。公元600年，隋代刘焯在制订 《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次 内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，唐 代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距 二次内插公式。 • 唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及， 出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。
• 公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九 章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”， 公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出 同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十 七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法 细草》已佚） • 公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与 “层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对 高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。 沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个 求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤 供粮与运兵进退的关系等问题。
• 用算筹记数，有纵、横两种方式： • 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值 的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵 十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞， 并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算 建立起良好的条件。 • 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代， 中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成 就的。
数学史第十讲中国数学发展简史
2009年8月 中国数学发展简史一 中世纪的中国数学 13
中世纪的中国数学
中国数学从公元前后至公元14世纪，先后经历了三 次发展高潮： 两汉时期 魏晋南北朝时期 宋元时期
2009年8月
中国数学发展简史一 中世纪的中国数学
2009年8月
中国数学发展简史一 中世纪的中国数学
20
《周髀算经》
故折矩，以为句广 三，股修四，径 隅五。
2009年8月
既方之，外半其一 矩，环而共盘， 得成三四五。
中国数学发展简史一 中世纪的中国数学
两矩共长二十有史上最先完成勾股定 理证明的数学家，是公元3 世纪三国时期的赵爽。 赵爽注《周髀算经》，作“勾 股圆方图”，其中的“弦 图”，相当于运用面积的出 入相补证明了勾股定理。
古中国数学
古代《世本》中提到黄帝 “使隶首作算术”，《史 记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右 准绳”，但这只是传说。 古中国文明最早的可靠证据是由黄河附近的安阳出 土文物所提供的，其年代定在公元前1600年左右。 “甲骨文”就属于以该处为中心的商代社会。这 些甲骨是关于中国计数制知识的来源。
2009年8月
中国数学发展简史一 中世纪的中国数学
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古中国数学
随后，一些弱小的诸侯国家逐渐被强国所吞并， 封建战国时代结束，公元前221年，秦始皇统一 中国，结束了百家争鸣的局面。 公元前210年，汉朝取代秦朝，到汉武独尊儒术， 名、墨著作中的数学论证思想，便失去了进一步 成长的机会。 两汉时期的数学，主要是沿着实用与算法的方向 发展，并取得了很大的成就，成为了中世纪数学 的主角。
06级第4讲：中世纪的中国数学
、八。
21
“二四为肩”就是二和四像一个人两个肩膀的位置。 “六八为足”足就是脚, 就是像两个人的脚的位置。
“左三右七, 戴九履一”, 戴就是戴帽子, 戴头上。履 就是穿的鞋, 在下面。
他这是描述洛书数字排列的状态, 有这样的几句话, 很容易记忆, 也非常形象, 一下子就记住了。
这个洛书这样的九个数字这样排列, 排列成这样一 个状态, 每一横行, 每一竖列, 两条对角线, 三个数字之 和都等于十五。它每一横行, 每一竖列和两条对角线, 每一组三个数字之和都等于十五。
河图的数字排列构成它就是十个数字，五和十居中 央，然后四个方向，从一开始从上，从上面开始排， 一方两个数，从外向内。然后按顺时针，就是往右转 ，一二从外向内，然后三四从外向内，六七从外向内
18
，八九从外向内
这八个数这样分布, 分布于四方。所以阳动阴静, 就 是这样排好之后, 一和七是阳数, 阳动, 就是单数动一和 七交换位置, 这个一本来在上面挪到下面, 七本来是下 面移到上面。左右三和九动, 交换位置。这个三和九这 样交换一下, 这样交换的结果, 下边是一六居乎北, 二七 居乎南, 三八居乎东, 四九居乎西。这就是成了河图的 数字排列了。所谓“阳动阴静”就这个意思。就是单数 动双数不动。“阳静阴动”“阳静阴动”, 正好和这相 反。
11
背负河图的龙马, 传说是像龙的马, 或者是说像马 的龙。就这样的龙马呢, 它长的是龙头、龙尾。身体 和腿是马的形状。所以在后人的想象当中呢, 就对龙 马的形象, 到底什么样子, 做了种种猜测。下页是程 大位的《算法统宗》当中的一个龙马图, 这个龙马— —龙头, 尾巴也是龙, 身体和腿是马。
12
15
中国古代的科学技术在数学方面有辉煌的成就, 其中 在河图洛书问题上的表现, 是最早的也是最重要的成果 之一。
第三章 中世纪的中国数学
（2）正负术。《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献 是负数的引进。
《九章算术》正是在“方程”章中提出了“正负术”，即 正、负数的加减运算法则： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名 相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无 理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是 算法思维的产物。
如《墨经》（约公元前4世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的 法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：
◇点：“端，体之无厚而最前者也”； ◇直线：“直，参也”； ◇圆：“圜(yuan)，一中同长也”； ◇正方形：“方，柱隅四讙也”（讙,同“权”，意“正”） ◇平行：“平，同高也”； ◇体积：“厚，有所大也”
《九章算术》中给出的所有直线形的面、 体积公式都是准确的。如刍童（如图）体积 公式为
h V [( 2b d )a (2d b)c] 6
羡除体积公式为：
V 1 (a b c)hl 6
《九章算术》方田章“圆田术” 圆面积公式 A R 2是正确的，但 以3为圆周率失于粗疏。“开立圆 术”则相当于给出球体积公式 V 3 D 3 （ D 为直径），这是不正确的， 16 加之取π为3，误差过大。
(3) 开方术。《九章算术》“少广”章有“开方术”和“开 立方术”，给出了开平方和开立方的算法。《九章算术》开方 术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次 方程数值解之先河。
2 《九章算术》开方术实际上包含了二次方程 x bx c 的数 值求解程序，称为“开带从平方法”。
《九章算术》开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有 开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”，并给这种不尽根 数起了一个专门的名字—“面”。
中世纪的中国数学
➢ 希腊几何的演绎精神, 随着希腊文明的衰微 而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学史 上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的 东方时期。除了埃及外, 河谷地区再次成为 数学活跃的舞台。
➢ 中世纪（公元5-17世纪）数学的主角, 是中 国、印度与阿拉伯地区的数学。
与希腊数学相比, 中世纪的东方数学表现 出强烈的算法精神, 特别是中国与印度数 学, 着重算法的概括, 不讲究命题的数学 推导。
名家——先秦时期以辩论名实问题为中心的一个思 想派别,重视“名”(概念)和“实”(事)的关系的研 究 ——以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认 识。
《庄子》，惠施: “至大无外谓之大一，至小无内 谓之小一”。
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；
“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止 时”；……
数学教育的开始
我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。
而记载周代教育制度的古老典籍《周礼·地官》中保 氏一节称: “保氏掌谏王恶(e)，而养国子以道。乃教 之六艺: 一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御， 五曰六书，六曰九数。”其中礼、乐、射、御为大艺， 书、数为小艺，前者为大学所授，后者为小学所习。 并称: “六年教之数，十年学书记。”可见，早在周 代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一， 从六岁或十岁就教数数及计算了。
本小节介绍——1）先秦时期: 中国古代数学的 萌芽，2）汉唐时期: 中国传统数学体系的形成 （介绍《周髀算经》和《九章算术》）
数学是中国古代最为发达的学科之一， 通常称为“算术”即“算数之术”。
也就是说，古代中国的术语“算术”相 当于英文单词中的mathematics，而不 是arithmetic，所研究的内容大体上是 今天数学教科书中的算术、代数、几何、 三角等方面的内容。
中世纪的中国数学概述
中世纪的中国数学概述中世纪是指公元5世纪至15世纪的历史时期，对应于东亚地区的中国历史来说，这一时期也被称为南北朝、隋唐、五代十国、宋辽西夏金元等历史阶段。
尽管中国这一时期的数学成就并不如古代或现代那么显著，但仍然产生了一些重要的数学成果，对后来的数学发展具有一定的影响。
一、数学基础发展在中世纪的中国，传统的古代数学，如算术和几何，仍然被广泛教授和应用。
古代的《九章算术》是中国古代数学发展的重要里程碑，其中包含了代数处理、方程求解、几何问题等内容。
在中世纪，这些数学原理仍然被学者们运用于实际应用中。
另外，唐朝时期出现了一种新的计算工具，被称为算筹或盘算，类似于今天的算盘。
这种工具的出现极大地改进了计算效率，成为中世纪中国数学发展的一个重要推动力。
二、专门数学著作中世纪的中国数学家创作了一些专门的数学著作，记录并推广了数学知识。
其中最具代表性的是《数书九章》。
这本书是两位数学家华佗和祖冲之合作完成的，包含了他们对古代数学的总结和发展。
该书对代数、几何、算术、勾股定理等内容都有涉及，尽管没有对这些原理进行严格的证明，但对数学的应用和推广起到了重要作用。
三、数学发展的应用中世纪的中国，数学的发展主要是基于实际应用的需要而推动的。
特别是在农业和商业领域，数学的应用非常广泛。
农业方面，数学被运用于土地测量、灌溉系统设计、农作物产量预测等方面，有力地推动了农业生产的发展。
商业方面，算术和计算技巧的运用使商人能够更好地计算价格、经营成本和利润，促进了商业贸易的繁荣。
此外，战争和军事技术的发展也催生了数学的应用。
数学知识被应用于建筑城墙、设计战略、计算火药的配方以及导弹等等。
这些应用促进了军事技术的进步并提高了战争效能。
四、传承和交流中世纪的中国数学成就在一定程度上受到古代数学传统的延续和发展，同时也受到周边地区数学的影响。
例如，随着丝绸之路的发展，中亚、中东地区的数学思想和技术也传入中国。
这种跨文化的交流在一定程度上丰富了中世纪中国数学的发展。
数学史知识点
●中世纪的中国数学1.周髀算经在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。
（我国最早记载勾股定理，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽。
）我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指竖立的表或杆子。
2.九章算术第一章“方田”：田亩面积计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。
后者比欧洲早1400多年。
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。
这是世界上最早的多位数和分数开方法则。
它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；（《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的棱锥）第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。
今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。
西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。
这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。
在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。
这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。
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(a+b)0=1 (a+b)1＝a＋b (a＋b)2=a2+2ab+b2 (a＋b)3=a3+3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b＋10a3b2＋10a2b3+5ab4＋b5 (a＋b)6=a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋ 6ab5＋b6
习题
简述隋唐时期的数学及数学教育成就 什么是大18世纪，瑞士的欧拉和法国的拉格朗日 才对同余式问题进行系统的研究．德国的高斯于1801 年在《算术探究》一书中提出了解决这类问题的方 法——剩余定理，并给出了严格的证明．1852年，英 国传教士伟烈亚力把“物不知其数”问题及解法传到 欧洲，并介绍了秦九韶的大衍求一术．1876年德国数 学史家马蒂生(L．Matthiessen)指出孙子定理及大衍 求一术与高斯的理论一致．当时德国的著名数学家 M．康托尔(M．B．Cantor)高度评价了大衍求一术，并 称秦九韶是“最幸运的天才”．此后，孙子定理就被 西方人称为“中国剩余定理．”
三斜求积公式
《数书九章》卷五第2题题意是：已知三角形地块的三边 长分别为13步、14步、15步，求它的面积．把秦九韶 的解法用现代的符号表示，就是：设三角形的三边长 分别为a、b、c，则面积
其它数学成就
在高次方程的解法方面，秦九韶总结改进了北 宋数学家刘益和贾宪的解法，创立了正负开方 术，即求高次方程正根的一般方法，并且给出 了求方程近似根的方法，这与英国数学家霍纳 (W．Horner)1819年创立的霍纳法基本上一 致．此外，秦九韶改进了《九章算术》中解方 程组的“直除法”，提出了“互乘相消法”与 “代入消元法”，这与现今解方程组的方法完 全相同．秦九韶的这两项成就在世界上都处于 领先地位．
《中世纪的中国数学》课件
中世纪的中国数学课件，旨在分享中国数学在中世纪的独特发展历程和成就， 以及对现代数学和中华文明的影响。
导言
中世纪是指公元5世纪至15世纪的时期，中国数学在这一时期产生了许多重要 的发展和成果，对世界数学发展贡献巨大。
中国数学的特点
1 基本概念的建立
2 算术的发展
中国数学在中世纪逐渐建立起了数论、几 何学和代数学的基本概念和方法，为后续 的发展奠定了基础。
中世纪中国数学在算术领域取得了重要进 展，包括十进制计数法和算盘的使用等。
3 几何的进展
4 代数的兴起
中国数学家在几何学方面进行了深入研究， 包括直角坐标系的发明和三角学的应用等。
中世纪中国数学的代数学得到了显著发展， 如高次方程的求解和数值计算的方法等。
数学成果
造纸术与乘法表
中国数学在造纸术和乘法表等方面取得了重 要成果，为科学和商业计算提供了基础工具。
数学家介绍
中世纪中国有许多杰出的数学家，其中包括丘ห้องสมุดไป่ตู้冠球、杨辉、司马光和秦九韶等。
数学著作介绍
代表中国数学中世纪发展的经典著作包括《九 章算术》、《详解九章算术》、《数书九章》 和《天元术》等。
结论
1 中世纪中国数学的成就
中世纪中国数学在基本概念的建立、算术、几何和代数等方面取得了重要成就，为世界 数学发展作出了杰出贡献。
2 对现代数学的影响
中世纪中国数学的成果和方法对现代数学有深远影响，如十进制计数法和直角坐标系等。
3 对中华文明的贡献
中世纪中国数学的发展不仅影响了数学领域，也对中国历史和文化产生了深远影响。
指南针与测量仪器
数学在指南针和测量仪器的发明与改进方面 也有重要贡献，促进了地理测量和导航技术 的发展。
中世纪的中国数学
第二节 从刘徽到祖冲之
• 他编制的《大明历》，首次考虑到岁差的计算， 其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确。 • 他还改造了指南车，制造了水碓（duì）磨、千里 船等。
• 他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学。父 子俩都对《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣，他 们的著作《缀术》在唐代被李淳风收入“算经十书” 作为数学教科书。
第二节 从刘徽到祖冲之
二、祖氏父子的数学贡献
• 祖冲之（429—500），字文远， 祖籍范阳遒县（今河北涞水县）。 他生活在南北朝，家学渊博，加 上他自幼刻苦勤奋，对天文、数 学有浓厚的兴趣，而成为一位博 学多才的天文学家与数学家、机 械制造专家、文学家。宋孝武帝 时把他安排在政府的学术机构— —华林学省，从事学术研究工作。
第二节 从刘徽到祖冲之
（1）祖氏父子与圆周率 • 祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是 对圆周率值的推算。 • 《隋书· 律历志》记载着他对圆周率的研究成果 π≈3.1415926。由于中国古代习惯使用分数，故 祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率（祖 率）为355/113；约率为22/7。其中密率在欧洲由 德国数学家奥托于1573年得到，这比祖冲之要晚 1100年之久。
D A
C
B
l2 n AD AC 2 CD 2
O
2 1 1 ln r r 2 ln 2 2 2 2
第二节 从刘徽到祖冲之
（2）体积理论 • 像阿基米德一样，刘徽倾力于面积和体积公式的推 证，并取得了超越时代的漂亮结果。 • 刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的 原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个 几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后， 面积或体积的总和不变。在平面的情形，刘徽利用这 条原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式。 但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用 即使对于像“阳马”(底面为长方形、且有一棱垂直 于底的四棱锥)这样看似简单的立体也遇到了很大的 困难。
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中世纪的中国数学概述
数学发展的历史流转到中世纪，古代希腊数学的“黄金时代”在几经兵火后停滞不前。
中国、印度与阿拉伯地区的数学发展缺逐渐活跃，发展迅猛，而中国又是其中繁荣时期延续最长的。
下面将通过这时期踊跃问世的一些主要数学著作来认识中世纪的中国数学发展历程。
《周髀算经》——中国最古老的天文学著作
《周髀算经》作者不详，这部著作虽被定义为天文学著作，但实际上是从数学的角度讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。
主要成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。
《九章算术》——中国最古老的数学专著
《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学专著。
《九章算术》内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，主要为以下几个方面的内容：
算术方面，包括分数四则运算法则、比例算法和“盈不足”术。
代数方面，包括方程术、正负术和开方术。
其中，方程术即线性联立方程组的解法；正负术即正、负数的加减运算法则；开方术本质上是一种减根变换法。
特别地，在开方术中就已经指出了存在开不尽的情形。
几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章分别讨论了面积计算、体积计算和勾股定理的应用。
给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的，但因将圆周率错误地定为3，使得球体的体积计算误差过大。
《九章算术》具有几何问题算术化和代数化的重要特征。
其中几何部分主要是实用几何，只给出几何问题的算法却没有具体的推导证明。
《九章算术注》——在注释中成就不朽
《九章算术注》是刘徽于公元3世纪撰写的，虽说是对《九章算术》的注解，却包含了刘徽本人许多创造，完全可以看成是独立的著作，也因此奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位。
刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。
《九章算术注》中最突出的成就是“割圆术”和体积理论。
“割圆术”的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，边数逐次加倍并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。
刘徽从内接正六边形一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值π=3.14，这就是有名的“徽率”。
体积理论方面，刘徽用他所谓的“出入相补”原理成功地证明了《九章算术》中许多面积公式，而在转向体积情形时这条原理却并不适用。
刘徽虽没有推证出球体积公式，但他创用“牟合方盖”的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。
《缀术》——祖氏父子的革新变旧
《缀术》是祖冲之的代表性著作，祖冲之的儿子祖暅进一步整理作增补、完善。
原著虽未能流传下来，但从《隋书》等史料中得以证实。
《缀术》的两大数学成就是：圆周率的计算和球体积的推导。
在圆周率的计算方面，祖冲之不仅算出了圆周率的上下限，还确定了圆周率的分数形式的近似值。
在推导几何图形体积公式方面，祖暅提出了两条基础原理：出入相补原理和祖氏原理（即幂势相同，则积不容异），并成功地应用于球体积推算。
《算经十书》——大唐国学标准数学教科书
《算经十书》由李淳风负责修编的，对唐朝以前十部数学著作进行注疏整理。
这十部算经分别是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《夏侯阳算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》。
其中包含重要的数学成就的有：《孙子算经》中的“物不知数”问题（即现在关于一次同余组一般解法的剩余定理的特殊形式）；《张邱建算经》中的“百鸡问题”是世界著名的不定方程问题；以及《缉古算经》是世界上最早讨论三次方程代数解法的著作。
《黄帝九章算术细草》——贾宪三角与增乘开方法
《黄帝九章算术细草》是北宋贾宪完成的著作，原书丢失，但因内容被杨辉著《详解九章算法》摘录而传世。
“贾宪三角”也称“杨辉三角”是一张二项系数表，而贾宪增乘开方法是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。
《数书九章》——秦九韶与“正负开方术”
《数书九章》是秦九韶的代表著作，他将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。
其中包含了21个高次方程，其中次数最高的是10次方程。
《数书九章》中的重要成就还有“大衍总数术”即一次同余式的一般解法，求解过程中的“大衍求一术”即剩余定理常常被称为“中国剩余定理”。
这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。
《四元玉鉴》——宋元数学的高峰
《四元玉鉴》朱世杰著，其中最突出的数学创造有“招差术”（即高次内插法），“垛积术”（高阶等差级数求和）以及“四元术”（多元高次联立方程组与消元解法）等。
宋元数学发展中深刻的一笔是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。
首次阐述天元术的是李冶的《测圆海镜》和《益古演段》两部著作，李冶列出方程后，就用增乘开方法来解方程，但他改变了秦九韶“常数为负”的规定。
在李冶之后，天元术被朱世杰从一个未知数推广到二元、三元及四元高次联立方程组，这就是“四元术”。
朱世杰《四元玉鉴》中详细记载了这种
列多元高次方程组的方法，并且使用了“剔消”、“易位”、“互隐通分”、“内外行乘积”等多种消元手段，表现了熟练的消元技巧。
《四元玉鉴》既是宋元数学的高峰，也是宋元数学的绝唱。
中国数学在宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。
而元末以后，中国的传统数学骤转衰落。