初中数学重点梳理：一元二次方程根与系数关系

一元二次方程根与系数关系

知识定位

设一元二次方程有二实数根，则，

。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。

知识梳理

知识梳理1：求代数式的值

应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

知识梳理2：构造一元二次方程

如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

知识梳理3：证明等式或不等式

根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式

知识梳理4：研究方程根的情况

将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理：

⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；

⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；

⑶方程有异号二根，ac<0；

⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；

知识梳理4：求参数的值与解方程

韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。

例题精讲

【试题来源】

【题目】已知a 2＋2a=3,b 2＋2b=3, a b ＋b

a

= . 【答案】8

3

- 【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】已知关于x 的一元二次方程 x 2－2x －a 2－a=0﹙a ＞0﹚. (1) 证明：这个方程的一个跟比2大，另一个根比2小.

(2) 若对于a=1,2…,,2011,相应的一元二次方程的两个根分别为α1，β1，α2，β2，,,α2011，

β2011，求

【答案】（1）见解析 （2）2011

1006

- 【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p 的取值范围是.

p<-

【答案】1

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】设a、b是方程x2＋68x＋1=0两根，c、d是方程x2 86x＋1=0两根，则﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚﹙a－d﹚﹙b－d﹚的﹜值为。

【答案】2464

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知关于x的一元二次方程a2x2+b2x+c2=0的两根之和是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根的平方和，则a、b、c的关系是（）

A.a2=bc

B.b2=ac

C.c2=ab

D.abc=1

【答案】B

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】设方程x 2＋x －1=0 的两个实根是x 1,x 2，求53

12410x x 的值。

【答案】-42 【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】课后两周练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0

A．1，﹣3 B．1，3 C．﹣1，﹣3 D．﹣1，3

【答案】C

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】课后两周练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是A．1B．﹣l C．D．

【答案】C

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】课后一个月练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】两个不同质数a、b恰好是整系数方程x2﹣99x+m=0的两个根，则的值是（）

A．9413 B．C．D．

【答案】

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3﹣α2β﹣αβ2+β3=0，求证：p=0，q＜0．

【答案】见解析

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2﹣6x+4=0的两根，则△ABC的面积为_________．

【答案】6

【解析】

【知识点】一元二次方程根与系数的关系

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根，则α4+3β的值为_________．【答案】

【解析】