剪力图和弯矩图(基础)

轴，。

以表
(a)
(c)
（1）
（2） （3）
≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。

段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为
负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。

由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。

根据式（2）、（4）确定三点
，
， ，
由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。

例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。

图8-13
解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即
（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。

距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为
x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fab
x M =
)(l x =0)(=x M AC BC AB q A x
解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得
（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程
段
0＜≤ (1)
0≤＜ (2)
段 ≤＜ (3)
≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4）
画出弯矩图，见图8-14(c )。

二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系
在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。

若再将的
∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l m
F x F A Q =
=)(x a x
l m x F x M A =
=)(x a BC l m
F x F A Q =
=)(a x l m
x l m
m x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q )
(x F Q
表达式对取导数，则得到载荷集度。

这里所得到的结果，并不是偶然的。

实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。

现从一般情况出发加以论证。

图8-15
设图8-15(a )所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度为的分布载荷。

是的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图所示。

若用坐标为和的两个相邻横截面，从梁中取出长为的一段来研究，由于是微量，微段上的载荷集度可视为均布载荷，见图8-15(b ) 。

设坐标为的横截面上的内力为和，在坐标为的横截面上的内力为和。

假设这些内力均为正值，且在微段内没有集中力
和集中力偶。

微段梁在上述各力作用下处于平衡。

根据平衡条件
，得
由此导出 （8-1） 设坐标为截面与梁轴线交点为C ，由，得
略去二阶微量
，可得
（8-2）
将式（8-2）对求一阶导数，并利用式（8-1），得
（8-3）
公式（8-1）～（8-3）就是载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。

它表示：
（1）横截面的剪力对的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。

（2）横截面的弯矩对的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。

（3）横截面的弯矩对的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度。

由此表明弯矩图的变化形式与载荷集度的正负值有关。

若方向向下（负值），即＜
0，弯矩图为向上凸曲线；反之，方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。

根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律：
（1） 梁的某一段内无载荷作用，即，由可知，常量。

若，剪力图为沿轴的直线，并由可知，常量，
弯矩图为平行于轴的直线。

若等于常数，剪力图为平行于轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。

（2）梁的某一段内有均布载荷作用，即等于常数，则剪力是的一次函数，弯矩是的二次函数。

剪力图为斜直线；若为正值，斜线向上倾斜；若负
值，斜线向下倾斜。

弯矩图为二次抛物线，当为正值，即＞0时，弯矩
x q )(x q )(x q x x x x d +x d x d )(x q x )
(x F Q )(x M x x d +)(d )(x F x F Q Q +)(d )(x M x M +x d ∑=0y F )(d )
(d x q x x F Q =x x d +∑=0
C M 2d d )(x
x
x q )(d )
(d x F x x M Q =x )(d )
(d 22x q x x M =)(x q )
(x F Q )(x M x x x )(x q )(x q )(x q )(d )
(d 22x q x x M =)(x q 0)(=x q 0)(d )
(d ==x q x x F Q =)(x F Q 0)(=x F Q x 0)(d )
(d ==x F x x M Q =)(x M x )(x F Q x )(x q )
(x F Q x )(x M x )(x q )(x q )(x q )(d )
(d 22x q x x M =
例8-6 图8-16(a )所示简支梁，受均布(a) 载荷和集中力共同作用，试绘梁的内力图。

解 （1）计算支反力 由，得
(b) 所以
由
，得 (c)
得
（2）根据载荷作用位置把梁分成三段，并 图8-16
对各段的内力图形状作出分析判断，求出各段内力图的起点、终点和极值点的内力值，然后∑=0)(F A M 0kN 62)(=⨯-⨯+⨯
⨯-AD F AC AB
AB q D kN
3kN 621
2=⨯+⋅-=AD AC AB q F D ∑
=0y F kN 3=A F
（3）根据上表，由左至右逐段画出剪力图，如图8-16(b ) 所示；画出弯矩图，如图8-17(c )
所示，可见，。

例8-7 外伸梁与其所受载荷如图8-17(a )所示，试作梁的剪力图和弯矩图。

图8-17
解 按照前述使用的方法作剪力图和弯矩图时，应分段列出剪力方程与弯矩方程，然后按方程作图。

现利用本节所得结论，可以不列方程而直接作图。

（1）求支反力 由和可求得
，
（2）分段 沿集中力作用线、均布载荷的始末端以与集中力偶所在位置进行分段。

现将梁分为.、四段。

（3） 作剪力图
段 在支反力的右侧梁截面上，剪力为。

截面到截面之间的载荷为均
布载荷，即常数。

剪力图为斜直线。

算出集中力左侧梁截面上剪力 即可确定这条斜直线，见图8-17(b )。

段 截面处有一集中力，剪力图发生突变，变化的数值等于。

故
从到剪力图又为斜直线，知
段 截面与截面之间梁上无载荷，剪力图为水平线。

段 截面与截面之间剪力图也为水平线，算出截面右侧截面上的
，即可画出这一水平线。

（4） 作弯矩图
段 截面上弯矩为零。

从到梁上为均布载荷，且均布载荷向下，则弯矩图为上凸的抛物线。

算出截面的弯矩为
已知点、点弯矩以与抛物线为上凸，即可大致画出段的弯矩图。

段 由受力特性可知，从到弯矩图为上凸的另一抛物线。

截面的剪力突变，故弯矩图在点斜率也突变。

在截面上的剪力等于零，故点为弯矩的极值点。

由段的剪力方程可计算出至梁左端距离为，故可求出截面上弯矩的极值为 在集中力偶左侧截面上弯矩
为
已知、与等三个截面上的弯矩，即可连成到之间的抛物线。

段和段 截面上有一集中力偶，弯矩图突变，而且变化的数值等于。

所以在
右侧截面上
为
截面上的弯矩为
由于段的剪力图为水平直线，于是由和就确定了这条直线。

到之间弯矩图也是斜直线，由于，故可画出图示斜直线。

从所得的剪力图（图8-17b ）和弯矩图（图8-17c ）上，不难确定最大剪力
，
最大弯矩。

kN 3max =Q F m kN 3max ⋅=M ∑=0)(F A M ∑=0)(F B M kN 7=A F kN 5=B F AE AC CD DB BE AC A F kN 7A C =AC q 1F 左QC F
CD C 1F 1F C D DB D B BE B E B =
右QB F kN 2AC A A C C A C AC CD C D C C F F CD F 5m F 0M 左
D M m 16kN m kN 881214287211⋅=⋅⨯⨯⨯-⨯-⨯=⨯⨯-
⨯-⨯=）（左AD AD q CD F AD F M A D C F 左D
C D DB BE D m kN 100⋅=M D 右
D M B B M DB 右D M
B M B E 0=E M kN
7max
=Q
F m
kN 5.20max ⋅=M
要注意的是：
不但可能发生在的截面上，也有可能发生在集中力或集中
力偶作用处。

所以求弯矩的最大值时，应综合考虑上述几种可能性。

先假设M 求为某一方向，（一般我是假设为逆时针，书上好像是把逆时针方向规定为正方向），然后对该分离体（或研究对象）列弯矩平衡方程（当然必须是在分离体弯矩平衡情况下）：M 总=0。

即MA+MB+MC+M 求=0。

（注意对于MA 、MB 、MC ，如果是逆时针的取正值，顺时针取负值。

），此时如果球出的M 求为正值，则它就是逆时针的，如果是负值，那它的方向与假设方向是相反的，是顺时针。

也可以把所有顺时针的弯矩全取正值放在等号左边相加，把所有逆时针的也取正值但放在等号右边相加（其实跟上面是一样的，也是得假设M 求为某一方向）列平衡方程。

那还不简单，不同X 对应不同的弯矩了，要看X 等于多少了。

不知道你的是不是结构构件上的弯矩，结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正，反之为负。

我不知道你的原题是什么样的，X 表示的是什么。

如果X 表示的是位置坐标，那么M 求=AX²+BX+C 表示的是构件上的弯矩分布函数，不同位置对应不同的弯矩，也就是说构件上弯矩有的地方正有的地方负，凡是求出是正值的就与假设方向或默认方向相同，反之相反。

如果X 表示的是某个构件的长度，也是一样判方法。

还有一个可能是你所算的是一种动态情况，就是某个东西在动，导致弯矩是个变量，也是一样的。

总之一句话，要看X 值的情况。

最好把原题放上来，这样更有针对性。

你的应该是结构力学方面的，结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正，反之为负。

所以假设时应假设成如图方向。

弯矩图都是画在受拉一侧的，所以凡是出现正值的区域就把弯矩图画在上面，出现负值的就画在下面，过度地带就是为0的地方。

强调一下，假设没有什么对或错的，M 求>0对应的X 处弯矩跟假设的方向就是相同的，正的，M 求<0对应的XX 围处弯矩方向就是跟假设相反，无论假设方向怎么样求出的弯矩都是一样的。

、
一般规定 梁的哪侧纤维受拉就画在哪侧的 一般规定下侧受拉为正弯矩。

建筑力学中弯矩剪力图方向
悬赏分：30 - 解决时间：2010-2-2 11:27
我不知道画上边还是下边左边还是右边，希望举个简支梁的例子详细说明说的明了给加分 你把梁想象成柔性的，梁的变形和图像要一致！即往哪儿变形画那边比如，简支梁上面作用一集中力，画下面。

如果作用一力偶，1，力偶顺时针时，左边上，右边下；2力偶逆时针时，相反。

如果作用均布力，也画下面。

（如图） 1. 剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度。

2. 弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。

3. 弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。

m ax
M
Q F max
M
根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。

例如：
1.若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于
轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。

2.若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。

在本书规定的坐标中，当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。

3.若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。

利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：
1.求支座反力；
2.分段确定剪力图和弯矩图的形状；
3.求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；
4.确定和。