指数与指数函数

❖ 2．指数函数的图象和性质
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
图象
性质
(1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1. (4)当a>1时，在R上是增函数； 当0<a<1时，在R上是减函数．
a>1 0<a<1
x>0 y>1 0<y<1
x<0 0<y<1
y>1
❖ [例2] 已知实数a、b满足等式( )a＝( )b， 下列五个关系式：
❖ ①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b ④ b<a<0 ⑤a＝b
❖ 其中不可能成立的关系式有 ()
❖ A．1个 D．4个
B．2个
C．3个
❖ 解析：解法1：当a<b<0，a＝b＝0， a>b>0时，都存在a、b使( )a＝( )b成立， 故①②⑤正确，③④不正确，因此选B.
❖ 解析：由题设知，x≤1时单调递减，x≥1 时单调递增而x＝1为对称轴，
❖ 答案：B
❖ (09·江苏)已知a＝ ，函数f(x)＝ax， 若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大 小关系为________．
❖ 解析：∵a＝ 减函数，
∈(0,1)，∴y＝ax是
❖ 故am>an⇒m<n.
❖ [例4] 设函数f(x)＝|2x－1|的定义域和值 域都是[a，b](b>a)，则a＋b等于
❖ 三、解题技巧
❖ 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大 小时，一般先区分正、负(与0比)；正数 再与1比较，找出大于1的和小于1的；底 数相同的幂式，用指数函数的单调性；底 数相同的对数式用对数函数的单调性；指 数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函 数的图象；真数相同的对数式用对数函数 的图象；底数不同、指数也不同的幂式或 底数不同、真数也不同的对数式可引入中 间量转化或化成同底，另外要注意指对互 化的灵活运用．
❖ 2．在指数里含有未知数的方程叫做指数 方程．
❖ (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化 为f(x)＝g(x)求解；
❖ (2)形如af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1) 的方程，两边取对数；
❖ (3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元 法化为二次方程求解．
❖ 一、数形结合的思想
❖ [例1] 比较 小．
的大
❖ 解析：在同一直角坐标系中作出函数
❖ 二、分类讨论的思想
❖ [例2] 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最 小值的和为3，则a的值为
()
❖ A.
B．2
❖ C．4
D.
❖ 解析：解法1：对a分类讨论．
❖ 若a>1，x＝0时，y有最小值1；x＝1时， y有最大值a，由题设1＋a＝3，则a＝2.
❖ 重点难点 ❖ 重点：①指数幂的运算法则． ❖ ②指数函数的概念、图象与性质． ❖ 难点：①根式与分数指数幂的运算． ❖ ②a>1与0<a<1时，指数函数图象、性质
的区别．
❖ ③指数函数图象与性质的应用和简单指对 方程、不等式的求解．
❖ 知识归纳
❖ 1．整数指数幂的运算性质
❖ (1)am·an＝am＋n
❖ 1．(文)(09·湖南)若log2a<0， 则( )
，(aamm·n)n＝
，
❖ (a·b)n＝ an·bn
.(m、n∈Z)
❖ (2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔
❖ (3)分数指数幂
❖
.(a>0，
m，n∈N，且n>1)
❖ (4)分数指数幂的运算性质 ❖ ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s， ❖ (a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈Q)
❖ ∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
❖ ∴当a>1时，2ax－(3a2＋1)≥0，
❖ 令x＝0,2－3a2－1≥0，即3a2≤1，无解．
❖ 当0<a<1时，2ax－(3a2＋1)≤0，
❖ 令x＝0，则2－(3a2＋1)≤0，求得
a≥
，
❖ ∴a的取值范围是
.
❖ 综上可知a∈
，故选B.
Hale Waihona Puke Baidu
❖ 一、选择题
❖ 若0<a<1，x＝0时，y有最大值1；x＝1时， y有最小值a，由题设a＋1＝3，则a＝2， 与0<a<1矛盾，故选B.
❖ 解法2：当a>0，a≠1时，y＝ax是定义域 上的单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的 两个端点得到，于是必有1＋a＝3，∴a＝ 2.
❖ 点评：指数函数的最值问题一般都是用单
的方程组求解．
❖ 如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1) (a>0且 a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实 数a的取值范围是( )
❖ 解析：由题意得f(x)＝(ax)2－(3a2＋ 1)·ax(x∈[0，＋∞))，
❖ f ′(x)＝2ax·ax·lna－(3a2＋1)ax·lna≥0.
❖ 解法2：由已知得2a＝3b，在同一直角坐 标系中，作出y＝2x，y＝3x的图象，当纵 坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小 关系，从而得出③④不可能成立．
❖ (文)函数f(x)＝ax－b的图象如下图，其中a、 b为常数，则下列结论正确的是
()
❖ A．a＞1，b＞0 ＜0
❖ C．0＜a＜1，b＞0 1，b＜0
❖ 误区警示
❖ 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别 及函数的值域致误．解题的每一步要等价 转化．
❖ 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相 同还是指数相等．是用指数函数的单调性， 还是用幂函数的单调性或指数函数的图象 解决．要注意图象的应用，还应注意中间 量0、1等的运用．指数函数的图象在第 一象限内底大图高(逆时针方向底数依次 变大)．
()
❖ A．1
B．2
C．3
D．4
❖ 解析：因为f(x)＝|2x－1|的值域为[a，b]， 所以b>a≥0，而函数f(x)＝|2x－1|在[0， ＋∞)内是单调递增函数，
❖ 因此应有
解
得
，
❖
总结评述：本题解题的关键在于
首先由函数的值域推出b>a≥0，从而避免
了对a、b的各种可能存在情况的讨论，
然后根据函数的单调性，建立关于a、b
B．a＞1，b D．0＜a＜
❖ (理)(09·山东文)函数y＝ 大致为( )
的图象
❖ 解析：函数有意义，需ex－e－x≠0，即
x∈{x|x≠0}，排除答案C、D；又y
＝
，当
x>0时为减函数，排除B，故选A.
❖ [例3] 设函数f(x)定义在实数集上，它的 图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x) ＝3x－1，则有 ( )