非线性微分方程教学中的Maple辅助

＞Ｄ ｈ ｎ ｅａ（ ＝＊ ｏ（ ｅａ ｙ ｒｓ （ ｅ ） ｛ｑ｝） ｃ ａ ｇｖｒ ｘ ｒ ｃｓｈ ｔ ， ｉ ｔ ｔ ｝ｅ ｓ ｔ ｛ ｔ ） ＝ ｎ ｈ ａ ， ，： ＞ｓｌ （ ｛ｉ（ ｔｄ （ ｅａ ）： ｏｖ ％， ｆｒ） ｉ ｔ ｔ ｔ） ｅ ｄ ，， ｆ ｈ ，） ＞ｓ ｐｉ （ ｔｇ：ｏ ｂｎ （ ｔ ｇ ｉ ｌｙ％，ｉ）ｃｍ ｉｅ％，ｉ ； ｍ ｆ ｒ ｒ）
＞ｐ ＝ ＋ｄ ｑ：ａ ｄ ： ａ ； ＝ 木 －ｂ术 ； ｃ
＞ｉ ＝Ｏｔ ｎ ｆｑ ｈｅ
＞ ｒ ｔｈｇ －ｒｅ ｎｕａ ｏ ｔ； ； ｐｉ （ ｉ ｏｄ ｒ ｉｇｌ ｐｉ 、 ｆ ｎ＇ ｈ ｓ ｒ ｎ ）ｉ
＞ｉ ＝０ａ ｄ ｑ ｎ ＾ —４ ｑ＜ ｈ ｎ ｆｐ ｎ ＞０ａ ｄ ｐ ２ ０ ｔ ｅ
８ ５
＞ ｒ ｔｓ ｂｅｎｄ ＇ ｆ ｐｉ （ ｔ ｌ ｏ ｅ ； ； ｎ ＇ａ ）ｉ
＞ ｆ ＞ ｎ ＞ ｎ ＾ — ＞ ｅ ｉ ｑ Ｏ ａ ｄｐ ０ ａ ｄ ｐ ２ ４ ｑ ０ｔ ｎ ｈ
＞ ｒ ｔｕ ｓ ｂｅ ｏ ｅ ； ； ｐｉ （ ｎｔ ｌ ｎ ｄ＇ ｆ ｎ＇ ａ ）ｉ
江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报
ｘ ２％ —ｚ ｘ ｅ ， ＝— ＋ｙ ＋
．
第 １ 卷 ７
３
２
ｘ 了 ｘ ＋ ， 一 ＋ ｚ
．
（） １
２
２
ｚ ｘ ｙ ｚ ｅ（ ｚ ， ＝ 十 — — ｙ七 零 解 的稳定 性 。 运 行 Ｍａ ｌ， 计算 界 面上 输入 如下程 序 ： ｐｅ 在
＞ ｒ ｔｕ ｓ ｂｅ ｅｅ ａａ ｏ ｅ ｒ ｒｉａｎ ｄ 、 ｆ ｐｉ （ ｎｔ ｌ ｄ ｇｎｒｔ ｎｄ ｉｃｌ ｏｅ）ｉ ｎ＇ ａ ｅ ｏｃ ｔ ；；
运行 此 程 序后 可 得 ｐ ０ｑ ３ ２４ ＝ １＜ ， ＝ ，＝ ，－ ｑ 一 ２ ０ 因此 ， 容 易 判定 奇 点 是 中心 奇 点 ， ｐ 很 因此 该 奇点 是 稳 定 但
一
，
也是 自然 科 学和 其他 技术 科学 的重要工 具课 程 。 线性微 分 方程作 为 经典 的常微 分方 程 教材 【 非 】 中重要
的一章 ， 起到从理论体系完善 的线性微分方程时代迈 向非线性微分方程这一科学前沿 的作用 。 因此 ， 非线
性 常微 分方 程 的教学 显得 尤 为重 要 。 非线 性微 分 方程 中出现 的各类 问题 常 涉及 繁琐 的符 号运算 ， 就给 非 线性 微分 方 程 的教 学带 来很 大 这
＞ ｒ ｔｃｎｅ ｐ ｉｔ； ； ｐｉ （ ｅｔｒ ｏ ＇ ｆ ｎ＇ ｎ ）ｉ
＞ ｆ ０ ｄ ｑ ｄ ｐ ２ ０ ｔ ｅ ｉ ｐ＜ ａ ＞０ ａ ＾ －４ ｑ＜ ｈ ｎ ｎ ｎ
＞ ｒ ｔｓ ｂｅ ｏｕ＇ ｆ ｐｉ （ｔ ｌ ｆ ｓ ； ； ｎ ＇ ａ ｃ ）ｉ
＞ ｆ Ｏ ａ ｄ ｑ ｎ －４ ｑ＜ ｈ ｎ ｉ ｎ ＞０ａ ｄ Ｐ ２ ０ ｔ ｅ ｐ＞
＞ｉ Ｏ ａ ｄ ｐ ｎｄ ｐ ２ ０ ｔ ｅ ｆｑ＞ ｎ ＜０ ａ ＾ —４ ｑ＝ ｈ ｎ
＞ ｒ ｔｓ ｂｅ ｅ ｅａａ ｏ ｅ ｒ ｒｉ ｌ ｏ ｅ ； ； ｐｉ （ｔ ｌ ｄ ｇｎ ｒｔ ｎ ｄ ｉｃ ｄ＇ ｆ ｎ＇ａ ｅ ｏ ｃ ｔ ａ ｎ ）ｉ
＞ ｆ ＞ ｎ ＞ ｎ ＾ — ＝ ｅ ｉｑ ０ａ ｄｐ Ｏａ ｄｐ２ ４ ｑ Ｏｔ ｎ ｈ
Ｉ 一ｙ５ ２＋，
奇点 的类 型及 稳定 性 。
（ ２ ）
在计 算界 面上输 入如 下 Ｍａｌ 程序 ： ｐｅ
＞ｐ ｉ ｔ ｅ ｐｏ （ｂｃ ） ｏ ｔ ｐ ： ｒｃ ，，ｄ ｎｙ ＝ ａ ，
＞ｌｃ ｌＰ ｑＡ； ｏ ａ ， ，
＞ ｉ ０ｎｌ） ｗｔ ｉａ ： ｈ ｇ ＞ ：ｍａ ｉ（ａ ］ｃｄ］ Ａ ＝ ｔｘ［ ＇ ， ，】； ｒ ［ｂ ）
＞ ｒ ｔｕ ｓ ｂｅ ｏｕ、 ｆ ｐｉ （ ｎｔ ｌ ｆ ｓ ； ； ｎ ＇ ａ ｃ ）ｉ
＞ｉ ｑ＜ ｈ ｎ ｆ ０ｔｅ
＞ ｒ ｔｓｄ ｌ ｐ ｉｔ； ； ｐｉ （ａ ｄｅ ｏｎ ）ｆ ｎ＇ ＇ｉ
第 ２期
江 波： 非线性微分方程教学 中的 Ｍａ ｌ ｐｅ辅助
＞ｆｑ Ｏ ａ ｄ ｐ ０ ａ ｄ ｐ ２ ４ ｑ Ｏ ｔ ｅ ｉ ＞ ｎ ＜ ｎ ＾ — ＞ ｎ ｈ
第１ 年 ２月 ２１ ０ 笋２ １ ７
江 师 ＪＵＮ Ｌ ＦＩ 苏 术 Ｒ 学 Ｉ 报 ｒｃ ＮＬＧ ＯＲ Ａ Ａ 技 ． ｖ 学 蔷 ｒ Ｈ ００Ｙ Ｏ Ｊ ｓ Ｃ 范 院 ～ Ｅ
Ｆ ．． ． Ｖ１７ ｏ ｏ１ Ｎ ２
ｅ ｂ一 ２０１ｌ
非线性微 分 方程教学 中的 Ｍａ ｌ ｐｅ辅助
１ 用 Ｍａ ｌ 决 非 线 性 微 分 方 程 中 三类 典 型 问题 ｐｅ解
Ｍａｌ 件主 要 由 内核 、 函数及 用 户界 面 三部 分组 成 。库 函数 和用 户界 面 由 Ｃ语 言 写成 且 只 占软 ｐｅ软 库 件 的一 小部 分 ， 当用户启 动时 即被 装入 ， 主要 负 责输 入命 令 及算 式 的初 步 处 理 、 显示 结 果 等 ， 内核 则 负 而 责输 入 的编译 、 数运 算 、 代 管理 内存 。随着 Ｍａｌ软 件 的发展 与 完善 ， 接使 用 软件 中已有 的库 函数 求 解 ｐｅ 直 各类 线性 微分 方 程 （ ） 非难 事 【但对 于 非线性 微 分方程 （ ） 组 并 ４ ｊ ， 组 的问题则 束手 无 策 。 下 面举例 说 明如何 用 Ｍａｌ编 制程 序实 现非 线 性微 分方 程组 零解 的稳定 性 判 断 、 性 微分 方程 组 奇 ｐｅ 线 点 的类 型 与稳 定判 断及 非 线性 微 分方 程组 的极 限环 的存 在 性 和稳 定 性判 断 这 三类 非线 性 微 分方 程 中 的
对 以上三例程序稍作修改 ， 类似的非线性微分方程（ 都可以进行求解 。 组）
２ 结 语
本文 用 数学 软 件 Ｍａｌ求 解 非线 性 微 分方 程教 学 中出现 的三类 典 型 问题 只是 为 非 线性 微 分 方程 教 ｐｅ 学 改革 起 到 抛砖 引玉 的作用 。Ｍ印１ ｅ还有 许 多其 他 的功 能 ， 待作 者 进一 步思 考 怎样 将其 用 在 各类 数 学 有 课 程 的教学 中以提 高教 学效 率 。
运行该程序后可得 Ａ ＝ ， ２ １ ， ３ ５ 。 Ａ＝ （ １２ ３ ， Ｈ ｒｉ 判据Ｉ 判定一阶微分非线性 ｌ４ Ａ ＝ ７Ａ ＝ １ 因 ｉ０ｉ ，，）由 ｕ ｔ ＝ ｗｚ ｌ １ 可
微 分方 程组 （ ） １ 的零解 渐近 稳定 。
例 ２ 判 定微 分方 程组
｛ ２７ ｆ一一＋， ｙ９ ． ＝
运 行 以上 程序 可 得 ：
ｊ （ １ 一， ｉｒ ） ９ ＝ －（ ） ｒ ，
【＝２ １ ｒ Ｏ ．
－
（ ４ ）
４，
易得原非线性微分方程组除奇点（ ，） ， ０ ０外 有两个周期解 ＋２１ ｘ ｆ ９ 经过简单分析 ， ） 和 ２ ＝。 ， ＝ ＋ 即可得 ｒｌ ＝ 是
稳 定 的极 限环 ， ｒ ３ 不稳 定 的极 限环 。 而 ＝是
中 图分 类 号 ：０ ７ ．４ １５１ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ：１７ — ５ ２２ １ ）２ ０ ８ — ４ ６ ４ ８ ２ （０ １０ — ０ ３ ０
Ｏ 引 言
常微分 方 程是 数 学专 业 的基 础课 程 ， 常安 排 在数 学 分析 、 通 高等 代数 、 解析 几 何 等课 程 之后 ， 而 为 从 学 习微 分几 何 、 函分析 等后 继 课程 打 下基 础 。 同时 ， 微 分方 程作 为 理论 联 系 实 际 的重 要数 学 分支 之 泛 常
＞ｗｔ（ｎ ｌ ： ｉ １ａ） ｈ ｉ ｇ
＞Ｆ１ ＝ ２ ｘ ｙ ｚｘ ｅｐｘ： ［】 一 ＋ —＋ ｘ （ ： ） ＞Ｆ２：ｘ ｙ ）３ ｙ ｚ ： ［］ — ＋【 术＋ ： ２
＞Ｆ３：ｘ ｙ ｚ ｅｐｘ （ ２ ｚ２： ［Ｊ ＋ — 十 ｘ （ ｙ ＋ ） ＝ ）
典 型 问题 的求 解 ， 而 用 于辅助 非线 性微 分 方程 的教 学 。 从 例 １ 判 断一 阶非 线性 微分 方程 组
收 稿 日期 ： ０ １０ — １ ２ １ － ２ １ 作 者 简 介 ： 波 （９ ８ ）男 ， 苏 常 州 人 ， 师 ， 士 ， 要从 事非 线 性 微 分 方 程 的研 究 。 江 １７一 ， 江 讲 博 主
的难 度 。因此 ， 当使 用具 有强 大符 号计 算功 能 的数学 软件 Ｍａｌ２］ 辅 助非线 性微 分 方程 的教 学 ， 仅 适 ｐｅ－ ［￣ ３ 不 可 以使 教师 和 学生 摆 脱繁 重 乏味 的数 学演 算 和数 值 计算 ， 注意力 更 多 集 中在 解题 方 法 的 思考 上 ， 将 而且 还 能提升 学生 运 用数 学 软件 编制 相应程 序 解决 实际 问题 的能力 。
江 波
（ 苏技术师范学院 数理学院， 苏 常州 ２ ３ ０ ） 江 江 １０ １
ຫໍສະໝຸດ Baidu
摘
要： 用数学软件 Ｍｎｌ 实 现了非 线性微分方程 中的三类 典型问题 的求解 ， ｐｅ 并用 于辅 助常微分方程 中的非线
性微分方 程的教学 。
关键 词 ： 非线性微分方 程 ； 数学软件 ； ｐｅ Ｍａｌ
非 渐 近稳定 的 。
例 ３ 确 定非 线性 微 分方程 组
｛ （ 一（产 ）（ ４ １ ＋９ｙ ） 。 ） － ，
【 ｙｘ １（２ 一 ） ＋ － ） ｙ （ 一 ） ＋ ９ ＋ （ ｆ ４， ＝ 十
的周 期解 、 限环 ， 讨论 极 限环 的稳 定性 。 极 并 输入 如 下 Ｍａｌ程 序于计 算 窗 口 ： ｐｅ
＞Ｊ ｊｃｂａ（ ［ ，［】 ［】［ Ｙ 】 ： ａｏ ｉ ［ １Ｆ２， ３ ，， ｚ ： ＝ ｎＦ ］ Ｆ 】ｘ ，） ＞ ：ｓｂ （ ＝ ， ０ｚ０， ａ （ ） Ｊ ｕ ｓｘ ０ｙ ， Ｊ ｖｌ Ｊ ： ＝ ｛ ＝ ＝ ｅ ｍ ） ＞Ｐ＝ ｈ ｒｏ （ｌ ｄ） ：ｃａｐ ｌ Ｊ ａ ａ： ｙ ， ｍｂ ＞ａ ］ ｅ ｅ （， ｍ ｄ ， ： １ ＝ｏｆＰｌ ｂ ａ ） ［ ： ｏｆＰｌ ｂ ａ ） ［］ ｃｅ （，ｍ ｄ ， ： ０＝ ａ ３ａ ： ａ ２ ＞ａ ］ ｃｅ （， ｍ ｄ，） ［］ ｃｅ （， ｍｂ ａ ） ［ ： ｏｆＰｌ ｂ ａ１ａ３： ｏｆＰｌ ｄ， ： ２＝ ａ ： ＝ ａ ０ ＞Ｄｅ ａ ｍａ ｉ（ａ１， ０， ， ［】 ［］ ［ 】００ａ 邶 ： ｈ ： ｔｘ［ ［】 ［］ 】ａ３，２， １ ， ， ［ ＝ ｒ ［ ａ ０ ［ ａ ａ ］ｆ ， ３ ＞Ｄ ｌ ｌ ｄ ｔ ｕ ｍ ｔｘＤ ｈ ，． ，— ） ｅｔ ： ｅ ｓｂ ａｒ （ｅ ａ１ １ １ ； ａ＝ （ ｉ ．１ ） ＞Ｄ ｌ ２＝ ｅ（ ｂ ａｒ （ｅ ａ１ ２１． ） ｅ ａ ：ｄ ｔ ｕ ｍ ｔｘ ｈ ，． ，． ） ｔ ｓ ｉＤ ． ２； ＞Ｄ ｌ ３ ｄ ｔｕ ｍ ｔ ｘ ｅ ａ１ ３１ ３ ； ｅ ａ ： ｅ（ ｂ ａｒ （ ｈ ，． ，．） ｔ ＝ ｓ ｉＤ ． ．）
＞ｗｔ（Ｅ ｏｌ Ｄ ｈ ｇｖｒ ｉ Ｄ ｔ ｓ ｃａ ｅａ） ｈ ｏ， ｎ ：
（ ３ ）
＞ａｉ （＝ （， ｙｔｒｒ ）ｈ ｔ ｔｅ （） ｌ ｓ ｘｔｙ （，＝ ｔｔｅ ＝ ｔ ｔ： ａ ｘ ） ＝ ）＝（， ａ ｈ ａ ） ＞ｅ ｓ ｄｆｘｔ ｘ （ ２ ｙ — ）（ ２ ）２ ９一 ｘ ｙ ４， ｑ ： ｉ（，＝ ｘ ＋ １ ｘ ＋ｒ— ）ｙ （ ＝ ） ２ ＾ ＋ — ） ｄｆｙｆ ｙ （ ＋， — ）（ ２ ｙ２ ９＋ ｘ ＋ ２ ４； ｉ（，＝ ） ） １ ｘ ＋ ＾— ）ｘ （２ Ｔ — ） ） ＾ ＾ ２ ￣