非线性微分方程教学中的Maple辅助

合集下载

用Maple分析非线性系统的定性研究

用Maple分析非线性系统的定性研究赵向东;吕晓静【摘要】用Maple软件对非线性系统的轨线或积分曲线的性态进行相图分析,清楚地展现了二维及三维自治非线性系统在相空间上轨线的全局图貌及性质.在实例中通过Maple编程对二维的Lienard方程进行数值解的实现,形象生动地展示了方程奇点附近的轨线和相图上存在唯一稳定的极限环;对于三维的Lorenz方程,用Maple语言从不同角度编制动态演示程序,说明了Lorenz方程对初值的敏感性,即确定的系统中出现的混沌,特别是在实例中通过绘制投影图和时间历程图确定了初值的敏感区间和开始敏感的时间段.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2018(038)008【总页数】12页(P22-33)【关键词】Maple;极限环;稳定【作者】赵向东;吕晓静【作者单位】天津职业技术师范大学理学院,天津 300222;天津职业技术师范大学理学院,天津 300222【正文语种】中文【中图分类】O175.1随着计算机技术的发展，计算机辅助分析已深入到数学的各个领域，Maple是目前在数学中常用的计算机软件之一，它强大的解析计算功能可以极大地简化方程理论推导中繁琐的过程，特别是在常微分方程中绘制二维或三维图形中的应用，其功能可以生动形象地演示方程轨线的性态[1-11]．在二维非线性系统中，以Lienard 方程为实例，借用Maple分析二维非线性系统奇点附近的轨线和相空间上轨线的全局图貌；在三维非线性系统中，以Lorenz方程为实例，用Maple分别从静态和动态演示了轨线的分布和该方程对初值的敏感性．考虑Lienard方程若记，并设，则方程（1）可化为等价方程组命题1[1]298 假设（1）均在区间上连续，且满足局部Lipschitz条件；（2）为偶函数，，为奇函数，当时，；（3）当时，，有唯一正零点，且对于，单调增加.则方程（1）或者与其等价的方程组（2）有唯一的稳定极限环．例1 讨论系统在奇点附近轨线的分布情况和轨线的全局性态．解方程组（3）等价于线性微分方程取，易证，满足命题1的条件，且唯一正零点为，故方程存在唯一的稳定极限环．依据文献[1]中定理6.3.1和定理6.3.3可知，系统（3）的线性近似系统的奇点是不稳定焦点，非线性系统的轨线在奇点附近有相同的定性结构，盘旋着远离奇点．根据文献[3-6]，采用Maple进行分析，调用Maple软件中DEtools程序包，用图解微分方程的方法观察微分方程解的性质．在编写程序中，利用seq命令生成初值序列，stepsize命令控制步长，thickness命令控制初值解所对应的曲线类型，arrows命令控制向量场中的箭头类型，刻画轨线运动的方向．为了使绘制的曲线更加平滑，取步长为0.01，为了得到奇点附近轨线图，取初值区间为，．为了得到系统轨线的全局性态，放大初值区间为，，得到了系统（3）在奇点附近轨线的分布情况和轨线的全局性态（见图1~2）．参考程序为：restart：with（DEtools）：eqn1：=diff（x（t），t）= y（t）：eqn2：=diff（y（t），t）=-x（t）+y（t）-x（t）^5-3*x（t）^2*y（t）：initvalues：= seq（seq（[x（0） = i，y（0） = j]，i = -0.5 .. 0.5），j = -0.5 ..0.5）：DEplot（{eqn1，eqn2}，[x（t），y（t）]，t=-10..10，x=-5..5,y=-5..5,{initvalues},stepsize=0.1e-1,arrows= SLIM, color = black，thickness = 1，linecolor= red）注1 对于系统（3）轨线的全局性态，即便比，再放大初值区间，也不会影响该系统的稳定性，最终都会形成图2所示的唯一稳定的极限环，这与理论分析相一致．注2 用所给出的Maple参考程序模拟出系统（3）的线性近似系统的相图（见图3）．由图３可以看出，初值区间即便不是靠近奇点，线性系统得到的轨线结构也是全局的性态，且非线性系统与线性近似系统有相同的定性结构，这与理论分析是一致的，但是相比之下，相图上焦点的轨线有些扭曲．例2 讨论系统在奇点附近轨线的分布情况和轨线的全局性态．解依据文献[1]中定理6.3.1和定理6.3.3可知，系统（5）的奇点是非简单奇点，因此不能保证奇点附近的轨线图与线性近似的轨线图有相同的近似结构．这说明非线性系统中的线性项已经不足以确定奇点附近轨线的格局，只能进一步考察非线性系统的非线性项．此时采用例1的方法，进行Maple分析，分别绘制系统（5）对应的非线性和线性系统的轨线相图（见图4）．由图4可以看出，二者轨线的稳定性结构均已发生了改变，线性系统奇点附近轨线的走向为鞍点，而非线性系统奇点附近轨线的走向非常复杂，与初值的选择密切相关，与理论分析的结论相一致，即非线性系统中的线性项已经不足以确定奇点附近轨线的格局．例3 讨论与Van Der Pol方程等价的非线性系统在奇点附近轨线的分布情况和轨线的全局性态．解取，易证不满足命题1的条件，因此不一定保证系统（6）存在唯一的稳定极限环．另外，依据文献[1]中定理6.3.1和定理6.3.3可知，系统（6）的线性近似系统的奇点在时是稳定的焦点（见图5），对于非线性系统，奇点是非简单的奇点，因此附近的轨线走向是不确定的．根据文献[3-6]，采用Maple进行分析，在例1参考程序的基础上，为了更形象地演示向量场的运动状态，增加了dirfield命令，用于控制向量场中箭头的数量，利用numpoint命令选取节点个数，利用animatefield命令动画演示向量场中轨线的运动方向．在绘制动态演示相图时，分别输入vdP（0.5），vdP（1.5），vdP（10），vdP （15），相应地得到图６．由图６可以看出，Van Der Pol方程存在唯一稳定的极限环，并且当很小时极限环接近于半径为2的圆，而当很大时，则极限环被压扁成一长条形．参考程序为：restart：with（DEtools）：vdP：=proc（mu）local eqn1，eqn2，initvalues：eqn1：=diff（x（t），t）=y（t）-mu*（（1/3）*x（t）^3-x（t））：eqn2：=diff（y（t），t）=-x（t）：initvalues：=seq（seq（[x（0）=i，y（0）=j]，i=-1..1）， j=-1.1）：DEplot（{eqn1，eqn2}，[x（t），y（t）]，t=-10..10，[initvalues]，dirfield=100，numpoints=300，color=[blue，red]，axes=box，arrows=SLIM，animatefield=true，numframes=50，color=blue，thickness=1，linecolor=red,axesfont = [TIMES, ROMAN, 18], labels = [x, y], labelfont = [TIMES, ROMAN, 18]）；end proc：考虑Lorenz方程其中：参数均为正数．命题2[1]284-285（1）当参数时，方程（7）有一个奇点．当时是渐进稳定的，即所有的轨线均趋于原点；当时，是稳定的．（2）当参数时，方程（7）有3个奇点，即，，，点是不稳定的．令，则当或者时，奇点是渐进稳定的；当时，奇点是不稳定的，属于鞍焦点．为了直观形象地展现命题2中的相关结论，利用Maple编写过程函数Lorenz：=proc（a，b，c，x0，y0，z0，varepsilon）（其中：表示Lorenz系统的参数；x0，y0，z0表示奇点坐标；varepsilon表示在奇点附近初值的微小改变量），并在该过程函数中调用了Maple程序包DEtools中的dirfield，arrows命令来绘制向量场，使相图在奇点附近轨线的渐进走向能够更加清楚地展现．通过多次调用该过程函数绘制出命题2中不同情形的相图，并观察得出在奇点附近轨线的局部性态．参考程序为：restart：with（DEtools）：with（plots）：with（plottools）：Lorenz：=proc（a，b，c，x0，y0，z0，varepsilon）local eqn1，eqn2，eqn3，initvalues，i，j，k，h，g1，g2：eqn1：=diff（x（t），t）=a*（-x（t）+y（t））：eqn2：=diff（y（t），t）=c*x（t）-y（t）-x（t）*z（t）：eqn3：=diff（z（t），t）=-b*z（t）+x（t）*y（t）：i：=x0+varepsilon：j：=y0+varepsilon：k：=z0+varepsilon：for h from 1 to 10 do：initvalues：=[[x（0）=i+h*varepsilon，y（0）=j+h*varepsilon，z（0）=k+h*varepsilon]，[x（0）=i-h*varepsilon，y（0）=j-h*varepsilon，z（0）=k-h*varepsilon]]：g1[h]：=DEplot3d（{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t），y（t），z（t）]，t = 0..10，initvalues，dirfield = 5 color = [blue， red]，arrows=cheap，stepsize = 0.1e-2，scene=[x（t）， y（t），z（t）]，linecolor=[blue，black]，method= rkf45）：end do：g1：=seq（g1[h]，h=1..10）：g2：=point（[x0，y0，z0]，symbol=cross，symbolsize=60，color=green）：display（g1，g2）：end proc：例4 考虑Lorenz方程在奇点附近轨线的渐进稳定性．解结合命题2、二维非线性自治系统的Maple求解方法以及所给出的参考程序，在奇点附近以初值扰动得到系统（8）在奇点附近轨线相图的局部性态．调用所给出的过程函数，绘制初值的相图时输入命令：a：=10：b：=8/3：c：=1/2：varepsilon：=0.01：x0：=0：y0：=0：z0：= 0：Lorenz（a，b，c，x0，y0，z0，varepsilon）；绘制出图７a．取的值分别为varepsilon ：= 1，varepsilon ：= 5，分别绘制出了图７b和图７c．由图７可以看出，Lorenz方程（8）相图的轨线走向与命题2（1）结论一致，即Lorenz方程（8）在奇点是渐进稳定的．注3 当时，根据命题2（1）可知，是稳定的．调用给出的过程函数参考程序，并根据例4的输入方式分别取初值扰动varepsilon：=0.1，varepsilon：=1，可得到相图（见图８），进一步验证了命题2中时奇点的稳定性．例5 考虑Lorenz方程在奇点附近轨线的渐进稳定性．解根据命题2（2），调用所给出的过程函数并在奇点附近以初值扰动得到该方程在奇点附近轨线相图的局部性态．为了能够更好地展现命题2（2）在奇点附近轨线相图在情形下渐近稳定性，分别取扰动为0.01，1，5，调用过程函数时，输入命令：a：=10：b：=8/3：c：=2：varepsilon：=0.1e-1：x0：=sqrt（b*（c-1）：y0：=sqrt（b*（c-1））：z0：=c-1：Lorenz（a，b，c，x0，y0，z0，varepsilon）绘制出图９a．取varepsilon ：= 1，varepsilon ：= 5，分别得到图９b和图９c．由图９可以看出，Lorenz方程（9）相图的走向与命题2（2）结论一致，即当（）时，Lorenz方程（9）在奇点是渐进稳定的．注4 若要得到在奇点附近的轨线相图，只要将给出的参考程序中x0，y0，z0分别换作的坐标即可（见图10）．注5 由命题2（2）可以看出，奇点的坐标只是坐标和坐标相差一个负号，这说明在相同初值下相图中轨线的走势发生改变时，不影响Lorenz系统的局部稳定性．由图9和图10也可以看出，相图中黑色轨线和蓝色轨线的走势不同．注6 在命题2（2）中，为了验证点的不稳定性，调用例5中所给出的过程函数，时，取参数分别为，初值varepsilon：=0.01，得到相图（见图11）．例6 考虑Lorenz方程在奇点附近轨线的渐进稳定性．解根据命题2（2）中的情形，调用例５所给出的过程函数，绘制了系统（10）在奇点附近以初值扰动的轨线相图的局部性态，直观得出了该情形在奇点附近的稳定性态（见图12）．注7 通过对命题2（2）中情形的分析，由图12直观地看出，在此情形下，初值的改变对该系统的稳定性不会产生影响，体现出Maple分析比实际理论分析更能有效地说明相图的稳定性．注8 对于情形，取经典的Lorenz系统，即，参考程序Lorenz：=proc（a，b，c，x0，y0，z0，varepsilon），给出在奇点附近初值作微小扰动的轨线相图（见图13）.综上，从绘制的各种相图轨线中分析得出，对于取值不同时，命题2与绘制的相图所对应的稳定性相一致，进一步体现了数学软件在处理数学问题中的优势所在．为了更好地观察和探求Lorenz系统对初值的敏感性，考虑经典Lorenz系统（即时），通过Maple编写过程函数Lorenz：= proc（a，b，c，k）（其中：表示Lorenz方程的参数；表示初值的最大上限）来动态演示三维Lorenz系统相图．通过对轴方向初值做微小扰动；轴和轴初值同时做微小扰动，以及轴同时做微小扰动来动态分析在三维空间中初值改变对Lorenz系统的影响（取，选取第3帧相图，见图14）．参考程序为：restart：with（DEtools）：with（plots）：with(plottools):Lorenz ：= proc （a， b， c， k）local eqn1，eqn2，eqn3，initvalues，H，G，i，g1，g2，g3：eqn1：=diff（x（t），t）=a*（-x（t）+y（t））：eqn2：=diff（y（t），t）=c*x（t）-y（t）-x（t）*z（t）：eqn3：=diff（z（t），t）=-b*z（t）+x（t）*y（t）：for i from 1 to k doinitvalues ：= [[x（0） = （1/10）*i， y（0） = （1/100）*i， z（0） =（1/10）*i]， [x（0） = （1/10）*i+0.1e-2， y（0） = （1/100）*i+.1， z （0） = （1/10）*i]]：H[i]：=DEplot3d（{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t），y（t），z（t）]，t = 0..k，initvalues，dirfield = 30，color = [blue，red]，arrows=hex，stepsize =0.1e-1，scene = [x（t）， y（t），z（t）]，method = rkf45，thickness = 2，linestyle = 1，linecolour=[red，blue]）：end do：G：= display（seq（H[i]，i = 1 ..k），insequence = true）：g1：=point（[sqrt（b*（c-1）），sqrt（b*（c-1）），c-1]， symbol = cross，symbolsize=60，color = red）：g2 ：= point（[-sqrt（b*（c-1））， -sqrt（b*（c-1））， c-1]，symbol=cross，symbolsize = 60，color = red）：g3：= point（[0，0，0]，symbol = cross，symbolsize = 60，color = red）：display（G，G，g1，g2，g3）：end proc：由图14可以看出，无论是轴的初值做微小改变，轴初值做微小改变，还是轴同时将初值做微小改变，都将会改变Lorenz系统的相图性态（其中：蓝色表示在动态过程中初值不改变；红色表示初值做微小改变），说明初值的改变对系统稳定性产生了一定的影响．因此，通过Maple软件，在动态分析中可以清晰地观察出初值的微小变化过程对Lorenz系统稳定性产生的影响，体现出 Maple软件在动态分析初值问题中具有很强的实用性．为了进一步分析初值对Lorenz系统的稳定性态的影响，通过编写过程函数Lorenz：=（a，b，c，k，d）（表示Lorenz方程的参数，表示初值的最大上限，表示投影面，用表示投影面，表示投影面，表示投影面），对Lorenz方程在平面下的投影相图（见图15，选取第3帧图像）分别对轴做微小初值扰动，分析初值对Lorenz方程敏感性态的影响．参考程序为：restart：with（DEtools）：with（plots）：Lorenz：=proc（a，b，c，k，d）local eqn1，eqn2，eqn3，initvalues，i，H，G：eqn1：=diff（x（t），t）=a*（-x（t）+y（t））：eqn2：=diff（y（t），t）=c*x（t）-y（t）-x（t）*z（t）：eqn3 ：= diff（z（t），t）=-b*z（t）+x（t）*y（t）：if d=1 or d=2 or d=3 thenif d=1 thenfor i from 1 to k doinitvalues：=[[x（0）=（1/10）*i，y（0）=（1/100）*k，z（0）=（1/100）*i]，[x（0）=（1/10）*i，y（0）=0.1e-2+（1/100）*k，z（0）=（1/10）*i]]：H[i]：=phaseportrait（{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t），y（t）， z（t）]，t=0 ..k， initvalues，stepsize = 0.1e-2，scene =[x（t），z（t）]，linecolor=[red，cyan]， method=classical[rk4]，maxfun=500000）：end do：elif d=2 thenfor i from 1 to k doinitvalues：=[[x（0）=（1/10）*i，y（0）=（1/10）*i，z（0）= （1/100）*k]，[x（0）=（1/10）*i，y（0）=（1/10）*i，z（0）= 0.1e-2+（1/100）*k]]：H[i]：=phaseportrait（{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t）， y（t），z（t）]，t=0..k，initvalues，stepsize= 0.1e-1，scene = [x（t），y（t）]，linecolor=[red,cyan]，method=classical[rk4]）：end do：elif d=3 thenfor i from 1 to k doinitvalues：=[[x（0）=（1/100）*k，y（0）= （1/10）*i，z（0）=（1/10）*i]，[x（0）=0.1e-2+（1/100）*k，y（0） = （1/10）*i，z（0）=（1/10）*i]]：H[i]：= phaseportrait（{eqn1， eqn2， eqn3}， [x（t）， y（t），z（t）]，t =0 ..k，initvalues， stepsize = 0.1e-1， scene = [y（t），z（t）]，linecolor=[red,cyan],method=classical[rk4]）：end do：end if：G ：= display（seq（H[i]，i = 1..k），insequence = true）：display（G，G，scaling=constrained）：elseprint（"Please input d=1 or 2 or 3"）：end if：end proc：通过Lorenz方程在投影面的相图，结合三维空间的相图，可以看到，Lorenz吸引子在各平面上的投影类似于横写的“8”字形，也可以看出在微小改变轴方向的初值时，将导致了相图轨道发生了巨大的变化，说明了系统对初值的依赖性，形成了混沌现象，但都是围绕着命题2中奇点形成类似于“8”字形的相图．为了能够确定Lorenz系统的开始敏感时间以及敏感区间，编写过程函数Lorenz：=proc（a，b，c，i，j，k，d）（其中：表示方程的参数；表示初值；表示关于时间的历程图，表示关于的时间历程图，表示关于的时间历程图，表示关于的时间历程图），直观分析关于时间的历程图（取，见图16～18）在微小初值变动下的性态，得出初值微小改变对该系统所产生的开始敏感时间以及敏感区间．参考程序为：restart：with（DEtools）：with（plots）：Lorenz：=proc（a，b，c，i，j，k，d）local eqn1，eqn2，eqn3，initvalues：eqn1：=diff（x（t），t）=a*（-x（t）+y（t））：eqn2：=diff（y（t），t）=c*x（t）-y（t）-x（t）*z（t）：eqn3：=diff（z（t），t）=-b*z（t）+x（t）*y（t）：if d=1 or d=2 or d=3 thenif d=1 theninitvalues：=[[x（0）= i+（1/1000）*L，y（0）=j，z（0） = k]，[x（0）=i+0.1e-3+（1/1000）*L，y（0）=j，z（0）=k]]：animate（DEplot，[{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t），y（t），z（t）]， t = 0 .. 50，x = -20..20，initvalues，stepsize = .1， scene = [t，x（t）]，linecolour= [red，cyan]，scaling = constrained，method=rkf45，thickness=1，linestyle = 1， title = "x关于时间t的历程图"]，frames=50，L=0..i）：elif d=2 theninitvalues：=[[x（0） = i，y（0）=j+（1/1000）*L，z（0） = k]， [x（0）=i，y（0）=j+0.1e-3+（1/1000）*L，z（0）= k]]：animate（DEplot，[{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t），y（t），z（t）]， t= 0..50，y = -30 .. 30， initvalues，stepsize = .1， scene = [t， y（t）]，linecolour= [red， cyan]， scaling = constrained， method = rkf45，thickness = 1， linestyle = 1， title = "y关于时间t的历程图"]， frames = 50，L = 0 .. j）：elif d = 3 theninitvalues：=[[x（0）=i，y（0）=j，z（0）=k+（1/1000）*L]，[x（0）=i，y （0）=j，z（0）= k+0.1e-3+（1/1000）*L]]：animate（DEplot，[{eqn1，eqn2，eqn3}，[x（t），y（t），z（t）]，t = 0 .. 50，z = 0 .. 50，initvalues，stepsize = .1， scene = [t，z（t）]，linecolour = [red，cyan]，scaling =constrained，method=rkf45，thickness= 1，linestyle = 1， title = "Z关于时间t的历程图"]， frames=50，L=0..k）end if：elseprint（"Please input d=1 or 2 or 3"）：end if：end proc：由图16可以看出，在一定时间段内初值的改变，图中青色时间历程图轨线走势和红色时间历程图轨线走势几乎完全重合，然而当一个解绕着吸引子一瓣前进，另一个解绕着另一瓣前进时，图16a、16b、16c会有显著差异，而且图像振荡的最大区间为；由图17可以看出，在一定时间段内初值的改变，图中青色时间历程图轨线走势和红色时间历程图轨线走势几乎完全重合，然而当一个解绕着吸引子一瓣前进，另一个解绕着另一瓣前进时，图17a、17b、17c会有显著差异，而且图像振荡的最大区间为；由图18可以看出，在一定时间段内初值的改变，图中青色时间历程图轨线走势和红色时间历程图轨线走势几乎完全重合，然而当一个解绕着吸引子一瓣前进，另一个解绕着另一瓣前进时，图18a、18b、18c会有显著差异，而且图像振荡的最大区间为．综上所述，Lorenz系统初值的微小变化将会引起系统轨道相图发生巨大改变．可以看出，Lorenz模型为验证蝴蝶效应提供了强大的理论依据，也体现了该模型在大气变化规律研究中的重要性.借用Maple对二维和三维非线性系统进行了定性的分析，选取Lienard系统和Lorenz系统２个特殊的实例进行深入的稳定性分析，得到Lorenz系统的敏感时间段和振荡的敏感区间，体现了Maple在分析非线性系统稳定性中的优越性和数学软件在科研领域中的重要作用．【相关文献】[1] 王鸿业．常微分方程及Maple应用[M]．北京：科学出版社，2011[2] 王高雄．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2002[3] 吴珞，徐俊林．用Maple学大学数学[M]．北京：机械工业出版社，2014[4] 何青，王丽芬．Maple教程[M]．北京：科学出版社，2006[5] Stephen Lynch．Dynamical Systems with Applications using Maple[M]．北京：世界图书出版公司，2015[6] 吕晓静，赵向东．Maple在求解推广的Clairaut型方程中的应用[J]．天津职业技术师范大学学报，2018，28（1）： 47-51[7] Staff of Research Education Association．Problem Solvers DifferentialEquations[M]．Piscataway：REA，2008[8] Liu X，Qian T，Schulze B W．Order filtrations of the edge algebra[J]．Pseudo-Differentional Operator Applying，2015，6（3）：279-305[9] Liu X，Schulze B W．Mellin Operators in the edge calculus[J]．Complex Analysis and Operator Theory，2016，10（5）：965-1000[10] Liu X．Asymptotics in weighted corner spaces[J]．Asian-European Journal of Mathematics，2014，7（3）：1-36[11] Chang D C，Liu X，Schulze B W．Recent developments on pseudo-differential operators（II）[J]．Tamkang J Math， 2015，46（3）：281-347。

数学软件Maple在微分方程中的几点应用

数学软件Maple在微分方程中的几点应用元艳香;郭顺超;彭忠鸿【摘要】本文简单介绍了数学软件Maple在常微分方程中的几点应用,通过用Maple可以求解一般类型及较复杂的微分方程,并且可用该软件画出解的积分曲线图形,分析解的情况等,为学习和研究微分方程提供了有利帮助.【期刊名称】《科技视界》【年(卷),期】2017(000)015【总页数】3页(P10-11,43)【关键词】数学软件Maple;常微分方程;应用【作者】元艳香;郭顺超;彭忠鸿【作者单位】黔南民族师范学院数学与统计学院,计算机与信息学院,贵州都匀558000;黔南民族师范学院数学与统计学院,计算机与信息学院,贵州都匀 558000;织金县自强小学,贵州毕节 558000【正文语种】中文符号计算软件Maple是目前世界上通用的数学和工程计算软件之一，素有“数学家的软件”之称。

它具有良好的使用环境，强有力的符号计算能力，高精度的数字计算灵活的图形显示和高效的可编程功能[1]。

我们可以借助该软件参与微分方程的计算和绘制积分区域图，如果能够充分利用Maple强大的符号计算功能和图像模拟功能求解，则可以有效减少繁琐的数值计算过程。

本文主要介绍利用Maple 在求解常微分方程几个问题中的应用，重点阐述了Maple软件在微分方程的数值解及其行波玄线解的定性分析中充分发挥的作用。

用Maple求解微分方程最简单的方法是直接调用求解函数dsolve求解，其命令格式为:[2]dslove(ODE);dslove（ODE,y(x),extra_arg）;dslove({ODE,ICs},y(x),extra_arg);dslove（{sysODE,ICs},{funcs},extra_arg）;其中，ODE—常微分方程，y（x）—单变量的任意变量函数，ICs—初始条件。

{sysODE}—ODE方程组的集合，{funcs}变量函数的集合，extra_arg—依赖于求解的问题类型。

高中数学论文 Maple在微积分中的应用

Maple 在微积分中的应用摘要：Maple 被称为当今世界上最流行的符号计算软件之一，它具有强大的交互式工程数学计算功能；其丰富的函数包能满足用户在各方面的需求；简单灵活的平面和立体作图技术使得它成为当前最普及的数学教学软件；它在统计学、经济结算方面的程序库被广泛应用于很多领域。

本文通过Maple9.5软件分六个部分：1. Maple 在极限中的应用；2.Maple 在求导中的应用；3. Maple 在积分中的应用；4.Maple 在级数中的应用；5.Maple 在积分变换中的应用；6.Maple 中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能对Maple 在微积分中应用进行了系统的研究与说明。

关键字：Maple ；微积分；应用研究一、Maple 在极限中的应用1 数列的极限例1．设22211112n u n=+++，求lim n n u →∞。

首先可以通过Maple 绘制散点图得到这个数列是收敛的，如图1：> with(plots);> plot(sum('1/k^2','k'=1..n),n=1..1000);（图1 数列{}n u 散点图）进一步用maple 计算得到该数列的极限为216π，其中命令为： > limit(sum('1/k^2','k'=1..n),n=infinity); 例2．10110,1,,lim 2n n n n n x x x x x x -+→∞+===设求。

这是一种迭代形式的数列，对于这种题目，我们一般有两种解答方法：1）先证明数列为单调，再证明其有上界或下界，从而根据单调有界定理得到数列的极限存在，最后，对数列的迭代式两边求极限；2）通过计算数列的通项公式，直接求极限。

在本题中，显然，第一种方法是行不通的，因此，我们尝试用第二种方法来解。

Maple 可以通过命令容易的解决此种迭代形式的数列，其中命令为： > rsolve({x(n+1)=(x(n)+x(n-1))/2,x(0)=0,x(1)=1},x(n));得到数列的通项公式为221332nn x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这样，就得到了这个数列的极限是23。

maple 微分方程组

maple 微分方程组摘要：1. Maple简介2.微分方程组介绍3.Maple在解决微分方程组中的应用4.具体示例与操作步骤5.总结与展望正文：【1】Maple简介Maple是一款强大的数学软件，拥有丰富的函数和工具，可以用于解决各种数学问题。

其图形化界面和交互式环境使得用户可以轻松地进行数学计算、可视化和编程。

在本文中，我们将重点介绍如何利用Maple解决微分方程组问题。

【2】微分方程组介绍微分方程组是数学中的一种常见问题，它涉及多个变量的相互关系。

通常形式如下：dx/dt = f(x, t)dy/dt = g(x, t)其中x和y是未知函数，t是时间变量，f(x, t)和g(x, t)是关于x和t的函数。

解决微分方程组有助于了解系统在不同时间点的状态，从而应用于物理、生物、经济等领域的建模和预测。

【3】Maple在解决微分方程组中的应用Maple提供了丰富的函数和操作符，可以方便地处理微分方程组。

以下是一些基本步骤：1.定义方程组：首先，我们需要用Maple符号表示微分方程组。

例如，假设我们有一个两阶微分方程组：ds(x)/dt = x - 2yds(y)/dt = 3x - 4y我们可以用以下方式表示：ds(x) / dt = x - 2*yds(y) / dt = 3*x - 4*y2.初始条件：为了求解方程组，我们还需要指定初始条件。

例如，给定以下初始条件：s(x, 0) = 1，s(y, 0) = 0我们可以用以下方式表示：s(x, 0) = 1s(y, 0) = 03.求解方程组：接下来，我们可以使用Maple的ODE45或其他求解器函数来求解微分方程组。

例如，使用ODE45求解上述方程组，我们可以输入以下命令：ds(x) / dt = x - 2*yds(y) / dt = 3*x - 4*ys(x, 0) = 1s(y, 0) = 04.分析结果：Maple会输出解的数值表示、图形和有关解的更多信息。

maple解方程组命令

maple解方程组命令使用Maple解方程组的命令是一种快速且准确的方法，可以帮助我们解决复杂的数学问题。

Maple是一种强大的数学软件，它可以用来进行数值计算、符号计算、绘图等多种数学运算。

在这篇文章中，我们将探讨如何使用Maple解方程组，并给出一些实际应用的例子。

在Maple中，解方程组的命令是`fsolve`。

`fsolve`函数可以用来求解多个非线性方程组，它的语法如下：```fsolve({equations}, {variables})```其中，`equations`是一个包含多个方程的集合，`variables`是方程中的未知数。

通过这个命令，Maple可以找到方程组的解，并将解返回给用户。

下面我们来看一个简单的例子。

假设我们有一个方程组：```x + y = 5x - y = 1```我们可以使用Maple来解这个方程组。

首先，我们需要定义方程组的变量：```x, y := fsolve({x + y = 5, x - y = 1}, {x, y})```然后，我们可以通过打印变量的值来得到方程组的解：```print(x, y)```运行这段代码后，Maple会输出方程组的解，即x=3，y=2。

这样，我们就成功地用Maple解决了这个方程组。

除了这个简单的例子，我们还可以使用Maple来解决更复杂的方程组。

例如，假设我们有一个由三个方程组成的方程组：```x^2 + y^2 + z^2 = 1x + y + z = 2x - y + z = 0```我们可以使用`fsolve`命令来解这个方程组：```x, y, z := fsolve({x^2 + y^2 + z^2 = 1, x + y + z = 2, x - y + z = 0}, {x, y, z})```然后，我们可以打印变量的值来得到方程组的解：```print(x, y, z)```运行这段代码后，Maple会输出方程组的解，即x=1，y=0，z=1。

Maple中的微分代数方程求解

Part10：Maple中的微分代数方程求解西希安工程模拟软件（上海）有限公司，200810.0 Maple中的微分方程求解器介绍Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题：常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP)，可以通过参数项选择求符号解 (解析解) 或数值解。

ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。

了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve, dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。

使用Maple的PDE工具可以完成对PDE系统的结构分析和指数降阶处理。

了解更多信息，参考帮助系统中的 pdsolve and pdsolve/numeric.微分-代数方程 (DAEs): dsolve/numeric 命令是符号-数值混合求解器，使用符号预处理和降阶技术，让Maple能够求解高指数的DAE问题。

Maple内置三个求解器用于处理DAEs：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法，2）Rosenbrock 方法，以及 3）修正的拓展后向差分隐式方法。

10.1 Maple中的微分代数方程(DAEs)更多亮点：大部分情况下，通过识别是否存在因变量的纯代数方程，dsolve命令可以判断给定的问题是否是微分代数方程，而不是常微分方程。

如果输入是一个不含有纯代数方程的微分代数方程，使用solve求解时需要用method参数指定对象是一个微分代数方程。

dsolve 有三种数值方法求解DAEs。

默认的 DAE IVP 方法是 modified Runge-Kutta Fehlberg method (rkf45_dae)，另两个方法是 rosenbrock_dae 和 Modified Extended Backward-Differentiation Implicit method (mebdfi)，可以通过 method 参数项指定。

数学软件 Maple 在常微分方程教学中的应用

数学软件Maple在常微分方程教学中的应用闻小永（北京信息科技大学数学系，北京 100192）摘要：本文讨论了数学软件Maple在常微分方程教学中的运用，总结了教学实践经验，并结合具体实例，说明数学软件Maple是提高学生分析和解决问题能力的有效工具。

关键词：数学软件Maple；常微分方程；教学一、引言数学软件是大学生数学建模竞赛以及数学实验的有力工具，也是培养学生应用数学以及实践数学能力的有效工具。

高等学校工科数学课程教学指导委员会在1996年提出的《关于工科数学系列课程教学改革的建议》[1]中指出：计算机的广泛使用和计算技术、软件包的高速发展，正在改变着人们对数学知识的需求，冲击着传统的观念和方法。

该建议将利用计算机进行数学实验包括数学建模、实用数值方法、常用软件包的使用、数据处理作为基本知识之一，要求各校根据自身的条件，开展计算机数学软件辅助教学，努力探索将计算机数学软件引入课堂教学，促进教学内容课程体系改革的途径。

随着计算机技术的深入发展及计算机的日益普及，计算机的应用已渗透到国民经济和科学研究的各个领域，工科数学的教学也不例外。

近年来，国外不少数学教材（如微积分、线性代数、概率与统计、常微分方程、数值计算等）都增加了应用数学软件的内容。

数学软件 Maple [2-4]是加拿大滑铁卢大学（University of Waterloo）和 Waterloo Maple Software 公司设计的一套为微积分、线性代数、微分方程等高等数学使用的软件包，Maple软件适用于解决微积分、解析几何、线性代数、微分方程、计算方法、概率统计等数学分支中的常见计算问题，它以良好的使用环境、强有力的符号计算、高精度的数值计算、灵活的图像显示和高效的编程功能，为越来越多的教师、学生以及科研人员所喜爱，并且成为他们数学处理的重要工具。

现在越来越多的教师和科研人员利用Maple软件来处理教学和科研中所遇到的数学问题，已取得一定的教学和科研成果[5-7]。

Maple在线性规划教学中的应用探讨

Maple在线性规划教学中的应用探讨
一、理论知识的讲解
在线性规划教学中，讲解理论知识是必不可少的环节。

而Maple可以通过动态展示图形、公式等方式，使得学生们更好地理解线性规划的概念和理论知识。

同时，Maple还可以制作模拟实验来让学生们感受线性规划实际解决问题的过程，这样可以增加学生们的兴趣，更好地理解线性规划的应用。

二、解题实例的演示
在线性规划教学中，解题实例的演示也是非常重要的环节。

而Maple可以通过输入线性规划模型，求解线性规划问题，并展示结果的方式，来演示解题实例。

而且，Maple可以将线性规划的几何意义和计算过程融合在一起，让学生们更好地理解线性规划模型和解题步骤。

三、自主实践的指导
四、课堂互动的增强
在线性规划教学中，课堂互动的增强可以让学生们更好地参与到教学过程中，提高学生的学习兴趣。

而Maple可以通过课堂练习来增强课堂互动。

通过让学生上台演示解题过程、讲解思路等方式，可以让学生们更好地理解线性规划的概念和方法，同时也可以让教师更好地了解学生的学习情况。

综上所述，Maple在线性规划教学中的应用是非常广泛的。

通过Maple的应用，可以让学生更好地理解线性规划的理论知识，同时也可以提高学生的解题能力和计算能力。

因此，可以说Maple是线性规划教学中不可或缺的一部分。

maple 微分方程组

maple 微分方程组微分方程组是数学中的一个重要概念，是描述物理、生物、工程等领域中某些变量之间关系的方程组。

其中，maple是一种常用的数学软件，可以用于求解微分方程组。

本文将介绍微分方程组的基本概念以及如何利用maple求解微分方程组的方法。

微分方程组是包含多个未知函数及其导数的方程组。

一般地，微分方程组可以用以下形式表示：\[\begin{cases}F_1(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\F_2(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots \\F_n(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\\end{cases}\]其中，\(y_1, y_2, \ldots, y_n\)是未知函数，\(y_1', y_2', \ldots, y_n'\)是它们的导数，\(F_i\)是关于这些未知函数及其导数的函数。

在使用maple求解微分方程组时，首先需要定义微分方程组。

可以使用"DEtools"包中的"diffeq"命令来定义微分方程组，具体的语法格式如下：\[\text{{diffeq}}(\{F_1, F_2, \ldots, F_n\}, \{y_1, y_2, \ldots, y_n\}(x))\]其中，\(\{F_1, F_2, \ldots, F_n\}\)表示方程组的左侧，\(\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\)表示未知函数，\(x\)表示自变量。

微分方程的maple求解

1、常用函数1)求解常微分方程的命令dsolve.dsolve(常微分方程)dsolve(常微分方程，待解函数，选项)dsolve({常微分方程，初值}，待解函数，选项)dsolve({常微分方程组，初值}，{待解函数}，选项)其中选项设置解得求解方法和解的表示方式。

求解方法有type=formal_series(形式幂级数解)、type=formal_solution(形式解)、type=numeric(数值解)、type=series(级数解)、method=fourier(通过Fourier变换求解)、method=laplace(通过Laplace变换求解)等。

解的表示方式有explicit(显式)、implicit(隐式)、parametric(参数式)。

当方程比较复杂时，要想得到显式解通常十分困难，结果也会相当复杂。

这时，方程的隐式解更为有用，一般也要简单得多。

dsolve为标准库函数。

2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol.在Maple中求解一阶线性方程既可以用dsolve函数求解，也可以用Detools函数包中的linearsol函数求解。

linearsol是专门求解线性微分方程的命令，使用格式为: linearsol(线性方程，待解函数)linearsol的返回值为集合形式的解。

3)偏微分方程求解命令pdsolve.pdsolve(偏微分方程，待解变量，选项)pdsolve(偏微分方程，初值或边界条件，选项)pdsolve为标准库函数，可直接使用。

如果求解成功，将得到几种可能结果：方程的通解；拟通解(包含有任意函数，但不足以构造通解)；一些常微分方程的集合；2、方法1)一阶常微分方程的解法a 分离变量法 I 直接分离变量法。

如()()dyf xg y dx=，方程右端是两个分别只含x 或y 的函数因式乘积，其通解为()()dyf x dx Cg y =+⎰⎰。

II 换元法之后再用分离变量法。

非线性微分方程教学中的Maple辅助

第17卷第2期江苏技术师范学院学报JOURNAL OF JIANGSU TEACHERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vo l.17,No.2Feb .,20112011年2月0引言常微分方程是数学专业的基础课程，通常安排在数学分析、高等代数、解析几何等课程之后，从而为学习微分几何、泛函分析等后继课程打下基础。

同时，常微分方程作为理论联系实际的重要数学分支之一，也是自然科学和其他技术科学的重要工具课程。

非线性微分方程作为经典的常微分方程教材[1]中重要的一章，起到从理论体系完善的线性微分方程时代迈向非线性微分方程这一科学前沿的作用。

因此，非线性常微分方程的教学显得尤为重要。

非线性微分方程中出现的各类问题常涉及繁琐的符号运算，这就给非线性微分方程的教学带来很大的难度。

因此，适当使用具有强大符号计算功能的数学软件M aple [2-3]来辅助非线性微分方程的教学，不仅可以使教师和学生摆脱繁重乏味的数学演算和数值计算，将注意力更多集中在解题方法的思考上，而且还能提升学生运用数学软件编制相应程序解决实际问题的能力。

1用Maple 解决非线性微分方程中三类典型问题Maple 软件主要由内核、库函数及用户界面三部分组成。

库函数和用户界面由C 语言写成且只占软件的一小部分，当用户启动时即被装入，主要负责输入命令及算式的初步处理、显示结果等，而内核则负责输入的编译、代数运算、管理内存。

随着M aple 软件的发展与完善，直接使用软件中已有的库函数求解各类线性微分方程（组）并非难事[4]，但对于非线性微分方程（组）的问题则束手无策。

下面举例说明如何用M aple 编制程序实现非线性微分方程组零解的稳定性判断、线性微分方程组奇点的类型与稳定判断及非线性微分方程组的极限环的存在性和稳定性判断这三类非线性微分方程中的典型问题的求解，从而用于辅助非线性微分方程的教学。

例1判断一阶非线性微分方程组非线性微分方程教学中的Maple 辅助江波（江苏技术师范学院数理学院，江苏常州213001）收稿日期：2011-02-11作者简介：江波（1978-），男，江苏常州人，讲师，博士，主要从事非线性微分方程的研究。

Maple软件的介绍使用方法

Maple软件可以绘制各种类型的函数图像，包括曲线图、散点图、极坐标图等。
Maple软件支持绘制三维图像，可以展示函数的立体形状和表面等。
绘制等值线图
Maple软件可以绘制等值线图，用于表示函数在二维平面上的等高线。
Maple软件的数据分析功能
数据导入
Maple软件可以导入各种数据格式，包括文本文件、Excel文件等。
Maple软件的功能特点
1 强大的计算能力
Maple软件具有高精度的计算能力，可以进行符号计和数值计算，并能处理复杂的数学运算。
2 丰富的数学函数
Maple软件内置了丰富的数学函数，可以用于求解方程、绘制函数图像、进行数学推理等。
3 友好的用户界面
Maple软件采用直观的界面设计，使用户能够轻松使用各种功能，同时提供了丰富的学习资源和帮助文档。
编辑结果
在输出区域对计算结果进行编辑、调整格式和导出。
Maple软件的数学运算功能
1
代数运算
Maple软件可以进行代数运算，包括多项
微积分运算
2
式运算、方程求解、矩阵运算等。
Maple软件支持微积分运算，可以进行导
数计算、积分计算、微分方程求解等。
3
概率统计运算
Maple软件具有强大的概率统计功能，可以进行随机数生成、概率分布计算、统计分析等。
Maple软件的介绍使用方法
Maple软件是一款功能强大的数学软件，被广泛应用于科学研究、工程领域、教育教学以及金融等领域。本文将介绍Maple软件的各种功能和应用，帮助您更好地理解和使用Maple软件。
Maple软件简介
Maple软件是一种先进的数学软件，通过其强大的计算和分析功能，可以解决各种数学问题，包括代数、微积分、差分方程等。

Maple在非线性方程求解中的应用

输入ｆｌｅｘ（，）一Ｏ（）０｛）显示｛＝．４２７１｝ｓｖ（一４＾ＣＳＸ５＝，ｏ４｝，ｘＯ８４６２７．７
但是ｆｌ（函数每次只能找到方程的一个解，ｓｖ）ｏｅ那么怎样尽可能找到方程的全部解呢？下面通过具体的例子．寻找一种求非线性方程解的方法．首先介绍一下将要用到的Ｍａｌｐｅ中的函数．
维普资讯
第９第６卷期
２００７年１月１
石家庄学院学报ＪｕｎｌｆｈｊｚｕｎｎｖｒｔｏｒａｏｉａｈａｇＵｉｓｙＳｉｅｉ
Ｖｏ．Ｎｏ６１９，．ＮＯ．００Ｖ２７
Ｍｐｅ非线性方程求解中的应用ａｌ在
另外Ｍａｌ用ｉｆｉｉ表示无穷大．于这几个函数更多的用法见文献［］ｐｅｎｔｎｙ关５．接下来，几个例子．举
收稿日期：０７０ — ７２０ — ５２作者简介：岳崇山（９９）男，１７一，河北崇礼人，助教，硕士研究生，主要从事微分几何、拓扑以及数学软件研究
图形的描绘、数值计算和符号处理等方面．有不少文献对其进行了不同方面的论述，如文献［，】３１［，】】２［．本文仅从解非线性方程方面，来探究Ｍａｌ在数学研究和教学中的应用．求解一般的非线性方程（非ｐｅ或
线性方程组）传统的方法是利用函数的一阶、，二阶导数（或偏导数）的判断单调性、凹凸性的几何方法，以及利用牛顿迭代法为代表的数值方法【它们分别存在精确度差和计算繁琐的缺点．文利用Ｍａｌ４Ｊ，本ｐｅ的强大的

maple 微分方程组

Maple在微分方程组中的应用一、引言微分方程组是描述动态系统变化的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

解决微分方程组的方法多种多样，其中符号计算软件如Maple提供了强大的工具，使得复杂的微分方程组求解变得相对简单。

本文旨在探讨Maple在微分方程组中的应用。

二、Maple的符号计算功能2.1 符号微分与积分Maple提供了符号微分和积分的功能，使得用户可以方便地对函数进行微分和积分，这在求解微分方程组时是基础的操作。

2.2 符号方程求解Maple能够解决各种符号方程，包括线性方程、二次方程、高次方程等，这对于解决微分方程组中的代数问题非常有用。

2.3 符号极限与连续性Maple可以计算函数的极限，检查函数的连续性等，这对于验证微分方程组的解的正确性非常重要。

三、Maple在微分方程组求解中的应用3.1 初始值问题对于初始值问题，Maple可以自动选择适当的方法进行求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。

用户只需输入初始条件和微分方程，Maple即可给出数值解。

3.2 边界值问题对于边界值问题，Maple提供了多种边界条件选项，如Dirichlet、Neumann和Robin条件等，使得这类问题的求解变得简单。

3.3 刚性问题对于刚性问题，Maple可以自动选择适当的方法进行求解，如隐式方法、显式方法等。

这使得在处理刚性问题时，Maple能够给出精确的数值解。

四、Maple的数值计算功能4.1 数值微分与积分除了符号计算外，Maple还提供了强大的数值计算功能。

用户可以使用Maple进行数值微分与积分，这在求解微分方程组时是很有用的。

4.2 数值方法与迭代法Maple内置了多种数值方法和迭代法，如牛顿法、二分法等。

这些方法可以用于求解非线性方程组和不等式组，而这在微分方程组求解中是常见的操作。

4.3 多重数值积分与微分对于多维问题，Maple提供了多重数值积分与微分的功能。

这使得在处理多维微分方程组时，Maple能够给出精确的数值解。

Maple在线性规划教学中的应用探讨

Maple在线性规划教学中的应用探讨线性规划是数学中的一种优化方法，广泛应用于经济、管理、工程等领域。

Maple是一种强大的数学软件，可以辅助进行线性规划的建模、求解和分析。

本文将探讨在Maple 在线教学中如何应用线性规划进行教学。

Maple提供了丰富的线性规划建模工具，可以帮助学生将实际问题转化为数学模型。

教师可以通过提供一些实际案例，指导学生使用Maple进行建模，并帮助他们理解约束条件、目标函数等概念。

学生也可以通过Maple自己尝试建模，从中获得实践经验。

Maple提供了直观的图形界面，可以帮助学生可视化地理解线性规划问题。

在求解过程中，Maple能够绘制等高线图、散点图等图形，帮助学生更好地理解模型的几何意义。

这不仅能够提高学生对线性规划的理解程度，还可以激发他们探索问题的兴趣。

Maple还提供了强大的求解器，可以帮助学生高效地求解线性规划问题。

学生可以通过使用Maple提供的求解命令，获得问题的最优解或最优解集。

Maple还能够给出约束条件的灵敏度分析结果，帮助学生分析参数变化对最优解的影响。

这使得学生能够在实践中深入理解线性规划问题的本质。

Maple还支持自定义函数和脚本编程，可以帮助教师进行更加灵活的教学。

教师可以编写一些辅助函数，帮助学生理解线性规划的概念和算法。

教师还可以编写一些脚本，将线性规划与其他数学概念如微积分、矩阵运算等进行有机结合，提升学生的综合应用能力。

Maple在线性规划教学中具有广泛的应用前景。

通过Maple，学生能够直观地理解线性规划问题，灵活地建模和求解，提高对线性规划的理解和应用能力。

教师也能够通过Maple进行个性化教学，激发学生的学习热情。

希望在以后的教学实践中，能够更好地利用Maple这一工具，提升线性规划教学的效果。

数学软件maple在微分方程中的几点应用

数学软件maple在微分方程中的几点应用
Maple是一个功能强大的数学软件，广泛应用于研究微分方程和其它更复杂的数学问题。

在解决微分方程问题时，Maple能够帮助人们完成许多复杂的计算，节省很多时间。

首先，Maple可以用来求解一元常微分方程和多元常微分方程。

也就是说，如果你知道方程的结构，Maple可以帮助你求解该方程的常规解析解，特解和数值解。

此外，Maple能够绘制微分方程的分析图像，例如曲线和曲面图，以及其他图形和函数变量，这有助于人们更好地理解方程的作用机制和特征。

此外，Maple还可以用来识别、分析和求解非线性微分方程中的混沌和稳定性。

Maple为用户提供了一些功能，可以模拟系统演变，可以识别系统混沌特征，可以检测系统的稳定性，以及分析系统的混合行为。

由于Maple易于考虑和使用，许多研究人员和学生都在使用Maple来进行混沌和稳定性的研究。

总之，Maple是一款功能强大的数学软件，可以帮助人们快速、准确地求解复杂的微分方程。

Maple的各种功能和机制能够让更多的研究者和学生研究微分方程以及其混沌和稳定性，这将有助于深入理解当今世界的科学和技术有关问题。

浅谈Maple在微分方程教学中的应用

浅谈Maple在微分方程教学中的应用
刘娜
【期刊名称】《科教文汇》
【年(卷),期】2016(000)029
【摘要】本文用数学软件Maple和简单方程方法实现了非线性BLMP方程精确解的求解，并可用来辅助微分方程的教学。

【总页数】2页(P55-56)
【作者】刘娜
【作者单位】山东政法学院商学院山东·济南 250014
【正文语种】中文
【中图分类】G642
【相关文献】
1.Maple在微分方程教学中的一点应用 [J], 冯大河
2.浅谈Maple在常微分方程教学中的一些应用 [J], 张春;
3.常微分方程教学中融入Maple软件的应用探索 [J], 卢亮;欧乾忠;郭秀凤
4.Maple在常微分方程教学中的应用 [J], 朱春蓉;郑群珍
5.浅谈Maple在常微分方程教学中的应用 [J], 毛辉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Maple在非线性方程求解中的应用.kdh

Ｍａｐｌｅ在非线性方程求解中的应用岳崇山１，景海斌２，张贺１（１．河北北方学院数学系，河北张家口０７５０００；２．河北建筑工程学院数理系，河北张家口０７５０００）摘要：介绍了数学软件Ｍａｐｌｅ因式分解和解方程软件包ＦａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄＳｏｌｖｉｎｇＥｑｕａｔｉｏｎｓ的部分函数，并利用Ｍａｐｌｅ图形软件包Ｇｒａｐｈｉｃｓ的ｐｌｏｔ函数，通过具体的数学实验，给出了求解一般非线性代数方程的比较快速的方法．关键词：非线性方程；Ｍａｐｌｅ；浮点数解中图分类号：Ｏ１５１．１文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－１９７２（２００７）０６－０００５－０４Ｍａｐｌｅ是加拿大滑铁卢大学（ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＷａｔｅｒｌｏｏ）和ＷａｔｅｒｌｏｏＭａｐｌｅＳｏｆｔｗａｒｅ公司注册的一套为微积分、线性代数、微分方程、概率统计等数学分支研制开发的数学分析型的数学软件，它的主要功能包括数学图形的描绘、数值计算和符号处理等方面．有不少文献对其进行了不同方面的论述，如文献［１］，［２］，［３］．本文仅从解非线性方程方面，来探究Ｍａｐｌｅ在数学研究和教学中的应用．求解一般的非线性方程（或非线性方程组），传统的方法是利用函数的一阶、二阶导数（或偏导数）的判断单调性、凹凸性的几何方法，以及利用牛顿迭代法为代表的数值方法［４］，它们分别存在精确度差和计算繁琐的缺点．本文利用Ｍａｐｌｅ的强大的绘图功能和计算能力，通过具体的例子，寻找求解非线性方程的一般方法．对于次数低于４的多项式方程，Ｍａｐｌｅ提供的ｓｏｌｖｅ（）函数一般能解出其精确解或解析解．例如要求方程ｘ３＋２ｘ２－５ｘ－６＝０的解，就可以在Ｍａｐｌｅ中输入以下命令：输入ｓｏｌｖｅ（ｘ＾３＋２＊ｘ＾２－５＊ｘ－６＝０，｛ｘ｝），显示｛ｘ＝－１｝｛ｘ＝２｝｛ｘ＝－３｝．而在数学上，５次方以上的多项式未必会有根式解，另外一些非线性方程也不一定有有理解，这些数学上的限制，使得ｓｏｌｖｅ（）函数无法找到方程的解，例如要求方程ｘ－ｘ４!"４－ｃｏｓ（ｘ５）＝０的解，在Ｍａｐｌｅ中输入以下命令ｓｏｌｖｅ（ｘ－（ｘ／４）＾４－ｃｏｓ（ｘ＾５）＝０，｛ｘ｝）时，Ｍａｐｌｅ则显示出一个非常复杂的解析表达式，从中很难得到有益的结果，而函数ｆｓｏｌｖｅ（）则可以找出这个非线性方程式的浮点数解（以下简称解）．输入ｆｓｏｌｖｅ（ｘ－（ｘ／４）＾４－ｃｏｓ（ｘ＾５）＝０，｛ｘ｝），显示｛ｘ＝０．８７４４２６７２１７｝．但是ｆｓｏｌｖｅ（）函数每次只能找到方程的一个解，那么怎样尽可能找到方程的全部解呢？下面通过具体的例子，寻找一种求非线性方程解的方法．首先介绍一下将要用到的Ｍａｐｌｅ中的函数．１本文用到的Ｍａｐｌｅ中的函数ｓｏｌｖｅ（ｅｑｎ，ｖａｒ），求解ｅｑｎ中的未知数ｖａｒ；ｆｓｏｌｖｅ（ｅｑｎ，ｖａｒ），求解ｅｑｎ中的未知数ｖａｒ，并返回一个浮点数解；ｆｓｏｌｖｅ（ｅｑｎ，ｖａｒ＝ｘ０），从ｖａｒ＝ｘ０来搜寻ｅｑｎ的解，并返回一个浮点数解；ｐｌｏｔ（ｆ（ｘ），ｘ＝ｘｍｉｎ…ｘｍａｘ），从ｘｍｉｎ到ｘｍａｘ绘出ｆ（ｘ）的函数图．另外Ｍａｐｌｅ用ｉｎｆｉｎｉｔｙ表示无穷大．关于这几个函数更多的用法见文献［５］．接下来，举几个例子．收稿日期：２００７－０５－２７作者简介：岳崇山（１９７９－），男，河北崇礼人，助教，硕士研究生，主要从事微分几何、拓扑以及数学软件研究．第９卷第６期石家庄学院学报Ｖｏｌ．９，Ｎｏ．６２００７年１１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＮｏｖ．２００７２例子例１求方程ｘ２１２－６ｘ＝ｓｉｎ（ｘ＋８）的解．解将方程改写为ｘ２１２－６ｘ－ｓｉｎ（ｘ＋８）＝０．设函数ｆ１（ｘ）＝ｘ２１２－６ｘ－ｓｉｎ（ｘ＋８），输入ｆ１∶＝ｘ－＞ｘ＾２／１２－６＊ｘ－ｓｉｎ（ｘ＋８），再求（１）式的一个解．输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ１（ｘ）＝０，｛ｘ｝），显示｛ｘ＝－０．１６６２４８６９２５｝，接着在不同的范围寻找（１）式的解．先在区间［－１，１］的范围内绘出函数ｆ１（ｘ）的图形：输入ｐｌｏｔ（ｆ１（ｘ），ｘ＝－１．．１），显示如图１．如图１显示，（１）式确实有解为ｘ＝－０．１６６２４８６９２５．但是（１）式只有这一个解吗？试着将搜寻的范围扩大．输入ｐｌｏｔ（ｆ１（ｘ），ｘ＝－ｉｎｆｉｎｉｔｙ…－０．１７），显示如图２．如图２显示，（１）式在ｘ＜－０．１７时是无解的．同样，观察０．５≤ｘ≤１００时，函数ｆ１（ｘ）的图形．输入ｐｌｏｔ（ｆ１（ｘ），ｘ＝０．５．．１００），显示如图３．（１）图１函数ｆ１（ｘ）在区间［－１，１］上的图像图２函数ｆ１（ｘ）在区间［－∞，－０．１７］上的图像图３函数ｆ１（ｘ）在区间［０．５，１００］上的图像图４函数ｆ１（ｘ）在区间［１００，＋∞）上的图像６４２０－１－０．５０．５１－２－４－６ｘ石家庄学院学报２００７年１１月６岳崇山，景海斌，张贺：Ｍａｐｌｅ在非线性方程求解中的应用如图３所示，（１）式在ｘ＝８０附近还有一个解．输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ１（ｘ）＝０，ｘ＝８０），显示７１．８３９０８０１８．那么，当ｘ＞１００时，（１）式还有其他解吗？输入ｐｌｏｔ（ｆ１（ｘ），ｘ＝１００．．ｉｎｆｉｎｉｔｙ），显示如图４．如图４所示，当ｘ＞１００时，（１）式没有其他解了．那么ｘ１＝－０．１６６２４８６９２５，ｘ２＝７１．８３９０８０１８是否一定是（１）式的解呢？这就需要进行验根．方法很简单，只要将上述数值代入函数ｆ１（ｘ），如果ｆ１（ｘｉ）－０＜ε，（ｉ＝１，２）则其即为（１）式的解，这里ε是一个足够小的正整数．为此：输入ａｂｓ（ｆ１（－０．１６６２４８６９２５）），ａｂｓ（ｆ１（７１．８３９０８０１８）），显示１，１０－１０，２．５，１０－９．上面的数据表明，ｘ１＝－０．１６６２４８６９２５，ｘ２＝７１．８３９０８０１８确实为（１）式的解．那么，为什么不一次绘出函数ｆ１（ｘ）的全部图形来寻找方程的解呢？不妨做个试验．输入ｐｌｏｔ（ｆ１（ｘ），ｘ＝－ｉｎｆｉｎｉｔｙ．．ｉｎｆｉｎｉｔｙ），显示如图５，这时Ｍａｐｌｅ绘制的图形出现了失真现象．例２求方程ｓｉｎｈ２（ｘ）＋ｃｏｓｈ（ｘ２）＝６ｘ－１的解．解首先，将方程改写为ｓｉｎｈ２（ｘ）＋ｃｏｓｈ（ｘ２）－６ｘ＋１＝０．设函数ｆ２（ｘ）＝ｓｉｎｈ２（ｘ）＋ｃｏｓｈ（ｘ２）－６ｘ＋１，输入ｆ２∶＝ｓｉｎｈ（ｘ）＾２＋ｃｏｓｈ（ｘ＾２）－６＊ｘ＋１∶，接着求（２）式的一个解．输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ２（ｘ）＝０，｛ｘ｝），显示｛ｘ＝０．３５６８２２４９３１｝；其次，再在不同的范围寻找（１）式的解：输入ｐｌｏｔ（ｆ２（ｘ），ｘ＝－１．．１），显示如图６．输入ｐｌｏｔ（ｆ２（ｘ），ｘ＝ｉｎｆｉｎｉｔｙ．．０．３），显示如图７；输入ｐｌｏｔ（ｆ２（ｘ），ｘ＝０．２．．２），显示如图８；图５Ｍａｐｌｅ绘制的（－∞，＋∞）上函数ｆ１（ｘ）上的图像（２）图６函数ｆ２（ｘ）在区间［－１，１］上的图像图７函数ｆ２（ｘ）在区间［－∞，０．３］上的图像图８函数ｆ２（ｘ）在区间［０．２，２］上的图像图９函数ｆ２（ｘ）在区间［２，４］上的图像第６期７输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ２（ｘ）＝０，ｘ＝１．４），显示１．４１２５２０９９４；输入ｐｌｏｔ（ｆ２（ｘ），ｘ＝２．．４），显示如图９．如果继续扩大搜寻范围，Ｍａｐｌｅ将提示数据溢出，如：输入ｐｌｏｔ（ｆ２（ｘ），ｘ＝２．．１３０），显示Ｅｒｒｏｒ，Ｆｌｏａｔｉｎｇｐｏｉｎｔｏｖｅｒｆｌｏｗ．Ｐｌｅａｓｅｓｈｏｒｔｅｎａｘｅｓ．这表明当ｘ→∞时，函数ｆ２（ｘ）增长得非常快，与ｘ轴没有交点．下面进行验根：输入ａｂｓ（ｆ２（０．３５６８２２４９３１）），ａｂｓ（ｆ２（１．４１２５２０９９４））显示０，１，１０－１０．上面的数据表明，ｘ１＝０．３５６８２２４９３１，ｘ２＝１．４１２５２０９９４确实为（２）式的解．例３求方程组１－ｘ２＋ｙ２＝０２－ｘ２－ｙ２＝"０的解．解设变量ｆ３（ｘ，ｙ）＝｛１－ｘ２＋ｙ２＝０，２－ｘ２－ｙ２＝０｝．输入ｆ３∶＝｛１－ｘ＾２＋ｙ＾２＝０，２－ｘ＾２－ｙ＾２＝０｝∶，在（ｘ，ｙ）∈［－２，２］×［－２，２］的范围内寻求（３）式的解．输入ｐｌｏｔｓ［ｉｍｐｌｉｃｉｔ］（ｆ３（ｘ），ｘ＝－２．．２，ｙ＝－２．．２，ｓｃａｌｉｎｇ＝ＣＯＮＳＴＲＡＩＮＥＤ）显示如图１０．观察图１０，有：输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ３（ｘ）＝０，｛ｘ＝－１，ｙ＝－０．７｝），显示｛ｘ＝－１．２２４７４４８７１，ｙ＝－０．７０７１０６７８１２｝；输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ３（ｘ）＝０，｛ｘ＝－１，ｙ＝０．７｝），显示｛ｙ＝０．７０７１０６７８１２，ｘ＝－１．２２４７４４８７１｝；输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ３（ｘ）＝０，｛ｘ＝－１，ｙ＝－０．７｝），显示｛ｙ＝－０．７０７１０６７８１２，ｘ＝１．２２４７４４８７１｝；输入ｆｓｏｌｖｅ（ｆ３（ｘ）＝０，｛ｘ＝－１，ｙ＝０．７｝），显示｛ｙ＝０．７０７１０６７８１２，ｘ＝１．２２４７４４８７１｝．这样，就找到了（３）式的全部解，仿照例１与例２，也可以进行验根，这里从略．３结论通过上面的３个例子，可以找到解非线性方程（或非线性方程组）的一般方法，步骤如下：１）将方程化成ｆ（ｘ）＝０（或ｆ（ｘ，ｙ）＝０）的形式，再将方程左边设为一个函数ｆ（ｘ）；２）运行指令ｆｓｏｌｖｅ（ｆ（ｘ）＝０，｛ｘ｝），求出方程的一个解ｘ＝ｘ０；３）用函数ｐｌｏｔ（）在区间［ｘ０－ε，ｘ０＋ε］内绘出函数ｆ（ｘ）的图形，观察函数图形与ｘ轴的交点的横坐标，设为ｘ１，ｘ２，ｘ３…；４）运行指令ｆｓｏｌｖｅ（｛ｆ（ｘ）＝０｝，ｘ＝ｘｉ），求出方程ｆ（ｘ）＝０的精确解ｘ＝ｘｉ，ｉ＝１，２，３…；５）利用３）和４）的结果改变ｘ０及ε的值，重复步骤３）和步骤４），直到找到方程ｆ（ｘ）＝０的全部的解；６）将解代入函数ｆ（ｘ）进行验根．（下转第３６页）（３）图１０方程组函数ｆ３（ｘ）在［－２，２］×［－２，２］上的图像石家庄学院学报２００７年１１月８（上接第８页）参考文献：［１］孙利霞．Ｍａｐｌｅ在线性代数中的可视化教学［Ｊ］．长春师范学院学报，２００５，２４（５）：２８－３２．［２］王蕾，赵燕清，孙培安，等．Ｍａｐｌｅ在级数和广义积分的应用［Ｊ］．山东科学，２００７，２０（１）：６５－６８．［３］程瑶，李扬，李世奇．基于Ｍａｐｌｅ的原根及本原多项式的计算［Ｊ］．重庆师范学院学报，２００５，２２（２）：２７－２９．［４］同济大学应用数学系．高等数学（上册）（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．［５］洪维恩．数学魔法师Ｍａｐｌｅ６［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２００１．（责任编辑梁志星）ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＭａｐｌｅｉｎＳｏｌｖｉｎｇＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｑｕａｔｉｏｎＹＵＥＣｈｏｎｇ－ｓｈａｎ１，ＪＩＮＧＨａｉ－ｂｉｎ２，ＺＨＡＮＧＨｅ１（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ，Ｈｅｂｅｉ０７５０００，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｐｈｙｓｉｃｓ，ＨｅｉｂｅｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ＆ＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＺｈａｎｇｊｉａｋｏｕ，Ｈｅｂｅｉ０７５０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅａｒｔｉｃｌｅｐｒｅｓｅｎｔｓｐａｒｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＦａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄＳｏｌｖｉｎｇＥｑｕａｔｉｏｎｓｓｏｆｔｗａｒｅｐａｃｋａｇｅｏｆＭａｐｌｅ．ＩｔｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｑｕｉｃｋｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏａｎｏｒｄｉｎａｒｙｎｏｎｌｉｎｅａｒａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｂｙｕｓｉｎｇｐｌｏｔｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆＧｒａｐｈｉｃｓｐａｃｋａｇｅｏｆｔｈｅｓｏｆｅｗａｒｅａｎｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ；ｍａｐｌｅ；ｆｌｏａｔｉｎｇｐｏｉｎｔｓｏｌｖｅ参考文献：［１］丘淦才．ＨＰＬＣ测定土霉素片的含量［Ｊ］．现代食品与药品杂志，２００６，１６（２）：３０－３１．［２］ＷＩＬＬＩＡＭＷＡＲＭＳＴＲＯＮ，ｅｔａｌ．ＯｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｅＣｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ．ＵＳ：４２５９３３１［Ｊ］，１９８１－０３－３１．［３］ＷｉｎｆｒｉｅｄＤｏｒｎｈｏｆｅｒ，ＥｒｗｉｎＥｍｂｒｅｃｈｔｓ．ＩｎｊｅｃｔｉｏｎＳｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒＩｎｔｒａｍｕｓｃｕｌａｒａｎｄＳｕｂｃｕｔａｎｅｏｕｓＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎｔｏＡｎｉｍａｌｓ．ＵＳ：５７５３６３６［Ｊ］，１９９８－０３－１９．［４］国家兽药典委员会．中华人民共和国兽药典（一部）［Ｍ］．北京：化学工业出版社，２００５．（责任编辑李健飞）ＳｔｕｄｙｏｎｔｈｅＰｒｅｐａｒａｔｉｖｅＰｒｏｃｅｓｓｏｆＬｏｎ－ＡｃｔｉｎＯｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｅＩｎｊｅｃｔｉｏｎＬＩＪｉｎｇ，ＣＨＡＮＧＭｉｎｇ，ＣＨＡＮＧＹｏｎｇ－ｆａｎｇ，ＭＯＵＷｅｉ，ＲＥＮＬｅｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｈｅｍｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ，Ｈｅｂｅｉ０５００３５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｏｐｔｉｍｕｍｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｎｄｔｅｃｈｎｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｔｈｅｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎｏｆＬｏｎ－ＡｃｔｉｎＯｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｅＩｎｊｅｃｔｉｏｎｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅａｃｃｏｕｎｔｏｆＦｏｒｍａｌｄｅｈｙｄｅＳｏｄｉｕｍｓｕｌ－ｆｏｘｙｌａｔｅ，Ｐｏｌｙｖｉｎｙｌｐｏｌｙｐｙｒｒｏｌｉｄｏｎｅ，α－Ｐｙｒｒｏｌｉｄｏｎｅ，ａｎｄＳｏｄｉｕｍＭｅｔａｂｉｓｕｌｆｉｔｅｗｅｒｅｓｅｌｅｃｔｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ＴｈｅｃｏｎｔｅｎｔｏｆｏｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｗａｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙＨＰＬＣ．ＴｈｅｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎｏｆＬｏｎ－ＡｃｔｉｎＯｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｅＩｎｊｅｃｔｉｏｎｗａｓｏｐｔｉｍｉｚｅｄｂｙｏｒｔｈｏｏｎａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ａｎｄｉｔｓｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎｗａｓｐｒｏｖｅｄｂｙｒｅｍａｉｎｉｎｇｓａｍｐｌｅａｔｒｏｏｍｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ．ＩｔｐｒｏｖｅｄｔｈａｔＬｏｎ－ＡｃｔｉｎＯｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｅＩｎｊｅｃｔｉｏｎｉｓｒｅｌｉａｂｌｅａｎｄｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒｉｎｄｕｓｔｒｉａｌｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ．Ｉｔｓｑｕａｌｉｔｙｃａｎｂｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｌｏｎ－ＡｃｔｉｎＯｘｙｔｅｔｒａｃｙｃｌｉｎｅ；ｉｎｊｅｃｔｉｏｎ；ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!石家庄学院学报２００７年１１月３６。