谈拉普拉斯定理及其应用

一、谈拉普拉斯定理及其应用
拉普拉斯定理
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。

他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。

在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念
在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；
在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；
若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别
是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之
为 M 的代数余子式，记
为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .
Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由
这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等
于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式
为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别
为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t
为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值
解：去定其第一、三行，其子式为：
M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}
\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\
M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}
\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\
\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\
它们的代数余子式为：
A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\
\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|
\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\
A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\
\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|
\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\
所以其行列式为
D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\
经Matalb验证如下：
M=[1,2,1,4;
0,-1,2,1;
1,0,1,3;
0,1,3,1];det(M)___________-7
二、证明
如何证明行列式的拉普拉斯定理？
首先回顾一下行列式的计算方法
一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为
D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\
上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。

上面所说的拉普拉斯定理由拉普拉斯（Laplace）在他1772年的论文中将范德蒙的结论推广至一般形式而得到的，通常被称为“（行列式的）拉普拉斯定理”。

行列式常用的性质有：
•转置的行列式等于其行列式
•若某行（列）元素全为零，两行（列）对应元素相等，两行（列）对应元素成比例，行列式为零
•行列式两行对换，行列式的值反号
•行列式某一行的元素乘另一行元素的代数余子式之和等于零矩阵：左乘行变，右乘列变
证明暂且略过.
三、简单应用
1、证明 \left| \begin{array}{ccc} 0 & A_{nn} \\ B_{mm} & C_{mn} \\
\end{array} \right|=(-1)^{mn}\left| A_{nn} \right|\left| B_{mm} \right|
取前 n 行，进行展开，只有当其主子式为 \left| A_{nn} \right| 时，才有可能不为零。

因为其他的主子式中至少有一列元素全为零，所以其他主子式就都等于零。

而当主子式为 \left| A_{nn} \right| 时，其余子式为 \left| B_{mm} \right| ，其代数余子式的系数
为 (-1)^{1+\cdots+n+(m+1)+\cdots+(m+n)}=(-1)^{mn+n(n+1)}
，无论 n 是奇数还是偶数， n(n+1) 都是偶数，所以主子式 \left| A_{nn} \right| 对应的代数余子式为 (-1)^{mn}\left| B_{mm} \right|
那么，根据拉普拉斯定理， \left| \begin{array}{ccc} 0 & A_{nn} \\ B_{mm} & C_{mn} \\ \end{array} \right|=(-1)^{mn}\left| A_{nn} \right|\left| B_{mm} \right|
2、证明 \left| \begin{array}{ccc} A_{nn} & 0 \\ C_{mn} & B_{mm} \\ \end{array} \right|=\left| A_{nn} \right|\left| B_{mm} \right|
取前 n 行，进行展开，只有当其主子式为 \left| A_{nn} \right| 时，才有可能不为零。

因为其他的主子式中至少有一列元素全为零，所以其他主子式就都等于零。

而当主子式为 \left| A_{nn} \right| 时，其余子式为 \left| B_{mm} \right| ，其代数余子式的系数
为 (-1)^{1+\cdots+n+1+\cdots+n}=(-1)^{n(n+1)} ，无论 n 是奇数还是偶数， n(n+1) 都是偶数，所以主子式 \left| A_{nn} \right| 对应的代数余子式为 \left| B_{mm} \right|
那么，根据拉普拉斯定理， \left| \begin{array}{ccc} A_{nn} & 0 \\ C_{mn} & B_{mm} \\ \end{array} \right|=\left| A_{nn} \right|\left| B_{mm} \right|
3、计算 2n 阶行列式
D_{2n}=\left| \begin{array}{ccc} a_n & & 0 & & b_n \\ &
\diagdown & & \diagup& \\ 0 & & \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array} & & 0 \\ & \diagup & & \diagdown& \\ c_n & & 0 & & d_n \\ \end{array} \right| \\
解：取第一行、第 n 行进行展开，只有取到第一列、第 n 列的时候，其主子式 \left| \begin{array}{ccc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \\
\end{array} \right| 才有可能不为零，其余主子式子至少有一列为零，随意行列式也为零。

而主子式 \left| \begin{array}{ccc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \\ \end{array} \right| 对应的代数余子式的系数
为 (-1)^{1+n+1+n}=1 ，根据拉普拉斯定理
D_{2n}=\left| \begin{array}{ccc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \\
\end{array}
\right|D_{2(n-1)}=(a_nd_n-b_nc_n)D_{2(n-1)}=\prod_{i-1}^{n}(a_i d_i-b_ic_i)\\
4、对于分块矩阵，某行左乘一个矩阵加到另一行，其值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，其值不变。

\left| \begin{array}{ccc} A & B \\ C+FA & D+FB \\ \end{array}
\right|=\left| \left( \begin{array}{ccc} I_m & 0 \\ F & I_n \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} A & B \\ C & D \\
\end{array} \right)\right|=\left| \begin{array}{ccc} I_m & 0 \\ F & I_n \\ \end{array} \right|\left| \begin{array}{ccc} A & B \\ C & D \\ \end{array} \right|\\
\left| \begin{array}{ccc} A & B+AF \\ C & D+CF \\ \end{array}
\right|=\left| \left( \begin{array}{ccc} A & B \\ C & D \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} I_m & F \\ 0 & I_n \\ \end{array}
\right)\right|=\left| \begin{array}{ccc} A & B \\ C & D \\
\end{array} \right|\left| \begin{array}{ccc} I_m & F \\ 0 & I_n \\
\end{array} \right|\\
应用上面的结论，证明下面一题：
设 A,B\in C^{n\times n} ，证明 \left| \begin{array}{ccc} A & B \\ B & A \\ \end{array} \right|=\left| A+B \right|\left| A-B \right|
证： \left| \begin{array}{ccc} A & B \\ B & A \\ \end{array}
\right|=\left| \begin{array}{ccc} A & B \\ B+A & A+B \\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} A-B & B \\ 0 & A+B \\ \end{array} \right|=\left| A+B \right|\left| A-B \right| \\
5、设 A,B,C,D\in C^{n\times n} ，且 A 可逆， AC=CA ，证明 \left| \begin{array}{ccc} A & B \\ C & D \\ \end{array} \right|=\left| AD-BC \right|
证 \left| \begin{array}{ccc} A & B \\ C & D \\ \end{array}
\right|=\left| \begin{array}{ccc} A & B \\ 0 & D-CA^{-1}B \\
\end{array} \right|=\left| A \right|\left| D-CA^{-1}B \right|=\left| A \left( D-CA^{-1}B \right)\right|\\
=\left| AD-ACA^{-1}B \right|=\left| AD-CAA^{-1}B \right|=\left| AD-CB \right|\\。