高考数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结含答案

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解

123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）

A ．1230x x x ++>

B ．6425s t ⋅=

C ．

45

t s = D ．144

25

s t +=

【答案】CD 【分析】

设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程

()=f x s

必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】

设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，

所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，

①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；

②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()

f x s ==，

5

4454

x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=

，

又

()f x 在(),t +∞上递增，35 4

x t ∴=，即3564516=,4

2545

x s t t s t ===

==， 6454144

, 2516525

t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.

2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]

()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数

B ．对于任意实数a b ，

，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是

34434532⎛⎤⎡⎫

⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】

取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】

解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；

对于B 选项，令[]

a a r =+，[]

(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错

误；

对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]

f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：

函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，

∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的

点，

由图可知，实数a 的取值范围是][34

43,,45

32⎛⎫⋃

⎪⎝⎭，故C 正确；

对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，

01q ≤<，

[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；

当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]

0y =，此时不满足

()()f x f y =，

故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；

3．已知21,1,()ln ,

1,x

x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2

[()]()210f x f x k -+-=，下列正

确的是（ ）

A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；

B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；

C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；

D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】

令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】

令()0f x t =≥，则关于x 的方程2

[()]()210f x f x k -+-=，

可得2210t t k -+-=， 当5

8k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12

t =； 当5

8

k <

时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5

8

k >

时，()14210k ∆=--<，此时方程无根；