多元函数

第八章 多元函数

第二节 多元函数的概念

一、多元函数的定义

定义8.2 设D 为非空的n 元有序数组的集合，如果对于每一个有序数组

12

(,,

)n x x x D ∈，按照某一法则f ，都有确定的实数y 与之对应，则称此法则f 为定

义在D 上的n 元函数。记为

12

12

(,,

) (,,

)n n y f x x x x x x D =∈

其中12

,,

n x x x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，集合

{}12

12|(,,) , (,,

)n n y y f x x x x x x D =∈ 称为函数12

12

(,,

) ,(,,

)n n y f x x x x x x D =∈的值域。

特别地，

当1n =时，为一元函数(),y f x x D =∈； 当2n =时，为二元函数(,),(,)z f x y x y D =∈。 二元及二元以上的函数统称为多元函数。 二、二元函数的定义域与二元函数的图形

1．二元函数(,),(,)z f x y x y D =∈的定义域在几何上表示一个平面区域。

2．二元函数(,)z f x y =的图形

空间点集{}

(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈称为二元函数(,)z f x y =的图形。它是一张曲面。

第三节 二元函数的极限与连续

一、二元函数的极限及运算法则 1．二元函数的极限

定义8.3 设函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，0P 是

D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式

22

0000||()()P P x x y y δ=

-+-

的一切点(,)P x y D ∈，都有

|(,)|f x y A ε-

成立。则称常数A 为函数(,)z f x y =当00,x x y y →→时的极限，记作

00

(,) (,),0(||lim x x y y f x y A f x y A P P ρρ→→=→→=或

注意：1、函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 可以无定义；

2、点(,)P x y 以任何方式趋于点000(,)P x y ，而不是以某些特殊方式。 例1 设2

2

22

22

1(,)()sin (0)f x y x y x y x y =++≠+，求证：0

(,)0lim x x y y f x y →→= 例2 考察函数

（1）222222 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩（2）222

24

22 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩

在点(0,0)的极限是否存在。

2．二元函数的极限的运算法则：与一元函数的极限的运算法则类似。 例3 求

sin lim x y xy

x →→ 二、二元函数的连续性与间断

1．连续与间断

定义8.4 设函数(,)z f x y =在开区域（或闭区域）D 内有定义，0P 是

D 的内点或边界点且0P D ∈。如果

(,)(,)lim x x y y f x y f x y →→=

则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 连续。

如果函数(,)z f x y =在D 内每一点都连续，则称函数(,)z f x y =在D 内连续。

定义8.5 如果(,)z f x y =在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 为(,)z f x y =的间断点。

注意：二元函数的间断点可以形成一条曲线。例如22

11

z x y =

+-在22

1x y +=上无

定义。

2．有界闭区域上二元连续函数的性质

性质1（最大值与最小值定理）在有界闭区域D 上连续的二元函数，在D 上一定有最大值与最小值定理。即在D 上至少有两点12P P 和，使得对于一切x D ∈，都有

12()()()f P f P f P ≤≤

性质2（介值定理）在有界闭区域D 上连续的二元函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3．二元连续函数的运算：

（1） 二元连续函数的和、差、积仍为连续函数；

（2） 在分母不为零处，二元连续函数的商为连续函数； （3） 二元连续函数的复合函数是连续函数。

4．二元初等函数的连续性：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。定义区域：是指包含在定义域内的区域（或闭区域）。

注意：利用3、4可以求二元初等函数的极限。一般地，如果()f P 是初等函数，且0P 是()f P 的定义域的内点，则()f P 在0P 处连续，因此

()()lim P P f P f P →=。

例3 求下列极限 （1

）00

x y →→ （2）1

2

lim x y x y

xy →→+

第四节 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

1．偏导数的定义

定义8.5 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在

0x 处取得增量x ∆时，相应地函数有增量

0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆- 如果极限

00000

(,)(,)

lim

x f x x y f x y x

∆→+∆-∆

存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数。记作