多元函数
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数的概念
x x0 x，y y0 y ，定义3中的等式
x x0 y y0
lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),
就相当于
x0 y 0
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0,
即
x 0 y 0
lim f ( x,0) 0.
x 0
当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时， 即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，
lim f (0, y ) 0.
y 0
当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，
即f(x,y)=f(x,kx)=
k (x≠0)， 2 1 k
二元初等函数的定义： 由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四 则运算或复合步骤而构成的，且用一数学式子表示的 函数称为二元初等函数. 二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域
内的区域)内是连续.
1 3y 2x 5 , 2 如函数 sin x y , ln 2 等， 2 2 x y x y 都是二元初等函数，在它们有定义的区域内都是连
即 a x a， b y b
其图形是矩形内部(包括边界).
1 例6 求函数 z 2 2 的定义域. 1 x y
解 函数的定义域为 1 ( x 2 y 2 ) 0,
即
x 2 y 2 1.
它的图形是单位圆
内部(不包括边界)，
如图所示.
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是 一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的 一些点. 全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为 平面开区域，简称平面区域.这三个条件是： (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,
多元函数的概念讲解
多元函数的概念讲解多元函数是指在数学中，有多个变量同时作为自变量的函数。
一元函数是只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；而多元函数是两个或多个自变量共同决定一个因变量的函数，例如z=f(x, y)或者w=f(x, y, z)。
在实际应用中，多元函数经常用来描述多个因素对某个结果的影响，是数学模型中的重要表达方式。
多元函数的变量通常分为自变量和因变量两类。
自变量是函数中的独立变量，其取值可以独立地由外部确定；而因变量是函数中的依赖变量，其取值由自变量所决定。
在多元函数中，自变量可以有任意多个，并且可以是连续或离散的变量。
多元函数可以描述现实世界中的各种现象和关系。
例如，在经济学中，生产函数可以看作是一个以生产投入（如劳动力、资本）为自变量，以产出（如产品或服务）为因变量的多元函数。
在自然科学中，例如物理学中的力学方程、电磁方程等，都可以看作是多元函数，其中的自变量和因变量代表不同的物理量。
对于多元函数，我们可以通过图像、方程、表格等多种方式进行表示和理解。
其中最常用的是图像表示法，通过绘制自变量和因变量之间的关系图来展示多元函数的性质。
例如，二元函数f(x, y)可以用三维坐标系上的曲面图来表示，其中自变量x和y分别对应平面的两个坐标轴，而z=f(x, y)对应曲面上的高度。
多元函数的性质也可以通过微积分来进行研究。
例如求函数的导数就是通过刻画函数在某一点的变化率来描述它的性质。
对于多元函数，我们可以求偏导数来研究函数在每个自变量上的变化率，进而推导出函数在整个定义域上的性质。
多元函数的极值问题、最优化问题等也可以通过微积分的方法来求解。
多元函数的概念对于理解和研究现实问题具有重要意义。
它能够帮助我们建立数学模型，解释和预测各种现象和关系。
通过对多元函数的研究，我们可以找到问题的最优解、最大值和最小值，提高生产效率，优化资源配置等。
总之，多元函数是数学中的重要概念，它能够描述多个自变量对因变量的影响关系。
多元函数的概念与应用
多元函数的概念与应用多元函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的概念以及其在实际问题中的应用。
一、多元函数的概念多元函数是指自变量有两个或更多的函数。
具体来说，如果有n个自变量x1，x2，...，xn，一个因变量y以及一个函数关系f，那么我们可以将其表示为y = f(x1, x2, ..., xn)。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
与一元函数不同的是，多元函数的图像无法用一个二维平面来表示，而是需要用高维空间来展示。
二、多元函数的应用多元函数在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，多元函数用于描述物体的运动和力学性质。
例如，牛顿的万有引力定律中就包含了一个多元函数。
通过多元函数可以描述天体之间的引力关系，并预测它们的运动轨迹。
2. 经济学中的应用经济学中的需求函数和供给函数都是多元函数的例子。
需求函数描述了消费者对商品的需求与价格之间的关系，而供给函数描述了生产者供给商品的数量与价格之间的关系。
通过分析这些多元函数，可以帮助我们理解市场的运行规律，进行经济预测和政策制定。
3. 工程学中的应用工程学中的多元函数应用广泛，如电路设计、材料强度分析、车辆运行特性等方面。
通过建立多元函数模型，可以优化工程设计，提高产品质量和性能，降低成本和风险。
三、多元函数的分析方法要研究多元函数的性质和应用，需要使用多元微积分的方法。
这些方法包括偏导数、多元极值、方向导数、梯度等。
1. 偏导数偏导数用于衡量多元函数在某个变量上的变化率，其定义与一元函数的导数类似。
通过求取偏导数，可以判断函数在某个点上的增减性以及各个方向上的变化程度。
2. 多元极值多元极值是指多元函数在某个区域内取得最大或最小值的点。
通过求取偏导数，并令其等于零，可以求得多元函数的极值点。
3. 方向导数与梯度方向导数用于描述多元函数在某个方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向与多元函数在某点上的变化最快的方向一致。
多元函数
第六讲 多元函数微积分
当温度不变时（等温过程） ，压强 当温度不变时（等温过程） 压强 V 关于体积 P 的变化率就是 ，
RT 当压强不变时（等压过程） ，压强 dV 的变化率就是 当压强不变时（等压过程） 压强 V 关于体积 T 的变化率就是 ， = 2 P dP T =常数
dV R
(x , y ) 注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算， 一般不单独出题 即使出现，也只有两种题型， 不单独出题， 一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是 “直接带入”，一种是变量代换。 直接带入” 一种是变量代换。
第六讲 多元函数微积分
x + y r > 0
x2 + y 2 ≤ R2 即 2 x + y2 > r 2
所以定义域为
D = {( x, y ) | r 2 < x 2 + y 2 ≤ R 2 }
如图，这样的区域俗称环域 如图，这样的区域俗称环域
第六讲 多元函数微积分 3.二元函数的图像 二元函数的图像 由空间解析几何知识可知，对于二元函数 z = f ( x, y )的图 由空间解析几何知识可知， 一般地，它表示一曲面. 形，一般地，它表示一曲面
（R是常数） 1.二元函数的定义 二元函数的定义 设有三个变量 和 如果当变量 在它们的 中任意取定一对值时， 变化范围 中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的 对应规律都有惟一确定的值与其对应，则称 对应规律都有惟一确定的值与其对应， 为变量 二元函数， 称为自变 ，其中 与 称为自变 的二元函数，记为 D 也叫因变量 因变量． 量，函数 也叫因变量．自变量 与 的变化范围 称为函数的定义域 定义域． 称为函数的定义域．
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数
z f x, y 在点 y y0
M 0 x0 , y0 , f x0 , y0 偏导数 f xx0 , y0 就是曲面 y y0 上曲线
二元函数 z f x, y 是区域D上的一个曲面， P0 x0 , y0 D，所以曲面上有相应的一点
称为函数 z f x, y 的图像。 所以二元函数 z f x, y 的几何意义是定义在 平面区域D上的三维空间中的一个曲面。
例4 讨论二元函数 z 1 x 2 y 2 的图像。
解：定义域为 x, y x 2 y 2 1 ，并且函数
z 0 。对 z 1 x 2 y 2 两边平方整理后，得
（2，3）点。
z (1)把y看作常数，有 x 2 xy
所以
f x2 2 （2）把x看作常数，有 x
所以
z x
2,3
2 2 3 12
f x
2,3
2 2 2
2
例3 求二元函数
ze
y sin x
的偏导数。
解：（1）把y看作常数，有
z e x
1 解：与一元函数的计算相仿，把 x , y 3 2
代入到二元函数的表达式，得
1 1 1 2 315 f ,3 3 3 2 6 3 2 2
把 x 1, y 1 代入二元函数的表达式，得：
1 f 1,1 1 1 2 1
其中
D是函数 y f x1 , x2 ,, xn 的定义域
x1 , x2 ,, xn 称为自变量，y是因变量，
二元和二元以上的函数统称为多元函数
定义7.3 设D是n维空间 R n 的非空子集，如果 对D中的任意点 Px1 , x2 , xn ，按照对应法则f，
多元函数
多元函数1.多元函数的极限设函数()y x f ,的定义域为D ,点()000,y x P 是()y x f ,的某个定义域的内点或边界点.如果存在常数A ,使得对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正数δ,只要D 内的点()y x P ,适合不等式()()δ<-+-=<202000y y x x PP ,对应的函数值()y x f ,就都满足不等式()ε<-A y x f ,,那么就称常数A 为函数()y x f ,当()()00,,y x y x →时的极限,记作()()()A y x f y x y x =→,lim00,,或()A y x f y y x x =→→,lim 00,也可记作()()0,→→ρA y x f ,这里0PP =ρ.2.多元函数的连续性设函数()y x f ,在区域或闭区域D 内有定义, ()000,y x P 是D 的内点或边界点且D P ∈0.如果()()()()00,,,,lim00y x f y x f y x y x =→,则称函数()y x f ,在点()000,y x P 连续.3.多元函数的最大值和最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数()P f ,在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次.这就是说,在D 上至少有一点1P 及一点2P ,使得()1Pf 为最大值而()2P f 为最小值: ()()()()D P P f P f P f ∈≤≤12.4.多元函数的介值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数()P f ,如果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地,如果μ是在函数的最小值m 和最大值M 之间的一个数,则在D 上至少有一点Q ,使得()μ=Q f 5.偏导数的求法 求xz∂∂时,只要把y 看作常量而对x 求导数; 求yz∂∂时,只要把x 看作常量而对y 求导数. 6.高阶偏导数(1) ()y x f ,对x 的二阶偏导数:()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x z x z y x f xz xx xx ,,22或(2) ()y x f ,对y x ,的二阶混合偏导数: ()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y z y x f y x z xy xy ,,2或(3) ()y x f ,对x y ,的二阶混合偏导数: ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂y z x z y x f x y z yx yx ,,2或 (4) ()y x f ,对y 的二阶偏导数: ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂y z y z y x f y z yy yy ,,22或 定理 如果函数()y x f z ,=的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域内连续,那么在该区域D 内这两个二阶混合偏导数必相等. 7.全微分如果函数()y x f z ,=的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点()y x ,连续,则函数在该点的全微分存在.并且dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=.[偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件] 应用:求近似值()()()()y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+,,,,. 8.多元复合函数的求导法则情形1.如果函数()()x v x u φϕ==,都在点x 可导,函数()v u f z ,=在对应点()v u ,具有连续偏导数,则复合函数()()[]x x f z φϕ,=在点x 可导,且有dxdvv z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂=. 情形 2.如果函数()()y x v y x u ,,,φϕ==都在点()y x ,具有对x 及对y 的偏导数,函数()v u f z ,=在对应点()v u ,具有连续偏导数,则复合函数()()[]y x y x f z ,,,φϕ=在点()y x ,的两个偏导数存在,且有.;yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 情形3.设()()()y v y x u v u f z φϕ===,,,,复合成二元函数()()[]y y x f z φϕ,,=,那么在与情形2类似的条件下,z 关于x 和y 的偏导数均存在,且有.;dydv v z y u u z y z x u u z x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 9.隐函数的求导公式隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且()(),0,,0,0000≠=y x F y x F y 则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导数的函数()x f y =,它满足条件()00x f y =,且有yx F F dx dy-= 隐函数存在定理2设函数()z y x F ,,在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且()(),0,,,0,,000000≠=z y x F z y x F z 则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的某一邻域内能唯一确定一个具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件()000,y x f z =,且有.,zy z x F F y z F F x z-=∂∂-=∂∂ 10.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为()()()t z t y t x ωφϕ===,,切线方程:()()()000000'''t z z t y y t x x ωφϕ-=-=- 法平面方程:()()()()()()0'''000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ 另:如果空间曲线Γ的参数方程为()()x z x y φϕ==,切线方程:()()0000''1x z z x y y x x φϕ-=-=- 法平面方程: ()()()()()0''00000=-+-+-z z x y y x x x φϕ 11.曲面的切平面与法线 (1).曲线方程()0,,=z y x F切平面方程:()()()()()()0,,,,,,000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程:()()()000000000000,,,,,,z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- (2).曲线方程()y x f z ,=切平面方程: ()()()()0000000,,y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 法线方程:()()1,,0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 12.多元函数的极值及最值a.多元函数的极值存在的条件(1).必要条件:设函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微分,且在点()00,y x 处有极值,则在该点的偏导数必然为零:()().0,,0,0000==y x f y x f y x(2).充分条件:设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,记()()(),,,,,,000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===则()y x f ,在点()00,y x 处是否取得极值的条件如下:(1) 02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值, 当0>A 时有极小值; (2) 02<-B AC 时没有极值;(3) 02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论. b.函数的极值求法:一. 解方程组()(),0,,0,==y x f y x f y x 求得一切实数解,即可求得一切驻点. 二. 对于每个驻点()00,y x ,求出二阶偏导数的值.,C B A 和三. 定出2B AC -的符号,按充分条件的结论判定()00,y x f 是不是极值,是极大值还是极小值.c.函数的最值求法:将函数()y x f ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数()y x f ,的最大值(最小值)一定在区域D 的内部取得,且函数在D 内只有一个驻点,那么据此就可以肯定该驻点处的函数值就是函数()y x f ,在D 上的最大值(最小值). d.条件极值拉格郎日乘数法:令()()(),,,,y x y x f y x F λϕ+=则()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0,0,,0,,y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 由方程组解出,,λ及y x 则其中y x ,就是函数()y x f ,在约束条件()0,=y x ϕ下的可能极值点的坐标.(做多元函数的题目要灵活运用公式) 执笔：缪张华。
多元函数的概念
多元函数的概念多元函数是一个多项式表达式，它有若干未知数和若干常量组成，这些未知数是函数所有自变量的函数。
它是对函数中多个变量的定义，也是自变量与因变量之间的关系，例如给定f(x,y)=aｘ+bｙ+c，其中ａ，ｂ，ｃ是常数，而ｘ，ｙ是未知数，则函数f(x,y)为二元多变量函数。
一、定义多元函数是指根据自变量相互之间的关系，把一个或多个未知的实数坐标（称为自变量）替换到实数的定义域使之成为另一个实数坐标（称为因变量）的函数。
二、分类1、一元函数：只有一个未知变量的函数。
其函数式为：y = f(x)，其中，x 是一个未知变量，而 y 是随之变化的量。
2、二元函数：含有两个未知变量的函数，如：f(x, y) = x2 + y23、三元函数：含有三个未知变量的函数，如：f(x,y,z) = x3 + y3 + z34、多元函数：含有三个以上未知变量的函数。
三、性质1、多元函数的性质取决于定义域及其关于所有自变量的函数关系。
2、当自变量取不同的值时，多元函数的结果也会有所不同。
3、多元函数一般都不具有可视化概念，因为它往往有多余于三个自变量，而我们只能通过特定条件来求解。
4、看似相似的多元函数有可能不具有相同的数学性质，要根据自变量的关系，分析其函数的特性以确定其定义域和值域。
四、用途1、多元函数用于研究多维空间概念，工程中描述物理系统中状态变化、解决非线性规划问题等。
2、可以用来描述参数之间的关系，用于求解在工业运筹学和统计学中复杂环境下的数学问题。
3、多元函数可用于预测数据，作为模型量化把客观现象变成形式，并可以计算出函数及其局部极值的原因。
4、多元函数也可以用来解决科学问题，如流体动力学的物理问题、地质作用的地质问题、提高经济效率的经济问题等。
多元函数基本概念梳理
多元函数基本概念梳理在数学领域中，多元函数是一个重要的概念，它在各个学科领域中都有广泛的应用。
本文将对多元函数的基本概念进行梳理，包括多元函数的定义、定义域和值域、偏导数、全微分以及多元函数的极值等内容。
一、多元函数的定义多元函数是指含有多个自变量的函数。
一元函数只有一个自变量，如f(x)，而多元函数可以有多个自变量，如f(x, y)、f(x, y, z)等。
多元函数的定义通常为f：D→R，其中D是定义域，R是函数的值域。
二、定义域和值域多元函数的定义域是指所有自变量的取值范围的集合。
在定义域内，函数有定义和有意义。
值域是指函数的所有可能的取值集合。
定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。
三、偏导数偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数而进行的求导运算。
偏导数以∂f/∂x或∂f/∂y表示，其中∂表示偏导符号。
偏导数的求导方法与一元函数中的求导类似，但需要注意将其他自变量视为常数。
四、全微分全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和的过程。
全微分可表示为df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy。
全微分可以帮助研究者对多元函数的变化率进行分析和研究。
五、多元函数的极值多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
多元函数的极值点可以通过偏导数或二阶导数的方法求解。
通过求取偏导数并使其等于0，我们可以得到多元函数的临界点。
通过对临界点进行判断，即可确定多元函数的极值点。
综上所述，多元函数是含有多个自变量的函数，其定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。
偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数。
全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和。
多元函数的极值可以通过求取偏导数并使其等于0，再通过对临界点进行判断来确定。
对于研究多元函数的性质和特点，掌握这些基本概念是非常重要的。
高等数学中的多元函数
高等数学中的多元函数在高等数学中，多元函数是指拥有多个自变量的函数。
与一元函数不同，多元函数的自变量可以是两个或更多个。
1. 多元函数的定义多元函数可以理解为一个函数，它的输入可以是多个变量，输出为一个变量。
如f(x, y) = x² + y²，其中x和y都是自变量，而f(x, y)则是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，其值域是函数的所有可能输出。
2. 多元函数的图像和一元函数一样，多元函数也可以通过绘制图像来直观地展示。
对于二元函数f(x, y)，可以在三维坐标系中绘制出其图像。
图像上的每一个点(x, y, z)代表了函数在对应自变量取值下的输出值。
通过观察图像的形状和特征，我们可以对多元函数的性质有更深入的理解。
3. 多元函数的极限多元函数也存在极限的概念。
对于二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)趋近于某一点(x₀, y₀)时，函数值f(x, y)可能趋近于一个有限的值L，我们称L为函数f(x, y)当(x, y)趋近于(x₀, y₀)时的极限。
多元函数的极限性质和一元函数类似，我们可以通过定义和极限的性质来推导多元函数的极限。
4. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指函数在某一点处对某个自变量的导数。
对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别求关于x和y的导数。
偏导数可以帮助我们研究多元函数在某一点的变化率和方向。
通过求解偏导数为零的点，我们可以找到多元函数的极值点。
5. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开公式是将一个多元函数在某一点附近用多项式来逼近的方法。
泰勒展开可以帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。
通过泰勒展开，我们可以将复杂的多元函数近似为简单的多项式，从而简化问题的求解过程。
6. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在某个区域上的求和操作。
与一元函数积分类似，多元函数的积分可以分为定积分和不定积分。
通过对多元函数的积分，我们可以求解多元函数在某个区域上的总量、平均值等问题。
多元函数的
多元函数的
多元函数是数学中一种重要的函数类型，它可以用来诠释复杂的数学问题，如空间曲线、概率和统计模型等。
它的含义是用多个变量来定义的函数，它的一般形式可以表示为：
F(x1,x2,x3,...,xn)=f(x1,x2,x3,...,xn)
它是一个多元关系，它使我们能够表示和解释更为复杂的现象。
多元函数的应用十分广泛，它们可用于描述几何图形、概率统计、动力学和物理过程等。
多元函数通常由多个变量组成，每个变量都可以被表示为一个代数表达式，例如，用于表示几何图形的多元函数可以表示为：
x=f(x1,x2)
其中，x1和x2可以分别表示曲线的横坐标和纵坐标。
多元函数的求导是多元函数分析中最基本也是最重要的技术，它可以帮助我们更好地理解函数的特性，例如函数变化趋势、极值点和函数表达式分析等。
求导也是解决多变量方程的基础。
对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn)，可以先求其中一个变量x1的偏导数，表示为：
f/x1
然后可以求出多个变量的混合偏导数，表示为：
f/x1x2x3…xn
多元函数还可以应用到更广泛的领域，例如极限变换、偏微分方程等，这些都是重要的数学工具，可以帮助我们更好地理解复杂的现
象。
多元函数是一种重要的函数类型，其广泛的应用为数学研究提供了许多深刻的见解，它不仅仅可以表示复杂的现象，还可以通过求导、极限变换和偏微分方程等来理解这些现象的本质。
因此，多元函数在现代数学和研究中仍然具有重要的作用。
多元函数单调性知识点总结
多元函数单调性知识点总结一、多元函数的定义及基本概念1. 多元函数的定义多元函数是指在n维欧式空间中的定义域为n维的实数向量空间，值域为实数的函数。
多元函数的自变量和因变量都是n维向量。
一般地，设D⊂R^n, f: D→R为n个实变量的函数，那么称f为n元函数，记作f(x_1,x_2, …, x_n)，其中x_i(i=1,2,…,n)称为自变量，函数值y=f(x_1, x_2, …, x_n)称为因变量。
2. 多元函数的单调性多元函数的单调性是指当自变量变化时，函数值的变化趋势。
当函数值随着自变量的增加而增加，称函数在该区间上是单调递增的；当函数值随着自变量的增加而减小，称函数在该区间上是单调递减的。
二、多元函数的偏导数及一阶导数1. 多元函数的偏导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，如果在(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数，那么对于每一个自变量x_i，在其它自变量不变的情况下，可以对f关于x_i求导，得到f关于x_i的偏导数，记作∂f/∂x_i。
偏导数的定义如下：●当f在点(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数∂f/∂x_i时，即该函数在该点沿着第i个自变量的方向有导数。
这个导数叫做偏导数，记作∂f/∂x_i，也可简称为偏导。
其计算公式为：∂f/∂x_i = lim(h→0) (f(x_1, x_2, …, x_i+h, …, x_n) - f(x_1, x_2, …, x_i, …, x_n)) / h●如果在点(x_1, x_2, …, x_n)的邻域内,各个偏导数∂f/∂x_i都存在,则称多元函数f(x_1,x_2, …, x_n)在该点可偏导。
2. 多元函数的一阶导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，当其在点(x_1, x_2, …, x_n)处的各个偏导数∂f/∂x_i都存在时，称f在该点可偏导。
此时，函数f的一阶导数是一个n维向量，称为梯度，记作∇f(x_1, x_2, …, x_n) = (∂f/∂x_1, ∂f/∂x_2, …, ∂f/∂x_n)。
多元函数
.
外点
. .
边界点
内点
聚点
如果对于 任意给定的δ>0, 点 P 的去心邻域U(P,δ ) 内总 有E中的点, 则称P是E的聚点.
点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E. 例如, 设平面点集 E={(x, y)|1<x2+y2≤2}. 满足1<x2+y2<2的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边∂E上的一切点都是E的聚点.
o
U(P , δ ) ={P| 0<| P P|<δ}. 0 0
o
注：如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U(P0)表示点P0的某个 o 邻域, 点P0的某个去心邻域记作U(P ) 0
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点与点集之间的关系 任意一点P∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种 关系中的一种: •内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)⊂E, 则称P为E的内点; •外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)∩E=∅, 则称P为E的外点; •边界点: 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为 E的边点. E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作∂E. 提问: E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
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•两点间的距离 Rn中点x=(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn)和点y=(y1, y2, ⋅ ⋅ ⋅ , yn)间的距离, 记作ρ(x, y), 规定
多元函数的基本概念
在其他领域中的应用
化学反应动力学
在化学反应动力学中， 多元函数可以用来描述 反应速率与反应物浓度 之间的关系。
生物种群动态
在生物种群动态中，多 元函数可以用来描述种 群数量随时间的变化趋 势，如Logistic增长模 型。
图像卷 积操作和滤波器设计。
THANKS
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可微性
总结词
可微性是指函数在某一点或某一方向上 的导数存在。
VS
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某一点或 某一方向上的导数存在，则称该函数在该 点或该方向上可微。可微性是多元函数的 重要性质之一，它揭示了函数在某一点或 某一方向上的局部变化率。
偏导数
总结词
详细描述
偏导数是指在多元函数的某个自变量固定时， 该函数对其他自变量的导数。
在经济中的应用
供需模型
多元函数可以用来描述商品价格与供需量之 间的关系，通过求导数来分析价格变动对供 需量的影响。
投资组合优化
多元函数可以用来描述投资组合的预期收益与风险 之间的关系，通过优化算法来找到最优的投资组合 。
生产成本分析
在生产成本分析中，多元函数可以用来描述 不同生产要素之间的成本关系，帮助企业进 行成本控制和优化。
多元函数的基本概念
• 引言 • 多元函数的定义与表示 • 多元函数的性质 • 多元函数的极限 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01
引言
多元函数的概念
多元函数是数学中的一个概念，它是 一个函数，其自变量和因变量都是多 个。在多元函数中，因变量的值依赖 于多个自变量的取值。
多元函数的定义域是一个点的集合， 这些点在各个自变量的取值范围内。 而函数的值域则是一组因变量的值， 这些值由各个自变量的取值确定。
多元函数
原结论成立． 原结论成立．
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x→0 x + y y→0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0
sin( x 2 y ) x 2 y , = lim ⋅ 2 2 2 x →0 x y x +y y→ 0
o
y
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. 开区域连同它的边界一起称为闭区域
y
例如， 例如，{( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P ∈ E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP ≤ K 成立， 为有界点集， 对一切 P ∈ E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如， 则称为无界点集． 例如， y
x → x0 y → y0
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
三、二元函数的连续性
定义3 定义3 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D , P0
是其聚点且 P0 ∈ D ， 如果 lim f ( P ) = f ( P0 )
3
3
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确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法
（1）令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ，若 ）
有关，则可断言极限不存在； 极限值与k 有关，则可断言极限不存在；
） 找两种不同趋近方式， 存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
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第八章 多元函数第二节 多元函数的概念一、多元函数的定义定义8.2 设D 为非空的n 元有序数组的集合，如果对于每一个有序数组12(,,)n x x x D ∈，按照某一法则f ，都有确定的实数y 与之对应，则称此法则f 为定义在D 上的n 元函数。
记为1212(,,) (,,)n n y f x x x x x x D =∈其中12,,n x x x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，集合{}1212|(,,) , (,,)n n y y f x x x x x x D =∈ 称为函数1212(,,) ,(,,)n n y f x x x x x x D =∈的值域。
特别地，当1n =时，为一元函数(),y f x x D =∈； 当2n =时，为二元函数(,),(,)z f x y x y D =∈。
二元及二元以上的函数统称为多元函数。
二、二元函数的定义域与二元函数的图形1．二元函数(,),(,)z f x y x y D =∈的定义域在几何上表示一个平面区域。
2．二元函数(,)z f x y =的图形空间点集{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈称为二元函数(,)z f x y =的图形。
它是一张曲面。
第三节 二元函数的极限与连续一、二元函数的极限及运算法则 1．二元函数的极限定义8.3 设函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，0P 是D 的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式220000||()()P P x x y y δ=-+-的一切点(,)P x y D ∈，都有|(,)|f x y A ε-成立。
则称常数A 为函数(,)z f x y =当00,x x y y →→时的极限，记作00(,) (,),0(||lim x x y y f x y A f x y A P P ρρ→→=→→=或注意：1、函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 可以无定义；2、点(,)P x y 以任何方式趋于点000(,)P x y ，而不是以某些特殊方式。
例1 设2222221(,)()sin (0)f x y x y x y x y =++≠+，求证：0(,)0lim x x y y f x y →→= 例2 考察函数（1）222222 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩（2）2222422 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩在点(0,0)的极限是否存在。
2．二元函数的极限的运算法则：与一元函数的极限的运算法则类似。
例3 求sin lim x y xyx →→ 二、二元函数的连续性与间断1．连续与间断定义8.4 设函数(,)z f x y =在开区域（或闭区域）D 内有定义，0P 是D 的内点或边界点且0P D ∈。
如果(,)(,)lim x x y y f x y f x y →→=则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 连续。
如果函数(,)z f x y =在D 内每一点都连续，则称函数(,)z f x y =在D 内连续。
定义8.5 如果(,)z f x y =在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 为(,)z f x y =的间断点。
注意：二元函数的间断点可以形成一条曲线。
例如2211z x y =+-在221x y +=上无定义。
2．有界闭区域上二元连续函数的性质性质1（最大值与最小值定理）在有界闭区域D 上连续的二元函数，在D 上一定有最大值与最小值定理。
即在D 上至少有两点12P P 和，使得对于一切x D ∈，都有12()()()f P f P f P ≤≤性质2（介值定理）在有界闭区域D 上连续的二元函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3．二元连续函数的运算：（1） 二元连续函数的和、差、积仍为连续函数；（2） 在分母不为零处，二元连续函数的商为连续函数； （3） 二元连续函数的复合函数是连续函数。
4．二元初等函数的连续性：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。
定义区域：是指包含在定义域内的区域（或闭区域）。
注意：利用3、4可以求二元初等函数的极限。
一般地，如果()f P 是初等函数，且0P 是()f P 的定义域的内点，则()f P 在0P 处连续，因此()()lim P P f P f P →=。
例3 求下列极限 （1）00x y →→ （2）12lim x y x yxy →→+第四节 偏导数一、偏导数的定义及其计算法1．偏导数的定义定义8.5 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处取得增量x ∆时，相应地函数有增量0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆- 如果极限00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数。
记作0000000,,(,)x x xx y y x x x x y y y y z f z f x y xx======∂∂∂∂或类似地，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为 00000(,)(,)limy f x y y f x y y∆→+∆-∆记作0000000,,(,)x x yy y y x x x x y y y y z f z f x y yy======∂∂∂∂或如果(,)z f x y =在区域D 内每一点(,)x y 处对x 的偏导数都存在，则这个偏导数是,x y 的函数，称为(,)z f x y =对自变量x 的偏导函数。
记作,,(,)x x z fz f x y x x∂∂∂∂或 类似地，函数(,)z f x y =对y 的偏导函数记作,,(,)y y z fz f x y y y∂∂∂∂或 2．偏导数的求法对于(,)z f x y =，在求z x ∂∂时，把y 看成常数而对x 求导数；在求z y∂∂时，把x 看成常数而对y 求导数。
3．偏导数的几何意义设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上的一点，过0M 作平面0y y =截此曲面得一条曲线，此曲线在平面0y y =上的方程为0(,)z f x y =，则00x x y y zx==∂∂就是此曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率；同样，00x x y y z y==∂∂就是曲面(,)z f x y =被平面0x x =所截得的曲线点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率。
例1 求222222 , 0(,) 0 , =0 xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+⎩在点(0,0)处对各自变量的偏导数。
例2 求22(,)3f x y x xy y =++在点(1,2)处的偏导数。
例3 求2sin 2z x y =的偏导数。
二、高阶偏导数设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,),(,)x y z zf x y f x y x y∂∂==∂∂ 则在D 内都是,x y 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是(,)z f x y =的二阶偏导数。
按照对自变量求偏导次序不同有下列四个偏导数：222(,),(,)xx xy z z z zf x y f x y x x y x x yx ∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 222(,),(,)yx yy z z z zf x y f x y x y y x y y y⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂==== ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中(,),(,)xy yx f x y f x y 称为混合偏导数。
类似可以定义三阶，四阶，，以及n 阶偏导数。
二阶及其以上的偏导数统称为高阶偏导数。
例4 设32231z x y xy xy =--+，求(,),(,)xx xy f x y f x y ，(,),(,)yx yy f x y f x y 。
定理8.1 如果(,)z f x y =的两个混合偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 在区域D 内连续，则在该区域内这两个混合偏导数相等。
例5 验证函数lnz =22220z zx y∂∂+=∂∂第五节 全微分及其应用一、全微分的定义1．全增量：设(,)z f x y =在点(,)P x y 的某邻域内有定义，并设(,)P x x y y '+∆+∆为该邻域内任意一点，则这两点的函数值之差(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-为函数在点(,)P x y 处对应于自变量增量,x y ∆∆的全增量。
记作z ∆，即(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-2．全微分的定义定义8.6 如果(,)z f x y =在点(,)P x y 处的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可以表示为()z A x B y o ρ∆=⋅∆+⋅∆+其中,A B 不依赖于,x y ∆∆而仅与,x y 有关，ρ=。
则称(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微分，而A x B y ⋅∆+⋅∆称为(,)z f x y =在点(,)P x y 处的全微分，记作dz ，即dz A x B y =⋅∆+⋅∆如果(,)z f x y =在区域D 内每一点处都可微分，则称(,)z f x y =在区域D 内可微分。
3．可微与连续的关系：可微必连续。
反之，不成立。
4．可微与偏导数的关系：可微偏导数必存在。
定理8.2（必要条件）如果(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微分，则(,)z f x y =在点(,)P x y 处的偏导数必存在，且(,)z f x y =在点(,)P x y 处的全微分为(,)(,)x y dz f x y x f x y y =⋅∆+⋅∆定理8.3（充分条件）如果(,)z f x y =在点(,)P x y 处的偏导数(,),(,)x y f x y f x y 连续，则(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微分。
若记,x y 的增量分别为,dx dy （自变量的微分），则(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =⋅+⋅ （8.1）通常把二元函数的全微分等于两个偏微分之和这件事称为叠加原理。